v2.03.100 SDLS100 - Etude de maillages sur une plaque carrée mince#
Résumé:
Ce problème tridimensionnel consiste à chercher les fréquences de vibration d’une structure mécanique composée d’une plaque carrée mince encastrée sur un côté. On étudie l’influence de la distorsion du maillage sur les résultats. Ce test de Mécanique des Structures correspond à une analyse dynamique d’un modèle surfacique ayant un comportement linéaire. Il comporte trois modélisations.
Ce problème permet de tester l’élément de plaque DKT en flexion transverse et le calcul des fréquences propres, soit par la méthode de Lanczos, soit par la méthode de Bathe et Wilson. La première modélisation consiste à mailler finement et régulièrement la plaque par des triangles. Pour la deuxième modélisation, le maillage est plus grossier tandis que pour la troisième, il est grossier et distordu.
La première modélisation sert de résultats de référence.
Les résultats obtenus sont en bon accord entre eux et avec ceux d’une fiche NAFEMS. L’effet de distorsion du maillage n’apparaît pas sur les premières fréquences de vibration.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est celle donnée dans la fiche “Test16” des tests de référence publiés par la NAFEMS.
La fiche NAFEMS donne les résultats de référence ainsi que des résultats de calculs effectués en utilisant des éléments de type coque mince de Kirchoff basés sur une formulation de déplacement isoparamétrique quadratique (degré de liberté de rotation et de translation normale à la plaque).
Résultats de référence#
6 premiers modes propres.
Références bibliographiques#
F.ABASSIAN, D.J.DAWSWELL, N.C.KNOWLES. Selected Benchmarks for Natural Frequency Analysis. NAFEMS (1987).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Maillage fin pour validation de la solution de référence
Découpage:
10 sur chaque côté du losange soit 200mailles TRIA3.
Élancement de l’élément \(\frac{a}{10t}=20\) .
Conditions limites:
en tous les nœuds \(P\) du côté \(\mathrm{Xp}=0.\) :
DDL_IMPO: ( GROUP_NO: COTE DX:0., DY:0., DZ: 0., DRY: 0. )
Nom des nœuds: |
Point \(1\) = \(\mathrm{N1}\) |
Point \(\mathrm{121 }\) = \(\mathrm{N121}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: |
121 |
Nombre de mailles et types: |
200 TRIA3 |
Grandeurs testées et résultats#
Ordre du mode propre |
Référence Fréquence (Hz) |
Aster Fréquence (Hz) |
% différence |
1 |
0.421 |
0.4178 |
–0.8 |
2 |
1.029 |
1.0255 |
–0.3 |
3 |
2.582 |
2.5669 |
–0.6 |
4 |
3.306 |
3.2733 |
–1. |
5 |
3.753 |
3.7347 |
–0.5 |
6 |
6.555 |
6.5236 |
–0.5 |
7 |
7.3756 |
||
8 |
7.7332 |
||
9 |
8.5567 |
||
10 |
11.1199 |
||
11 |
11.6474 |
||
12 |
14.3551 |
Remarques#
Calculs effectués par:
CALC_MODES OPTION = “PLUS_PETITE” CALC_FREQ=_F(NMAX_FREQ = 12) SOLVEUR_MODAL=_F(METHODE = “TRI_DIAG”)
Contenu du fichier résultats#
12 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Élément DKT maillage plus grossier
Élancement des éléments: \(\frac{a}{4t}=50\) .
Conditions limites:
en tous les nœuds \(P\) du côté \(\mathrm{Xp}=0.\) :
DDL_IMPO: ( GROUP_NO: COTE DX:0., DY:0., DZ: 0., DRY: 0. )
Nom des nœuds: |
Point \(1\) = \(\mathrm{N1}\) |
Point \(\mathrm{25 }\) = \(\mathrm{N25}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: |
25 |
Nombre de mailles et types: |
32TRIA3 |
Grandeurs testées et résultats#
Fréquence ( \(\mathrm{Hz}\) )
Ordre du mode propre |
Référence |
Test NAFEMS |
Aster |
% différence |
NAFEMS |
||||
1 |
0.421 |
0.4174 |
0.4165 |
–1.07 |
2 |
1.029 |
1.020 |
1.0301 |
0.11 |
3 |
2.582 |
2.564 |
2.5793 |
–0.10 |
4 |
3.306 |
3.302 |
3.2572 |
–1.47 |
5 |
3.753 |
3.769 |
3.7397 |
–0.35 |
6 |
6.555 |
6.805 |
6.4544 |
–1.54 |
Test 0 |
||||
7 |
7.3756 |
7.2821 |
–1.27 |
|
8 |
7.7332 |
7.6852 |
–0.62 |
|
9 |
8.5567 |
8.3764 |
–2.11 |
|
10 |
11.1199 |
10.7209 |
–3.59 |
|
11 |
11.6474 |
11.2904 |
–3.06 |
|
12 |
14.3531 |
13.7573 |
–4.16 |
Remarques#
Calculs effectués par:
CALC_MODES OPTION = “PLUS_PETITE” CALC_FREQ=_F(NMAX_FREQ = 12) SOLVEUR_MODAL=_F(METHODE = “JACOBI”)
Contenu du fichier résultats#
12 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Élément DKT avec maillage distordu
Élancement de l’élément: entre 50 et 75.
Conditions limites:
en tous les nœuds \(P\) du côté \(\mathrm{Xp}=0.\) :
DDL_IMPO: ( GROUP_NO: COTE DX:0., DY:0., DZ: 0., DRY: 0. )
Nom des nœuds: |
Point \(1\) = \(\mathrm{N1}\) |
Point \(\mathrm{25 }\) = \(\mathrm{N25}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: |
25 |
Nombre de mailles et types: |
32 TRIA3 |
Grandeurs testées et résultats#
Fréquence ( \(\mathrm{Hz}\) )
Ordre du mode propre |
Référence |
Test NAFEMS |
Aster |
% différence |
NAFEMS |
||||
1 |
0.421 |
0.4174 |
0.4163 |
–1.12 |
2 |
1.029 |
1.020 |
1.0340 |
0.49 |
3 |
2.582 |
2.571 |
2.5644 |
–0.68 |
4 |
3.306 |
3.317 |
3.2539 |
–1.58 |
5 |
3.753 |
3.780 |
3.7433 |
–0.26 |
6 |
6.555 |
6.883 |
6.4898 |
–0.99 |
Test 0 |
||||
7 |
7.3756 |
7.2119 |
–2.22 |
|
8 |
7.7332 |
7.6026 |
–1.69 |
|
9 |
8.5567 |
8.3232 |
–2.73 |
|
10 |
11.1199 |
10.7735 |
–3.12 |
|
11 |
11.6474 |
11.2607 |
–3.32 |
|
12 |
14.3531 |
13.3008 |
–7.34 |
Remarques#
Calculs effectués par:
CALC_MODES OPTION = “PLUS_PETITE” CALC_FREQ=_F(NMAX_FREQ = 12) SOLVEUR_MODAL=_F(METHODE = “TRI_DIAG”)
Contenu du fichier résultats#
12 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux.
Synthèse des résultats#
% différences/référence
Ordre du mode propre |
Référence NAFEMS |
Aster Test0 |
Aster Test1 |
Aster Test2 |
% diff. Test0 |
% diff. Test1 |
% diff. Test2 |
1 |
0.421 |
0.4178 |
0.4165 |
0.4163 |
–0.76 |
–1.07 |
–1.12 |
2 |
1.029 |
1.0255 |
1.0301 |
1.0340 |
–0.34 |
0.11 |
0.49 |
3 |
2.582 |
2.5669 |
2.5793 |
2.5644 |
–0.58 |
–0.10 |
–0.68 |
4 |
3.306 |
3.2733 |
3.2572 |
3.2539 |
–0.99 |
–1.47 |
–1.58 |
5 |
3.753 |
3.7347 |
3.7397 |
3.7433 |
–0.49 |
–0.35 |
–0.26 |
6 |
6.555 |
6.5236 |
6.4544 |
6.4898 |
–0.48 |
–1.54 |
–0.99 |
% différences/référence
Ordre du mode propre |
Référence NAFEMS |
Aster Test0 |
Aster Test1 |
Aster Test2 |
% diff. Test0 |
% diff. Test1 |
% diff. Test2 |
7 |
7.3756 |
7.2821 |
7.2119 |
–1.27 |
–2.22 |
||
8 |
7.7332 |
7.6852 |
7.6026 |
–0.62 |
–1.69 |
||
9 |
8.5567 |
8.3764 |
8.3232 |
–2.11 |
–2.73 |
||
10 |
11.1199 |
10.7209 |
10.7735 |
–3.59 |
–3.12 |
||
11 |
11.6474 |
11.2904 |
11.2607 |
–3.07 |
–3.32 |
||
12 |
14.3551 |
13.7573 |
13.3008 |
–4.16 |
–7.34 |
Pour les tests 1 et 2, les quadrangles de la fiche NAFEMS ont été découpés en triangles.
Les tests 3 et 4 peuvent être effectués par Aster (pas d’élément quadratique de coque).
Jusqu’au 9ème mode, l’erreur sur la fréquence est \(\text{≤ 2.5\%}\) .
L’effet de distorsion du maillage n’apparaît vraiment que sur les modes 7 et 12.