v4.04.100 TPLV100 - Cylindre soumis à des conditions aux limites non axisymétriques#
Résumé:
Il s’agit d’un test en thermique stationnaire avec modélisation de Fourier.
Ce test valide tous les éléments de Fourier en thermique (5modélisations différentes) avec différents types de conditions aux limites: température imposée, échange, flux imposé, source de chaleur.
L’intérêt du test, outre la validation de la thermique Fourier, réside dans les points suivants:
comparaison des résultats avec une solution analytique sur différentes harmoniques de Fourier (1, 2 et 3),
homogénéité des éléments entre eux.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
\(T(r,z,\theta )={R}^{2}\cosl\theta\)
avec \(l\) numéro de l’harmonique de Fourier
\(-\Delta T=({l}^{2}-4)\cosl\theta =S\)
\(\overrightarrow{\phi }=-(\lambda \overrightarrow{\nabla T})=[\begin{array}{}-\mathrm{2r}\cosl\theta \\ 0.\\ +(\mathrm{lr}\sinl\theta )\end{array}\)
sur \([\mathrm{AB}]\) et \([\mathrm{ED}]\) : \({\phi }_{0}=\overrightarrow{\phi }.\overrightarrow{n}=0.\)
sur \([\mathrm{BC}]\) : \({\phi }_{0}=2R=2.\)
sur \([\mathrm{CD}]\) : \(\overrightarrow{\phi }.\overrightarrow{n}=2R=\frac{2}{R}(2{R}^{2}-{R}^{2})=h({T}_{\mathrm{ext}}-T)\)
d’où \(h=\frac{2}{R}=2.\)
\({T}_{\mathrm{ext}}=2{R}^{2}=2.\)
Seul le terme source varie suivant l’harmonique \(({S}^{l}(r,z)={l}^{2}-4)\)
Dans les modélisations suivantes, on résoudra le problème sur les harmoniques 1, 2 et 3.
Résultats de référence#
Températures et flux aux points \(B,C,D,F,G\) .
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
AXIS-FOURIER (TRIA6)
Les axes de description du maillage sont \(x(r)\) et \(y(z)\) .
Mode - Fourier : 1 \(T(A)=0.\)
\(S=-3.\) |
sur tout le domaine |
\([\mathrm{BC}]\) : |
\(\phi =2.\) |
\([\mathrm{CD}]\) : |
\(h=2.\) \({T}_{\mathrm{ext}}=2.\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 25.
Nombre de mailles et types : 8 TRIA6
Remarques#
Le numéro du mode de Fourier n’affectant pas le chargement, le mot clé MODE_FOURIER n’est pas nécessaire dans la commande CALC_VECT_ELEM.
L’utilisation de la commande CREA_CHAMP / ASSE n’est pas une recombinaison de Fourier mais une simple validation de ce mot clé.
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
|
\(\theta =0\) |
\(T(B)\) |
|
\(T(F)\) |
0.25 |
|
\({\phi }_{r}(B)\) |
–2 |
|
\({\phi }_{r}(F)\) |
–1. |
|
\({\phi }_{\theta}(B)\) |
||
\({\phi }_{\theta}(F)\) |
0.5 |
|
\({\phi }_{z}(B)\) |
||
\({\phi }_{z}(F)\) |
||
\(\theta =45\) |
\(T(B)\) |
0.7071 |
\(T(F)\) |
0.177 |
|
\({\phi }_{r}(B)\) |
–1.414 |
|
\({\phi }_{r}(F)\) |
–0.7071 |
|
\({\phi }_{\theta}(B)\) |
–0.707 |
|
\({\phi }_{\theta}(F)\) |
–0.3535 |
|
\({\phi }_{z}(B)\) |
||
\({\phi }_{z}(F)\) |
||
\(\theta =135\) |
\(T(B)\) |
–0.707 |
\(T(F)\) |
–0.177 |
|
\({\phi }_{r}(B)\) |
1.414 |
|
\({\phi }_{r}(F)\) |
0.707 |
|
\({\phi }_{\theta}(B)\) |
–0.707 |
|
\({\phi }_{\theta}(F)\) |
–0.3535 |
|
\({\phi }_{z}(B)\) |
||
\({\phi }_{z}(F)\) |
Remarques#
Les valeurs des flux aux nœuds sont moyennées sur les éléments contenant ce nœud.
On remarque que la solution exacte n’est pas trouvée. Ceci est du au fait que l’intégration numérique de la matrice de rigidité thermique est approchée (formule à 3 points de GAUSS). Si on utilisait une formule à 6 points, on trouverait la solution exactement.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
AXIS_FOURIER (QUAD8)
Les axes de description du maillage sont \(x(r)\) et \(y(z)\) .
Mode - Fourier : 2 \(T(A)=0.\)
Pas de terme source car \({S}^{l}(r,z)=0.\) pour \(l=2\)
\([\mathrm{BC}]\) : |
\(\phi =2.\) |
\([\mathrm{CD}]\) : |
\(h=2.\) \({T}_{\mathrm{ext}}=2.\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 13.
Nombre de mailles et types : 2 QUAD8
Remarques#
Le numéro du mode de Fourier n’affectant pas le chargement, le mot clé MODE_FOURIER n’est pas nécessaire dans la commande CALC_VECT_ELEM.
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
\(T(B)\) |
|
\(T(C)\) |
|
\(T(D)\) |
|
\(T(F)\) |
0.25 |
\(T(G)\) |
0.25 |
\({\phi }_{r}(B)\) |
–2. |
\({\phi }_{r}(C)\) |
–2. |
\({\phi }_{r}(D)\) |
–2. |
\({\phi }_{r}(F)\) |
–1. |
\({\phi }_{r}(G)\) |
–1. |
\({\phi }_{\theta}(B)\) |
|
\({\phi }_{\theta}(C)\) |
|
\({\phi }_{\theta}(D)\) |
|
\({\phi }_{\theta}(F)\) |
|
\({\phi }_{\theta}(G)\) |
|
\({\phi }_{z}(B)\) |
|
\({\phi }_{z}(C)\) |
|
\({\phi }_{z}(D)\) |
|
\({\phi }_{z}(F)\) |
|
\({\phi }_{z}(G)\) |
Remarques#
La solution analytique est trouvée exactement.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
AXIS_FOURIER (QUAD9)
Les axes de description du maillage sont \(x(r)\) et \(y(z)\) .
Mode - Fourier : 3 \(T(A)=0.\)
\(S=5.\) |
sur tout le domaine |
\([\mathrm{BC}]\) : |
\(\phi =2.\) |
\([\mathrm{CD}]\) : |
\(h=2.\) \({T}_{\mathrm{ext}}=2.\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 15.
Nombre de mailles et types : 2 QUAD9
Remarques#
Le numéro du mode de Fourier n’affectant pas le chargement, le mot clé MODE_FOURIER n’est pas nécessaire dans la commande CALC_VECT_ELEM.
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
\(T(B)\) |
|
\(T(C)\) |
|
\(T(D)\) |
|
\(T(F)\) |
0.25 |
\(T(G)\) |
0.25 |
\({\phi }_{r}(B)\) |
–2. |
\({\phi }_{r}(C)\) |
–2. |
\({\phi }_{r}(D)\) |
–2. |
\({\phi }_{r}(F)\) |
–1. |
\({\phi }_{r}(G)\) |
–1. |
\({\phi }_{\theta}(B)\) |
|
\({\phi }_{\theta}(C)\) |
|
\({\phi }_{\theta}(D)\) |
|
\({\phi }_{\theta}(F)\) |
1.5 |
\({\phi }_{\theta}(G)\) |
1.5 |
\({\phi }_{z}(B)\) |
|
\({\phi }_{z}(C)\) |
|
\({\phi }_{z}(D)\) |
|
\({\phi }_{z}(F)\) |
|
\({\phi }_{z}(G)\) |
Remarques#
La solution analytique est trouvée exactement.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
AXIS_FOURIER (QUAD4)
Les axes de description du maillage sont \(x(r)\) et \(y(z)\) .
Mode - Fourier : 2 \(T(A)=0.\)
\(S=0.\) |
sur tout le domaine |
\([\mathrm{BC}]\) : |
\(\phi =2.\) |
\([\mathrm{CD}]\) : |
\(h=2.\) \({T}_{\mathrm{ext}}=2.\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 153
Nombre de mailles et types : 100 QUAD4
Remarques#
Le numéro du mode de Fourier n’affectant pas le chargement, le mot clé MODE_FOURIER n’est pas nécessaire dans la commande CALC_VECT_ELEM.
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
\(T(B)\) |
|
\(T(C)\) |
|
\(T(D)\) |
|
\(T(F)\) |
0.25 |
\(T(G)\) |
0.25 |
\({\phi }_{r}(B)\) |
–2. |
\({\phi }_{r}(C)\) |
–2. |
\({\phi }_{r}(D)\) |
–2. |
\({\phi }_{r}(F)\) |
–1. |
\({\phi }_{r}(G)\) |
–1. |
\({\phi }_{\theta}(B)\) |
|
\({\phi }_{\theta}(C)\) |
|
\({\phi }_{\theta}(D)\) |
|
\({\phi }_{\theta}(F)\) |
|
\({\phi }_{\theta}(G)\) |
|
\({\phi }_{z}(B)\) |
|
\({\phi }_{z}(C)\) |
|
\({\phi }_{z}(D)\) |
|
\({\phi }_{z}(F)\) |
|
\({\phi }_{z}(G)\) |
Remarques#
La mauvaise précision enregistrée sur \({\phi }_{r}(B)\) , \({\phi }_{r}(C)\) , \({\phi }_{r}(D)\) s’explique par le fait que \(B\) , \(C\) et \(D\) sont des nœuds du bord, donc les flux ne sont pas moyennés sur des éléments adjacents dans la direction du gradient de température (direction r).
Ce phénomène ne se retrouve pas sur \({\phi }_{\theta}\) , car \({\phi }_{\theta}\) est pondéré par \(1/r\) .
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
AXIS_FOURIER (TRIA3)
Les axes de description du maillage sont \(x(r)\) et \(y(z)\) .
Mode - Fourier : 2 \(T(A)=0.\)
\(S=0.\) |
sur tout le domaine |
\([\mathrm{BC}]\) : |
\(\phi =2.\) |
\([\mathrm{CD}]\) : |
\(h=2.\) \({T}_{\mathrm{ext}}=2.\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 153
Nombre de mailles et types : 200 TRIA3
Remarques#
Le numéro du mode de Fourier n’affectant pas le chargement, le mot clé MODE_FOURIER n’est pas nécessaire dans la commande CALC_VECT_ELEM.
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
\(T(B)\) |
|
\(T(C)\) |
|
\(T(D)\) |
|
\(T(F)\) |
0.25 |
\(T(G)\) |
0.25 |
\({\phi }_{r}(B)\) |
–2. |
\({\phi }_{r}(C)\) |
–2. |
\({\phi }_{r}(D)\) |
–2. |
\({\phi }_{r}(F)\) |
–1. |
\({\phi }_{r}(G)\) |
–1. |
\({\phi }_{\theta}(B)\) |
|
\({\phi }_{\theta}(C)\) |
|
\({\phi }_{\theta}(D)\) |
|
\({\phi }_{\theta}(F)\) |
|
\({\phi }_{\theta}(G)\) |
|
\({\phi }_{z}(B)\) |
|
\({\phi }_{z}(C)\) |
|
\({\phi }_{z}(D)\) |
|
\({\phi }_{z}(F)\) |
|
\({\phi }_{z}(G)\) |
Remarques#
La mauvaise précision enregistrée sur \({\phi }_{r}(B)\) , \({\phi }_{r}(C)\) , \({\phi }_{r}(D)\) s’explique par le fait que \(B\) , \(C\) et \(D\) sont des nœuds du bord, donc les flux ne sont pas moyennés sur des éléments adjacents dans la direction du gradient de température (direction r).
Ce phénomène ne se retrouve pas sur \({\phi }_{\theta}\) , car \({\phi }_{\theta}\) est pondéré par \(1/r\) .
Synthèse des résultats#
Ce problème est correctement résolu:
quel que soit le numéro d’harmonique de Fourier,
par les différents types d’éléments (degré 1 ou 2).