v6.04.148 SSNV148 - Modèles de Weibull et Rice-Tracey en 3D et en décharge#
Résumé:
Ce test de mécanique quasi - statique non linéaire permet de valider les modèles de Weibull et de Rice et Tracey en 3D pour des cas de chargements mécaniques non monotones (cf. POST_ELEM et POST_BEREMIN).
A la température de \(–50°C\) , une éprouvette cylindrique lisse est tout d’abord déformée jusqu’à 10%. Après l’avoir légèrement déchargée, on maintient constant le niveau de déformation atteint tout en faisant décroître de façon homogène la température de l’éprouvette jusqu’à \(–150°C\) . A cette nouvelle température, on applique une déformation supplémentaire pour atteindre 15% au total. La probabilité de rupture par clivage ainsi que le taux de croissance des cavités de l’éprouvette sont calculés pour l’ensemble du trajet de chargement.
La modélisation de l’éprouvette est réalisée avec des éléments 3D (HEXA20, PENTA15).
Solutions de référence#
Méthode de calcul#
En traction simple et avec l’hypothèse des petites déformations, la contrainte de traction
ainsi que le multiplicateur plastique
à l’instant
sont donnés dans le cas considéré par:
si
: \(\sigma (u)=E\frac{l(u)-{L}_{0}}{{L}_{0}}\) , \(\dot{p}(u)=0\) , \(l({t}_{1}^{p})={L}_{0}(1+\frac{{\sigma}_{Y}(-50°C)}{E})\)
si
: \(\sigma (u)={E}_{t}\frac{l(u)-{L}_{0}}{{L}_{0}}+\frac{E-{E}_{t}}{E}{\sigma}_{Y}(-50°C)\) , \(\dot{p}(u)=(1-\frac{{E}_{t}}{E})\frac{\dot{l}(u)}{{L}_{0}}\)
si
: \(\sigma (u)=\sigma (u=10)-E\frac{l(u=10)-l(u)}{{L}_{0}}\) , \(\dot{p}(u)=0\)
si
: \(\sigma (u)=\sigma (u=20)\) , \(\dot{p}(u)=0\)
si
: \(\sigma (u)=\sigma (u=20)+{E}_{t}\frac{l(u)-l(u=20)}{{L}_{0}}\) , \(\dot{p}(u)=(1-\frac{{E}_{t}}{E})\frac{\dot{l}(u)}{{L}_{0}}\)
Weibull#
La probabilité de rupture cumulée
à l’instant
est donnée par (cf. POST_ELEM et POST_BEREMIN ) :
\({P}_{f}(t)=1-\exp(-\sum_{\mathit{dV}}{[\begin{array}{c}max\\ {t}^{p}\le u\le t\end{array}(\frac{{\sigma}_{I}(u)}{{\sigma}_{u}(\theta (u))})]}^{m}\frac{\mathit{dV}}{{V}_{0}})\) .
La sommation porte sur les volumes de matière
plastifiés (à partir de l’instant
),
et
désignant la contrainte principale maximale et la température dans chacun de ces volumes aux différents instants
. Ici, le volume
de référence est égal à \(50\mu {m}^{3}\) . Le module de Weibull
est égal à 24 tandis que la contrainte de clivage
dépend de la température selon:
Température \([°C]\) |
–50 |
–100 |
–150 |
\({\sigma}_{u}[\mathit{MPa}]\) |
2800 |
2700 |
2600 |
La probabilité de rupture cumulée varie en fonction de (
) selon:
\({P}_{f}(t)=1-\exp(-{[\begin{array}{c}max\\ {t}^{p}\le u\le t\end{array}(\frac{\sigma (u)}{{\sigma}_{u}(\theta (u))})]}^{m}\frac{V}{{V}_{0}})\) .
Rice et Tracey#
En traction simple, le logarithme népérien du taux de croissance des cavités à l’instant
est donnée par (cf. POST_ELEM) :
\(\log(\frac{R(t)}{{R}_{0}})=0.283\times \exp(0.5)\times \underset{0}{\overset{t}{\int}}\dot{p}(u)\mathit{du}\)
Grandeurs et résultats de référence#
et
pour les couples (température, déplacements = \((l-{l}_{0})\) ) suivants: \((–50,0°C,20,35\mathit{mm})\) ;
\((–50,0°C,20,30\mathit{mm})\) ; \((–150,0°C,20,30\mathit{mm})\) et \((–150,0°C,32,53\mathit{mm})\) .
Incertitudes sur la solution#
Solution analytique.
Modélisation A#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 1137
Nombre de mailles et types: 64 (PENTA15), 192 (HEXA20)
Grandeurs testées et résultats#
Référence |
Code_Aster |
Référence |
Code_Aster |
||||
\(T[°C]\) |
\(l–{L}_{0}[\mathit{mm}]\) |
|
|
% diff. |
|
|
% diff. |
–50 |
20,35 |
0,01465 |
0,01481 |
1,1 |
1,0447 |
1,0458 |
0,1 |
–50 |
20,30 |
0,01465 |
0,01481 |
1,1 |
1,0447 |
1,0458 |
0,1 |
–150 |
20,30 |
0,01465 |
0,01481 |
1,1 |
1,0447 |
1,0458 |
0,1 |
–150 |
32,525 |
1,0 |
1,0 |
0,0 |
1,068 |
1,0701 |
0,2 |
SIGM_MAXI |
||||
Instant |
Maille |
Point de Gauss |
Aster |
% différence |
40 |
M198 |
10 |
2.76191751E+72 |
Non régression |
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus par Code_Aster sont très proches des solutions analytiques de référence.
Non régression pour le résultat annexe SIGM_MAXI attaché à POST_BEREMIN.