v7.32.127 WTNP127 – Modélisation d’un écoulement d’eau dans un barreau saturé, établissement d’un régime permanent#
Résumé:
Ce cas-test représente la modélisation d’un écoulement d’eau dans un barreau soumis à un gradient de pression. On modélise ici un écoulement diphasique que l’on fait dégénérer en un problème monophasique. Nous nous intéressons dans ce cas-test à l’établissement du régime permanent qui permet de calculer analytiquement les flux d’eau en sortie. Ce cas-test a pour principal objectif de valider le calcul de l’intégrale des flux hydrauliques sur une surface.
Mod_lisationB Mod_lisationC Mod_lisationD Mod_lisationE Mod_lisationF Synth_se
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Soit un barreau saturé en eau (considérée comme incompressible). Ce barreau de longueur \(L\) et de hauteur \(h\) a une pression initiale \({P}_{l}(x,y,t=0)={P}_{i}\) et est soumis à un gradient de pression tel que \({P}_{l}(0,y,t)={P}_{G}\) et \({P}_{l}(L,y,t)={P}_{i}\) .
Ce problème d’évolution conduit au bout d’un temps \({t}_{p}\) à un état permanent linéaire tel que \(P(x,y,t>{t}_{p})=\frac{{P}_{\mathrm{ini}}-{P}_{G}}{L}x+{P}_{G}\)
Le flux d’eau \({M}_{11}\) (facteur du gradient de pression) est alors constant le long du barreau. Si on l’intègre sur une coupe verticale \(\Gamma\) du barreau, et de normale sortante \(\nu\) , on obtient :
\({\int}_{\Gamma}{M}_{11}.\nu =\mathit{h.}{\rho}_{l}\frac{{K}_{int}}{{\mu}_{l}}.\frac{{P}_{G}-{P}_{\mathit{ini}}}{L}.x.\nu\)
Le calcul de cette intégrale sera réalisée dans ce cas-test sur 3 surfaces (ou côté en \(\mathrm{2D}\) ).
Hypothèses simplificatrices#
Afin de tester le calcul des flux sur le modèle hydraulique le plus complet possible, on part d’une modélisation diphasique que l’on fait dégénérer en modélisation monophasique. Pour cela, on considère que le milieu est complètement saturé en eau et on impose une pression de gaz nulle sur tous les nœuds. Le système biphasique se ramène alors à résoudre le problème suivant :
\(\frac{\partial (\varphi {\rho}_{l})}{\partial t}-div({K}_{int}\frac{{\rho}_{l}{k}_{\mathit{rl}}}{{\mu}_{l}}\nabla {P}_{l})=0\)
Le liquide est incompressible : \({\rho}_{l}=c\)
La matrice est compressible et la porosité évolue proportionnellement à la pression de liquide : \(\frac{\partial \varphi }{\partial {P}_{l}}={E}_{m}\)
La perméabilité relative est prise égale à 1 : \({k}_{\mathrm{rl}}=1\)
L’équation de conservation de la masse pour le liquide s’écrit donc :
\({\rho}_{l}{E}_{m}\frac{\partial {P}_{l}}{\partial t}-d({K}_{i}\frac{{\rho}_{l}}{{\mu}_{l}}\nabla {P}_{l})=0\)
Une modélisation réellement saturée sera également testée (modélisation \(D\) ).
Incertitudes sur la solution#
Les incertitudes sont nulles, car la solution de référence est analytique.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On modélise ici un cas \(\mathrm{2D}\) . Les flux sont calculés sur 3 côtés :
le côté vertical gauche, noté “MGAUCHE”
le côté vertical droit, noté “MDROIT”
un côté vertical dans la matière, noté “MMIL”.
On réorientera les mailles de bord de façon à avoir une normale sortante. Le flux étant dirigé de la droite vers la gauche dans cet exemple sera positif sur MGAUCHE et négatif sur MDROIT.
On réorientera MMIL de façon à ce que la normale soit sortante à la partie droite du barreau s’appuyant sur MMIL. De cette façon, le flux sera positif sur MMIL.
Pour réorienter les mailles en \(\mathrm{2D}\) , on utilise le mot-clé facteur ORIE_PEAU_2D de la commande MODI_MAILLAGE. Si le côté est interne, il faut préciser un groupe de mailles surfaciques sur lequel elle s’appuie pour déterminer la normale sortante à ce groupe (mot-clé GROUP_MA_SURF).
Pour réorienter les mailles en \(\mathrm{3D}\) , on utilise le mot-clé facteur ORIE_PEAU_3Dde la commande MODI_MAILLAGE.Si la surface est interne, il faut préciser un groupe de mailles volumiques sur lequel elle s’appuie pour déterminer la normale sortante à ce groupe (mot-clé GROUP_MA_VOLU).
La quantité d’eau sur les surfaces \(\Gamma\) ainsi définies sera donc égale à
\({\int}_{\Gamma}{M}_{11}.\nu =\mathit{h.}\rho \frac{{K}_{int}}{\mu}.\frac{{P}_{\mathit{ini}}-{P}_{G}}{L}=2{10}^{\text{-10}}{\mathit{kg.s}}^{-1}\) .
Les flux de vapeur \({M}_{12}\) , d’air sec \({M}_{21}\) et d’air dissous \({M}_{22}\) sont eux quasiment nuls (aux simplifications près).
La modélisation testée ici est D_PLAN_HH2S
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 805
Nombre de mailles et types: 406 mailles, 206 SEG3et 200 QUAD8
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur |
Tolérance ( \(\text{\%}\) ) |
Composante \(\mathrm{INTE}\text{\_}\mathrm{FH11}\) , lieu \(\mathrm{MDROITE}\) |
“AUTRE_ASTER” |
-2.0E-10 |
0,1% |
Composante \(\mathrm{INTE}\text{\_}\mathrm{FH11}\) , lieu \(\mathrm{MMIL}\) |
“AUTRE_ASTER” |
2.0E-10 |
0,1% |
Composante \(\mathrm{INTE}\text{\_}\mathrm{FH11}\) , lieu \(\mathrm{MGAUCHE}\) |
“AUTRE_ASTER” |
2.0E-10 |
0,1% |
On teste le flux hydraulique au premier point de Gauss de la maille \({M}_{401}\) au numéro d’ordre 5:
Identification |
Type de référence |
Valeur |
Tolérance ( \(\text{\%}\) ) |
Composante \(\mathrm{FH11}\) |
“NON_REGRESSION” |
2.00133E-10 |
0,1% |
Composante \(\mathrm{FH22}\) |
“NON_REGRESSION” |
1.99933E-11 |
0,1% |