v6.04.262 SSNV262 – Validation de la régularisation visqueuse REGU_VISC par simulation viscoélastique#
Résumé:
Ce test a pour but de valider le modèle de comportement REGU_VISC_ELAS mobilisé par la régularisation visqueuse REGU_VISC de l’opérateur STAT_NON_LINE. Le problème admet une solution de référence dans le cas viscoélastique.
Le problème est mis en œuvre:
en 3D dans la modélisation A
en D_PLAN dans la modélisation B
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Ce problème admet une solution analytique. On s’inspire très largement des résultats de [Lorentz, Drouet, Hamon, 2020].
Dans le cas d’un chargement uniaxial confiné, la relation de comportement élastique se réduit à:
\({\sigma}^{e}={E}_{c}\epsilon ;{E}_{c}=\lambda +2\mu ;\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )};2\mu =\frac{E}{1+\nu }\)
où on omet dorénavant les indices \(xx\) . Quant à la contrainte visqueuse, elle est régie par l’équation différentielle suivante:
\(\dot{{\sigma}^{v}}+\frac{1}{\tau}{\sigma}^{v}=k\tau \dot{\epsilon};{\sigma}^{v}(0)=0\)
Comme le second membre est constant, elle admet la solution suivante:
\({\sigma}^{v}(t)=k\tau \dot{\epsilon}\left[1-\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right]\)
Et donc la contrainte tenant compte de la régularisation visqueuse vaut:
\(\sigma ={\sigma}^{e}+{\sigma}^{v}={E}_{c}\dot{\epsilon}t+k\tau \dot{\epsilon}\left[1-\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right]\)
Dans la direction transverse, la contrainte visqueuse est nulle, si bien que la contrainte se réduit à la contrainte élastique:
\({\sigma}_{yy}=\lambda \epsilon\)
On peut en déduire aisément l’énergie stockée dans la branche viscoélastique:
\(\mathit{VISCELAS}=\frac{1}{2k}{{\sigma}^{v}}^{2}\)
Ainsi que l’énergie dissipée par la branche viscoélastique en intégrant la dissipation:
\(\mathit{VISCDISS}=k{\tau}^{2}{\dot{\epsilon}}^{2}\left[\frac{t}{\tau}+2\exp(-\frac{t}{\tau})-\frac{1}{2}\exp(-2\frac{t}{\tau})-\frac{3}{2}\right]\)
Résultats de référence#
On s’assurera qu’à \(t=20\text{s}\) , la contrainte axiale et transverse ainsi que la contrainte visqueuse, l’énergie stockée et l’énergie dissipée dans la branche visqueuse correspondent bien aux résultats analytiques.
Incertitudes sur la solution#
Néant.
Références bibliographiques#
Lorentz E., Drouet G. Hamon F. (2020) . CIWAP3 / lot SA – Stabilisation numérique d’un modèle de comportement adoucissant par régularisation viscoélastique. Note interne EDF R&D 6125-1724-2020-01606-FR.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’une modélisation 3D à l’échelle d’un point matériel (SIMU_POINT_MAT).
Caractéristiques du maillage#
Néant.
Grandeurs testées et résultats de la modélisation A#
L’intervalle de temps est subdivisé en 100 pas de temps pour permettre un calcul suffisamment précis de l’énergie dissipée (de sorte à garder une tolérance faible pour le cas-test).
Identification |
Référence |
Type |
Tolérance |
SIXX |
\(6.249\times {10}^{9}\text{Pa}\) |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-4}\) |
SIYY |
\(2.308\times {10}^{9}\text{Pa}\) |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-4}\) |
V3 (SIVXX) |
\(0.864\times {10}^{9}\text{Pa}\) |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-4}\) |
V9(VISCELAS) |
\(3.738\times {10}^{6}\text{Pa}\) |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-4}\) |
V10(VISCDISS) |
\(7.615\times {10}^{6}\text{Pa}\) |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-4}\) |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’une modélisation en déformations planes à l’échelle d’un point matériel (SIMU_POINT_MAT).
Caractéristiques du maillage#
Néant.
Grandeurs testées et résultats de la modélisation B#
L’intervalle de temps est subdivisé en 100 pas de temps pour permettre un calcul suffisamment précis de l’énergie dissipée (de sorte à garder une tolérance faible pour le cas-test).
Identification |
Référence |
Type |
Tolérance |
SIXX |
\(6.249\times {10}^{9}\text{Pa}\) |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-4}\) |
SIYY |
\(2.308\times {10}^{9}\text{Pa}\) |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-4}\) |
V3 (SIVXX) |
\(0.864\times {10}^{9}\text{Pa}\) |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-4}\) |
V9(VISCELAS) |
\(3.738\times {10}^{6}\text{Pa}\) |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-4}\) |
V10(VISCDISS) |
\(7.615\times {10}^{6}\text{Pa}\) |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-4}\) |
Synthèse des résultats#
On note un très bon accord entre la modélisation et la solution de référence.