v6.03.169 SSNP169 – Disque plein traversé par une interface X-FEM sous pression non uniforme#

Résumé :

Ce test permet de valider le traitement du contact en X-FEM dans le cadre de l’hypothèse des petites perturbations.

On considère dans un premier temps un disque plein coupé par une interface circulaire. Ensuite, on considère un carréplein également coupé par une interface circulaire. Dans les deux cas, l’interface est la surface de contact. La rigidité du solide, représentée par le module de Young joue un rôle important dans l’évaluation de la valeur des déformations et des fluctuations de la pression de contact.

Une solution analytique a été développée pour ce problème afin de valider les résultats numériques calculés. On teste les valeurs de la pression de contact et du déplacement.

Solution de référence#

Nous développons ici une solution analytique pour le problème présenté ci-dessus. Cette solution sera développée dans le cadre de l’hypothèse de petites déformations en considérant que les matériaux des couronnes sont isotropes, régis par une loi élastique linéaire sans variation de température.

La solution en déplacement du problème a la forme générique suivante :

\(u={u}_{r}(r,\theta ,z).\underline{{e}_{r}}+{u}_{\theta}(r,\theta ,z).\underline{{e}_{\theta}}+{u}_{z}(r,\theta ,z).\underline{{e}_{z}}\)

On résoudra le problème dans le cadre de l’hypothèse des déformations planes. Notre chargement s’écrivant sous la forme \(p={\alpha}_{0}+{\alpha}_{1}.\cos(2\theta )\) , on découplera la résolution du problème en une partie où la pression est uniforme \(p={\alpha}_{0}\) , et une partie où la pression est variable \(p={\alpha}_{1}.\cos(2\theta )\) .

Pression uniforme#

En utilisant les symétries du problème et l’hypothèse d’invariance selon z des déformations planes, la solution du problème prend la forme suivante:

\({u}_{r}={u}_{r}(r)\)

\({u}_{\theta}=0\) éq 2.1

\({u}_{z}=0\)

En utilisant l’équation de Lamé-Navier:

\(\begin{array}{c}(\lambda +\mu )\underline{\mathit{grad}}(\nabla .(\underline{u}))+\mu \Delta \underline{u}+\underline{\mathit{fd}}=\underline{0}\end{array}\) éq 2.2

où \(\underline{\mathit{fd}}=\underline{0}\) sont les efforts volumiques nuls ici, et la formule du Laplacien:

\(\begin{array}{c}\Delta \underline{u}=\underline{\mathit{grad}}(\nabla .(\underline{u}))+\underline{\mathit{rot}}\underline{\mathit{rot}}(\underline{u})\end{array}\) éq 2.3

On peut écrire éq 2.2 sous la forme:

\(\begin{array}{c}(\lambda +2\mu )\underline{\mathit{grad}}(\nabla .(\underline{u}))+\mu \underline{\mathit{rot}}\underline{\mathit{rot}}(\underline{u})+\underline{\mathit{fd}}=\underline{0}\end{array}\) éq 2.4

soit encore en utilisant \(\underline{\mathit{rot}}(\underline{u})=\vec{0}\text{et}\underline{\mathit{fd}}=\vec{0}\text{et}\underline{u}={u}_{r}(r).\underline{{e}_{r}}\) :

\(\begin{array}{c}\nabla .(\underline{u})=\frac{d}{\mathit{dr}}{u}_{r}(r)+\frac{1}{r}{u}_{r}(r)\\ \underline{\mathit{grad}}(\nabla .\underline{u})=\frac{d}{{d}_{r}}[\frac{1}{r}\frac{d}{{d}_{r}}(r{u}_{r}(r))].{\underline{e}}_{r}\\ \text{soit encore}(\lambda +2\mu )\frac{d}{{d}_{r}}[\frac{1}{r}\frac{d}{{d}_{r}}(r{u}_{r}(r))]=0\end{array}\) éq 2.5

En intégrant l’équation, on obtient pour le solide 1 la forme suivante du champ de déplacement:

\({u}_{r}={C}_{1}r+\frac{{D}_{1}}{r}\text{}{u}_{\theta}=0\text{}{u}_{z}=0\) éq 2.6

et pour le solide 2 la forme suivante du champs de déplacement:

\({u}_{r}={C}_{2}r\text{}{u}_{\theta}=0\text{}{u}_{z}=0\) éq 2.7

Pour déterminer les constantes \({C}_{1},{D}_{1},{C}_{2}\) , il nous reste à imposer les conditions limites en pression et en déplacement. Pour cela, il faut d’abord calculer les déformations puis les contraintes associées au champ de déplacement.

Les déformations sont la partie symétrique du gradient des déplacements. On obtientpour le solide 1:

\(\begin{array}{c}{ϵ}_{\mathit{rr}}={C}_{1}-\frac{{D}_{1}}{\mathit{r²}}\\ {ϵ}_{\theta \theta }={C}_{1}+\frac{{D}_{1}}{\mathit{r²}}\\ {ϵ}_{zz}={ϵ}_{r\theta }={ϵ}_{\mathit{rz}}={ϵ}_{\theta z}=0\end{array}\) éq 2.8

Et pour le solide 2:

\(\begin{array}{c}{ϵ}_{\mathit{rr}}={C}_{1}\\ {ϵ}_{\theta \theta }={C}_{1}\\ {ϵ}_{zz}={ϵ}_{r\theta }={ϵ}_{\mathit{rz}}={ϵ}_{\theta z}=0\end{array}\) éq 2.9

En appliquant la loi de Hooke:

\(\underline{\underline{\sigma}}=\lambda \mathit{tr}(\underline{\underline{ϵ}})\underline{\underline{1}}+2\mu \underline{\underline{ϵ}}\) éq 2.10

on obtient la forme générale suivante pour les contraintespour le solide 1:

\(\begin{array}{c}{\sigma}_{\mathit{rr}}=\frac{{E}_{1}}{1+{\nu}_{1}}(\frac{{C}_{1}}{1-2{\nu}_{1}}-\frac{{D}_{1}}{\mathit{r²}})\\ {\sigma}_{\theta \theta }=\frac{{E}_{1}}{1+{\nu}_{1}}(\frac{{C}_{1}}{1-2{\nu}_{1}}+\frac{{D}_{1}}{\mathit{r²}})\\ {\sigma}_{zz}=\frac{2{\nu}_{1}{E}_{1}{C}_{1}}{(1+{\nu}_{1})(1-2{\nu}_{1})}\\ {\sigma}_{r\theta }={\sigma}_{\mathit{rz}}={\sigma}_{\theta z}=\underline{0}\end{array}\) éq 2.11

et la forme générale suivante pour les contraintespour le solide 2:

\(\begin{array}{c}{\sigma}_{\mathit{rr}}=\frac{{E}_{2}}{1+{\nu}_{2}}(\frac{{C}_{2}}{1-2{\nu}_{2}})\\ {\sigma}_{\theta \theta }=\frac{{E}_{2}}{1+{\nu}_{2}}(\frac{{C}_{2}}{1-2{\nu}_{2}})\\ {\sigma}_{zz}=\frac{2{\nu}_{2}{E}_{2}{C}_{2}}{(1+{\nu}_{2})(1-2{\nu}_{2})}\\ {\sigma}_{r\theta }={\sigma}_{\mathit{rz}}={\sigma}_{\theta z}=\underline{0}\end{array}\) éq 2.12

On pose:

\(\begin{array}{c}{A}_{1}=\frac{{E}_{1}}{(1+{\nu}_{1})(1-2{\nu}_{1})}{C}_{1}\text{}{B}_{1}=\frac{{E}_{1}}{1+{\nu}_{1}}{D}_{1}\text{}{A}_{2}=\frac{{E}_{2}}{(1+{\nu}_{2})(1-2{\nu}_{2})}{C}_{2}\end{array}\) éq 2.13

Il ne nous reste plus qu’à calculer les valeurs de \({A}_{1,}{B}_{1,}{A}_{2}\) . On notera \({\lambda}_{n}\) la pression de contact entre les deux couronnes telle que:

\(\begin{array}{c}{\underline{\underline{\sigma}}}_{\mathrm{1rr}}({R}_{2}).(-{\underline{e}}_{r})={\lambda}_{n}{\underline{e}}_{r}\\ {\underline{\underline{\sigma}}}_{\mathrm{2rr}}({R}_{2}).{\underline{e}}_{r}=-{\lambda}_{n}{\underline{e}}_{r}\end{array}\) éq 2.14

avec les conditions aux limites:

\(\begin{array}{c}{\underline{\underline{\sigma}}}_{\mathrm{1rr}}({R}_{1}).{\underline{e}}_{r}=-\mathit{p.}{\underline{e}}_{r}\end{array}\) éq 2.15

La condition de continuité sur le déplacement à l’interface entre les deux couronnes en contact donne de plus:

\(\begin{array}{c}{u}_{r;1}(\mathit{R2})={u}_{r;2}(\mathit{R2})\end{array}\) éq 2.16

Nous avons donc 4 équations pour les 4 inconnues \(\begin{array}{c}{A}_{1},{B}_{1},{A}_{2,}{\lambda}_{n}\end{array}\) .

Le système des 3 premières équations nous permet d’obtenir:

\(\begin{array}{c}{A}_{1}=\frac{-p{R}_{1}^{2}+{\lambda}_{n}{R}_{2}^{2}}{{R}_{1}^{2}-{R}_{2}^{2}};{B}_{1}=(-p+{\lambda}_{n})\frac{{R}_{1}^{2}{R}_{2}^{2}}{{R}_{1}^{2}-{R}_{2}^{2}}\\ {A}_{2}=-{\lambda}_{n}\end{array}\) éq 2.17

et l’équation de continuité sur le déplacement permet enfin d’avoir la pression de contact:

\({\lambda}_{n}=\frac{2p{R}_{1}^{2}(1-{\nu}_{1})}{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}(1-2{\nu}_{1})+\frac{{E}_{1}}{{E}_{2}}\frac{1+{\nu}_{2}}{1+{\nu}_{1}}(1-2{\nu}_{2})({R}_{1}^{2}-{R}_{2}^{2})}\) éq 2.18

Pression variable#

En utilisant l’hypothèse d’invariance selon z des déformations planes, la solution du problème prend la forme suivante:

\(\begin{array}{c}{u}_{r}={u}_{r}(r,\theta )\\ {u}_{\theta}={u}_{\theta}(r,\theta )\\ {u}_{z}=0\end{array}\) éq 2.19

Dans toute la suite, on notera les paramètres propres à chaque solide par un indice i, avec i=1,2.

En l’absence de forces de volume, on utilisera une forme de la fonction d’Airy proposée par Michell [1], en coordonnées polaires:

\(\begin{array}{c}\chi (r,\theta )={A}_{01}{r}^{2}+{A}_{02}{r}^{2}\log(r)+{A}_{03}\log(r)+{A}_{04}\theta \\ +({A}_{11}{r}^{3}+{A}_{12}\mathit{rlog}(r)+{A}_{13}{r}^{-1})\cos(\theta )+{A}_{14}r\theta \sin(\theta )\\ +({B}_{11}{r}^{3}+{B}_{12}r\log(r)+{B}_{13}{r}^{-1})\sin(\theta )+{B}_{14}r\theta \cos(\theta )\\ +\sum_{n=2}^{\infty}({A}_{\mathit{n1}}{r}^{n+2}+{A}_{\mathit{n2}}{r}^{-n+2}+{A}_{\mathit{n3}}{r}^{n}+{A}_{\mathit{n4}}{r}^{-n})\cos(n\theta )\\ +\sum_{n=2}^{\infty}({B}_{\mathit{n1}}{r}^{n+2}+{B}_{\mathit{n2}}{r}^{-n+2}+{B}_{\mathit{n3}}{r}^{n}+{B}_{\mathit{n4}}{r}^{-n})\sin(n\theta )\end{array}\) éq 2.20

Les termes du tenseur des contraintes de Cauchy non nuls s’expriment en fonction de la fonction d’Airy comme suit:

\(\begin{array}{c}{\sigma}_{\mathit{rr}}=\frac{1}{r}\frac{\partial \chi }{\partial r}+\frac{1}{{r}^{2}}\frac{{\partial}^{2}\chi }{\partial {\theta}^{2}}\\ {\sigma}_{\theta \theta }=\frac{{\partial}^{2}\chi }{\partial {r}^{2}}\\ {\sigma}_{r\theta }=\frac{-\partial }{\partial r}(\frac{1}{r}\frac{\partial \chi }{\partial \theta })\\ {\sigma}_{zz}=\nu ({\sigma}_{\mathit{rr}}+{\sigma}_{\theta \theta })\end{array}\) éq 2.21

Notre pression \(p={\alpha}_{1}.\cos(2\theta )\) variant en \(\cos(2\theta )\) , on ne prendra que la partie variant en \(\cos(2\theta )\) dans la fonction d’Airy. La fonction d’Airy s’écrira alors:

\(\chi (r,\theta )=(A{r}^{2}+B{r}^{4}+\frac{C}{{r}^{2}}+D)\cos(2\theta )\) éq 2.22

A partir de là, on peut exprimer les contraintes non nulles dans le repère polairepour le solide 1:

\(\begin{array}{c}{\sigma}_{\mathit{rr}}^{1}=(-{\mathrm{2A}}_{1}-6\frac{{C}_{1}}{{r}^{4}}-4\frac{{D}_{1}}{{r}^{2}})\cos(2\theta )\\ {\sigma}_{\theta \theta }^{1}=({\mathrm{2A}}_{1}+{\mathrm{12B}}_{1}{r}^{2}+6\frac{{C}_{1}}{{r}^{4}})\cos(2\theta )\\ {\sigma}_{r\theta }^{1}=2({A}_{1}+{\mathrm{3B}}_{1}{r}^{2}-3\frac{{C}_{1}}{{r}^{4}}-\frac{{D}_{1}}{{r}^{2}})\sin(2\theta )\\ {\sigma}_{zz}^{1}=\nu ({\sigma}_{\mathit{rr}}+{\sigma}_{\theta \theta })\end{array}\) éq 2.23

Et pour le solide 2:

\(\begin{array}{c}{\sigma}_{\mathit{rr}}^{2}=(-{\mathrm{2A}}_{2})\cos(2\theta )\\ {\sigma}_{\theta \theta }^{2}=({\mathrm{2A}}_{2}+{\mathrm{12B}}_{2}{r}^{2})\cos(2\theta )\\ {\sigma}_{r\theta }^{2}=2({A}_{2}+{\mathrm{3B}}_{2}{r}^{2})\sin(2\theta )\\ {\sigma}_{zz}^{2}=\nu ({\sigma}_{\mathit{rr}}+{\sigma}_{\theta \theta })\end{array}\) éq 2.24

et les termes du tenseur de déformations en utilisant la loi de Hooke:

\(\underline{\underline{\epsilon}}=\frac{1}{E}((1+\nu )\underline{\underline{\sigma}}-\nu \mathit{tr}(\underline{\underline{\sigma}})\underline{\underline{I}})\) éq 2.25

On utilisera l’expression des déformations pour exprimer les déplacements dans le repère polaire.

On a:

\(\begin{array}{c}\frac{\partial {u}_{r}}{\partial r}={\epsilon}_{\mathit{rr}}\\ \frac{\partial {u}_{\theta}}{\partial \theta }=r{\epsilon}_{\theta \theta }-{u}_{r}\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial {u}_{\theta}}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial {u}_{r}}{\partial \theta }-\frac{{u}_{\theta}}{r})={\epsilon}_{r\theta }\end{array}\) éq 2.26

En intégrant ces relations et en utilisant les symétries du problème, on peut exprimer les déplacementspour le solide 1:

\(\begin{array}{c}{u}_{r}^{1}=\frac{1+{\nu}_{1}}{{E}_{1}}[(-{\mathrm{2A}}_{1}r+2\frac{{C}_{1}}{{r}^{3}}+4\frac{{D}_{1}}{r})-{\nu}_{1}({\mathrm{4B}}_{1}{r}^{3}+4\frac{{D}_{1}}{r})]\cos(2\theta )\\ {u}_{\theta}^{1}=\frac{1+{\nu}_{1}}{{E}_{1}}[({\mathrm{2A}}_{1}r+{\mathrm{6B}}_{1}{r}^{3}+2\frac{{C}_{1}}{{r}^{3}}-2\frac{{D}_{1}}{r})-{\nu}_{1}({\mathrm{4B}}_{1}{r}^{3}-4\frac{{D}_{1}}{r})]\sin(2\theta )\end{array}\) éq 2.27

Et pour le solide 2:

\(\begin{array}{c}{u}_{r}^{2}=\frac{1+{\nu}_{2}}{{E}_{2}}[(-{\mathrm{2A}}_{2}r)-{\nu}_{2}({\mathrm{4B}}_{2}{r}^{3})]\cos(2\theta )\\ {u}_{\theta}^{2}=\frac{1+{\nu}_{2}}{{E}_{2}}[({\mathrm{2A}}_{2}r+{\mathrm{6B}}_{2}{r}^{3})-{\nu}_{1}({\mathrm{4B}}_{1}{r}^{3})]\sin(2\theta )\end{array}\) éq 2.28

Maintenant qu’on a exprimé tous nos champs en fonction des constantes \({A}_{1,}{B}_{1,}{C}_{1,}{D}_{1,}{A}_{2,}{B}_{2}\) , on doit calculer ces dernières en fonction des caractéristiques géométriques et du chargement.

On notera \(\lambda\) la pression de contact entre les deux solides.

Les conditions aux limites sont:

\(\begin{array}{c}{\sigma}_{\mathit{rr}}^{1}({R}_{1})=-{\alpha}_{1}\cos(2\theta ):\text{pression externe appliquée}\\ {\sigma}_{r\theta }^{1}({R}_{1})=0:\text{pression tangentielle nulle sur le bord extérieur du solide 1}\\ {\sigma}_{\mathit{rr}}^{2}({R}_{2})=-\lambda :\text{pression de contact appliquée par le solide 1 sur le solide 2}\\ {\sigma}_{\mathit{rr}}^{1}({R}_{2})=-\lambda :\text{pression de contact appliquée par le solide 2 sur le solide 1}\\ {\sigma}_{r\theta }^{1}({R}_{2})=0:\text{pas de frottement entre les deux solides}\\ {\sigma}_{r\theta }^{2}({R}_{2})=0:\text{pas de frottement entre les deux solides}\end{array}\)

Nous avons donc 6 équations pour les 6 inconnues: \({A}_{1,}{B}_{1,}{C}_{1,}{D}_{1,}{A}_{2,}{B}_{2,}{C}_{2,}{D}_{2}\) .

En posant: \({f}_{1}={(\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}})}^{2}\)

Le système de 6 équations nous permet d’avoir:

\(\begin{array}{c}{A}_{1}=\frac{{\alpha}_{1}(2{f}_{1}^{2}+{f}_{1}+1)-\lambda ({f}_{1}^{3}+{f}_{1}^{2}+2{f}_{1})}{2{(1-{f}_{1})}^{3}};{B}_{1}=\frac{-1}{{R}_{2}^{2}}\frac{{\alpha}_{1}(3{f}_{1}^{2}+{f}_{1})-\lambda ({f}_{1}^{3}+3{f}_{1}^{2})}{6{(1-{f}_{1})}^{3}};\\ {C}_{1}={R}_{2}^{4}\frac{{\alpha}_{1}({f}_{1}+3)-\lambda ({\mathrm{3f}}_{1}+1)}{6{(1-{f}_{1})}^{3}};{D}_{1}=-{R}_{2}^{2}\frac{{\alpha}_{1}({f}_{1}^{2}+{f}_{1}+2)-\lambda (2{f}_{1}^{2}+{f}_{1}+1)}{2{(1-{f}_{1})}^{3}}\\ {A}_{2}=\frac{\lambda}{2};{B}_{2}=\frac{-\lambda }{{\mathrm{6R}}_{2}^{2}}\end{array}\) éq 2.29

On peut exprimer analytiquement la pression de contact

En utilisant la continuité du déplacement radial au niveau de l’interface de contact:

\({u}_{r}^{1}({R}_{2})={u}_{r}^{2}({R}_{2})\) éq 2.30

on peut exprimer analytiquement la pression de contact:

\(\lambda =\frac{{\mathit{coef}}_{1}}{{\mathit{coef}}_{2}+{\mathit{coef}}_{3}}{\alpha}_{1}\) éq 2.31

telle que:

\(\begin{array}{c}{\mathit{coef}}_{1}=\frac{1+{\nu}_{1}}{6{E}_{1}{(1-{f}_{1})}^{3}}[(-12{f}_{1}^{2}-8{f}_{1}-12)+{\nu}_{1}(12{f}_{1}^{2}+8{f}_{1}+12)]\\ {\mathit{coef}}_{2}=\frac{1+{\nu}_{1}}{6{E}_{1}{(1-{f}_{1})}^{3}}[(-3{f}_{1}^{3}-15{f}_{1}^{2}-9{f}_{1}-5)+{\nu}_{1}(2{f}_{1}^{3}+18{f}_{1}^{2}+6{f}_{1}+6)]\\ {\mathit{coef}}_{3}=\frac{1+{\nu}_{2}}{6{E}_{2}}(-3+2{\nu}_{2})\end{array}\) éq 2.32

Valeurs testées#

On teste la pression de contact à l’interface entre les deux solides, ainsi que les déplacements selon X et Y: \({u}_{x},{u}_{y}\) , en déformations planes.

La valeur de la pression appliquée sur le bord extérieur de couronne en \(r={R}_{1}\) s’exprime sous la forme: \(p(\theta )={10}^{7}+{10}^{5}\cos(2\theta )(\mathit{Pa})\) , avec \(\theta =\arctan(\frac{Y}{X})\) .

On testera les valeurs les valeurs min et max des déplacements et de la pression de contact. On effectuera pour chaque modélisation deux calculs: un premier calcul avec contact et un deuxième calcul sans contact. On testera les valeurs pour chaque calcul. On appellera «calcul_1» le calcul avec contact et «calcul_2» le calcul sans contact.

Modélisation A#

Il s’agit d’une modélisation en déformations planes (D_PLAN).

Les modules de Young \({E}_{1}={E}_{2}\) et les coefficients de Poisson \({\nu}_{1}={\nu}_{2}\) sont respectivement \(1.0E9\mathit{Pa}\) et \(0.2\) . La pression appliquée sur le bord extérieur vaut \(1.0E7+\mathrm{10E5.cos}(2\theta )(\mathit{Pa})\) , \(\theta\) étant l’angle polaire.

Le maillage (Figure 3.2-1) comporte:

  • 240 mailles de type SEG2;

  • 3120 mailles de type QUAD4.

../../../../_images/10000000000002B90000025501B1BA1B66FA7C6C.png

Figure 3.2-a : Le maillage de la modélisation A

On teste la valeur minimale et la valeur maximale des déplacements et de la pression de contact au niveau de l’interface.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

tolérance

DX max (calcul_1)

analytique

0.00441230599078

0,1%

DY max (calcul_1)

analytique

0.00422769400922

0,1%

LAGS_C max (calcul_1)

analytique

-9852073.73272

0,1%

DX min (calcul_1)

analytique

-0.00441230599078

0,1%

DY min (calcul_1)

analytique

-0.00422769400922

0,1%

LAGS_C min (calcul_1)

analytique

-10147926.2673

0,1%

DX max (calcul_2)

analytique

0.00441230599078

0,1%

DY max (calcul_2)

analytique

0.00422769400922

0,1%

DX min (calcul_2)

analytique

-0.00441230599078

0,1%

DY min (calcul_2)

analytique

-0.00422769400922

0,1%

Modélisation B#

Il s’agit d’une modélisation en déformations planes (D_PLAN).

Les modules de Young \({E}_{1}={E}_{2}\) et les coefficients de Poisson \({\nu}_{1}={\nu}_{2}\) sont respectivement \(1.0E9\mathit{Pa}\) et \(0.2\) . La pression appliquée sur le bord extérieur vaut \(1.0E7+\mathrm{10E5.cos}(2\theta )(\mathit{Pa})\) , \(\theta\) étant l’angle polaire.

Le maillage (Figure 3.2-1) comporte:

  • 240 mailles de type SEG3;

  • 3360 mailles de type QUAD8.

../../../../_images/10000000000002B90000025501B1BA1B66FA7C6C.png

Figure 4.2-a : Le maillage de la modélisation B

On teste la valeur minimale et la valeur maximale des déplacements et de la pression de contact au niveau de l’interface.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

tolérance

DX max (calcul_1)

analytique

0.00441230599078

0,1%

DY max (calcul_1)

analytique

0.00422769400922

0,1%

LAGS_C max (calcul_1)

analytique

-9852073.73272

0,1%

DX min (calcul_1)

analytique

-0.00441230599078

0,1%

DY min (calcul_1)

analytique

-0.00422769400922

0,1%

LAGS_C min (calcul_1)

analytique

-10147926.2673

0,1%

DX max (calcul_2)

analytique

0.00441230599078

0,1%

DY max (calcul_2)

analytique

0.00422769400922

0,1%

DX min (calcul_2)

analytique

-0.00441230599078

0,1%

DY min (calcul_2)

analytique

-0.00422769400922

0,1%

Modélisation C#

Il s’agit d’une modélisation en déformations planes (D_PLAN).

Les modules de Young \({E}_{1}={E}_{2}\) et les coefficients de Poisson \({\nu}_{1}={\nu}_{2}\) sont respectivement \(1.0E9\mathit{Pa}\) et \(0.2\) . La pression appliquée sur le bord extérieur vaut \(1.0E7+\mathrm{10E5.cos}(2\theta )(\mathit{Pa})\) , \(\theta\) étant l’angle polaire.

Le maillage (Figure 3.2-1) comporte:

  • 232 mailles de type SEG2;

  • 2900 mailles de type QUAD4.

../../../../_images/10000000000002DB0000025E0048B1A303B6A8AE.png

Figure 5.2-a : Le maillage de la modélisation C

On teste la valeur minimale et la valeur maximale des déplacements et de la pression de contact au niveau de l’interface.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

tolérance

DX max (calcul_1)

analytique

0.00441230599078

0,1%

DY max (calcul_1)

analytique

0.00422769400922

0,1%

LAGS_C max (calcul_1)

analytique

-9852073.73272

0,1%

DX min (calcul_1)

analytique

-0.00441230599078

0,1%

DY min (calcul_1)

analytique

-0.00422769400922

0,1%

LAGS_C min (calcul_1)

analytique

-10147926.2673

0,1%

DX max (calcul_2)

analytique

0.00441230599078

0,1%

DY max (calcul_2)

analytique

0.00422769400922

0,1%

DX min (calcul_2)

analytique

-0.00441230599078

0,1%

DY min (calcul_2)

analytique

-0.00422769400922

0,1%

Modélisation D#

Il s’agit d’une modélisation en déformations planes (D_PLAN).

Les modules de Young \({E}_{1}={E}_{2}\) et les coefficients de Poisson \({\nu}_{1}={\nu}_{2}\) sont respectivement \(1.0E9\mathit{Pa}\) et \(0.2\) . La pression appliquée sur le bord extérieur vaut \(1.0E7+\mathrm{10E5.cos}(2\theta )(\mathit{Pa})\) , \(\theta\) étant l’angle polaire.

Le maillage (Figure 3.2-1) comporte:

  • 232 mailles de type SEG3;

  • 2900 mailles de type QUAD8.

../../../../_images/10000000000002DB0000025E0048B1A303B6A8AE.png

Figure 6.2-a : Le maillage de la modélisation D

On teste la valeur minimale et la valeur maximale des déplacements et de la pression de contact au niveau de l’interface.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

tolérance

DX max (calcul_1)

analytique

0.00441230599078

0,1%

DY max (calcul_1)

analytique

0.00422769400922

0,1%

LAGS_C max (calcul_1)

analytique

-9852073.73272

0,1%

DX min (calcul_1)

analytique

-0.00441230599078

0,1%

DY min (calcul_1)

analytique

-0.00422769400922

0,1%

LAGS_C min (calcul_1)

analytique

-10147926.2673

0,1%

DX max (calcul_2)

analytique

0.00441230599078

0,1%

DY max (calcul_2)

analytique

0.00422769400922

0,1%

DX min (calcul_2)

analytique

-0.00441230599078

0,1%

DY min (calcul_2)

analytique

-0.00422769400922

0,1%

Modélisation E#

Il s’agit d’une modélisation en déformations planes (D_PLAN).

Les modules de Young \({E}_{1}={E}_{2}\) et les coefficients de Poisson \({\nu}_{1}={\nu}_{2}\) sont respectivement \(1.0E9\mathit{Pa}\) et \(0.2\) . La pression appliquée sur le bord extérieur est celle équivalente à l’application d’une pression de \(1.0E7+\mathrm{10E5.cos}(2\theta )(\mathit{Pa})\) , sur un disque, \(\theta\) étant l’angle polaire.

Le maillage (Figure 3.2-1) comporte:

  • 120 mailles de type SEG2;

  • 900 mailles de type QUAD4.

../../../../_images/10000000000002980000025C0864A6965A55B884.png

Figure 7.2-a : Le maillage de la modélisation E

On teste la valeur minimale et la valeur maximale des déplacements et de la pression de contact au niveau de l’interface.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

tolérance

DX max (calcul_1)

analytique

0.00441230599078

0,1%

DY max (calcul_1)

analytique

0.00422769400922

0,1%

DX min (calcul_1)

analytique

-0.00441230599078

0,1%

DY min (calcul_1)

analytique

-0.00422769400922

0,1%

LAGS_C min (calcul_1)

analytique

-10147926.2673

0,1%

DX max (calcul_2)

analytique

0.00441230599078

0,1%

DY max (calcul_2)

analytique

0.00422769400922

0,1%

DX min (calcul_2)

analytique

-0.00441230599078

0,1%

DY min (calcul_2)

analytique

-0.00422769400922

0,1%

Modélisation F#

Il s’agit d’une modélisation en déformations planes (D_PLAN).

Les modules de Young \({E}_{1}={E}_{2}\) et les coefficients de Poisson \({\nu}_{1}={\nu}_{2}\) sont respectivement \(1.0E9\mathit{Pa}\) et \(0.2\) . La pression appliquée sur le bord extérieur est celle équivalente à l’application d’une pression de \(1.0E7+\mathrm{10E5.cos}(2\theta )(\mathit{Pa})\) , sur un disque, \(\theta\) étant l’angle polaire.

Le maillage (Figure 3.2-1) comporte:

  • 120 mailles de type SEG3;

  • 900 mailles de type QUAD8.

../../../../_images/10000000000002980000025C0864A6965A55B884.png

Figure 8.2-a : Le maillage de la modélisation F

On teste la valeur minimale et la valeur maximale des déplacements et de la pression de contact au niveau de l’interface.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

tolérance

DX max (calcul_1)

analytique

0.00441230599078

0,1%

DY max (calcul_1)

analytique

0.00422769400922

0,1%

LAGS_C max (calcul_1)

analytique

-9852073.73272

0,1%

DX min (calcul_1)

analytique

-0.00441230599078

0,1%

DY min (calcul_1)

analytique

-0.00422769400922

0,1%

LAGS_C min (calcul_1)

analytique

-10147926.2673

0,1%

DX max (calcul_2)

analytique

0.00441230599078

0,1%

DY max (calcul_2)

analytique

0.00422769400922

0,1%

DX min (calcul_2)

analytique

-0.00441230599078

0,1%

DY min (calcul_2)

analytique

-0.00422769400922

0,1%

Conclusion#

Ce cas test permet de valider la formulation contact continue combinée à X-FEM en présence de surfaces de contact courbes avec des maillages linéaires et quadratiques, en 2D. Il a notamment pu permettre d’établir les ordres de convergence pour la méthode de contact continue combinée à X-FEM et de vérifier une convergence en énergie de 1 et en déplacement de 2 pour les maillages linéaires, de 2 en énergie et de 3 en déplacement pour les maillages quadratiques, pour des schémas d’intégration suffisamment riches, lorsque l’interface de contact est conforme au maillage et que le maillage est rayonnant ou non conforme.