v3.01.118 SSLL118 – Poutre encastrée soumise à des déplacements définis dans un repère local#
Résumé :
Ce cas test permet de valider l’option DDL_POUTRE de la commande AFFE_char_meca, qui permet d’imposer des déplacements définis dans un repère local lié à la poutre.
Les conditions sur les degrés de liberté \((\mathrm{dx},\mathrm{dy},\mathrm{dz},\mathrm{drx},\mathrm{dry},\mathrm{drz})\) exprimés dans le repère local sont traduites en conditions sur les degrés de liberté \((\mathrm{DX},\mathrm{DY},\mathrm{DZ},\mathrm{DRX},\mathrm{DRY},\mathrm{DRZ})\) exprimés dans le repère global.
Ce cas test permet notamment de valider le fait, qu’imposer un déplacement nul dans un repère local est correctement traduit dans le repère global.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
La solution de référence utilise les résultats ci-dessous :
\(\delta c\) et \(\delta b\) représentent le déplacement aux points \(C\) et \(B\) .
\(\mathrm{EI.}\delta c=\frac{\mathrm{Fc}.L}{3}+\frac{5.\mathrm{Fb}.{L}^{3}}{48}\) [1]
\(\mathrm{EI.}\delta b=\frac{5.\mathrm{Fc}.{L}^{3}}{47}+\frac{\mathrm{Fb.}{L}^{3}}{24}\) [2]
La réaction d’appui \(\mathrm{Fa}=-\mathrm{Fc}-\mathrm{Fb}\) [3]
Les conditions aux limites qui sont utilisées lors de la validation sont : un déplacement en \(C\) : \(\delta c\) et un éventuel effort en \(B\) : \(\mathrm{Fb}\) . La résolution des équations [], [], [] donnent les expressions suivantes :
\(\begin{array}{}\delta b=\frac{7.\mathrm{Fb.}{L}^{3}}{768.\mathrm{EI}}+\frac{5.\delta c}{16}\\ \mathrm{Fc}=\frac{3.\delta \mathrm{c.}\mathrm{EI}}{{L}^{3}}-\frac{5.\mathrm{Fb}}{16}\\ \mathrm{Fa}=-\frac{3.\delta \mathrm{c.}\mathrm{EI}}{{L}^{3}}-\frac{\mathrm{11.Fb}}{16}\end{array}\)
Grandeurs et résultats de référence#
Les calculs réalisés sur les 4 poutres diffèrent soit par des conditions aux limites imposées à leurs nœuds \(B\) et \(C\) , soit par une définition différente du repère local. Les conditions aux limites imposées en déplacement ou en effort permettent de déterminer les solutions théoriques des différents cas envisagés.
Caractéristiques de la poutre :
\(3.\mathit{EIy}=10E+07{\mathit{N.m}}^{2}\) \(\mathrm{3.EIz}=4.0E+07{\mathit{N.m}}^{2}\)
Nom de la poutre : \(\mathit{Pout01}\)
Données :
Vect_y : \((-0.01.00.0)\)
\(\delta y\) en \(C\) (dans le repère local) : \(2.0E-03m\)
\(\delta z\) en \(C\) (dans le repère local) : \(1.0E-03m\)
Résultats théoriques :
\(\mathrm{FY}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-3.\delta y.\mathrm{EIz}}{{L}^{3}}\)
\(\mathrm{FZ}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-3.\delta z.\mathrm{EIy}}{{L}^{3}}\)
Nom de la poutre : \(\mathit{Pout02}\)
Données :
Vect_y : \((-0.00.01.0)\)
\(\delta y\) en \(C\) (dans le repère local) : \(2.0E-03m\)
\(\delta z\) en \(C\) (dans le repère local) : \(1.0E-03m\)
Résultats théoriques :
\(\mathrm{FY}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{3.\delta \mathrm{z.}\mathrm{EIz}}{{L}^{3}}\)
\(\mathrm{FZ}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-3.\delta \mathrm{y.}\mathrm{EIy}}{{L}^{3}}\)
Nom de la poutre : \(\mathit{Pout03}\)
Données :
Vect_y : \((-1.01.00.0)\)
\(\delta y\) en \(C\) (dans le repère local) : \(2.0E-03m\)
\(\delta z\) en \(C\) (dans le repère local) : \(1.0E-03m\)
Résultats théoriques :
\(\mathit{FX}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-3\sqrt{2}.\delta \mathrm{y.}\mathrm{EIz}}{{\mathrm{2.L}}^{3}}\)
\(\mathit{FY}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{3\sqrt{2}.\delta \mathrm{y.}\mathrm{EIz}}{2.{L}^{3}}\)
\(\mathit{FZ}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-3.\delta \mathrm{z.}\mathrm{EIy}}{{L}^{3}}\)
Nom de la poutre : \(\mathit{Pout04}\)
Données :
Vect_y : \((-1.01.00.0)\)
\(\delta y\) en \(C\) (dans le repère local) : \(2.0E-03m\)
\(\delta z\) en \(C\) (dans le repère local) : \(0\)
\(\mathit{FZ}\) en \(B\) (dans le repère global) : \(1000.0\)
Résultats théoriques :
\(\mathit{FX}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-3\sqrt{2}.\delta y.\mathrm{EIz}}{{\mathrm{2.L}}^{3}}\)
\(\mathit{FY}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-3\sqrt{2}.\delta \mathrm{y.}\mathrm{EIz}}{{\mathrm{2.L}}^{3}}\)
\(\mathit{FZ}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-11.\mathrm{Fb}}{16}\)
\(\mathit{DZ}\) en \(B\) (dans le repère global) : \(\frac{7.\mathrm{Fb}.{L}^{3}}{768.\mathrm{EI}}\)
Modélisation A#
Caractéristiques du maillage et de la modélisation#
Nombre de nœuds : 12
Nombre de SEG2 : 8
Nombre de groupe de mailles : 4
Les poutres sont modélisées avec des pou_d_e.
Grandeurs testées et résultats#
Les grandeurs testées sont les réactions à l’encastrement et le déplacement du nœud \(\mathit{ID}\) .
Poutre |
Type du champ |
Composante |
Nœud |
Valeurs de Référence |
Erreur Relative |
\(\mathrm{Pout01}\) |
FORC_NODA |
DY |
\(\mathrm{N1}\) |
-10000.0 |
0.0 % |
DZ |
\(\mathrm{N1}\) |
-1250.0 |
0.0 % |
||
\(\mathrm{Pout02}\) |
FORC_NODA |
DY |
\(\mathrm{N2}\) |
5000.0 |
0.0 % |
DZ |
\(\mathrm{N2}\) |
-2500.0 |
0.0 % |
||
\(\mathrm{Pout03}\) |
FORC_NODA |
DX |
\(\mathrm{N3}\) |
7071.0678 |
1.34E-05 % |
DY |
\(\mathrm{N3}\) |
-7071.0678 |
1.34E-05 % |
||
DZ |
\(\mathrm{N3}\) |
-1250.0 |
1.32E-05 % |
||
\(\mathrm{Pout04}\) |
FORC_NODA |
DX |
\(\mathrm{N4}\) |
7071.0678 |
1.34E-05 % |
DY |
\(\mathrm{N4}\) |
-7071.0678 |
1.34E-05 % |
||
DZ |
\(\mathrm{N4}\) |
-687.5 |
5.79E-06 % |
||
DEPL |
DZ |
\(\mathrm{ID}\) |
2.1875E-05 |
-1.93E-05 % |
Modélisation B#
Caractéristiques du maillage et de la modélisation#
Nombre de nœuds : 16
Nombre de SEG2 : 12
Nombre de groupe de mailles : 6
Les poutres sont modélisées avec des pou_d_e.
Grandeurs testées et résultats#
Les grandeurs testées sont les réactions à l’encastrement et le déplacement du nœud \(\mathit{ID}\) .
Poutre |
Type du champ |
Composante |
Nœud |
Type de Référence |
Valeurs de Référence |
Tolérance |
\(\mathrm{Pout01}\) |
FORC_NODA |
DY |
\(\mathrm{N1}\) |
“ANALYTIQUE” |
-10000.0 |
0,1 % |
DZ |
\(\mathrm{N1}\) |
“ANALYTIQUE” |
-1250.0 |
0,1 % |
||
\(\mathrm{Pout02}\) |
FORC_NODA |
DY |
\(\mathrm{N2}\) |
“ANALYTIQUE” |
5000.0 |
0,1 % |
DZ |
\(\mathrm{N2}\) |
“ANALYTIQUE” |
-2500.0 |
0,1 % |
||
\(\mathrm{Pout03}\) |
FORC_NODA |
DX |
\(\mathrm{N3}\) |
“ANALYTIQUE” |
7071.0678 |
0,1 % |
DY |
\(\mathrm{N3}\) |
“ANALYTIQUE” |
-7071.0678 |
0,1 % |
||
DZ |
\(\mathrm{N3}\) |
“ANALYTIQUE” |
1250.0 |
0,1 % |
||
\(\mathrm{Pout04}\) |
FORC_NODA |
DX |
\(\mathrm{N4}\) |
“ANALYTIQUE” |
7071.0678 |
0,1 % |
DY |
\(\mathrm{N4}\) |
“ANALYTIQUE” |
-7071.0678 |
0,1 % |
||
DZ |
\(\mathrm{N4}\) |
“ANALYTIQUE” |
-687.5 |
0,1 % |
||
DEPL |
DZ |
\(\mathrm{ID}\) |
“ANALYTIQUE” |
2.1875E-05 |
0,1 % |
Remarques#
Cette modélisation permet de valider DDL_POUTREde la commande AFFE_char_meca avec le mot-clé MAILLE/GROUP_MA, les poutres \(\mathit{Pout01}\) , \(\mathit{Pout02}\) , \(\mathit{Pout03}\) , \(\mathit{Pout04}\) ont été allongées de 1m.
Le lieu d’application des conditions aux limites et des chargements n’a pas changé.
Synthèse des résultats#
Ce cas test permet de valider l’utilisation de DDL_poutre de la commande affe_char_meca. On valide notamment le fait qu’imposer un déplacement nul dans un repère local est bien traduit dans le repère global.