v3.03.145 SSLS145 - Calcul de ferraillage d’une plaque plane chargée dans son plan#
Résumé:
L’objectif de ce test est de valider la macro commande COMBINAISON_FERRAILLAGE qui calcule la densité de ferraillage dimensionnante entre plusieurs cas de chargement.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Pour les deux cas de chargement, le ferraillage est calculé avec la méthode de Capra-Maury (commande CALC_FERRAILLAGE appelée par la commande COMBINAISON_FERRAILLAGE).
Grandeurs et résultats de référence#
Ce système est équivalent à une poutre encastrée et chargée en flexion à l’extrémité libre:
Figure 3. Représentation d’une poutre encastrée et chargée en flexion
Une première estimation des déplacements et des efforts peut donc être obtenue avec une modélisation d’Euler-Bernoulli:
Flèche: \(f=\frac{1}{3}\cdot \frac{F{L}^{3}}{EI}\) , tel que \(\mathit{EI}=30000\cdot {10}^{6}\times (\frac{{3,0}^{3}\cdot 0,3}{12})=20,25\cdot {10}^{9}N{m}^{2}\)
Soit:
\(f=\frac{1}{3}\cdot (\frac{{12,0}^{3}}{20,25\cdot {10}^{9}})\times F=2,84\cdot {10}^{-8}\times F\)
Cisaillement: \(V=F\)
Moment de flexion à l’encastrement: \(M=F\times L\)
Ainsi, on obtient les résultats suivants:
ShearLd1 |
ShearLd2 |
ShearLd3 |
|
F |
\(-1,5\cdot {10}^{6}N\) |
\(-3\cdot {10}^{6}N\) |
\(-4,5\cdot {10}^{6}N\) |
V |
\(1,5\cdot {10}^{6}N\) |
\(3\cdot {10}^{6}N\) |
\(4,5\cdot {10}^{6}N\) |
M |
\(-1,8\cdot {10}^{7}\mathit{Nm}\) |
\(-3,6\cdot {10}^{7}\mathit{Nm}\) |
\(-5,4\cdot {10}^{7}\mathit{Nm}\) |
f |
\(42,6\mathit{mm}\) |
\(85,2\mathit{mm}\) |
\(127,8\mathit{mm}\) |
Pour les cas avec chargement axial (tractLd et comprLd), le rétrécissement/allongement de la poutre s’obtient analytiquement comme suit:
Flèche: \(\Delta L=\frac{F\cdot L}{E\cdot S}\) , tel que \(\mathit{ES}=30000\cdot {10}^{6}\times 3\times 0,3=2,7\cdot {10}^{10}N\)
Soit:
\(\Delta L=4,44\cdot {10}^{-10}\times F\)
Effort normal sollicitant la poutre: \(N=-F\) (effort normal positif en compression).
Ainsi, on obtient les résultats suivants:
tractLd1 |
tractLd2 |
tractLd3 |
comprLd1 |
comprLd2 |
|
F |
\(+1,0\cdot {10}^{6}N\) |
\(+2,0\cdot {10}^{6}N\) |
\(+3,0\cdot {10}^{6}N\) |
\(-1,5\cdot {10}^{6}N\) |
\(-3,0\cdot {10}^{6}N\) |
N |
\(-1,0\cdot {10}^{6}N\) |
\(-2,0\cdot {10}^{6}N\) |
\(-3,0\cdot {10}^{6}N\) |
\(+1,5\cdot {10}^{6}N\) |
\(+3,0\cdot {10}^{6}N\) |
f |
\(+0,44\mathit{mm}\) |
\(+0,89\mathit{mm}\) |
\(+1,33\mathit{mm}\) |
\(-0,67\mathit{mm}\) |
\(-1,33\mathit{mm}\) |
Pour le calcul du ferraillage suivant la méthode de Capra Maury, on applique un résonnement analogique aux cas analytiques simples proposés dans le cas test relatif à cette méthode, à savoir ssls134.
Incertitudes sur la solution#
La solution est analytique. Les différences entre la solution analytique et la solution de référence en non-régression sont dues au fait que la poutre est assez peu élancée (rapport \(H/L\) élevé) et on s’approche donc des limites du modèle d’Euler-Bernoulli.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise des éléments DKT.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 400 éléments de type QUAD4.
Figure 4. Maillage de la géométrie
Grandeurs testées et résultats#
On propose de relever les valeurs des différents champs de grandeurs au droit du point ‘N2’, obtenu à l’intersection des deux lignes ‘END’ et ‘LOWER’; en gros, c’est le point de coordonnées (0,12000,-1500).
On commence pour ce fait par tester les valeurs des flèches et rétrécissements/allongements obtenus, en comparant ces valeurs aux valeurs théoriques proposées au niveau du §2.2.
Identification |
Valeur c alculée (mm) |
Erreur relative (%) |
Point \(N2\) - \(\mathit{DZ}\) / Cas ‘shearLd1’ |
-44.237 |
3.84 |
Point \(N2\) - \(\mathit{DZ}\) / Cas ‘shearLd2’ |
-88.474 |
3.84 |
Point \(N2\) - \(\mathit{DZ}\) / Cas ‘shearLd3’ |
-132.711 |
3.84 |
Point \(N2\) - \(\mathit{DY}\) / Cas ‘tractLd1’ |
0.437 |
6.92 |
Point \(N2\) - \(\mathit{DY}\) / Cas ‘tractLd2’ |
0.874 |
1.81 |
Point \(N2\) - \(\mathit{DY}\) / Cas ‘tractLd3’ |
1.311 |
1.44 |
Point \(N2\) - \(\mathit{DY}\) / Cas ‘comprLd1’ |
-0.655 |
2.17 |
Point \(N2\) - \(\mathit{DY}\) / Cas ‘comprLd2’ |
-1.311 |
1.44 |
On propose ensuite de relever les valeurs prises par la composante ‘DNSYI’ du champ de ferraillage au niveau de la maille encerclant le nœud ‘N2’ (dans le fichier de commande, cette maille porte le nom de ‘EXTREMITE’):
Identification |
Valeur c alculée (mm2) |
Maille \(\mathit{EXTREMITE}\) - \(\mathit{DNSXI}\) / Cas ‘shearLd1’ |
1.769 |
Maille \(\mathit{EXTREMITE}\) - \(\mathit{DNSXI}\) / Cas ‘shearLd2’ |
1.559 |
Maille \(\mathit{EXTREMITE}\) - \(\mathit{DNSXI}\) / Cas ‘shearLd3’ |
2.510 |
Maille \(\mathit{EXTREMITE}\) - \(\mathit{DNSXI}\) / Cas ‘tractLd1’ |
0.045 |
Maille \(\mathit{EXTREMITE}\) - \(\mathit{DNSXI}\) / Cas ‘tractLd2’ |
0.045 |
Maille \(\mathit{EXTREMITE}\) - \(\mathit{DNSXI}\) / Cas ‘tractLd3’ |
0.072 |
Maille \(\mathit{EXTREMITE}\) - \(\mathit{DNSXI}\) / Cas ‘comprLd1’ |
0.051 |
Maille \(\mathit{EXTREMITE}\) - \(\mathit{DNSXI}\) / Cas ‘comprLd2’ |
0.108 |
Maille \(\mathit{EXTREMITE}\) - \(\mathit{DNSXI}\) / Cas ‘COMB_DIME_ACIER’ |
2.510 |
Maille \(\mathit{EXTREMITE}\) - \(\mathit{DNSXI}\) / Cas ‘COMB_DIME_ORDRE’ |
3 |
Synthèse des résultats#
Ce test permet de mettre en évidence la validité des calculs de densité de ferraillage sur des cas simples.
Les résultats obtenus avec le modèle sont en effet conformes aux valeurs déterminées de façon analytique.