v5.01.108 SDND108 - Loi de comportement DIS_CONTACT en dynamique

Résumé:

Ce test valide l’utilisation de la loi de comportement DIS_CONTACT pour le contact-frottement sur des discrets en dynamique.

Solution de référence

Modélisation A

Ce cas modélise une masse qui rebondit sur une surface élastique (modélisation A)

Résultats de référence

La masse est lâchée avec une vitesse initiale \({V}_{0}\) (configuration a), tant qu’elle n’a pas touchée le sol, elle ne subit que la pesanteur. Lorsqu’elle touche le sol élastique, elle est soumise en plus de la pesanteur à un effort du type \(k.\delta x\) (configuration b). Une fois le rebond terminé, elle n’est plus soumise qu’à la pesanteur (configuration a) avec une vitesse initiale \({V}_{1}\) .

Tableau 2.1.1-1 : Modèle de comportement

Équation pendant la chute libre (configuration a):

(4707)\[ \begin{align}\begin{aligned}m.\ddot{x}=-m.g\\ Et donc, par intégration:\end{aligned}\end{align} \]

(4708)\[ \begin{align}\begin{aligned}x=-g.\frac{{t}^{2}}{2}+{V}_{0}.t\\ La durée de la chute est obtenue en résolvant :math:`x=h` :\end{aligned}\end{align} \]

(4709)\[{t}_{\mathit{chute}}=\frac{1}{g}\left[{V}_{0}+\sqrt{{V}_{0}^{2}-2.g.h}\right]\]

Équation pendant le rebond (configuration b):

(4710)\[ \begin{align}\begin{aligned}m.\ddot{x}=-m.g+k.(h-z)\\ Et, donc:\end{aligned}\end{align} \]

(4711)\[ \begin{align}\begin{aligned}x={C}_{1}\sin(w.\stackrel{~}{t})+{C}_{2}\cos(w.\stackrel{~}{t})+(h-g/{w}^{2})\\ Les deux constantes valent:\end{aligned}\end{align} \]

(4712)\[ \begin{align}\begin{aligned}{C}_{2}=g/{w}^{2};{C}_{1}=\frac{-1}{w}\sqrt{{V}_{O}^{2}-2.g.h}\\ Le temps correspondant au décollement est obtenu en résolvant :math:`x=h` :\end{aligned}\end{align} \]

(4713)\[\tan\left(w.\frac{{\stackrel{~}{t}}_{\mathit{decol}}}{2}\right)={w}^{2}.\frac{{C}_{1}}{g}\]

Modélisation B

Ce cas modélise une masse qui rebondit sur une surface absorbante.

Résultats de référence

La masse est lâchée avec une vitesse initiale \({V}_{0}\) (configuration a), tant qu’elle n’a pas touchée la surface, elle ne subit que la pesanteur. Lorsqu’elle touche lasurface absorbante, elle est soumise en plus de la pesanteur à un effort du type \(k.\delta x+c.\dot{x}\) (configuration c). Une fois le rebond terminé, elle n’est plus soumise qu’à la pesanteur (configuration a) avec une vitesse initiale \({V}_{1}\) .

Tableau 2.2.1-1 : Modèle de comportement

Équation pendant la chute libre(configuration a)

(4714)\[ \begin{align}\begin{aligned}m.\ddot{x}=-m.g\\ Et donc, par intégration:\end{aligned}\end{align} \]

(4715)\[ \begin{align}\begin{aligned}x=-g.\frac{{t}^{2}}{2}+{V}_{0}.t\\ La durée de la chute est obtenue en résolvant :math:`x=h` :\end{aligned}\end{align} \]

(4716)\[{t}_{\mathit{chute}}=\frac{1}{g}\left[{V}_{0}+\sqrt{{V}_{0}^{2}-2.g.h}\right]\]

Équation pendant le rebond (configuration c):

(4717)\[ \begin{align}\begin{aligned}m.\ddot{x}=-m.g+k.(h-z)-c.\dot{x}\\ Et donc:\end{aligned}\end{align} \]

(4718)\[ \begin{align}\begin{aligned}x=\exp\left(\frac{-c.\stackrel{~}{t}}{2.m}\right)\left[{C}_{1}\sin\left(\frac{\mathit{Rd}.\stackrel{~}{t}}{2}\right)+{C}_{2}\cos\left(\frac{\mathit{Rd}.\stackrel{~}{t}}{2}\right)\right]+(h-g/{w}^{2}) \textrm{avec} \stackrel{~}{t}=t-{t}_{\mathit{chute}}\\ Les constantes valent:\end{aligned}\end{align} \]

(4719)\[ \begin{align}\begin{aligned}{C}_{2}=g/{w}^{2};{C}_{1}=\frac{c.g-2.k.\sqrt{{V}_{O}^{2}-2.g.h}}{k.\sqrt{4.k.m-{c}^{2}/{m}^{2}}}\\ Le temps correspondant au décollement est obtenu en résolvant numériquement :math:`x=h` .\end{aligned}\end{align} \]

Incertitude sur les solutions

Aucune incertitude (solution analytique).

Modélisations A et C

Grandeurs testées et résultats

Avec les données précédentes:

Temps [sec]	Depl [m]	Tolérance
Temps Chute = 0.54031242374329	-2.0	1.0e-06
Temps Décollement = 0.88545615307643	-2.0	1.0e-02
1.0000	-1.332162981855	1.0e-02
1.1000	-0.856394405035	2.0e-02

Fig. 566 Comparaison des résultats obtenus avec la modélisation A avec la solution analytique.

Modélisation B et D

Grandeurs testées et résultats

Avec les données précédentes:

Temps [sec]	Depl [m]	Tolérance
Temps Chute = 0.54031242374329	-2.0	1.0E-06
Temps Décollement = 0.92403882542	-2.0	1.0E-02
1.0000	-1.88214079833	1.0E-02
1.1000	-1.81496422497	1.0E-02

Fig. 567 Comparaison des résultats obtenus avec la modélisation B avec la solution analytique.

Synthèse des résultats

Très bonne concordance avec les résultats analytiques.