v6.05.100 SSNS100 - Comportement non linéaire d’une nappe d’armatures sous chargement thermique#
Résumé :
Une nappe d’armatures non excentrée par rapport au feuillet moyen et encastrée sur ses quatre côtés est soumise à un chargement thermique. Les orientations des armatures sont confondues avec les axes \((X,Y)\) du repère global.
L’intérêt principal de ce test est de valider l’intégration numérique des modèles de comportement élasto‑plastique GRILLE_ISOT_LINE et GRILLE_CINE_LINE d’une nappe d’armatures associée à l’élément fini GRILLE_EXCENTRE (plaque avec excentrement par rapport au plan de référence), dans l’algorithme général STAT_NON_LINE.
Afin d’obtenir des solutions de référence, des solutions analytiques ont été établies pour les deux comportements élasto-plastiques à écrouissage isotrope et cinématique linéaire.
Solutions de référence#
Comportement plastique isotrope#
La solution de référence se calcule analytiquement.
On note
la température, la déformation plastique, la déformation plastique cumulée et la déformation totale à l’instant de calcul, et
les mêmes quantités à l’instant précédent. \({T}_{\mathrm{réf}}\) désigne la température de référence.
La solution se calcule de la façon suivante:
Ce calcul est fait dans chaque direction. Pour le cas traité,
à tout instant.
La contrainte mémorisée dans Aster est la contrainte réelle existant dans chaque grille de cette direction. Les variables internes (
) sont calculées à partir des équations ci-dessus.
Comportement plastique cinématique#
La solution de référence se calcule analytiquement.
On note
la température, la déformation plastique et la variable d’écrouissage cinématique à l’instant de calcul, et
les mêmes quantités à l’instant précédent.
La solution se calcule de la façon suivante:
Ce calcul est fait dans chaque direction. Pour le cas traité,
à tout instant.
La contrainte mémorisée dans Aster est la contrainte réelle existant dans chaque grille de cette direction.
Modélisation A#
L’éprouvette est maillée avec deux éléments TRIA3 à trois nœuds pour toutes les modélisations.
2 éléments grilles pour modéliser les fibres dans la direction \(\mathrm{OX}\)
2 éléments grilles pour modéliser les fibres dans la direction \(\mathrm{OY}\)
Les nœuds des éléments sont communs pour chacune des nappes d’armature.
Résultats modélisation A (écrouissage isotrope linéaire)#
Chargement thermique pour la modélisation A#
Température de référence: 50
Histoire du chargement: \({\mathrm{Evolution}}_{A}\) (cf. [§1.4])
Les températures sont rentrées comme un champ aux nœuds.
Résultats#
On relève des valeurs de \(\mathit{SIXX}\) au nœud \(\mathrm{NO1}\) (dans la direction des armatures longitudinales) et \(\mathit{SIXX}\) au nœud \(\mathrm{NO1}\) (dans la direction des armatures transversales) et celles du Maximum et minimum des variables internes \(\mathrm{V1}\) et \(\mathrm{V3}\) .
\(\mathit{SIXX}\) dans les mailles modélisant les fibres orientées suivant \(\mathrm{OX}\) |
\(\mathit{SIXX}\) dans les mailles modélisant les fibres orientées suivant \(\mathrm{OY}\) |
|||||
Instant |
Référence |
Code_Aster |
Ecart |
Référence |
Code_Aster |
Ecart |
1 |
2,0000E+08 |
2,0000E+08 |
0 |
2,0000E+08 |
2,0000E+08 |
0 |
2 |
2,4000E+08 |
2,4000E+08 |
0 |
2,4000E+08 |
2,4000E+08 |
0 |
3 |
4,0000E+07 |
4,0000E+07 |
0 |
4,0000E+07 |
4,0000E+07 |
0 |
4 |
2,4000E+08 |
2,4000E+08 |
0 |
2,4000E+08 |
2,4000E+08 |
0 |
5 |
–1,6000E+08 |
–1,6000E+08 |
0 |
–1,6000E+08 |
–1,6000E+08 |
0 |
6 |
–3,1200E+08 |
–3,1200E+08 |
0 |
–3,1200E+08 |
–3,1200E+08 |
0 |
7 |
2,8800E+08 |
2,8800E+08 |
0 |
2,8800E+08 |
2,8800E+08 |
0 |
8 |
4,0960E+08 |
4,0960E+08 |
0 |
4,0960E+08 |
4,0960E+08 |
0 |
9 |
–2,7040E+08 |
–2,7040E+08 |
0 |
–2,7040E+08 |
–2,7040E+08 |
0 |
10 |
–5,2768E+08 |
–5,2768E+08 |
0 |
–5,2768E+08 |
–5,2768E+08 |
0 |
11 |
4,7232E+08 |
4,7232E+08 |
0 |
4,7232E+08 |
4,7232E+08 |
0 |
Instant |
Variables internes |
Minimum |
Maximum |
||
Code_Aster |
Référence |
Code_Aster |
Référence |
||
1 |
V1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
V3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
V1 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
V3 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
|
3 |
V1 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
V3 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
|
4 |
V1 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
V3 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
|
5 |
V1 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
V3 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
1.8E-03 |
|
6 |
V1 |
5.04E-03 |
5.04E-03 |
5.04E-03 |
5.04E-03 |
V3 |
5.04E-03 |
5.04E-03 |
5.04E-03 |
5.04E-03 |
|
7 |
V1 |
5.04E-03 |
5.04E-03 |
5.04E-03 |
5.04E-03 |
V3 |
5.04E-03 |
5.04E-03 |
5.04E-03 |
5.04E-03 |
|
8 |
V1 |
9.432E-03 |
9.432E-03 |
9.432E-03 |
9.432E-03 |
V3 |
9.432E-03 |
9.432E-03 |
9.432E-03 |
9.432E-03 |
|
9 |
V1 |
9.432E-03 |
9.432E-03 |
9.432E-03 |
9.432E-03 |
V3 |
9.432E-03 |
9.432E-03 |
9.432E-03 |
9.432E-03 |
|
10 |
V1 |
1.47456E-02 |
1.47456E-02 |
1.47456E-02 |
1.47456E-02 |
V3 |
1.47456E-02 |
1.47456E-02 |
1.47456E-02 |
1.47456E-02 |
|
11 |
V1 |
1.47456E-02 |
1.47456E-02 |
1.47456E-02 |
1.47456E-02 |
V3 |
1.47456E-02 |
1.47456E-02 |
1.47456E-02 |
1.47456E-02 |
|
Remarques :
Les résultats présentés sont donnés dans le repère de référence \(({X}_{\mathrm{ref}},{Y}_{\mathrm{ref}})\) faisant un angle de \(0°\) par rapport à \((X,Y)\) .
Le cas test étudié correspond au schéma suivant dans un plan contrainte déformation:
Modélisation B#
Cas avec écrouissage cinématique linéaire.
Chargement thermique pour la modélisation B#
Température de référence: 50°C
Histoire du chargement: \({\mathrm{Evolution}}_{B}\) (cf. [§1.4)
Les températures sont rentrées comme un champ aux nœuds.
Résultats#
On relève les valeurs de \(\mathit{SIXX}\) au nœud \(\mathrm{NO1}\) (direction des armatures longitudinales) et \(\mathit{SIXX}\) au nœud \(\mathrm{NO1}\) (direction des armatures transversales)
\(\mathit{SIXX}\) dans les mailles modélisant les fibres orientées suivant \(\mathrm{OX}\) |
\(\mathit{SIXX}\) dans les mailles modélisant les fibres orientées suivant \(\mathrm{OY}\) |
|||||
Instant |
Référence |
Code_Aster |
Ecart |
Référence |
Code_Aster |
Ecart |
1 |
2,00E+08 |
2,00E+08 |
0 |
2,00E+08 |
2,00E+08 |
0 |
2 |
2,40E+08 |
2,40E+08 |
0 |
2,40E+08 |
2,40E+08 |
0 |
3 |
4,00E+07 |
4,00E+07 |
0 |
4,00E+07 |
4,00E+07 |
0 |
4 |
2,40E+08 |
2,40E+08 |
0 |
2,40E+08 |
2,40E+08 |
0 |
5 |
–1,60E+08 |
–1,60E+08 |
0 |
–1,60E+08 |
–1,60E+08 |
0 |
6 |
–2,40E+08 |
–2,40E+08 |
0 |
–2,40E+08 |
–2,40E+08 |
0 |
7 |
1,60E+08 |
1,60E+08 |
0 |
1,60E+08 |
1,60E+08 |
0 |
8 |
2,80E+08 |
2,80E+08 |
0 |
2,80E+08 |
2,80E+08 |
0 |
9 |
–1,20E+08 |
–1,20E+08 |
0 |
–1,20E+08 |
–1,20E+08 |
0 |
10 |
–3,00E+08 |
–3,00E+08 |
0 |
–3,00E+08 |
–3,00E+08 |
0 |
11 |
1,00E+08 |
1,00E+08 |
0 |
1,00E+08 |
1,00E+08 |
0 |
Remarques :
Les résultats présentés sont donnés dans le repère de référence \(({X}_{\mathrm{ref}},{Y}_{\mathrm{ref}})\) faisant un angle de \(0°\) par rapport à \((X,Y)\) .
Le cas test étudié correspond au schéma suivant dans un plan contrainte déformation:
Modélisation F#
La modélisation F se rapproche de la modélisation A, à la différence qu’il n’y pas d’armature transversale.
Résultats#
On relève les valeurs de \(\mathit{SIXX}\) au nœud \(\mathrm{NO1}\) (pas de test sur \(\mathit{SIYY}\) en l’absence d’armatures transversales)
\(\mathit{SIXX}\) |
|||
Instant |
Référence |
Code_Aster |
Ecart |
1 |
2.00000E+08 |
2.00000E+08 |
0 |
2 |
2.40000E+08 |
2.40000E+08 |
0 |
3 |
4.00000E+07 |
4.00000E+07 |
0 |
4 |
2.40000E+08 |
2.40000E+08 |
0 |
5 |
–1.60000E+08 |
–1.60000E+08 |
0 |
6 |
–3.12000E+08 |
–3.12000E+08 |
0 |
7 |
2.88000E+08 |
2.88000E+08 |
0 |
8 |
4.09600E+08 |
4.09600E+08 |
0 |
9 |
–2.70400E+08 |
–2.70400E+08 |
0 |
10 |
–5.27680E+08 |
–5.27680E+08 |
0 |
11 |
4.72320E+08 |
4.72320E+08 |
0 |
Remarques :
Les résultats présentés sont donnés dans le repère de référence \(({X}_{\mathrm{ref}},{Y}_{\mathrm{ref}})\) faisant un angle de \(0°\) par rapport à \((X,Y)\) .
Modélisation G#
La modélisation G se rapproche de la modélisation B, à la différence qu’il n’y pas d’armature transversale.
Résultats#
On relève les valeurs de \(\mathit{SIXX}\) au nœud \(\mathrm{NO1}\) (pas de test sur \(\mathit{SIYY}\) en l’absence d’armatures transversales)
\(\mathit{SIXX}\) |
|||
Instant |
Référence |
Code_Aster |
Ecart |
1 |
2,00E+08 |
2,00E+08 |
0 |
2 |
2,40E+08 |
2,40E+08 |
0 |
3 |
4,00E+07 |
4,00E+07 |
0 |
4 |
2,40E+08 |
2,40E+08 |
0 |
5 |
–1,60E+08 |
–1,60E+08 |
0 |
6 |
–2,40E+08 |
–2,40E+08 |
0 |
7 |
1,60E+08 |
1,60E+08 |
0 |
8 |
2,80E+08 |
2,80E+08 |
0 |
9 |
–1,20E+08 |
–1,20E+08 |
0 |
10 |
–3,00E+08 |
–3,00E+08 |
0 |
11 |
1,00E+08 |
1,00E+08 |
0 |
Remarques :
Les résultats présentés sont donnés dans le repère de référence \(({X}_{\mathrm{ref}},{Y}_{\mathrm{ef}})\) faisant un angle de \(0°\) par rapport à \((X,Y)\) *.*
Synthèse des résultats#
Pour les comportements élasto-plastiques avec écrouissage linéaire, la solution analytique est parfaitement retrouvée.