r4.04.01 Modèles de comportement métallurgique des aciers

Résumé :

Ce document présente les modèles de comportement métallurgique au chauffage et au refroidissement permettant de décrire les transformations structurales des aciers lors de cycles thermiques excédant des températures de l’ordre de \(800°C\) .

Pour les deux types de transformations (au chauffage et au refroidissement) une description détaillée des modèles disponibles est faite et des méthodes d’identification sont données.

Enfin, on présente le modèle de calcul de dureté associé à la métallurgie.

Modèle de comportement métallurgique au refroidissement

Introduction

Sur la base de l’essai de dilatométrie [Courbes schématiques de dilatométrie], la seule connaissance, à un instant donné, de la température d’un acier subissant des transformations structurales ne permet pas de connaître son état de déformation. En revanche, le comportement d’un tel acier semble pouvoir être décrit dans le cadre des modèles de comportement à variables internes [bib6]. En effet, si l’on introduit:

• \(Z=\left\lbrace {Z}_{i}; \; i=1,p \right\rbrace\) le \(p\)-uplet des proportions des constituants métallurgiques possibles présents en un point \(M\) et à un instant \(t\) donnés (ici, \({Z}_{1}+{Z}_{2}+{Z}_{3}+{Z}_{4}\) seront les proportions de ferrite, perlite, bainite et martensite et la proportion d’austénite en \(M\) sera égale à \({Z}_{\gamma} = 1-\left ({Z}_{1}+{Z}_{2}+{Z}_{3}+{Z}_{4}\right )\) );

• Les déformations thermiques de l’austénite \({\varepsilon}_{\gamma}^{\mathrm{th}}\left (T\right )={\alpha}_{\gamma}\left (T-{T}^{\gamma}\right )\) et des phases ferritique, perlitique, bainitique et martensitique \({\varepsilon}_{\alpha}^{\mathrm{th}}\left (T\right )={\alpha}_{\alpha}\left (T-{T}^{\gamma}\right )+\Delta {\varepsilon}_{\alpha\gamma }\left ({T}^{\gamma}\right )\) en notant:

  • Le coefficient de dilatation thermique moyen de l’austénite \({\alpha}_{\gamma}\) ;

  • La température de référence \({T}^{\gamma}\) à laquelle on considère \({\varepsilon}_{\gamma}^{\mathrm{th}}\) nulle;

  • Le coefficient de dilatation thermique moyen \({\alpha}_{\alpha}\) supposé identique pour la ferrite, la perlite, la bainite et la martensite;

  • La déformation \(\Delta {\varepsilon}_{\alpha \gamma }^{\gamma}\), à la température \({T}^{\gamma}\) , des phases ferritique, perlitique, bainitique et martensitique par rapport à l’austénite left (en prenant cette dernière comme la phase de référenceright );

Si l’on considère, de plus, que la déformation d’un mélange multiphasé peut être obtenue à partir des déformations de chaque phase par une loi de mélange linéaire, on peut alors décrire l’évolution de l’état de déformation lors d’un essai dilatométrique par:

(982)\[{\varepsilon}^{\mathrm{th}}\left (Z,T\right ) = \left (1-\sum_{i=1}^{i=4}{Z}_{i}\right ){\varepsilon}_{\gamma}^{\mathrm{th}}\left (T\right )+\left (\sum_{i=1}^{i=4}{Z}_{i}\right ){\varepsilon}_{\alpha}^{\mathrm{th}}\left (T\right )\]

soit

(983)\[{\varepsilon}^{\mathrm{th}}\left (Z,T\right ) = \left (1-\sum_{i=1}^{i=4}{Z}_{i}\right )\left[{\alpha}_{\gamma}\left (T-{T}^{\gamma}\right )\right]+\left (\sum_{i=1}^{i=4}{Z}_{i}\right )\left[{\alpha}_{\alpha}\left (T-{T}^{\gamma}\right )+\Delta {\varepsilon}_{\alpha\gamma }^{\gamma}\right]\]

Le problème réside alors dans la détermination de \(Z\) ou, plus précisément et dans le cadre des matériaux simples à variables internes, dans la détermination de la fonction d’évolution \(f\) telle que: \(\dot{Z}=f\left (T,Z,\cdots\right )\).

Pour rendre compte d’un effet de la vitesse de refroidissement sur l’évolution des transformations structurales, nous proposons, dans le cadre des matériaux simples à variables internes, une modélisation du comportement métallurgique des aciers au refroidissement qui inclut, a priori, \(\dot{T}\) parmi ses variables d’état.

Fig. 156 Courbes schématiques de dilatométrie

Hypothèses

1. Hypothèse H1: Un acier susceptible de subir des transformations structurales est un matériau simple à variables internes parmi lesquelles on peut choisir le quadruplet \(Z\) caractérisant la structure métallurgique en un point et à un instant donnés. On modélise donc les transformations structurales à une échelle où le point matériel peut être multiphasé. Cette échelle de modélisation qui peut apparaître métallurgiquement grossière est conforme à la notion de point matériel utilisée en mécanique des milieux continus et dont l’éprouvette de dilatométrie, supposée homogène, est représentative. |

2. Hypothèse H2: Les diagrammes TRC complétés de la cinétique de transformation martensitique de Koïstinen-Marbürger [bib7] caractérisent complètement le comportement métallurgique d’un acier austénitisé lors d’un refroidissement continu. Cette hypothèse résulte directement de la pratique métallurgique et précise le premier des objectifs à fixer au modèle : être compatible avec l’ensemble des données expérimentales relatives au comportement métallurgique qui accompagne le refroidissement des aciers austénitisés. Par ailleurs, cette hypothèse engendre également un choix « naturel » et des restrictions quant aux variables à introduire dans le modèle.

3. Hypothèse H3: Les transformations ferritique, perlitique et (surtout) bainitique sont impossibles en deçà de la température de début de transformation martensitique \({M}_{s}\). | Cette hypothèse, conforme à la représentation des diagrammes TRC, permet de découpler les transformations par diffusion de la transformation martensitique. |

Choix des variables d’état

Variables d’état pilotes

En thermo-mécanique des milieux continus, les variables d’état pilotes sont généralement la température et l’état de contraintes ou de déformations. Cependant, en rai­son de l’hypothèse H2, la température est la seule variable pilote retenue. En effet, l’influence de l’état de contraintes sur les transformations structurales n’apparaît pas dans les diagrammes TRC. De plus, il n’existe pas (hormis un effet de type Le Châtelier) de modèle théorique même si des données expérimentales relatives à cette influence en conditions isothermes ont été obtenues pour certains aciers [bib8].

Variables d’état internes

La première variable interne à introduire est le quadruplet \(Z\) caractérisant la structure métallurgique et dont la connaissance suffit, a priori, à décrire d’un point de vue mécanique un essai dilatométrique.

Outre la température \(T\), sa dérivée \(\dot{T}\) et l’état de contraintes \(\sigma\), la taille de grain austénitique \(d\) et la teneur en carbone \(C\) de l’austénite se transformant influencent également le comportement métallurgique des aciers au refroidissement. Cependant, toujours en raison de l’hypothèse H2, on choisit de ne pas introduire \(C\) comme variable interne. En effet, la diffusion du carbone n’apparaît pas explicitement sur les diagrammes TRC, bien qu’elle soit implicitement prise en compte, au moins partiellement, dans la notion même de constituant métallurgique.

Par ailleurs, Giusti [bib10] a montré que si la prise en compte de \(C\) était théoriquement possible, elle conduisait à des équations d’évolution couplées entre \(C\) et \(Z\) dont l’identification expérimentale « semble très difficile, pour ne pas dire impossible » [bib9].

Néanmoins, un effet de la teneur en carbone sur la décomposition de l’austénite au refroidissement apparaît indirectement sur les diagrammes TRC. C’est le phénomène de stabilisation de l’austénite qui se traduit par une décroissance de la température de transformation martensitique \({M}_{s}\) [:ref:r4.04.01-ExempleTRC`].

Contrairement à la teneur en carbone, la taille de grain austénitique \(d\) apparaît sur les diagrammes TRC qui sont relatifs à des conditions d’austénitisation auxquelles correspondent une valeur de \(d\) . Nous choisissons donc d’introduire \(d\) comme variable interne. Cependant, la taille de grain austénitique, qui résulte de l’histoire thermique subie au chauffage n’évolue plus au refroidissement et \(d\) intervient uniquement en tant que paramètre dans le modèle de comportement au refroidissement.

Par ailleurs, la température de transformation martensitique \({M}_{s}\), qui dépend de l’histoire thermo-métallurgique subie, intervient dans la loi de Koïstinen-Marbürger adoptée dans l’hypothèse H2 pour décrire la transformation martensitique. On choisit donc d’introduire \({M}_{s}\) comme variable interne.

Le caractère mémorateur des variables internes introduites ici en plus de \(Z\) apparaît clairement: \(d\) caractérise l’histoire thermique subie lors du passage en phase austénitique et \({M}_{s}\) relie la décomposition de l’austénite aux conditions de sa transformation en martensite.

La relation ACIER de l’opérateur CALC_META comporte neuf variables internes:

Tableau 42 Variables internes pour l’acier pour le calcul des phases de l’acier

Variable	Quantité	Description
\(\mathrm{V1}\)	\({Z_1}\)	proportion de la ferrite
\(\mathrm{V2}\)	\({Z_2}\)	proportion de la perlite
\(\mathrm{V3}\)	\({Z_3}\)	proportion de la bainite
\(\mathrm{V4}\)	\({Z_4}\)	proportion de la martensite
\(\mathrm{V5}\)	\({Z_\gamma}\)	proportion de l’austénite (phase chaude)
\(\mathrm{V6}\)	\({Z_c}\)	proportion des phases froides
\(\mathrm{V7}\)	\(d\)	taille de grain austénitique
\(\mathrm{V8}\)	\(T_g\)	température aux points de Gauss
\(\mathrm{V9}\)	\({M}_{s}\)	température de transformation martensitique

Fig. 157 Exemple de diagramme TRC

Il est également nécessaire pour modéliser l’ensemble des phénomènes mis en jeu lors d’une opération de soudage d’introduire d’autres variables internes telles que les tenseurs de déformations anélastiques qui peuvent correspondre aux déformations plastiques, de plasticité de transformation ou de viscosité. Mais, conformément à l’hypothèse H2 , on considère que ces variables n’interviennent pas dans les fonctions d’évolutions de \(Z\) et de \({M}_{s}\).

Enfin, les hypothèses suivantes permettent de simplifier et préciser davantage la forme générale du modèle:

4. Hypothèse H4: Le gradient spatial de la température \(\nabla T\) n’intervient que dans la relation de comportement exprimant le vecteur courant de chaleur \(q\) ; sa dérivée temporelle première \(\dot{\nabla T}\) n’est pas une variable d’état et la relation de comportement exprimant le vecteur courant de chaleur est la loi de Fourier \(q={-}\lambda \left (T,Z,d\right )\nabla T\).

4. Hypothèse H5: Un diagramme TRC permet d’identifier une relation empirique entre \({M}_{s}\), \(d\) et \(\sum_{i=1}^{i=3}{Z}_{i}\)

(984)\[{M}_{s}\left ({Z}_{1},{Z}_{2},{Z}_{3};d\right )={{M}_{s}}_{0}\left (d\right )+A\left (d\right ){\left[\sum_{i=1}^{i=3}{Z}_{i}-{Z}^{s}_{\gamma}\left (d\right )\right]}^{+}\]

L’hypothèse H5 signifie que la température de début de trans­formation martensitique est constante (pour une taille de grain donnée) et égale à \({{M}_{s}}_{0}\) tant que la proportion d’austénite transformée est inférieure à un seuil \({Z}^{s}_{\gamma}\) et que sa variation est une fonction linéaire de la quantité d’austénite transformée (avec le coefficient de linéarité \(A\left (d\right )\)). Cette hypothèse semble relativement bien vérifiée expérimentalement. Elle permet d’exclure \({M}_{s}\) de toutes les relations de comportement autres que celle exprimant \(z\) et \({Z}_{4}\) .

Avec \(z=\left\lbrace {Z}_{1}, {Z}_{2}, {Z}_{3} \right\rbrace\) que l’on distinguera bien de \(Z=\left\lbrace {Z}_{i}; \; i=1, p\right\rbrace\) défini précédemment.

Finalement, et compte tenu des hypothèses H2 et H3 les relations définissant le modèle s’écrivent donc pour les phases froides (hors martensite)

(985)\[\dot{z}\left (t \right )=f\left (T,\dot{T},z,{M}_{s};d\right )=f\left (T,\dot{T},z;d\right ){\frac{\left[T-{M}_{s}\right]}{T-{M}_{s}}}^{+}\]

avec \(z=\left\lbrace {Z}_{1},{Z}_{2},{Z}_{3}\right\rbrace\)

Pour la martensite, la phase s’écrit (équation de Koïstinen-Marbürger, voir [bib7])

(986)\[{Z}_{4}\left (T,z,{M}_{s};d\right )=\left[1-\sum_{i=1}^{i=3}{Z}_{i}\right]\left\lbrace 1-\exp \left (\beta \left (d\right ) \left \lbrace \left[{M}_{s}-T\right] \right \rbrace ^{+}\right )\right\rbrace\]

et la température de transformation martensitique

(987)\[{M}_{s}\left (t\right )={{M}_{s}}_{0}\left (d\right )+{A}\left (d\right ){\left[\sum_{i=1}^{i=3}{Z}_{i}-{Z}^{s}_{\gamma}\left (d\right )\right]}^{+}\]

où: \(\beta\) est une caractéristique du matériau ( de dimension \(°{C}^{-1}\) ), éventuellement fonction de \(d\) et \({[X]}^{+}\) désigne la partie positive de \(X\).

Enfin, comme il semble difficile de proposer une forme simple de dépendance du modèle vis-à-vis de ces variables, on a choisi de ne pas imposer de forme particulière aux fonctions d’évolution \({f}_{i}\) [bib2]. La démarche pour calculer les vitesses d’évolution des variables métallurgiques utilise alors des techniques d’interpolation et repose sur le fait que toute histoire thermométallurgique expérimentalement connue (essai dilatométrique par exemple) est une solution particulière de l’équation différentielle d’évolution (985).

Identification et mise en œuvre du modèle au refroidissement

Principe

L’identification du modèle et l’utilisation des données expérimentales que constituent les diagrammes TRC pour déterminer la valeur prise par la fonction \(f\) en un état thermo-métallurgique \((T,\dot{T},z;d)\) donné sont fondées sur la constatation et les hypothèses suivantes:

• les histoires thermo-métallurgiques figurant sur un diagramme TRC sont toutes des solutions particulières de l’équation différentielle (985). Elles permettent donc de calculer en chaque état thermodynamique rencontré expérimentalement et présent dans un diagramme TRC la valeur prise par la fonction \(f\) .

• la fonction \(f\) est régulière; c’est-à-dire que si deux points \({E}_{k}\) et \({E}_{j}\) sont voisins avec \({E}_{k}=\left\lbrace T({t}_{K}),\dot{T}({t}_{K}),z({t}_{K});d({t}_{K})\right\rbrace\), leurs vitesses d’évolution en \(z\) sont également voisines soit:

\[{E}_{k} {\approx} {E}_{j} {\Rightarrow } f({E}_{k}){\frac{\left[T {-}{M}_{s}\right]}{T{-}{M}_{s}}}^{{+}}=\dot{z}({E}_{k}){\approx}f({E}_{j}){\frac{\left[T{-}{M}_{s}\right]}{T{-}{M}_{s}}}^{+}=\dot{z}({E}_{j})\]

On détermine ensuite les vitesses de transformations structurales d’un état quelconque par interpolation parmi tous les « couples » \(({E}_{k},f({E}_{k}))\) définis par les diagrammes TRC.

Intégration des données expérimentales au modèle

Principe

En général, un diagramme TRC définit dans un repère \(\left[\ln(t)-T\right]\) les transformations structurales associées à une série d’histoires thermiques tracées sur ce diagramme [Exemple de diagramme TRC]. L’intégration des données expérimentales consiste alors à relever pour chaque histoire de ces diagrammes les valeurs successives de \(\left ( T,\dot{T},z \right )\) de telle sorte que pour n’importe quelle température \(T\) le modèle connaisse les valeurs prises par la fonction \(f\) en \((T,\dot{T}(T),z(T))\) .

Afin de pouvoir, à partir d’un nombre réduit de données numériques, reconstituer de façon continue les évolutions thermométallurgiques, on formule quelques hypothèses sur les évolutions thermiques et sur le comportement métallurgique des aciers.

Règles d’interprétation des diagrammes TRC

Évolutions thermiques

Pour définir les histoires thermo-métallurgiques présentes dans un diagramme TRC il faut caractériser leurs évolutions thermiques. On peut remarquer que, dans un repère \(\left[\ln(t)-T\right]\) et pour des températures inférieures à \(820°C\), les histoires thermiques des diagrammes TRC peuvent, avec une assez bonne approximation, se déduire les unes des autres par une translation horizontale [:ref:r4.04.01-ExempleTRC`].

Il est donc possible de définir une histoire thermique \({T}^{i}(t)\) à partir de la donnée d’une courbe pilote \({T}_{p}(t)\) et de l’instant (en seconde) pour lequel cette histoire franchit l’isotherme 820°C par

(988)\[ {t}^{i}(T)=\exp\left\lbrace \ln\left[{t}_{p}(T)\right]+\ln\left[{t}^{i}(820)\right]-\ln\left[{t}_{p}(820)\right]\right\rbrace\]

où \({t}^{i}(T)\) et \({t}_{p}(t)\) désignent les fonctions réciproques de \({T}^{i}(t)\) et \({T}_{p}(t)\) .

En fait, on dispose plus facilement d’informations relatives aux vitesses de refroidissement des histoires thermo-métallurgiques des diagrammes TRC qu’à des instants de franchissement de l’isotherme \(820°C\). C’est en particulier le cas des aciers de soudage, dont les diagrammes TRC sont tracés dans un repère « vitesse de refroidissement à \(700°C\)-température ». Compte tenu de (988), on peut alors exprimer l’instant de franchissement de l’isotherme \(820°C\) en fonction de \({T}_{p}(t)\) et de \({\dot{T}}^{i}(700)\) et l’on obtient comme caractérisation de \({T}^{i}(t)\)

\[{t}^{i}(T)=\exp\left \lbrace F(T)-F(700)-\ln({\dot{T}}^{i}(700){F}^{'}(700))\right \rbrace\]

avec \(F(T)=\ln\left \lbrace {t}_{p}(T)\right \rbrace\) et, en particulier \({\dot{T}}^{i}(t(T))=\frac{1}{{F}^{'}(T){t}^{i}(T)}\)

Concrètement, on interpole la fonction \(F(T)\) par un polynôme de degré 5.

Une évolution thermique expérimentale est donc complètement définie par la donnée des coefficients du polynôme caractérisant sa courbe pilote et par sa vitesse de refroidissement à \(700°C\). La validation de cette méthode de paramétrisation des histoires thermiques « lues » sur les diagrammes TRC est présentée en [bib2].

Dans l’ensemble, et compte tenu des imprécisions relatives du tracé des diagrammes TRC, de la lecture de \({T}^{i}(t)\) et de la détermination de \({\dot{T}}^{i}(700)\), l’accord entre les histoires thermiques lues et recalculées semble très suffisant.

Si on dispose des enregistrements des évolutions thermiques des diagrammes TRC, on peut définir chaque évolution thermique expérimentale en considérant qu’elle est sa propre courbe pilote. Par ailleurs, dans le cas où les essais dilatométriques définissant le diagramme TRC utilisé pour l’identification du modèle sont réalisés avec des vitesses de refroidissement constantes, on caractérise ces cinétiques de refroidissement uniquement par leurs vitesses de refroidissement à \(700°C\) et une fonction \(F\) identiquement nulle.

Températures de début et fin de transformation

Un diagramme TRC fournit, pour une série d’histoires thermiques connues, les proportions des différents constituants métallurgiques qui se sont formés lors du refroidissement ainsi que les températures pour lesquelles on observe sur une courbe dilatométrique une variation sensible du coefficient global de dilatation de l’éprouvette [Courbes schématiques de dilatométrie]. Ces températures sont alors considérées comme les températures de début et de fin des transformations. Plus précisément:

• les températures de début de transformation indiquées sur les diagrammes TRC correspondent à 1 % de constituant déjà formé ;

• les températures de fin de transformation correspondent à la proportion finale du constituant en cours de formation moins 1 %.

Cinétiques des transformations ferritiques, perlitiques et bainitiques

L’observation d’une courbe dilatométrique montre que, sauf au voisinage des températures de début et de fin de transformation, l’évolution de la déformation en fonction de la température est quasiment linéaire.

Compte tenu de l’équation (982) l’évolution de la quantité de phase transformée en fonction de la température n’est alors pas très éloignée d’une fonction affine et on suppose donc que:

• pour les transformations ferritiques, perlitiques et bainitiques, la vitesse de transformation est, entre les températures expérimentales de début et de fin de transformation, une fonction linéaire de la température ;

• les vitesses de ces transformations sont deux fois plus lentes en début (de 0 à 1 % de constituant transformé) et en fin de transformation (de \({Z}^{f}-1 \%\) à \({Z}^{f}\) ) qu’entre les températures expérimentales de début et fin de transformation.

Transformations martensitiques

On suppose que les transformations martensitiques sont décrites par la loi de Koïstinen-Marbürger (986) et l’équation phénoménologique (987) exprimant \({M}_{s}\). On utilise alors chaque diagramme TRC pour déterminer les coefficients \(\beta\) , \(A\) et \({Z}^{s}_{\gamma}\) ainsi que la température \({M}_{s,0}\). Enfin, pour éviter que le modèle transforme systématiquement en martensite l’austénite restante lorsqu’on atteint la température \({M}_{s}\) , on introduit un paramètre supplémentaire, appelé TPLM, caractérisant (par sa vitesse de refroidissement à \(700°C\) ) la plus lente des cinétiques de refroidissement qui engendre une transformation martensitique. Plus précisément [Transformation martensitique]:

• \({M}_{s,0}\) est considérée comme la température de début de transformation martensitique lorsque celle-ci est totale;

• \(\beta\) est supposé constant et calculé de façon à vérifier, dans le cas d’une transformation martensitique totale \({Z}_{4}(M^f_s)=0,99\) où \(M^f_s\) est la température expérimentale de fin de transformation;

• \(A\) et \({Z}^{s}_{\gamma}\) sont déterminés par régression linéaire à partir des histoires thermo-métallurgiques expérimentales conduisant à une transformation martensitique partielle.

Fig. 158 Évolution de la température martensitique \(({M}_{s,0}-{M}_{s})\) en fonction de \(({Z_1}+{Z_2}+{Z_3})\) pour l’acier 16MND5 austénitisé cinq minutes à \(900°C\)

Effet de la taille de grain austénitique sur la cinétique des transformations au refroidissement.

Les transformations de phase procèdent par germination et croissance. L’étape de germination se fait essentiellement sur les joints de grain. La taille de grain de l’austénite joue donc un rôle important sur les transformations au refroidissement. Pour cette raison les diagrammes TRC sont établis pour des conditions d’austénitisation données et ne devraient en toute rigueur n’être utilisés que pour des conditions d’austénitisation similaires. Les résultats expérimentaux tendent à montrer que la taille de grain austénitique modifie plus les cinétiques de transformation que les température de début et de fin de transformations, ce qui se traduit relativement bien par une translation du diagramme TRC selon l’axe des temps. A chaque point \(M\) d’un diagramme TRC correspond le n-uplet \((T,\dot{T},z)\). Translater le TRC selon l’axe des temps revient à multiplier \(\dot{T}\) par un coefficient différent de l’unité (l’axe des temps est donné en échelle logarithmique) [bib15]. On définit donc une vitesse de refroidissement « efficace » \({\dot{T}}_{\text{eff}}\) :

\[{\dot{T}}^{\text{eff}}=\dot{T}\cdot \exp(a(d-{d}_{\text{ref}}))\]

avec \({d}_{\text{ref}}\) la taille de grain austénitique de référence du diagramme TRC (homogène à une longeur) et \(a\) un coefficient matériau (homogène à l’inverse d’une longueur).

La loi d’évolution retenue s’écrit donc:

\[\dot{z}(t)=f(T,{\dot{T}}_{\text{eff}},z,{M}_{s})=f(T,{\dot{T}}_{\text{eff}},z){\frac{\left[T-{M}_{s}\right]}{T-{M}_{s}}}^{+}\text{avec}z=\left\lbrace {Z}_{1},{Z}_{2},{Z}_{3}\right\rbrace .\]

Cette écriture a l’avantage de limiter l’interpolation à un seul diagramme TRC, de référence.

Remarque

On fait l’hypothèse que la germination et la croissance de la martensite sont considérées comme instantanées et que la densité des sites de nucléation a peu d’influence sur cette transformation. L’effet de la taille de grain ne concerne donc pas l’évolution de la phase martensitique et porte ici uniquement sur l’évolution des phases ferritique, perlitique et bainitique.

Saisie des diagrammes TRC

Compte tenu des hypothèses précédentes, la saisie des données expérimentales contenues dans les diagrammes TRC comprend donc:

• Pour le diagramme TRC:

  • la valeur de la taille de grain austénitique \({d}_{\text{ref}}\) du diagramme et qui sera la taille de grain de référence

  • le coefficient de translation \(a\) pour la prise en compte de l’effet de la taille de grain austénitique

  • la température de début de transformation martensitique totale \({M}_{s,0}\)

  • la valeur du coefficient \(\beta\) de la loi de Koïstinen-Marbürger (986)

  • la valeur des coefficients \(A\) et \({Z}^{s}_{\gamma}\) intervenant dans l’équation (987)

  • les valeurs des six coefficients du polynôme de degré cinq interpolant la fonction \(\ln\left[{t}_{p}(T)\right]\) (si l’on connaît explicitement les histoires thermiques, chacune d’elles est considérée comme étant sa propre courbe pilote et la définition de ses six coefficients est à renouveler pour chaque histoire)

• Pour chaque histoire thermique d’un diagramme TRC:

  • la vitesse de refroidissement à \(700°C\)

  • les proportions finales de ferrite, perlite et bainite \(Z^{f}_{1}\), \(Z^{f}_{2}\) et \(Z^{f}_{3}\)

  • les températures de début de chaque transformation \(T^{d}_{1}\), \(T^{d}_{2}\) et \(T^{d}_{3}\)

  • les températures de fin de chaque transformation \(T^{f}_{1}\), \(T^{f}_{2}\) et \(T^{f}_{3}\)

Les diagrammes TRC sont introduits par la commande DEFI_TRC.

La définition complète des modèles de comportement métallurgique (valeurs des paramètres \({Ar}_{3}\), température « quasi-statique » de transformation ferritique, de \({M}_{s,0}\), et la définition complète du modèle au chauffage et de croissance de grain austénitique) est réalisée au sein de la commande DEFI_MATERIAU sous le mot clé facteur META_ACIER.

Évaluation de la fonction d’évolution à partir des données expérimentales

Évaluation de la fonction d’évolution pour les histoires expérimentales

Compte tenu des hypothèses concernant l’évolution des transformations structurales associées aux histoires thermo-métallurgiques \({H}_{i}\) d’un diagramme TRC, on dispose donc d’un ensemble de solutions particulières paramétrées par \({d}_{\text{ref}}\) de l’équation différentielle (pour \(T \ge {M}_{s}\) ):

\[\dot{z}(t)=f(T,\dot{T},z;{d}_{\text{ref}})\]

qui permettent pour tout état thermo-métallurgique \({E}_{k}=\left\lbrace T,\dot{T},z;{d}_{\text{ref}}\right\rbrace\) d’une histoire expérimentale \({H}_{i}\) de calculer:

\[\dot{z}({E}_{k}(t))=f({E}_{k})\]

En effet :

\[\dot{z}({E}_{k}(t))=\frac{{dz}}{{dT}}({E}_{k})\dot{T}({E}_{k})\]

or, compte tenu des hypothèses de linéarité sur les évolutions de \({Z}_{i}(t)\) entre deux états consécutifs \({E}_{k}^{i}\) et \({E}_{k}^{i+1}\) d’une même histoire discrétisée:

\[\frac{{dz}}{{dT}}({E}_{k})=\frac{z({E}_{{k}^{i}})-z({E}_{{k}^{i+1}})}{T({E}_{{k}^{i}})-T({E}_{{k}^{i+1}})}\]

où \(\dot{T}({E}_{k})\) peut être estimée par dérivation de l’expression analytique retenue pour représenter \({T}_{i}(t)\) .

Ainsi, on peut, pour toute température \(T\), connaître les valeurs prises par la fonction \(f\) en les états thermo-métallurgiques \({E}_{i}=\left\lbrace T,{\dot{T}}_{i}(T),{Z}_{i}(T);{d}_{\text{ref}}\right\rbrace\) où l’indice \(i\) fait référence aux histoires connues expérimentalement.

Calcul de l’avancement des transformations pour un état quelconque

Il s’agit, connaissant \(T,\dot{T},z,{M}_{s}\) et \(d\) à un instant \(t\) donné, de déterminer les valeurs des variables métallurgiques à l’instant \((t+\Delta t)\) suivant. Plus précisément :

• Si \(T(t) \ge {Ar}_{3}\) ou si \(\dot{T}>0\), alors le modèle de transformation métallurgique au refroidissement est inactif

• Si \({Ar}_{3}>T(t)\ge {M}_{s}(t)\)

  • alors \(\dot{z}(t)=f(T,\dot{T},z;d)=f(T,{\dot{T}}_{\text{eff}},z;{d}_{\text{ref}})\) et \(z(t+\Delta t)=z(t)+\dot{z}(t)\Delta t\)

  • puis on met à jour la température de transformation martensitique:

    \[{M}_{s}(t+\Delta t)={{M}_{s}}_{0}+A{\left[\sum_{i=1}^{i=3}{Z}_{i}(t+\Delta t)-{Z}^{s}\right]}^{+}\]

  • Si \(T(t+\Delta t)\ge {M}_{s}(t+\Delta t)\) alors \({Z}_{4}(t+\Delta t)={Z}_{4}(t)\)

  • Sinon

    \[{Z}_{4}(t+\Delta t)=\left[1-\sum_{i=1}^{i=3}{Z}_{i}(t+\Delta t)\right]\left\lbrace 1-\exp(\beta {\left[{M}_{s}(t+\Delta t)-T(t+\Delta t)\right]}^{+})\right\rbrace\]

• Si \(T(t)<{M}_{s}(t)\), alors

  • alors \(z(t+\Delta t)=z(t)\) et \({M}_{s}(t+\Delta t)={M}_{s}(t)\)

  • et

    \[{Z}_{4}(t+\Delta t)=\left[1-\sum_{i=1}^{i=3}{Z}_{i}(t+\Delta t)\right]\left\lbrace 1-\exp(\beta ({d}){\left[{M}_{s}(t+\Delta t)-T(t+\Delta t)\right]}^{+})\right\rbrace\]

Dans le cas où \({Ar}_{3}>T(t) \ge {M}_{s}(t)\) , on détermine (grâce à l’hypothèse de régularité de \(f\) ) la valeur prise par \(f\) en \((T,\dot{T},z;d)\) à partir de la connaissance, pour toute température \(T\), des valeurs prises par \(f\) en les états thermo-métallurgiques \({E}_{i}\left\lbrace T,{\dot{T}}_{i}(T),{Z}_{i}(T);{d}_{\text{ref}}(T)\right\rbrace\) des histoires connues expérimentalement, où \({{\dot{T}}_{i}}(T)\) est la vitesse de refroidissement pour l’histoire \({H}_{i}\) à la température \(T\) (obtenue par interpolation).

Plus précisément, on va déterminer une approximation linéaire de \(f\) au voisinage de \((T,\dot{T},z;d)\) . \(f\) est une fonction de \({\mathbb{R}}^{5}\) (car la dépendance par rapport au paramètre \(d\) est incluse dans la modification éventuelle de la vitesse de refroidissement courante) dans \(\mathbb{R}\) , déterminer une approximation linéaire de \(f\) au voisinage de \((T,\dot{T},z;d)\) revient à déterminer l’équation d’un hyperplan dans \({\mathbb{R}}^{6}\) et donc de disposer de la valeur prise par \(f\) en six points \(\left\lbrace {E}_{i}{f}({E}_{i})\right\rbrace\) « proches » de \((T,\dot{T},z;d)\).

Concrètement, les étapes de cette interpolation des valeurs de \(f\) en \((T,\dot{T},z;d)\) sont les suivantes:

• on calcule une température « efficace » \({\dot{T}}_{\text{eff}}\) permettant de tenir compte de l’effet de la taille de grain austénitique si elle est différente de celle du diagramme, et on cherche alors la valeur prise par \(f\) en \((T,{\dot{T}}_{\text{eff}},z;{d}_{\text{ref}})\)

• on calcule pour toutes les histoires expérimentales \({H}_{i}\) connues les valeurs prises par la fonction \(f\) en les états thermo-métallurgiques suivants (afin de connaître un ensemble de valeurs de \(f\) dans un voisinage de \((T,{\dot{T}}_{\text{eff}},z;{d}_{\text{ref}})\) assez dense en température):

  \[{E}_{i}^{1}(t)=\left\lbrace T,{\dot{T}}_{i}(T),{Z}_{i}(T);{d}_{\text{ref}}(T)\right\rbrace\]
  \[{E}_{i}^{2}(t)=\left\lbrace T+5°C,{\dot{T}}_{i}(T+5°C),{Z}_{i}(T+5°C);{d}_{\text{ref}}(T+5°C)\right\rbrace\]
  \[{E}_{i}^{3}(t)=\left\lbrace T-5°C,{\dot{T}}_{i}(T-5°C),{Z}_{i}(T-5°C);{d}_{\text{ref}}(T-5°C)\right\rbrace\]

• on détermine les six plus proches voisins de \(E(t)=\left\lbrace T(t),{\dot{T}}_{\text{eff}}(t),z(t);{d}_{\text{ref}}(t)\right\rbrace\) parmi tous les \({E}_{i}^{j}(t)(j=1,3)\) définissant le comportement métallurgique du matériau au voisinage de la température \(T(t)\) en minimisant la distance de \(E(t)\) à chacun des \({E}_{i}^{j}(t)\)

• on calcule les coordonnées barycentriques de \(E(t)\) par rapport à ses plus proches voisins \({E}^{v}(t)(v=1,6)\). Pour cela, on résout le système linéaire associé à ce calcul au sens des moindres carrés et en choisissant la solution de norme minimale dans le cas où son déterminant est nul (c’est le cas lorsque les plus proches voisins appartiennent à une variété affine de dimension inférieure à six, pour résoudre un tel système, voir [Résolution de systèmes non réguliers par une méthode de décomposition en valeurs singulières])

• on ne retient que les voisins \({E}^{w}(t)(w \le 6)\) tels que toutes les coordonnées barycentriques \({\lambda}_{w}\) de \(E(t)\) soient positives (afin que \(E(t)\) soit situé à l’intérieur du polyèdre convexe s’appuyant sur ces points);

• on calcule alors:

  \[\dot{z}({E}_{k}(t))=f({E}_{k})= \frac{{\lambda}_{w} f\left[{E}^{w}(t)\right]}{\sum_{w}{\lambda}_{w}}\]

• enfin, on calcule \(z\) au pas de temps suivant \(z(t+\Delta t)\) selon le schéma explicite suivant

  \[z(t+\Delta t)=z(t)+\dot{z}(t)\Delta t\]

Remarque

La définition d’une distance utilisée dans le critère de proximité n’est pas évidente, compte tenu du caractère non adimensionnel de l’espace des \(\left\lbrace T,\dot{T},z,d\right\rbrace\) . Actuellement, la recherche des plus proches voisins s’effectue en adimensionnalisant simplement chacune des variables mais on pourrait envisager d’introduire des coefficients de pondération dans chaque « direction » (\(T\) , \(\dot{T}\) ou \(z\) ) afin de rendre compte d’un rôle prépondérant joué par telle ou telle variable.

Modèle de comportement métallurgique au chauffage

Hypothèses

Lors du chauffage, la seule transformation susceptible de se produire est la transformation en austénite, dont on suppose la vitesse indépendante de la vitesse de chauffage. Par ailleurs, on suppose également que l’ensemble des phases ferritique, perlitique, bainitique et martensitique se transforment de façon identique en austénite. Ces hypothèses sont généralement communes à l’ensemble des modèles d’austénitisation [bib9], [bib10] et [bib11]. Par conséquent le modèle retenu est de la forme:

\[{\dot{z}}_{\gamma}=f(T,{Z}_{\gamma})\]

On rappelle que le modèle de transformation métallurgique proposé par Leblond et Devaux et implanté dans le code Sysweld [bib11] est de la forme (pour les transformations au chauffage et au refroidissement):

\[\dot{Z}(T,Z)=\lambda \frac{{Z}_{\mathrm{eq}}(T)-Z}{\tau (T)}\]

où, pour la transformation austénitique, le paramètre \(\lambda\) est pris constant.

Les éléments de comparaison à l’expérience présentés en [bib11], [bib12] et [bib13] montrent que, moyennant l’identification des fonctions \({Z}_{\mathrm{eq}}(T)\) et \(\tau (T)\) à partir d’essais à différentes vitesses de chauffage, ce modèle permet une description tout à fait satisfaisante de la transformation austénitique des aciers. Néanmoins, il semble que l’identification de la fonction \(\tau (T)\) reste difficile [bib4].

Le modèle de transformation austénitique est de la forme:

\[{\dot{Z}}_{\gamma}(T,{Z}_{\gamma})=\frac{{Z}_{\mathrm{eq}}(T)-{Z}_{\gamma}}{\tau (T)}\]

mais avec une forme simple pour la fonction \(\tau (T)\), afin de garder un ensemble de modèles métallurgiques d’identification facile et rapide.

Forme du modèle retenu

Sous sa forme continue, le modèle retenu est tel que:

(989)\[{\dot{z}}_{\gamma}(T,{Z}_{\gamma})=\frac{{Z}_{\mathrm{eq}}(T)-{Z}_{\gamma}}{\tau (T)}\]

où \({Z}_{\gamma}\) désigne la proportion d’austénite. La fonction \({Z}_{\mathrm{eq}}(T)\) est telle que

(990)\[\begin{split}{Z}_{\mathrm{eq}}(T)=\left \lbrace \begin{array}{cl}0& \text{si }T\le {Ac}_{1}\\ \frac{T-{Ac}_{1}}{{Ac}_{3}-{Ac}_{1}}& \text{si }{Ac}_{1}\le T\le {Ac}_{3}\\ 1& \text{si }T\ge {Ac}_{3}\end{array} \right .\end{split}\]

avec \({Ac}_{1}\) et \({Ac}_{3}\) des constantes positives. La fonction \(\tau (T)\) est telle que

(991)\[\begin{split}\tau(T)=\left \lbrace \begin{array}{cl}{\tau}_{1}& \text{si }T\le {Ac}_{1}\\ {\tau}_{1}+\frac{T-{Ac}_{1}}{{Ac}_{3}-{Ac}_{1}}({t}_{3}-{t}_{1})& \text{si }{Ac}_{1}\le T\le {Ac}_{3}\\ {\tau}_{3}& \text{si }T\ge {Ac}_{3}\end{array} \right .\end{split}\]

avec \({\tau}_{1}\) et \({\tau}_{3}\) des constantes positives.

La définition de la fonction \({Z}_{\mathrm{eq}}(T)\) est identique à celle donnée par Leblond et Devaux en [bib11] et [bib12]. Elle correspond à l’évolution du taux d’austénite transformée pour des vitesses de chauffage très faibles. En effet, à température \(T\) fixée, \({Z}_{\mathrm{eq}}(T)\) est la solution asymptotique vers laquelle tend la solution de l’équation différentielle (989) avec la constante de temps \(\tau (T)\). Pour des vitesses de chauffage faibles, la solution asymptotique peut être considérée comme atteinte à chaque instant et \({Z}_{\mathrm{eq}}(T)\) correspond donc à l’évolution du taux d’austénite transformée lors d’évolutions « quasi-statiques ». La fonction \({Z}_{\mathrm{eq}}(T)\) est donc entièrement définie par la donnée de \({Ac}_{1}\) et \({Ac}_{3}\) qui se fait sous les mots clés simples AC1 et AC3 sous le mot clé facteur META_ACIER de la commande DEFI_MATERIAU.

Dans le modèle proposé par Leblond et Devaux, la forme de la fonction \(\tau (T)\) n’est pas précisée et cette fonction est identifiée de façon à obtenir un accord satisfaisant entre les températures de début et de fin de transformation expérimentales et calculées. Afin d’obtenir un modèle d’identification simple et rapide nous avons choisi une forme simple pour la fonction \(\tau (T)\). Plus précisément, pour pouvoir intégrer l’équation d’évolution (989), on a tout d’abord considéré le cas où la fonction \(\tau (T)\) est constante. Dans ce cas, on peut alors proposer deux possibilités d’identification simple de cette fonction \(\tau\) constante. La première possibilité consiste à identifier une valeur \({\tau}_{1}\) de \(\tau\) permettant de décrire correctement le début des transformations alors que la seconde consiste à identifier une valeur \({\tau}_{3}\) de \(\tau\) permettant de décrire correctement la fin des transformations. On a alors testé le modèle obtenu avec une fonction \(\tau (T)\) affine définie à partir des valeurs \({\tau}_{1}\) et \({\tau}_{3}\) définies ci-dessus. Les résultats obtenus étant tout à fait satisfaisants et comparables à ceux obtenus avec le modèle disponible dans Sysweld, on a choisi d’introduire un modèle où la fonction \(\tau (T)\) est affine et est définie par \({\tau}_{1}\) et \({\tau}_{3}\) qui sont renseignés avec AC1 et AC3.

Intégration de l’équation d’évolution

On a choisi d’intégrer l’équation d’évolution (989) exactement en \({Z}_{\gamma}\) et explicitement en \(\dot{T}\) et \(\tau\) sur chaque pas de temps (i.e. en considérant \(\dot{T}\) et \(\tau\) constantes sur le pas et égales à leurs valeurs en début de pas de temps). On obtient alors:

\[{Z}_{\gamma}(t+\Delta t)=\frac{-\tau (t)\dot{T}(t)}{{Ac}_{3}-{Ac}_{1}}+{Z}_{\mathrm{eq}}(t+\Delta t)-\left\lbrace -\frac{\tau (t)\dot{T}(t)}{{Ac}_{3}-{Ac}_{1}}+{Z}_{\mathrm{eq}}(t)-{Z}_{\gamma}(t)\right\rbrace \exp\left[-\frac{\Delta t}{\tau (t)}\right]\]

L’évolution conséquente des proportions de tous les autres constituants métallurgiques est alors définie par:

\[{Z}_{i}(t+\Delta t)={Z}_{i}(t) \left ( 1-\frac{{Z}_{\gamma}(t+\Delta t)-{Z}_{\gamma}(t)}{1-{Z}_{\gamma}(t)} \right )\]

Autrement dit, chacune des phases présentes est transformée en austénite à concurrence de sa proportion en début de pas de temps.

Évolution de la taille de grain austénitique au chauffage

Une fois austénisé, l’acier voit sa taille de grain augmenter plus ou moins rapidement en fonction de la température, mais cette croissance a toujours lieu puisque l’austénite apparaît avec une taille de grain nulle . La croissance de grain austénitique est un processus thermiquement activé. Le modèle de croissance choisi est celui de Grey et Higgins, adapté pour traiter le matériau en cours de transformation [bib15]

Modèle de croissance:

\[\frac{d}{{dt}}(d)=\frac{1}{\lambda}\left (\frac{1}{d}-\frac{1}{{d}_{\lim}} \right)\]

Croissance en cours de transformation, l’austénite apparaissant avec une taille de grain nulle:

\[\frac{d}{{dt}}(d)=\frac{1}{\lambda}\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{{d}_{\lim}}\right )-\frac{{dz}/{dt}}{z}d\]

où l’on a \(\lambda ={\lambda}_{0}\cdot \exp \left(\frac{{Q}_{\text{app}}}{R T} \right )\) et \({d}_{\lim}={d}_{10}\exp \left (-\frac{{W}_{\text{app}}}{R T} \right )\) . Avec les paramètres suivants:

• \(z\) est la proportion de la phase austénitique

• \(d\) est le diamètre de grain austénitique (homogène à une longueur)

• \({d}_{\lim}\) est la taille de grain limite, dépendant de \({d}_{10}\), paramètre matériau homogène à une longueur

• \({Q}_{\text{app}}\) et \({W}_{\text{app}}\) sont des paramètres matériaux homogènes à des énergies d’activation (\({{J.mol}}^{-1}\) )

• \(R\) est la constante des gaz parfaits (\(\text{8,314 } {{J.K}}^{-1}.{{mol}}^{-1}\) )

• \({d}_{10}\) est un paramètre matériau homogène à des secondes par unité de longueur

Les paramètres matériaux sont à renseigner sous le mot-clé META_ACIER de DEFI_MATERIAU.

Traitement numérique

Le calcul de la taille de grain est effectué après le calcul de proportion de phase et l’intégration de l’équation d’évolution est faite suivant un schéma implicite en \(d\)

\[d={d}^{-}+\Delta d\]

avec l’incrément \(\Delta d\)

\[\Delta d=\frac{1}{\lambda} \left ( \frac{1}{d}-\frac{1}{{d}_{\lim}} \right )\cdot \Delta t-\frac{\Delta z}{{z}^{+}}\cdot d\]

On résout une équation du second degré en \(d\).

Sens de l’évolution métallurgique

Dans un calcul de structure, certaines zones peuvent subir un échauffement pendant que d’autres se refroidissent. De plus, sous certaines conditions, une transformation austénitique initiée lors du chauffage peut se poursuivre au début du refroidissement. Il n’existe donc pas, à proprement parler, un modèle de transformation austénitique et un modèle de transformation au refroidissement mais un seul modèle de transformations métallurgiques qui selon la température considérée et le signe de la vitesse d’évolution thermique est décrit soit par le modèle de décomposition de l’austénite, soit par le modèle de formation de l’austénite.

Le sens de l’évolution métallurgique (c’est-à-dire formation ou décomposition de l’austénite) est déterminé comme suit:

• Si la température est telle que \(T(t+\Delta t) <{Ac}_{1}\), il y a deux cas:

  • Si la vitesse est (strictement) positive \(\dot{T}(t) > 0\), on utilise la modèle de formation de l’austénite

  • Si la vitesse est négative ou nulle \(\dot{T}(t) \le 0\), on utilise la modèle de décomposition de l’austénite

• Si la température est telle que \(T(t+\Delta t) \in \left[ {Ac}_{1}, {Ar}_{3} \right ]\), on a quatre cas:

  • Si la vitesse est positive \(\dot{T}(t) > 0\), on utilise la modèle de décomposition de l’austénite

  • Si la vitesse est nulle \(\dot{T}(t) > 0\) et si \(z_{\gamma} \ge {Z}_{\mathrm{eq}}\), on utilise la modèle de décomposition de l’austénite

  • Si la vitesse est nulle \(\dot{T}(t) > 0\) et si \(z_{\gamma} < {Z}_{\mathrm{eq}}\), on utilise la modèle de formation de l’austénite

  • Si la vitesse est négative \(\dot{T}(t) < 0\), on utilise la modèle de formation de l’austénite

• Si la température est telle que \(T(t+\Delta t) > {Ar}_{3}\), on utilise la modèle de formation de l’austénite

Remarque

\({Ar}_{3}\) est également une caractéristique du comportement métallurgique au refroidissement déjà définie par le modèle de transformation au refroidissement.

Identification du modèle au chauffage

Détermination de la fonction \({Z}_{\mathrm{eq}}(T)\)

La fonction \({Z}_{\mathrm{eq}}(T)\) peut être considérée comme la solution quasi-statique de l’équation différentielle (989) et on choisit de la définir (comme en [bib11]) par la relation (990).

Dans cette expression, les températures \({Ac}_{1}\) et \({Ac}_{3}\) sont les températures quasi-statiques « théoriques » de début et de fin de transformation austénitique qui correspondent à un taux d’austénite formé encore égal à zéro ou déjà égal à un.

En fait, ces températures sont difficiles à déterminer expérimentalement et on considère généralement que les températures quasi-statiques de début et fin de transformation austénitique déterminées expérimentalement correspondent, respectivement, à 5 et 95 % d’austénite formée.

Autrement dit, si l’on note \(\widehat{Ac}_{1}\) et \(\widehat{Ac}_{3}\) ces températures, elles vérifient

(992)\[{Z}_{\mathrm{eq}}(\widehat{Ac}_{1})=0,05 \text{ et } {Z}_{\mathrm{eq}}(\widehat{Ac}_{3})=0,95\]

Pour déterminer \(\widehat{Ac}_{1}\) et \(\widehat{Ac}_{3}\), on peut utiliser des essais de dilatométrie à faible vitesse de chauffage ou appliquer des formules de la littérature reliant les températures quasi-statiques de début et de fin de transformation austénitique à la composition des aciers. En général ces températures sont également indiquées sur les diagrammes TRC utilisés pour l’identification du modèle de transformation au refroidissement ou peuvent être estimées à l’aide de formules connaissant la composition de l’acier [bib4].

Enfin, connaissant \(\widehat{Ac}_{1}\) et \(\widehat{Ac}_{3}\), on peut alors déterminer les températures \({Ac}_{1}\) et \({Ac}_{3}\) définissant la fonction \({Z}_{\mathrm{eq}}(T)\) à partir des deux équations (992) ci-dessus.

Un exemple complet d’identification du modèle de transformation austénitique est présenté en [bib4].

Détermination de la fonction \(\tau(T)\)

De manière générale, il n’est pas aisé de dégager un moyen d’identification simple et rapide de la fonction \(\tau (T)\). C’est la raison pour laquelle on propose d’adopter pour cette fonction la forme simplifiée ci-dessous.

Si \({Ac}_{1}\le T \le {Ac}_{3}\) :

\[\tau (T)={\tau}_{1}+\frac{T-{Ac}_{1}}{{Ac}_{3}-{Ac}_{1}}({\tau}_{3}-{\tau}_{1})\]

où \({\tau}_{1}\) et \({\tau}_{3}\) sont des constantes positives.

Pour la phase d’identification, on considère en premier lieu le cas particulier où \(\tau\) est constante entre \({Ac}_{1}\) et \({Ac}_{3}\) . On propose alors deux types d’identification permettant de déterminer soit une valeur \({\tau}_{1}\) de \(\tau\) cohérente avec les températures expérimentales de début de transformation, soit une valeur \({\tau}_{3}\) de \(\tau\) cohérente avec les températures expérimentales de fin de transformation.

On présente en [bib4] les résultats obtenus par ces deux identifications et on montre (sans autre forme de justification théorique) que la fonction \(\tau (T)\) affine définie avec les valeurs \({\tau}_{1}\) et \({\tau}_{3}\) précédemment déterminées permet d’obtenir un accord avec l’expérience tout à fait comparable à celui obtenu avec le modèle de Leblond.

Identification de \({\tau}_{3}\) à partir de \(\widehat{Ac}_{3}\)

Pour \(\dot{T}\) et \(\tau\) constantes et la condition initiale \({Z}_{\gamma}({Ac}_{1})=0\), la solution de l’équation d’évolution (989) est (tant que \({Z}_{\mathrm{eq}}^{'}(T)\) est constante, c’est-à-dire tant que \(T\le {Ac}_{3}\) ) :

\[{Z}_{\gamma}(T)={Z}_{\mathrm{eq}}(T)-\tau {Z}_{\mathrm{eq}}^{'}(T) \dot{T} \left ( 1-\exp\left[\frac{{Ac}_{1}-T}{\tau \dot{T}}\right] \right )\]

En particulier, on a donc, pour \(T=\widehat{Ac}_{3}\):

\[0,95={Z}_{\mathrm{eq}}(`\widehat{Ac}_{3}`)-\tau{Z}_{\mathrm{eq}}^{'}({Ac}_{3}) \dot{T} \left ( 1-\exp\left[\frac{{Ac}_{1}-\widehat{Ac}_{3}}{\tau \dot{T}}\right] \right )\]

Un essai de dilatométrie à vitesse de chauffage constante (et non très faible) permet alors de déterminer la valeur \({\tau}_{3}\) de \(\tau\) permettant de réaliser l’accord entre les valeurs expérimentales et calculées de \(\widehat{Ac}_{3}\). On présente en [bib4] des comparaisons entre expérience et calcul obtenues en identifiant ainsi la fonction \(\tau\) considérée comme constante.

Identification de \({\tau}_{1}\) à partir de \(\widehat{Ac}_{1}\)

De la même façon que précédemment, on peut également écrire, pour \(T=\widehat{Ac}_{1}\) :

\[0,05={Z}_{\mathrm{eq}}(\widehat{Ac}_{1})-\tau {Z}_{\mathrm{eq}}^{'}(T)\dot{T} \left (1-\exp\left[\frac{{Ac}_{1}-\widehat{Ac}_{1}}{\tau \dot{T}}\right] \right)\]

Là encore, disposant d’un essai à vitesse de chauffage constante, l’équation précédente permet de déterminer une valeur \({\tau}_{1}\) de \(\tau\) permettant d’obtenir un bon accord sur les températures \(\widehat{Ac}_{1}\) calculées et expérimentales.

Modèle de calcul de dureté

Les calculs métallurgiques peuvent être complétés par un calcul de dureté de “trempe” associé à la structure métallurgique.

Le modèle choisi utilise l’hypothèse selon laquelle la dureté d’un point matériel polyphasé est bien représentée par une loi de mélange linéaire des microduretés des constituants (ici phases austénite, ferrite, perlite, bainite et martensite). Les microduretés sont prises comme étant des constantes du matériau et de la phase considérée.

Le modèle s’écrit \(H_{V}=\sum_{k}{Z}_{k}{H_{V}}_{k}\) avec \(H_{V}\) la dureté (ici Vickers par exemple) du point polyphasé, \({Z}_{k}\) la proportion de la phase \(k\) et \({H_{V}}_{k}\) la dureté de la phase \(k\) .

Bien qu’assez simple, ce modèle donne des résultats très corrects, voir [bib14].

Le calcul de dureté se fait par l’intermédiaire de l’opérateur de post-traitement CALC_META avec option DURT_ELGA pour les calculs de dureté aux points de Gauss et DURT_ELNO pour les calculs aux nœuds par éléments.

Les duretés des différentes phases métallurgiques sont des données matériaux fournies par l’utilisateur sous le mot-clé facteur DURT_META de l’opérateur DEFI_MATERIAU.

Modèle de revenu

Introduction

Un traitement thermique dits de « revenu » est un traitement thermique effectué à des températures inférieures aux températures de transformations allotropiques des métaux. Dans le cas des aciers, il s’agit de la température d’austénisation.

Dans le contexte du soudage, il s’agit d’une opération effectuée volontairement pour relâcher les contraintes à l’issue du procédé. De manière micro-structurale, le refroiddisement de l’acier et son passage d’une phase \(\gamma\) (austénite) à des phases \(\alpha\) (ferrite, bainite, perlite, martensite) est métastable.

Nous passons alors d’une phase « brute de trempe » à une phase dite de « revenu ». En pratique, seules la bainite et la martensite sont concernées par ces changements métallurgiques et les propriétés mécaniques de ces deux phases sont différentes (propriétés de revenus proches de la ferrite).

Principes du modèle

Le modèle proposé se base sur les travaux de Y. Vincent [bib16] . On considère la cinétique de température suivante représentative d’une cinétique thermique de soudage observée en un point sur la figure [Cinétique thermique de revenu]

Fig. 159 Cinétique thermique de revenu

La phase de revenu est une phase de chauffe qui commence à une température \(T^r\) ( \(T^r \approx 550°C\)), qui atteint une température d’environ 700°C (inférieure à la température d’austénitisation \(Ac_3\)) et qui rediminue jusqu’à \(T^r\).

Le modèle mathématique utilisé pour modéliser cette pseudo-transformation est identique à celui utilisé pour les cinétiques des transformations diffusionnelles développées par Leblond [bib11].

On note:

• \({Z}^{r}(t)\) la proportion de phase revenue à chaque instant du cycle thermique précédent

• \({Z}^{b}(t)\) la proportion de phase brute de trempe à chaque instant du cycle thermique précédent

• \({\tilde{Z}}^{r} = \frac{{Z}^{r}}{{Z}^{b}}\) est la proportion de phase revenue par rapport à la phase brute

On considère une loi de type Johnson-Mehl-Avrami pour décrire l’évolution du pourcentage de phase revenue \({\tilde{Z}}^{r}\) en fonction du temps de maintien \(t^{*}\) à une température \(T^{m}\)

(993)\[ {\tilde{Z}}^{r}(t^{*})=\left ( 1 - \exp\left\lbrace -b ({t^{*}})^n \right\rbrace \right )\]

avec \(b=b(T^{m})\) et \(n(T^{m})\) des caractéristiques du matériau à identifier qui dépendent de la température de maintien \(T^{m}\). On suppose que la température est constante entre deux instants.

Soit la liste d’instants \(t_i\) avec \(i \in [0, N]\) permettant une description discrétisée d’une cinétique de température \(T\). On note \(\Delta t = t_{i+1} - t_{i}\) Sous l’hypothèse \(T_{i+1} = T(t_{i+1})\) entre \(t_i\) et \(t_{i+1}\), la valeur du pourcentage de phase revenue à l’instant \(t_{i+1}\) est donnée par l’expression suivante

(994)\[ {\tilde{Z}}^{r}(t_{i+1})=\left ( 1 - \exp\left\lbrace -b (T_{i+1}) ({ \tau_{i+1}} + \Delta t )^{n(T_{i+1})} \right\rbrace \right )\]

avec

(995)\[\tau_{i+1} = \left ( \frac{- \log \left( 1 - {\tilde{Z}}^{r}(t_{i})\right )}{b(T_{i+1})} \right )^{\frac{1}{n(T_{i+1})}}\]

Identification des paramètres du modèle

On suppose connues un nombre \(N_c\) limité de couples de valeurs \(\left( {\tilde{Z}}^{r}_k, t^{*}_k \right )_{k=1,N_c}\) qui associent un pourcentage de phase revenu à un temps de maintien thermique appliqué à une même température donnée \(T_d\).

L’application de (993) permet d’avoir une estimation du pourcentage de phase revenue à l’instant \(t=t_1\):

(996)\[ {\tilde{Z}}^{r}(t=t_1)= {\tilde{Z}}^{r}(t^{*} = \Delta t) = \left ( 1 - \exp\left\lbrace -b ({t^{*}})^n \right\rbrace \right )\]

On trouve donc une relation entre \({\tilde{Z}}^{r}\) et \(t^{*}\)

(997)\[\log\left( t^{*} \right ) = \frac{1}{n} \log\left( -\log\left( 1- {\tilde{Z}}^{r} \right) \right ) - \frac{1}{n} \log \left( b \right )\]

On fait un changement de variable en notant \(x = \log\left( -\log\left( 1- {\tilde{Z}}^{r} \right) \right )\) et \(y=\log\left( t^{*} \right )\), on peut déterminer par régression linéaire la droite \(y=\frac{1}{n} x + \frac{1}{n} \log (b)\).

Les données disponibles sont issues de la thèse de Yannick Vincent [bib16]. Ces données caractérisent l’évolution de la dureté de la bainite et celle de la martensite lors d’un maintien isotherme d’une durée d’une heure, pour différentes températures de maintien comprises entre 546°C et 700°C.

Pour la bainite, on a

Tableau 43 Variation de la dureté de la bainite en fonction de la durée et de la température de maintien isotherme

Température	Temps de maintien	Dureté Vickers
546°C	1h	\(270\)
550°C	1h	\(268\)
600°C	1h	\(243\)
625°C	1h	\(232\)
650°C	1h	\(221\)
675°C	1h	\(211\)
700°C	1h	\(201\)
700°C	100h	\(168\)

On a \(H_{V,b}^{min}=168\) et \(H_{V,b}^{max}=271\). Pour la martensite:

Tableau 44 Variation de la dureté de la martensite en fonction de la durée et de la température de maintien isotherme

Température	Temps de maintien	Dureté Vickers
546 °C	1 h	330
550 °C	1 h	327
575 °C	1 h	306
600 °C	1 h	286
625 °C	1 h	268
650 °C	1 h	250
675 °C	1 h	234
700 °C	1 h	218
700 °C	10 h	191

avec \(H_{V,m}^{max}=405\) et \(H_{V,m}^{min}=165\). Pour trouver la proportion de phase revenue \({\tilde{Z}}^{r}_{{\alpha_{\alpha}}}\), on applique la formule suivante à partir de la dureté \(H_{V,{\alpha_{\alpha}}}\) (avec \({{\alpha_{\alpha}}}=b \text{ ou } {{\alpha_{\alpha}}}=m\) pour la bainite et pour la martensite) pour un temps de maintien \(t^{*}\) et une température \(T^m\)

(998)\[{\tilde{Z}}^{r}_{{\alpha_{\alpha}}}(T^m, t^{*}) = \frac{H_{V,{\alpha_{\alpha}}}^{max}-H_{V,{\alpha_{\alpha}}}(T^m, t^{*})}{H_{V,{\alpha_{\alpha}}}^{max}-H_{V}^{min,{\alpha_{\alpha}}}}\]

Mais ces données sont insuffisantes pour déterminer les paramètres du modèle de revenu étant donné que pour une même température de maintien, on associe peu de durées de maintien voire une seule durée. Ces données sont alors complétées en considérant la relation suivante dite d’équivalence temps-température.

(999)\[P_{a}(T, t^{*}) = \left ( \frac{1}{T} - \frac{n R}{\Delta H} \log\left( \frac{t^{*}}{t_{0}} \right) \right)^{-1}\]

avec \(t_0\) l’unité de temps (pour adimensionner le rapport \(\frac{t^{*}}{t_{0}}\) ), \(n=\log(10)\approx 2,3\) le logarithme néperien de 2, \(R\) la constante des gaz parfaits et \(\Delta H\) la chaleur d’activation du phénomène étudié. On notera \(c_0 = \frac{n R}{\Delta H}\) le coefficient (sans unité) d’activation.

Cette équation permet d’exprimer le temps de maintien \(t^{*}_{i}\) à une température \(T_i\) pour observer le même phénomène que ceux obtenus (expérimentalement par exemple) par un temps de maintien \(t^{*}_{j}\) à une température \(T_j\) .

(1000)\[t^{*}_i = \exp{ \left ( \frac{1}{c_0} \left( \frac{1}{T_i} - \frac{1}{P_{a}(T_j, t^{*}_j)} \right) \right )}\]

En fixant une température de maintien différente (par exemple 610°C) de celle des essais précédents, on a suffisament de points pour déterminer \(b_{{\alpha_{\alpha}}}(610)\) et \(n_{{\alpha_{\alpha}}}(610)\).

Algorithme de résolution

Le revenu introduit donc deux phases supplémentaires: la bainite revenue et la martensite revenue. Par convention la bainite (ou la martensite) « brute » de trempe sera désignée par bainite (ou martensite) du modèle sans revenu.

L’algorithme de ce post-traitement s’appuie sur les éléments suivants qui décrivent les conditions d’activation du phénomène de revenu :

• La température est supposée constante sur un incrément de temps \(\Delta t = t_{i+1} - t_{i}\) et elle égale à \(T = T(t_{i+1})\)

• Le domaine de température concerné est \(T \in \left[T^r, {Ac}_3 \right]\)

• Le revenu n’est activé qu’à la suite d’un cycle thermique complet de soudage qui aurait généré une phase martensitique ou bainitique dite brute de trempe. Pour cela on introduit un indicateur, noté \({I}^{th}\), qui prendra les valeurs suivantes :

  • Le cycle vaut \({I}^{th} = 2\) si on a vu un cycle thermique complet, i.e. \(T^{max} > {Ac}_3\) et la proportion de phase brute de trempe (bainite ou martensite) est strictement supérieure à zéro \(Z^{b}_{\alpha_{\alpha}} > 0\)

  • Le cycle vaut \({I}^{th} = 1\) si le premier cycle thermique est en cours et la phase brute de trempe est différente de 0 \(Z^{b}_{\alpha_{\alpha}} > 0\)

  • Le cycle vaut \({I}^{th} = 0\) pour les autres cas.

La valeur de cet indicateur est estimée en chaque nœud et pour chaque instant. C’est une variable interne du modèle.

L’algorithme est le suivant, pour une phase bainitique ou martensitique notée de manière générale par \({\alpha_{\alpha}}\). On se place à l’instant \(t_{i+1}\) et à la température \(T_{i+1}\) (sur chaque noeud), avec \(\Delta t\) l’incrément de temps et \(\Delta T = T_{i+1}-T_{i}\) l’incrément de température. On note \(T^r\) la température de revenu et \(T^m\) la température de maintien (différente de celle des données expérimentales). Une première phase a calculé les phases brutes (en appliquant le modèle de Waeckel) \({Z}^{b}_{{\alpha_{\alpha}}}(t+1)\)

• Si \(T_{i+1} > Ac_3\), alors on est dans la phase austénitique: \({I}_{i+1}^{th} = 0\) et \(\tilde{Z}_{{\alpha_{\alpha}}} = 0\)

• Si \(T_{i+1} > T^r\), alors on est dans la phase de revenu

  • Si \({I}^{th}_{i} = 2\), on a vu un cycle thermique complet. On calcule \(\tau_{i+1}\) par (995), puis le paramètre d’équivalence temps/température \(P_{a}\) de (999), on en déduit le temps équivalent \({\Delta t}_{eq}\) par (997). Il ne reste plus qu’à appliquer (994) pour obtenir \({\tilde{Z}}^{r}_{{\alpha_{\alpha}}}\)

  • Sinon, le revenu n’est pas activé et \({\tilde{Z}}^{r}_{{\alpha_{\alpha}}} = 0\)

• Sinon, on n’est pas dans une phase de revenu, on se contente de maintenir les phases et on détecte les cycles

  • Si \({I}^{th}_{i} = 2\), alors \({I}^{th}_{i+1} = 2\), \({\tilde{Z}}^{r}_{{\alpha_{\alpha}}} = \frac{{{Z}}^{r}_{{\alpha_{\alpha}}}(t)}{{{Z}}^{b}_{{\alpha_{\alpha}}}(t)}\)

  • Si \({I}^{th}_{i} = 1\), alors \({\tilde{Z}}^{r}_{{\alpha_{\alpha}}} = 0\). Par ailleurs, si \(\Delta T > 0\), c’est qu’on se réchauffe et on a \({I}^{th}_{i+1} = 2\)

  • Si \({I}^{th}_{i} = 0\), alors \({\tilde{Z}}^{r}_{{\alpha_{\alpha}}} = 0\). Par ailleurs, si \(\Delta T > 0\) et que \({Z}^:{r}_{{\alpha_{\alpha}}} = 0\), alors \({I}^{th}_{i+1} = 1\)

On peut calculer les phases de revenu:

\[{Z}^{r}_{{\alpha_{\alpha}}}(t+1) = {Z}^{b}_{{\alpha_{\alpha}}}(t) {\tilde{Z}}^{r}_{{\alpha_{\alpha}}}\]

et les phases brutes

\[{Z}^{b}_{{\alpha_{\alpha}}}(t+1) = {Z}^{b}_{{\alpha_{\alpha}}}(t) - {Z}^{r}_{{\alpha_{\alpha}}}(t+1)\]

Pour activer le calcul du revenu dans l’opérateur CALC_META, on active le mot-clef REVENU en précisant RELATION="ACIER_REVENU" et le modèle LOI_META="JMA". Les paramètres matériaux sont à renseigner dans DEFI_MATERIAU, dans le mot-clef META_ACIER_REVENU.

La relation ACIER_REVENU de l’opérateur CALC_META produit douze variables internes:

Tableau 45 Variables internes pour le calcul des phases de revenu de l’acier

Variable	Quantité	Description
\(\mathrm{V1}\)	\({Z_1}\)	proportion de la ferrite
\(\mathrm{V2}\)	\({Z_2}\)	proportion de la perlite
\(\mathrm{V3}\)	\({Z^b_3}\)	proportion de la bainite (phase brute de trempe)
\(\mathrm{V4}\)	\({Z^r_3}\)	proportion de la bainite (phase de revenu)
\(\mathrm{V5}\)	\({Z^b_4}\)	proportion de la martensite (phase brute de trempe)
\(\mathrm{V6}\)	\({Z^r_4}\)	proportion de la bainite (phase de revenu)
\(\mathrm{V7}\)	\({Z_\gamma}\)	proportion de l’austénite (phase chaude)
\(\mathrm{V8}\)	\({Z_c}\)	proportion des phases froides
\(\mathrm{V9}\)	\(d\)	taille de grain austénitique
\(\mathrm{V10}\)	\(T_g\)	température aux points de Gauss
\(\mathrm{V11}\)	\({M}_{s}\)	température de transformation martensitique
\(\mathrm{V12}\)	\({I}^{th}\)	indicateur de cycle thermique

Bibliographie

[bib1]

Waeckel F. : Éléments de métallurgie pour l’étude des transformations structurales dans les aciers. Note Interne EDF-DER, HI-71/8075, 1993.

[bib2] (1,2)

Waeckel F. : Une loi de comportement thermo-métallurgique des aciers pour le calcul mécanique des structures. Thèse de Doctorat ès Mécanique, ENSAM Paris, 1994.

[bib3]

Andrieux S., Waeckel F. : Un modèle de comportement métallurgique des aciers au refroidissement. Note interne EDF-DER, HI-74/94/072/0, 1994.

[bib4] (1,2,3,4,5)

Waeckel F. : Modélisation de la transformation austénitique dans le code_aster. Note interne EDF-DER HI-74/95/017/0, 1995.

[bib5]

Waeckel F., Dupas P. : Comparaison des modèles de comportement métallurgiques implantés dans le code_aster et dans sysweld. Note interne EDF‑DER, HI-74/94/076/0 et HT‑26/94/033/A, 1995.

[bib6]

Marigo J.-J. : Le comportement thermo-mécanique des milieux simples à variables mémoratrices : I Généralités et premiers exemples. Note Interne EDF-DER HI/5147-07, 1985.

[bib7] (1,2)

Koistinen D., Marburger R. : A general equation prescribing extent of austenite-martensite transformation in pure Fe-C alloys and plain carbon steels. Acta Metallurgica, vol.7, pp. 59-60, 1959.

[bib8]

Aeby-Gautiere : Transformations perlitique et martensitique sous contrainte de traction dans les aciers. Thèse de Doctorat ès Sciences Physiques, Institut National Polytechnique de Lorraine, 1985.

[bib9] (1,2)

Denis S., Fariais D., Simon A. : Mathematical model coupling phase transformations and temperature evolutions in steels. ISIJ International, vol.32, n° 3, pp. 316-325, 1992.

[bib10] (1,2)

Giusti J. : Contraintes et déformations résiduelles d’origine thermique. Application au soudage et à la trempe des aciers. Thèse de Doctorat d’Etat ès Science Physique. Université Paris 6, 1981.

[bib11] (1,2,3,4,5,6)

Leblond J.-B., Devaux J.-C. : A new kinetic model for anisothermal metallurgical transformation in steels including effect of austenitic grain size. Acta Metallurgica, vol.32, n° 1, pp. 137-146, 1984.

[bib12] (1,2)

Devaux J.-C.: Études des contraintes d’origine thermique dans les zones affectées par la chaleur lors d’une opération de soudage. Contrat D.G.R.S.T., n° 79.1095, Compte rendu de fin de recherche.

[bib13]

Leblond J.-B., Mottet G., Devaux J., Devaux J.-C. : Mathematical models of anisothermal phase transformation in steels and predicted plastic behaviour. Materials Science and Technology, vol.1, n° 10, pp. 815-822, 1985.

[bib14]

Razakanaivo A.: Introduction d’un modèle de calcul de dureté dans le code_aster. Compte rendu MMN, 97/005, 1997.

[bib15] (1,2)

Martinez M.: Jonction 16MND5-Inconel 690-316LN par soudage-diffusion, élaboration et calcul des contraintes résiduelles de procédé. Thèse de Doctorat Mines de Paris, 1999.

[bib16] (1,2)

Vincent Y.: Simulation numérique des conséquences mmétallurgique et mécaniques induites par une opération de soudage. Thèse de Doctorat INSA Lyon, 2002.