v7.01.311 HPLA311 - Murakami 11.39. Fissure circulaire au centre d’une sphère soumise à une température uniforme sur les lèvres

Résumé:

Ce test est issu de la validation indépendante de la version 3 en mécanique de la rupture.

Il s’agit d’un test statique de base en axisymétrie sous chargement thermique stationnaire calculé par éléments finis sur le même maillage d’un domaine limité.

Le comportement est thermoélastique linéaire isotrope.

Il comprend deux modélisations axisymétriques pour lesquelles on fait varier le rapport a/b, a étant le rayon de la fissure interne circulaire dans le plan horizontal xoy et b rayon de la sphère. Les facteurs d’intensité des contraintes K et le taux de restitution d’énergie sont calculés par la méthode thêta (opérateur CALC_G).

Solution de référence

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Calcul analytique par transformée de Hankel.

Résultats de référence

Pour la solution de référence, les rayons doivent vérifier la condition a/b < 0,5.

\(\eta =\frac{a}{b}<0,5\)

\({K}_{I}=\frac{E\alpha {T}_{f}}{1-\nu }\cdot \sqrt{(\frac{a}{\pi})}\cdot {F}_{I}\)

\({F}_{I}=1-0.6366\eta -0.4053{\eta}^{2}+2.0163{\eta}^{3}-0.6773{\eta}^{4}-3.8523{\eta}^{5}+4.1687{\eta}^{6}+3.2741{\eta}^{7}\)

Incertitude sur la solution

Mal définie. Pour les faibles valeurs du rapport a/b, la solution doit se rapprocher asymptotiquement de la solution de référence calculée pour  = 0, soit FI = 1, qui est alors exacte (voir MURAKAMI 11.23, page 1069).

Références bibliographiques

1. 25. MURAKAMI: Stress Intensity Factors Handbook, case 11.39, pages 1089-1090. The Society of Materials Science, Japan, Pergamon Press, 1987.

Modélisation A

La modélisation A correspond au cas a/b = 0,4 .

Caractéristiques de la modélisation

z

r

Maillage complet

Zoom de la pointe de fissure

Caractéristiques du maillage

1756 nœuds et 569 éléments dont 529 QUA8 et 40 TRI6

Fonctionnalités testées

Commandes
AFFE_MODELE	THERMIQUE	AXIS
AFFE_CHAR_THER	TEMP_IMPO
AFFE_MODELE	MECANIQUE	AXIS
AFFE_MATERIAU	AFFE_VARC	NOM_VARC=’TEMP’
CALC_G	OPTION	G_EPSI
CALC_G	OPTION	K

Dans ce test, le résultat mécanique post-traité par l’opérateur CALC_G est issu d’un CREA_RESU. Ce type de résultat ne contenant que des déplacements et pas de contraintes, il est nécessaire de calculer ces contraintes au sein de l’opérateur CALC_G à partir du champs de déplacement. Cette opération est réalisée en choisissant de calculer l’option G_EPSI.

Définition des rayons des couronnes

Plusieurs couples successifs de rayon pour les couronnes d’intégration inférieure et supérieure sont retenus. Ces rayons sont à préciser dans le mot-clé facteur THETA de CALC_G :

		Couronne n°1	Couronne n°2	Couronne n°3	Couronne n°4
	rinf	1.E-6	2.5E-5	5.E-5	7.5E-5
	rsup	2.5E-5	5.E-5	7.5E-5	1.E-4

Solutions de référence

Pour un rapport a/b = 0,4 (et a = 10-3 m), la solution de référence pour KI est:

\({K}_{I}=4.7419\text{MPa}\cdot \sqrt{(\text{m})}\)

Pour calculer le taux de restitution de l’énergie, on utilise les formules d’IRWIN en déformations planes :

\({G}_{\mathrm{réf}}=\frac{1-{\nu}^{2}}{E}({K}_{I}^{2}+{K}_{\mathrm{II}}^{2})\) , avec \({K}_{\mathrm{II}}^{2}=0\)

soit:

\({G}_{\mathrm{réf}}={\mathrm{1.0231.10}}^{2}{\text{J.m}}^{-2}\)

Grandeurs testées et résultats

Paramètre	Unité	Option	Couronne	Référence	Aster	% Tolérance
G	J.m-1	G_EPSI	couronne n°1	1,0231.102	0,9701.10 2	6
G	J.m-1	G_EPSI	couronne n°2	1,0231.102	1,0051.10 2	2
G	J.m-1	G_EPSI	couronne n°3	1,0231.10 2	1,0055.10 2	2
G	J.m-1	G_EPSI	couronne n°4	1,0231.102	1,01.10 2	2
K1	MPa.m-2	K	couronne n°1	4,7419	4,4145	8
K1	MPa.m-2	K	couronne n°2	4,7419	4,7571	2
K1	MPa.m-2	K	couronne n°3	4,7419	4,7913	2
K1	MPa.m-2	K	couronne n°4	4,7419	4,8244	2

Modélisation B

La modélisation B correspond au cas a/b = 0,01 .

Caractéristiques de la modélisation

Maillage complet

Zoom

Zoom de la pointe de fissure

Caractéristiques du maillage

2095 nœuds et 680 éléments dont 640 QUA8 et 40 TRI6

Fonctionnalités testées

Commandes
AFFE_MODELE	THERMIQUE	AXIS
AFFE_CHAR_THER	TEMP_IMPO
AFFE_MODELE	MECANIQUE	AXIS
AFFE_MATERIAU	AFFE_VARC	NOM_VARC=’TEMP’
CALC_G	OPTION	G_EPSI
CALC_G	OPTION	K

Dans ce test, le résultat mécanique post-traité par l’opérateur CALC_G est issu d’un CREA_RESU. Ce type de résultat ne contenant que des déplacements et pas de contraintes, il est nécessaire de calculer ces contraintes au sein de l’opérateur CALC_G à partir du champs de déplacement. Cette opération est réalisée en choisissant de calculer l’option G_EPSI.

Définition des rayons des couronnes

Plusieurs couples successifs de rayon pour les couronnes d’intégration inférieure et supérieure sont retenus. Ces rayons sont à préciser dans le mot-clé facteur THETA de CALC_G :

		Couronne n°0	Couronne n°1	Couronne n°2	Couronne n°3	Couronne n°4
	rinf	1.E-6	1.5E-5	1.75E-5	2.E-5	2.25E-5
	rsup	2.5E-5	1.75E-5	2.E-5	2.25E-5	2.5E-5

Solutions de référence

Pour un rapport a/b = 0,01 (et a = 2,5.10-5 m), la solution de référence pour KI est:

\({K}_{I}=0.9609\text{MPa}\cdot \sqrt{(\text{m})}\)

Pour calculer le taux de restitution de l’énergie, on utilise les formules d’IRWIN en déformations planes :

\({G}_{\mathrm{réf}}=\frac{1-{\nu}^{2}}{E}({K}_{I}^{2}+{K}_{\mathrm{II}}^{2})\) , avec \({K}_{\mathrm{II}}^{2}=0\)

soit:

\({G}_{\mathrm{réf}}=4.2019{\text{J.m}}^{-2}\)

Grandeurs testées et résultats

Paramètre	Unité	Option	Couronne	Référence	Aster	% Tolérance
G	J.m-1	G_EPSI	couronne n°1	4.2019	4.1567	2
G	J.m-1	G_EPSI	couronne n°2	4.2019	4.1554	2
G	J.m-1	G_EPSI	couronne n°3	4.2019	4.1544	2
G	J.m-1	G_EPSI	couronne n°4	4.2019	4.1554	2
K1	MPa.m-2	K	couronne n°0	0,9609	0,9653	2

Synthèse des résultats

• Le calcul de K et G en axisymétrie en présence d’un chargement thermique stationnaire, donne de bons résultats puisque l’écart maximum pour G est de 1,75% (hors première couronne) pour \(\nu\) = 0,4.

• Les résultats de K et G pour \(\nu\) =0,01 (modélisation B) sont meilleurs que pour \(\nu\) = 0,4 (modélisation A).

• Le calcul de G est légèrement moins sensible au choix des couronnes d’intégration que le calcul de K.