v2.02.008 SDLL08 - Grillage plan de poutres (profilés métalliques)#
Résumé:
Ce problème tridimensionnel consiste tout d’abord à effectuer une analyse modale et ensuite d’étudier la réponse harmonique d’une structure mécanique d’un grillage plan de poutres. Ce test de Mécanique des Structures correspond à une analyse dynamique d’un modèle linéique ayant un comportement linéaire. Il comprend une seule modélisation.
Ce problème permet donc de tester l’élément de poutre d’Euler Bernouilli en flexion transverse, le calcul des fréquences et des modes de vibration par la méthode de Lanczos et l’utilisation de relations linéaires entre déplacements de deux points en analyse modale et en réponse harmonique.
Les résultats sont en accord avec les résultats analytiques du guide VPCS.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLL08/89 du guide VPCS qui présente la méthode de calcul de la façon suivante:
Une méthode de Rayleigh-Ritz permet de faire le calcul avec deux degrés de liberté à partir des hypothèses de déformées symétriques suivantes :
pour le point d’abscisse \(y\) des longerons \(\mathrm{AC}\) et \(\mathrm{DF}\) de longueur \(\mathrm{L1}\)
pour le point d’abscisse \(x\) de la traverse \(\mathrm{BE}\) de longueur \(\mathrm{L2}\)
Résultats de référence#
Les deux premières fréquences propres et modes propres symétriques (les autres fréquences propres de ce système ne sont pas étudiées). Pour les modes propres, on a la valeur suivante:
En réponse harmonique on a :
,
au point \(G\) .
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
J.M. BIGGS. Introduction to Structural Dynamics. New-York : Mc Graw Hill, p.184 (1964).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise l’élément de poutre d’Euler Bernouilli POU_D_E
3 poutres : |
\(\mathrm{ABC}\) , \(\text{DEF}\) , \(\mathrm{HGI}\) découpées chacun en 10 mailles SEG2 Les nœuds \((B,H)\) et \((E,I)\) ont les mêmes coordonnées. |
Conditions limites: |
|
poutres \(\mathrm{ABC}\) et \(\text{DEF}\) |
|
DDL_IMPO: poutre \(\mathrm{HGI}\) nœuds extrémités |
( GROUP_NO: (PABC, PDEF) DX: 0., DY: 0., DRY: 0. ) ( GROUP_NO: (PHGI) DX: 0., DY: 0., DRX: 0. ) ( GROUP_NO: (NACDF) DZ: 0. ) |
Liaison_ddl : Force_nodale : |
\({\mathrm{DZ}}_{B}–{\mathrm{DZ}}_{H}=0.\) et \({\mathrm{DZ}}_{E}–{\mathrm{DZ}}_{I}=0.\) Nœud : \(G\) \(\mathrm{Fz}\) : \(–1.E5\) |
Noms des nœuds: |
\(A=\mathrm{N1}\) |
\(B=\mathrm{N6}\) |
\(C=\mathrm{N11}\) |
\(D=\mathrm{N21}\) |
\(E=\mathrm{N26}\) |
\(F=\mathrm{N31}\) |
|
\(H=\mathrm{N41}\) |
\(G=\mathrm{N46}\) |
\(I=\mathrm{N51}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : |
33 |
Nombre de mailles et types : |
3*10 = 30 SEG2 |
Remarques#
Le blocage des degrés de liberté \(\mathrm{DX}\) et \(\mathrm{DY}\) en tous les nœuds permet de ne sélectionner que les modes de flexion transverse (dans le plan « vertical »).
Grandeurs testées et résultats#
Fréquence ( \(\mathrm{Hz}\) )
Ordre du mode propre |
Référence |
Aster |
% différence |
1 2 |
16.456 38.165 |
16.4190 38.0468 |
–0.22 –0.31 |
Mode propre : valeur de \({W}_{B}/{W}_{G}\)
Ordre du mode propre symétrique |
Référence |
Aster* |
% différence |
1 2 |
1.213 –0.412 |
1.213 –0.412 |
0. 0. |
\({W}_{B}=\mathrm{DZ}\) en \(B\) (\(\mathrm{N6}\) ) |
\({W}_{G}+{W}_{B}=\mathrm{DZ}\) en \(G\) ( \(\mathrm{N46}\) ) |
|
mode 1 : |
\({W}_{B}=0.5480\) |
\({W}_{G}+{W}_{B}=1.\) |
mode 2 : |
\({W}_{B}=–0.6698\) |
\({W}_{G}+{W}_{B}=0.9559\) |
Réponse harmonique :
Point |
Type de valeur ( \(m\) ) |
Référence |
Aster |
% différence |
\(B,E\) \(G\) \(G\) |
\({W}_{B}\max\) \({W}_{G}\max\ast\) \({W}_{B}+{W}_{G}\max\) |
–0.098 –0.125 –0.227 |
–0.1003 –0.1271 –0.2274 |
2.45 1.60 0.18 |
Remarques#
Calculs effectués par :
CALC_MODES
OPTION = “PLUS_PETITE” CALC_FREQ=_F(NMAX_FREQ = 3) SOLVEUR_MODAL=_F(METHODE = “TRI_DIAG”)
On obtient un mode antisymétrique pour une fréquence \(f=22.5676\mathrm{Hz}\) . Cette fréquence propre dépend de la constante de torsion fournie ; celle-ci n’est pas définie dans les données de référence.
Les valeurs \({W}_{B}/{W}_{G}\) ne sont pas vérifiées dans le test mais s’obtiennent manuellement à partir de \({W}_{B}\) et \({W}_{G}+{W}_{B}\) .
La valeur (WG)max n’est pas vérifiée dans le test. On a seulement accès à \({W}_{B}\max\) et \(({W}_{B}+{W}_{G})\max\) . \({W}_{G}\max\) s’obtient manuellement par différence.
Contenu du fichier résultats :
3 premières fréquences propres, déplacement des nœuds \(B,E,G\) en réponse harmonique.
Synthèse des résultats#
Les valeurs des fréquences propres et des vecteurs propres sont obtenues avec une précision \(\text{< 0.3\%}\) .
L’écart de \(\text{2.5\%}\) sur les flèches maximales aux points \(B\) et \(E\) mériterait de vérifier la solution de référence, de compléter la validation de la réponse harmonique.