v3.02.111 FORMA05 - Travaux pratiques de la formation « Mécanique de la Rupture » : Plaque fissurée en traction (SENT)#

Résumé :

Ce test en \(\mathrm{2D}\) (déformations planes) modélise en quasi-statique une plaque fissurée mise en traction (mode I pur). Il s’agit d’une modélisation de l’éprouvette SENT (Single Edge Notched Specimen in Tension).

Ce test est utilisé en formation « Mécanique de la Rupture » du fait de la rapidité du temps d’exécution et de l’existence d’une solution analytique. ll permet de se familiariser avec les post-traitements en mécanique de la rupture élastique linéaire (opérateurs CALC_G, et POST_K1_K2_K3) pour les modélisation FEM et X-FEM. Les objectifs pédagogiques sont l’illustration de l’influence du maillage (maillage avec des éléments linéaires / quadratiques / quadratiques + Barsoum) ainsi que l’illustration de l’indépendance aux couronnes d’intégration pour la méthode G-thêta.

Ce cas-test comporte 4 modélisations :

Modélisation A : FEM, plaque entière (sans condition de symétrie), maillage libre
Modélisation B : FEM, (demi-)plaque avec condition de symétrie, maillage libre
Modélisation C : X-FEM, plaque entière (sans condition de symétrie), maillage réglé
Modélisation D : FEM, plaque entière (sans condition de symétrie), maillage rayonnant

Seule la modélisation A fait l’objet d’une session de TP dans le cadre de la formation.

Solution de référence#

Méthode utilisée pour la solution de référence#

La solution de référence pour le facteur d’intensité de contraintes du mode I \(K_I\) s’exprime de la façon suivante [1]:

\(K_I=\sigma \sqrt{\pi a}F\left(\frac{a}{W}\right)\)

avec \(F\left(\frac{a}{W}\right)=1,122-0,231\left(\frac{a}{W}\right)+10,550{\left(\frac{a}{W}\right)}^{2}-21,710{\left(\frac{a}{W}\right)}^{3}+30,382{\left(\frac{a}{W}\right)}^{4}\)

Cette expression de \(F\) provient d’une régression par moindres carrés (Gross 1964 ; Brown 1966). La précision annoncée de cette formule est de 0,5% pour \(\frac{a}{W}{\le}0,6\).

Remarque: dans [1] sont données d’autres formules pour \(F\left(a/W\right)\), par exemple une formule due à Tada (1973) qui affiche une précision inférieure à 0,5% pour n’importe quel ratio \(a/W\).

Le taux de restitution d’énergie \(G\) s’obtient grâce à la formule d’Irwin : \(G=\frac{1-{\nu}^2}{E} K_I^2\). La précision attendue pour la valeur de référence de \(G\) sera inférieure à 1%.

Résultats de référence#

Avec les valeurs numériques de l’énoncé, on trouve :

\(F\left(a/W\right)\approx 1,186\)

\({K}_{I}\approx 6,646 \,\mathrm{MPa.\sqrt{m}}\)

\(G\approx 191,4 \,\mathrm{J.m^{-2}}\)

Remarque : en utilisant la formule alternative de Tada 1973, on obtient \(F\left(a/W\right)\approx 1,196\) , soit un écart entre les 2 références d’environ 0,8%. Compte-tenu des précisions annoncées pour chaque référence, on en déduit que la valeur théorique se situe entre ces 2 références. Il serait donc certainement plus judicieux de choisir comme valeur de référence la valeur moyenne \(F\left(a/W\right)\approx 1,191\) . Toutefois dans la suite, on considère comme solution de référence celle provenant de la régression par moindres carrés (Gross 1964 ; Brown 1966).

Références bibliographiques#

1. Tada, P. Paris, G. Irwin, The stress analysis of cracks handbook, 3rd edition, 2000

Modélisation A : FEM, plaque entière (sans condition de symétrie), maillage libre#

Déroulement du TP#

Pour ce TP, deux possibilités sont offertes pour l’obtention du maillage de la plaque fissurée :

vous pouvez récupérer directement le maillage fissuré : voir les instructions données au paragraphe § Récupération du maillage avec Salome-Meca
vous pouvez le créer vous-même : voir les instructions données au paragraphe § Création de la géométrie et du maillage avec Salome-Meca

Récupération du maillage avec Salome-Meca#

Pour ce TP, vous pouvez récupérer directement le maillage forma05a.mmed. Il s’agit d’un maillage dont les mailles sont linéaires. Les groupes sont décrits sur la Fig. 544 :

../../../../_images/maillage_lineaire.png — Fig. 544 : Maillage forma05a avec ses groupes#

Les groupes définis sont les suivants :

Groupes de nœuds	FRONT	Ce groupe contient un seul nœud : le nœud correspondant au front de fissure. Ce nœud sera aussi utilisé pour bloquer certains modes rigides
	C	Ce groupe contient un seul nœud : le nœud situé au milieu du coté latéral droit de la plaque, servant au blocage des modes rigides
Groupes de mailles 1d	HAUT	Ligne supérieure de la plaque
	BAS	Ligne infèrieure de la plaque
	LEV_SUP	Lèvre supérieure de la fissure
	LEV_INF	Lèvre inférieure de la fissure

Pour rappel, on cherche à appliquer une pression égale à 10 MPa sur la ligne HAUT et sur la ligne BAS. Pour éviter les mouvements de corps rigide, on bloquera le déplacement selon X et Y sur le groupe FRONT et le déplacement selon Y sur le groupe C.

Si vous avez récupéré fichier forma05a.mmed, alors vous pouvez passer directement au § Création du cas dans AsterStudy.

Création de la géométrie et du maillage avec Salome-Meca#

La géométrie de la plaque peut être construite avec le module Geometry de Salome-Meca. Lancer le module Geometry puis effectuer les étapes suivantes :

Création de la CAO de la plaque saine : New Entity / Primitives / Rectangle : Height = 1, Width = 2 (les paramètres Height et Width sont inversés par rapport au sens usuel). L’origine du repère est alors située au centre de la plaque.

Création de la CAO de la fissure : créer les 2 points de coordonnées (-0,5 0 0) et (-0,4 0 0), puis la ligne reliant ces 2 points.

Création de la CAO de la plaque fissurée : réaliser la partition (Operations / Partition) de la face avec la ligne créée à l’étape précédente.

Création du point C : créer le point C de coordonnées (0,5 0 0) puis générer la partition de la plaque fissurée avec le point C. Renommer l’objet résultant en « plaque_fiss ».

Création des groupes géométriques : utiliser la fonctionnalité Create group (accessible par un clic-droit en ayant sélectionné l’objet plaque_fiss créé à l’étape précédente) pour créer les groupes définis sur la figure précédente : HAUT, BAS, LEV_SUP, C et FRONT. Le groupe LEV_INF ne peut pas être encore créé à ce stade car les lèvres de la fissure ne sont pas encore dédoublées.

Construction de la géométrie de la plaque avec le module Shaper de Salome-Meca. Lancer le module Shaper puis effectuer les étapes suivantes :

Initialisation de l’esquisse : Dans Sketch / Sketch : entrer Size of the view = 5 et sélectionner sur le plan XOY pour valider. Cliquer sur Set plane view pour ajuster la vue.

Création de l’esquisse de la plaque saine : Avec l’outil Sketch / rectangle : Sélectionner l’icône Rectangle by center and corner. Cliquer une fois sur l’origine du repère, puis recliquer ailleurs pour figer le rectangle. Presser Entrée pour valider (attention à ne pas sortir de la fonction sketch).

Création de l’esquisse de la fissure : Avec l’outil Sketch / Line : disposer le premier point sur le bord fissuré du rectangle, et le deuxième point à l’intérieur du rectangle (Tracer le trait déjà à peu près droit, pour que la contrainte d’horizontalité s’ajoute automatiquement. Un H doit apparaitre au-dessus du trait). Presser echap pour valider.

Création du point C dans l’esquisse : Avec l’outil Sketch / Point : disposer le point sur le bord opposé au bord fissuré. Attention à bien sortir de l’outil Point (Presser entrée), et de rester dans l’outil Sketch pour les prochaines étapes.

Application des contraintes : a- En maintenant la touche Shift, sélectionner le bord du rectangle avec la fissure et le point du début de la ligne de fissure, puis cliquer sur Sketch/ middle point, pour centrer la fissure. Répéter l’opération pour le point C sur le bord opposé.

Application des contraintes : b- Séléctionner le bord fissuré du rectangle et sa fissure en maintenant Shift, puis cliquer sur Sketch /Perpendicular.

Application des contraintes : c- Pour les cotations, dans l’outil Sketch / Length sélectionner le segment concerné et rentrer les valeurs (Dans cet ordre, Longueur fissure = a = 0.1, Longueur horizontale = 1, Longueur verticale = 2). Si la fissure change de sens, sélectionner la cotation puis cliquer sur Suppr pour la supprimer. Ensuite, déplacer le point extérieur à l’intérieur du rectangle en maintenant dessus le clic gauche de la souris. Enfin, remettre sa cotation (Sketch / Length).

A l’issue, le Sketch apparait en vert. Pour sortir de l’esquisse, presser la touche entrée.

Création de la CAO 2D de la plaque, la fissure : Pour la plaque, Build / Face puis cliquer à l’intérieur du rectangle. Pour la fissure, Build/ Edge puis cliquer sur la fissure. Pour le point C, Build/ Vertex puis cliquer sur le point C. Presser entrée pour valider à chaque fois.

Création de la CAO plaque fissurée : Avec l’outil Features / Partition, réaliser la partition de la face avec la fissure et le point C, en maintenant shift pour la multisélection de la face, de la fissure et du point C.(cliquez sur F2 pour renommer cette partition en « plaque_fiss »).

Créer les groupes : Avec l’outil Features / Group, créer les groupes HAUT, BAS, LEV_SUP, FRONT, C. Le groupe LEV_INF ne peut pas être encore créé à ce stade car les lèvres de la fissure ne sont pas encore dédoublées.

Sauvegarder votre travail.

La CAO est terminée. Le maillage va être générer avec le module Mesh. Lancer le module Mesh de Salome-Meca puis effectuer les étapes suivantes :

Création d’un nouveau maillage (Mesh / Create Mesh) associé à l’objet géométrique plaque_fiss.

Choisir l’algorithme 2d Netgen 1D-2D : choisir NETGEN 2D Parameters puis Max. Size = 0,1, Min. Size = \(a/50\), option Very Fine. Il est important de ne pas cocher la case Second Order (ce qui générerait un maillage quadratique) car l’opération de dédoublement des lèvres (voir plus bas) ne fonctionne que sur des mailles linéaires.

Imposer un raffinement de maillage autour du front de fissure : l’algorithme Netgen 1D-2D permet de définir une taille des mailles localement (onglet Local sizes). On pourra par exemple spécifier des éléments de \(a/50\) autour du front de fissure (cliquez sur On Vextex puis sur le groupe FRONT de l’objet plaque_fiss).

Importer les groupes de mailles et de nœuds d’après les groupes géométriques : groupes de mailles HAUT, BAS, LEV_SUP et groupes de nœuds C et FRONT

Dédoublement des lèvres : utiliser la fonctionnalité de dédoublement de nœuds du module Mesh (Modification/ Transformation/ Duplicate Nodes or/and Elements), en le paramétrant comme cela est indiqué sur la capture d’écran ci-dessous (il faut cliquer sur le bouton Generate pour remplir automatiquement la 3ème case) :

../../../../_images/fenetre_duplicate_nodes.png

Cela crée un nouveau groupe de edges, nommé « affectedEdges » que vous pouvez supprimer et un nouveau groupe de edges LEV_SUP_double qu’il faut renommer en LEV_INF.

Vérification du maillage : vérifier que le maillage ne contient pas de nœuds orphelins (Controls / Nodes Controls / Free Nodes). Vérifier que le maillage contient bien des nœuds doubles (Controls / Nodes Controls / DoubleNodes) au niveau des lèvres.

Sauvegarder votre travail.

Exportez le maillage ainsi obtenu au format MED.

Remarque : D’autres techniques de construction d’un tel maillage existent. Par exemple on pourrait créer le maillage de la partie supérieure de la plaque (cf. modélisation B) puis le dupliquer par symétrie et recoller la partie correspondant au ligament sain. Autre possibilité: utiliser la fonctionnalité New Entity / Basic / 2D Sketch pour créer le contour de la plaque fissurée en espaçant les points \(A\) et \(B\) d’une faible distance, par exemple \(4.10^{-4}\, \mathrm{m}\). La fissure sera alors très légèrement ouverte. Il n’est alors pas nécessaire d’utiliser la fonctionnalité de dédoublement des nœuds.

Création du cas dans AsterStudy#

Lancer Salome_Meca, puis choisissez le module AsterStudy. Ajoutez les étapes suivantes à votre cas.

Read a mesh (LIRE_MAILLAGE). Sélectionnez le maillage forma05a.mmed ou bien le maillage généré précédemment et le format MED. Ce maillage contient des mailles linéaires.

Create a quadratic mesh (CREA_MAILLAGE). Sélectionnez le maillage précédent et donnez un nouveau nom. Choisissez l’action LINE_QUAD pour transformer les éléments linéaires en éléments quadratiques.

../../../../_images/schema_fond_line.png

est transformé en

../../../../_images/schema_fond_quad.png

Modify a mesh (MODI_MAILLAGE). Choisissez le maillage lu précédemment et sélectionnez le reuse. Sélectionnez l’action ORIE_PEAU pour réorienter les normales aux arêtes vers l’extérieur du maillage (groupes d’éléments HAUT, BAS, LEV_SUP, LEV_INF).

../../../../_images/modi_maillage_avant.png

est transformé en

../../../../_images/modi_maillage_apres.png

Assign finite element (AFFE_MODELE). Choisissez le phénomène mécanique et la modélisation des milieux continus 2D en déformation plane (D_PLAN).

Définition et affectation du matériau: Define a material (DEFI_MATERIAU) et Assign a material (AFFE_MATERIAU).

Définition des conditions limites et chargements: Assign mechanical load (AFFE_CHAR_MECA)

Blocage des modes rigides (DX et DY sur FRONT et DY sur C) ;
Application de la pression sur les groupes HAUT et BAS : utiliser PRES_REP avec une valeur de -10 MPa (une pression négative équivaut à une contrainte de traction).

Résolution du problème élastique : Static mechanical analysis (MECA_STATIQUE) : ne pas oublier d’affecter les chargements et conditions aux limites.

Pour visualisation avec Paravis :

Calcul du champ de contraintes extrapolé aux nœuds (CALC_CHAMP, option “CONTRAINTE” avec le champ “SIGM_NOEU”)
Calcul du champ de contraintes équivalentes (CALC_CHAMP, option “CRITERES” avec le champ “SIEQ_NOEU”)

Pour cela, on enrichira le concept issu de MECA_STATIQUE enreprenant le même nom de concept.

Impression des résultats au format MED : Results output (IMPR_RESU).

Vous pouvez lancer le cas pour vérifier le bon fonctionnement de votre mise en données.

Ajout des étapes de post traitement en mécanique de la rupture#

Afin de séparer le calcul et le post-traitement, vous pouvez ajouter une nouvelle étape (New stage) à votre cas d’étude (Case).

Définition du fond de fissure (opérateur DEFI_FOND_FISS). Définir le fond de fissure dans DEFI_FOND_FISS à partir du groupe de nœud du fond FRONT et les mot-clés LEVRE_INF et LEVRE_SUP à partir des groupes de mailles LEV_INF et LEV_SUP.

Calcul du taux de restitution d’énergie (opérateur CALC_G, OPTION=”G”). Compléter les informations sur le champ THETA :

la description de la fissure (FISSURE)
les rayons de la couronne du champ theta (R_INF, R_SUP), à définir en fonction du maillage utilisé.

Imprimer les valeurs de G (IMPR_TABLE).

Calcul des facteurs d’intensité des contraintes (opérateur CALC_G, OPTION=”K”).

Idem que précédemment. Imprimer les résultats dans une nouvelle table (IMPR_TABLE).

Calcul de K et G avec l’opérateur POST_K1_K2_K3 :

renseigner le fond de fissure
renseigner le paramètre ABSC_CURV_MAXI
imprimer les résultats dans une table (IMPR_TABLE)

Comparer les solutions obtenues avec la solution de référence.

Pour aller plus loin : Utilisation des éléments de Barsoum#

Pour cela, ajoutez la commande suivante après CREA_MAILLAGE :

Modify a mesh (opérateur MODI_MAILLAGE). Choisissez le maillage quadratique et le reuse. Action MODI_MAILLE avec l’option NOEUD_QUART pour déplacer les nœuds milieux des éléments connectés à la pointe de la fissure au quart de la distance (éléments de Barsoum). Pour rappel le groupe de nœud du fond de fissure est FRONT.

est transformé en

../../../../_images/schema_fond_barsoum.png

Pour aller plus loin : Études d’influence des tailles de couronnes#

Dans CALC_G : vérifier l’indépendance du résultat au choix des couronnes d’intégration du champ thêta ;
Dans POST_K1_K2_K3 : étudier l’influence du paramètre ABSC_CURV_MAXI.

Grandeurs testées et résultats#

Tests sur G#

Identification	Référence	% tolérance
\(G\) de `CALC_G`, option G	191,4	0,6%
\({G}_{\mathit{Irwin}}\) de `CALC_G`, option K	191,4	0,6%
\(G\) de `POST_K1_K2_K3`	191,4	1,0%

Tests sur \(K_I\)#

Identification	Référence	% tolérance
\(K_I\) de `CALC_G`, option K	6,646	0,3%
\(K_I\) de `POST_K1_K2_K3`	6,646	0,5%