r7.02.04 Modèle de Beremin

Résumé

On rappelle tout d’abord les fondements des modèles d’approche locale de la rupture permettant de modéliser la rupture fragile.

On décrit comment, avec le modèle de Beremin, la probabilité de rupture d’une structure est calculée à partir de la connaissance des champs mécaniques la sollicitant. En se plaçant dans le cas général d’un trajet de chargement thermomécanique non monotone et en supposant que certains paramètres des modèles ne dépendent pas de la température, on établit l’expression générale des probabilités de rupture cumulées. Le modèle de Beremin permet également d’inclure la prise en compte d’une correction de déformation plastique.

On décrit brièvement la déclinaison industrielle du modèle de Beremin.

Enfin, des indications concernant l’implémentation numérique du modèle de Beremin sont résumées.

La rupture fragile

Mécanismes

La rupture fragile est un mode de rupture brutale. Elle est généralement associée au phénomène de clivage. Le clivage est la décohésion complète d’un cristal selon l’un de ses plans cristallographiques. La contrainte locale théorique nécessaire à cette séparation du réseau cristallin \({K}_{\mathit{Ic}}\) est très élevée, et s’exprime en fonction de la distance inter-réticulaire et de l’énergie de surface:

\[{{\sigma}}_{c}=\sqrt{\frac{E{{\gamma}}_{s}}{{d}_{{hkl}}}}\]

où \(E\) est le module de Young, \({{\gamma}}_{s}\) est l’énergie qui correspond à la création de nouvelles surfaces et \({d}_{{hkl}}\) est la distance inter-réticulaire.

Toutefois, la contrainte théorique de séparation des plans atomiques n’est jamais globalement atteinte, mais elle peut le devenir localement grâce à des structures jouant un rôle d’amplificateurs de contraintes. Dans le cas des aciers, ce sont les nombreux défauts qui jouent ce rôle, qu’ils soient dûs à la plasticité en pointe de fissure (dislocations) ou à la composition de l’acier (inclusions, fissures) [bib8].

La rupture des aciers par clivage distingue généralement trois phases successives : (1) la germination, (2) la propagation et (3) le franchissement des barrières micro-structurales (joints des grains, joints des paquets bainitiques). La germination correspond au développement d’une microfissure à l’intérieur du métal sain ; il est généralement admis que cette étape nécessite une assez faible déformation plastique préalable, qui engendre un empilement de dislocations et une singularité des contraintes, et l’atteinte d’une contrainte limite de rupture \({\sigma}_{c}\) (seuil critique). Le phénomène de germination d’une micro-fissure peut être expliqué par les divers mécanismes de la plasticité (Zener-Stroh, Cottrell, Smith, maclage) répertoriés dans [bib9].

Une fois le stade de la germination passé, une fissure peut se propager sous une contrainte normale décroissante à condition de satisfaire un critère énergétique de type Griffith [bib10]:

\[{{\sigma}}_{c}=\sqrt{\frac{E \, W}{r}}\]

avec \(W\) qui représente l’énergie de rupture, et \(r\) le rayon d’une fissure de forme circulaire.

On obtient une propagation des fissures de clivage instable, de vitesse élevée qui peut parfois être freinée par un mécanisme de relaxation par glissement des dislocations (émoussement du clivage par émission de dislocations) [bib11].

Pour pouvoir se propager dans un polycristal sans être arrêtée par émoussement, la fissure doit franchir certaines barrières micro-structurales (joints de grains, interphases …) pour conduire à la ruine de la structure. Au niveau microscopique l’entité microstructurale qui contrôle la rupture n’est pas unique et dépend fortement du type de matériau.

Les trois étapes contribuent toutes à la description de la rupture fragile. Cependant, en fonction de la température d’essais et de la géométrie de l’éprouvette (entaillée ou fissurée), l’une de ces étapes est prépondérante et contrôle le déclenchement de la rupture fragile. Par conséquent, dans le cadre d’une prise en compte des mécanismes de clivage dans un modèle de rupture, seule une de ces trois étapes est utilisée pour définir un critère de rupture [bib12].

Dans le cas des aciers faiblement alliés à très basse température (\(T<-160°C\) ) la rupture est contrôlée par la phase d’amorçage, i.e.la germination des micro-fissures. A température plus élevée (\(T>-160°C\) ) la rupture est contrôlée par la phase de propagation des micro-fissures amorcées sur des particules fragiles de seconde phase (carbures, sulfures de manganèse, nitrures de titane) ([bib13], [bib14] ). L’amplification des contraintes résulte des incompatibilités de déformations entre ces particules et la matrice. Cette amplification des contraintes en tête d’empilement des dislocations peut provoquer: la rupture de la particule fragile de seconde phase (figure Fig. 313) ou dans le cas d’une interface particule/matrice faible, la décohésion de l’interface (figure Fig. 314).

Fig. 313 Amorçage d’une micro-fissure sur une particule fragile de seconde phase

Fig. 314 La décohésion de l’interface [bib2]

Les études sur les aciers ferritiques des cuves (16MND5) montrent qu’aux basses températures (températures négatives), c’est bien l’étape de propagation des micro-défauts (créés lors de la phase d’amorçage) dans la matrice ferritique environnante qui constitue l’étape critique pour propager le clivage (voir [bib15], [bib16] et [bib17]). Par contre l’origine du clivage ne peut pas être attribuée uniquement à un seul élément microstructural (une espèce chimique). L’influence de la microstructure des aciers des cuves est complexe puisqu’elle peut faire intervenir de nombreux paramètres dont la variation induit plusieurs conséquences [bib8]. Parmi ces paramètres on pense notamment à la taille de grains, aux tailles d’inclusions et à la distribution de tailles de défauts. On peut donc conclure qu’il existe un aspect statistique en termes de population de défauts conduisant à la rupture fragile.

Pour plus de détails sur l’influence de la microstructure sur la rupture fragile dans les aciers faiblement alliés de type 16MND5 on pourra se référer aux travaux [bib2], [bib3] et [bib4].

Aspect statistique de la rupture fragile

Le clivage est un mode de rupture de nature probabiliste car la contrainte de clivage dépend de la distribution de taille des défauts et les champs mécaniques locaux dépendent de la microstructure locale. La rupture s’amorce sur le défaut pour lequel la contrainte critique est atteinte en premier. Cependant, Ritchie, Knott et Rice [bib18] (modèle RKR) postulent que la rupture n’intervient que si la contrainte critique en pointe de fissure est atteinte sur une distance caractéristique qui représente environ la taille de deux grains. Ainsi la rupture par clivage est conditionnée par une distance caractéristique et une taille de défaut critique. Le modèle de RKR représente la première tentative pour relier la résistance à la rupture fragile, exprimée par la ténacité, à un critère local de rupture basé sur les mécanismes de germination [bib8]. Ce modèle a ouvert la voie vers les modèles probabilistes.

Par la suite, les travaux de Curry et Knott [bib19] ont démontré que la distance caractéristique du modèle RKR ne doit pas être corrélée à la taille des grains mais à la distribution des carbures ainsi qu’à leurs tailles. Ainsi pour une taille de grain fixée, à une température d’essai donnée, la ténacité du matériau augmente quand la distance inter-particule diminue. Ces travaux ont permis l’introduction de la notion de statistique dans les modèles de rupture fragile [bib2]. Cependant, dans les deux modèles l’effet d’échelle et la dispersion des mesures expérimentales associée au mode de rupture fragile ne sont pas prise en compte.

Afin de décrire l’effet d’échelle et la dispersion des mesures de ténacité, des modèles statistiques ont été développés à partir des années 1980. Parmi ces modèles, les plus couramment utilisés sont ceux de Beremin [bib20] et de Wallin [bib21]. Ces modèles reposent sur la théorie du maillon le plus faible et une statistique de Weibull ([bib22] et [bib23] ).

Le modèle de Beremin a une forte reconnaissance au plan international. L’approche de Beremin bénéficie d’un retour d’expérience important du fait à la fois de sa maturité et du nombre de chercheurs et d’ingénieurs qui l’ont testée et modifiée. Le modèle permet de prendre en compte de nombreux effets (petit défaut, triaxialité, pré-chargement à chaud) dans des situations de chargement complexes. De nombreuses applications ont été considérées aussi bien sur éprouvettes que sur structures.

Description du modèle de Beremin

Dans cette section, les fondements du modèle de Beremin sont tout d’abord rappelés. Les hypothèses liées à la définition des sites potentiels de clivage sont explicitées. Le mécanisme considéré comme critique est la propagation d’une fissure de clivage dans le grain adjacent, elle-même considérée comme amorcée par les mécanismes de la plasticité. La probabilité de rupture de ces sites qui conduit à la probabilité de rupture de la structure s’en déduit. La formulation classique du modèle de Beremin est étendue à des chargements plus généraux en incluant une variante de correction plastique souvent utilisée dans ce modèle [bib24].

Le modèle de Beremin s’appuie sur la connaissance des champs mécaniques locaux sollicitant la structure considérée. On considère une structure soumise à une histoire de sollicitations thermomécaniques à partir de l’instant \(t=0\) fixé arbitrairement. On cherche à déterminer la probabilité de rupture cumulée de cette structure à tout instant.

Par hypothèse, cette structure est constituée (au moins en partie) d’un acier, susceptible de rompre par clivage à basse température, présentant une loi de comportement élastoviscoplastique et dont l’une des variables internes correspond à la déformation plastique équivalente cumulée: un exemple de liste de lois compatibles est fournie au paragraphe suivant.

Fondements

Hypothèses générales

Le modèle considère un volume élémentaire représentatif \({\Omega}\) du matériau et repose sur plusieurs hypothèses fondamentales récapitulées dans [bib25]:

Hypothèse 1

On suppose que l’amorçage de microfissures sur les sites d’endommagement ne peut se faire que lorsque la plasticité est active (le taux de déformation plastique cumulée \(\dot{p}(u)\) à l’instant \(u\) doit être positif \(\dot{p}(u)>0\) ) et leur nombre n’augmente plus au cours de l’histoire des sollicitations.

Remarques

• Soulignons que cette condition de plasticité active qui sera celle considérée dans toute la suite du document est différente de la condition classiquement adoptée ( \(p>0\)). Ces deux conditions sont équivalentes dans le cas d’un trajet de chargement monotone.

• Pour des trajets de chargement plus généraux, cette condition de plasticité active \(\dot{p}>0\) conduit en revanche à de biens meilleurs résultats [bib26] .

Hypothèse 2

On note que seule la contrainte principale maximale \({{\sigma}}_{I}\) intervient dans la propagation du défaut, les défauts étant alors considérés comme orientés perpendiculairement à la direction principale.

Hypothèse 3

La propagation de micro-fissures est contrôlée par un critère de type Griffith.

Hypothèse 4

La rupture va s’initier à partir des défauts les plus importants en termes de taille, seule la connaissance de la distribution de ces derniers est nécessaire.

Hypothèse 5

La structure sollicitée peut être considérée comme la juxtaposition de plusieurs éléments de volume \({V}_{0}\) parfaitement indépendants du point de vue de la rupture. \({V}_{0}\) doit être le plus petit possible pour vérifier l’indépendance statistique, mais assez grand pour que la probabilité d’y retrouver un défaut de taille suffisante soit raisonnable (en pratique \({V}_{0}\) inclut quelques grains).

Hypothèse 6

La théorie du maillon le plus faible est utilisée d’après laquelle la rupture d’un des volumes élémentaires \({\delta}V\) entraîne la rupture de l’ensemble de la structure.

Hypothèse 7

On postule une forme de distribution des défauts \(g\) pour les contraintes positives \(g({\sigma})={\alpha}'{{\sigma}}^{m-1}\) et \(g({\sigma})=0 \ \text{si} \ {\sigma}<0\) . Pour chacun de ces sites, on note \(g({\sigma})d{\sigma}\) la probabilité d’avoir une contrainte critique de clivage comprise dans \(\left[{\sigma};{\sigma}+d{\sigma}\right]\) . La probabilité que l’un des sites d’endommagement possède une contrainte de clivage inférieure à une contrainte appliquée \({{\sigma}}_{\mathit{Ic}}\) est donc:

\[\underset{0}{\overset{{{\sigma}}_{\mathit{Ic}}}{\int}}g(u)\mathit{du}\]

Probabilité de rupture cumulée de la structure

On suppose ici connaître la probabilité de rupture cumulée (fonction de répartition) de chaque site d’endommagement de volume \({V}_{0}\) , notée \({p}_{r}(\text{site})\) et considérée comme identique pour tous les sites.La probabilité de survie vaut, elle, \(1-{p}_{r}(\text{site})\) . On peut alors écrire la probabilité de rupture cumulée d’un volume élémentaire \({\delta}V\) dont la dimension caractéristique est inférieure aux fluctuations macroscopiques des champs mécaniques (\({\delta}V>{V}_{0}\) ) et dont le champ de contrainte est supposé homogène:

\[1-{p}_{r}(\delta V) = \prod_{\text{site}\in \delta V}(1-{p}_{r}(\text{site}))\]

Soit:

\[{p}_{r}(\delta V) = 1-{ \left(1-{p}_{r}(\text{site}) \right)}^{\frac{\delta V}{{V}_{0}}}\]

La probabilité de survie de la structure (volume \({\Omega}\) ) à la fin du chargement est égale au produit des probabilités de survie de chacun des volumes élémentaires \({\delta}V\) (indépendance statistique). La probabilité de survie de la structure s’élève alors à:

\[1-{P}_{r} = \prod_{\delta V\in \Omega }(1-{p}_{r}(\delta V)) = \prod_{\delta V\in \Omega }\left(1-{p}_{r}(\text{site})\right)^{\frac{\delta V}{{V}_{0}}} = \prod_{\delta V\in \Omega }\exp(\ln(1-{p}_{r}(\text{site}))\frac{\delta V}{{V}_{0}})\]

Sachant que \({p}_{r}(\text{site})\) reste petit devant l’unité, l’expression précédente peut se simplifier pour donner finalement:

\[{P}_{r} \approx 1-\prod_{{\delta}V\in {\Omega}} \exp \left(-{p}_{r}(\text{site})\frac{{\delta}V}{{V}_{0}} \right) = 1-\exp \left(-\underset{{\Omega}}{\int}{p}_{r}(\text{site})\frac{{\delta}V}{{V}_{0}} \right)\]

Soit:

\[{P}_{r}=1-\exp\left(-x\right) \text{ avec } x=\underset{{\Omega}}{\int}{p}_{r}(\text{site})\frac{{\delta}V}{{V}_{0}}\]

Probabilité de rupture cumulée des sites

On considère ici le cas du trajet de chargement radial et non nécessairement monotone, l’évolution des champs mécaniques dans chaque élément \({\delta}V\) est caractérisée en tout point par une histoire de contrainte principale maximale \({{\sigma}_{I}(u)}_{0\le u\le t}\) .

Cas où la contrainte critique de clivage est indépendante de la température

Le chargement étant radial, la direction de contrainte principale maximale est supposée constante. On ne considère que les temps passés \(u\) pour lesquels la plasticité est active (\(\dot{p}(u)>0\) ), puisque la rupture n’est possible qu’à ces instants là (hypothèse 1). On note \(\left\lbrace u<t,\dot{p}(u)>0\right\rbrace\) l’ensemble de ces instants pour l’élément \({\delta}V\) considéré.

D’après l’hypothèse (2), seule la contrainte principale maximale \({{\sigma}}_{I}\) intervient dans la propagation du défaut. Pour que le volume \({\delta}V\) soit cassé à l’instant \(t\) , il faut que:

\[{{\sigma}}_{\text{Ic}}\le \underset{\left\lbrace u<t,\dot{p}(u)>0\right\rbrace }{\max}{{\sigma}}_{I}(u)\]

Compte tenu de l’hypothèse (7), la probabilité de rupture de cette volume \({\delta}V\) peutdonc s’écrire:

\[{p}_{r}(\text{site}) = \underset{0}{\overset{\underset{\left\lbrace u<t,\dot{p}(u)>0\right\rbrace }{\max}{{\sigma}}_{I}(u)}{\int}}g({\sigma}) \, d{\sigma} = {\left(\frac{\underset{\left\lbrace u<t,\dot{p}(u)>0\right\rbrace }{\max}{{\sigma}}_{I}(u)}{{{\sigma}}_{u}}\right)}^{m}\]

En définissant \({{\sigma}}_{u}={\left(\frac{m}{{\alpha}'}\right)}^{\frac{1}{m}}\) comme la contrainte de clivage (c’est-à-dire la contrainte pour laquelle la probabilité de rupture cumulée des sites potentiels de clivage vaut \(1\) ), la probabilité de rupture de la structure peut s’écrire comme:

\[{P}_{r} = 1-\exp\left(-{\left(\frac{{{\sigma}}_{W}}{{{\sigma}}_{u}}\right)}^{m}\right)\]

avec \({{\sigma}}_{W}\) étant la contrainte de Weibull [bib23] à l’instant \(t\) définie par:

\[{\sigma}_{W}(t)={\left[\underset{{\Omega}}{\int}{{\sigma}}_{I}^{m}\frac{{\delta}V}{{V}_{0}}\right]}^{\frac{1}{m}} \text{ avec } {\sigma}_{I}=\underset{\left\lbrace u<t,\dot{p}(u)>0\right\rbrace }{\max}{{\sigma}}_{I}(u)\]

Dans cette expression, le module de Weibull \(m\) , donne une idée de la dispersion de la taille de défauts susceptibles d’amorcer la rupture fragile. \({{\sigma}}_{u}\) représente une contrainte de rupture moyenne d’un échantillon de volume \({V}_{0}\) .

Dans le cas, où, à tout instant, l’évolution des champs mécaniques dans chaque élément \({\delta}V\) est supposée radiale et monotone croissante (\(\dot{p}>0\)), l’expression précédente de la contrainte de Weibull se réduit à:

\[{\sigma}_{W} = {\left[\underset{{\Omega}}{\int}{{\sigma}}_{I}^{m}\frac{{\delta}V}{{V}_{0}}\right]}^{\frac{1}{m}}\]

Cas où la contrainte critique de clivage est dépendante de la température

Jusqu’à présent on a considéré les paramètres du modèle de clivage indépendants de la température. L’application de l’approche locale à des transitoires d’étude réels (par exemple, les simulations des essais de préchargement à chaud sur l’acier 16MND5 avec le modèle de Beremin) nécessite la modification de la formulation initiale pour pouvoir prendre en compte des trajets de chargement comportant des décharges mécaniques et thermiques (voir [bib24], [bib26] et [bib27]) et aussi de pouvoir tenir compte de la dépendance de la contrainte de clivage de la température.

Pour ça, on suppose que l’évolution des champs mécaniques dans chaque élément \({\delta}V\) est radiale et non monotone. Cette évolution est caractérisée par une histoire de contrainte principale maximale \({{\sigma}}_{I}(u{)}_{0\le u\le t}\) ainsi que par une histoire de température \({\theta}{\left(u\right)}_{0\le u\le t}\) .

Pour tout instant \(u\) , nous supposons qu’au voisinage de chaque site d’endommagement, la contrainte normale «microscopique» vérifie:

\[{\sigma}_{I\left(\text{micro}\right)}\left(u\right) = f{{\sigma}}_{I}\left(u\right)\]

\(f\) étant un paramètre de localisation ne dépendant que de la température moyenne \({\theta}\left(u\right)\) dans \({\delta}V\) . Pour que le site d’endommagement n’ait pas cassé, il faut donc que:

\[{{\sigma}}_{\mathit{Ic}}\ge {{\sigma}}_{I\left(\mathit{micro}\right)}(u) \text{ tel que } \dot{p}\left(u\right)>0\]

Soit:

\[{{\sigma}}_{\text{Ic}}\ge f{{\sigma}}_{I}(u) \text{ tel que } \dot{p}\left(u\right)>0\]

De sorte que la probabilité de rupture cumulée d’un site s’élève à:

\[{p}_{r}\left(\text{site}\right) = {\left[\underset{\left[u<t,\dot{p}\left(u\right)>0\right]}{\max}\left\lbrace \frac{{{\sigma}}_{I}\left(u\right).f\left({\theta}\left(u\right)\right)}{{{\sigma}}_{u}}\right\rbrace \right]}^{m}\]

Ou encore:

\[{p}_{r}\left(\text{site}\right) = {\left[\underset{\left[u<t,\dot{p}\left(u\right)>0\right]}{\max}\left\lbrace \frac{{{\sigma}}_{I}\left(u\right)}{{{\sigma}}_{u}\left({\theta}\left(u\right)\right)}\right\rbrace \right]}^{m}\]

Avec \({{\sigma}}_{u}\left({\theta}\right)\) une fonction de la température telle que:

\[{{\sigma}}_{u}\left({\theta}\right)=\frac{{{\sigma}}_{u}}{f\left({\theta}\right)}\]

L’introduction du paramètre de localisation \(f\) conduit donc à une dépendance apparente de la contrainte de clivage. De façon générale, la probabilité de rupture cumulée de la structure s’exprime par:

\[{P}_{r} = 1-\exp\left(-{\int}_{{\Omega}}{\left[\underset{\left\lbrace u<t,\dot{p}\left(u\right)>0\right\rbrace }{\max}\left\lbrace \frac{{{\sigma}}_{I}\left(u\right)}{{{\sigma}}_{u}\left({\theta}\left(u\right)\right)}\right\rbrace \right]}^{m}\frac{{\delta}\text{V}}{{V}_{0}}\right)\]

C’est cette dernière formulation qui est utilisée pour simuler les essais de préchargement à chaud et de manière plus générale les trajets de chargement avec décharge. En notant \({{\sigma}}_{u}^{o}\) une valeur choisie arbitrairement, on peut écrire:

\[{P}_{r} = 1-\exp\left(-{\left(\frac{{{\sigma}}_{W}^{o}}{{{\sigma}}_{u}^{o}}\right)}^{m}\right)\]

La contrainte de Weibull \({\sigma}_{w}^{o}\) devient alors:

\[{{\sigma}}_{W}^{o} = {\left[{\int}_{{\Omega}}{(\stackrel{~}{{\sigma}}}_{I}^{o}{)}^{m}\frac{{\delta}V}{{V}_{0}}\right]}^{\frac{1}{m}} \text{ avec } {\stackrel{~}{{\sigma}}}_{I}^{o}=\underset{\left[u<t,\dot{p}\left(u\right)>0\right]}{\max}\left\lbrace \frac{{{\sigma}}_{u}^{o}{{\sigma}}_{I}\left(u\right)}{{{\sigma}}_{u}\left({\theta}\left(u\right)\right)}\right\rbrace\]

Correction de déformation plastique

Plusieurs travaux sur la rupture par clivage montrent l’effet bénéfique de la déformation plastique sur la résistance au clivage. Plusieurs raisons sont évoquées par les auteurs et notamment la réduction apparente des microdéfauts dans le sens perpendiculaire à la traction avec les fortes déformations. Il est également probable qu’une pré-déformation aux températures plus élevées que celle du clivage puissent entraîner un émoussement des micro-défauts déjà présents dans le matériau.

Une correction de la plus grande contrainte principale \({{\sigma}}_{I}\) qui intervient dans le calcul de la contrainte de Weibull a été proposée dans le modèle de Beremin. La contrainte principale est corrigée par un facteur dépendant de la déformation plastique selon la direction principale \({{\varepsilon}}_{I}^{p}\) :

\[{{\sigma}}_{I}^{\star}={{\sigma}}_{I}\exp\left(-\frac{{{\varepsilon}}_{I}^{p}}{k}\right) \text{ avec } 2 \le k \le 4\]

La nouvelle expression de la contrainte de Weibull est:

\[{{\sigma}}_{W} = {\left[\underset{{\Omega}}{\int}{({{\sigma}}_{I})}^{m}\exp\left(-\frac{{{\varepsilon}}_{I}^{p}m}{k}\right)\frac{{\delta}V}{{V}_{0}}\right]}^{\frac{1}{m}}\]

La probabilité de rupture d’un site à un instant \(t\) donné s’écrit à présent:

\[{p}_{r}(\text{site}) = \underset{\left\lbrace u<t,\dot{p}(u)>0\right\rbrace }{\max}\lbrace \frac{{{\sigma}}_{I}\left(u\right)}{{{\sigma}}_{u}\left({\theta}\left(u\right)\right)}.\exp{\left(-\frac{1}{2}{{\varepsilon}}_{I}^{p}\left(u\right)\right)\rbrace }^{m}\]

Pour un trajet de chargement monotone (température constante et uniforme), la relation précédente conduit à l’expression classique [bib24]:

\[{p}_{r}(\text{site}) = {\left[\frac{{{\sigma}}_{I}}{{{\sigma}}_{u}}\right]}^{m}\exp \left(-\frac{m}{2}{{\varepsilon}}_{I}^{p} \right)\]

Contrainte seuil

Comme détaillé dans la référence [bib30], plusieurs auteurs, dont Bakker and Koers (1991), proposent une distribution de probabilité pour la contrainte de rupture basée sur une distribution de Weibull à trois paramètres (Weibull, 1939; Mann et al., 1974). La formulation implique l’introduction d’une contrainte critique \(\sigma_{th}\) directement dans la probabilité de rupture fragile

\[P_r = 1-\exp\left(-\frac{1}{V_0}\int_\Omega \left(\frac{\sigma_I-\sigma_{th}}{\sigma_u}\right)^m\right)=1-\exp\left(-\left(\frac{\sigma^\star_w}{\sigma_u}\right)^m\right), \sigma_I\geq \sigma_{th}\]

avec une contrainte de Weibull modifiée \(\sigma^\star_w\)

Par exemple, dans le cas TYPE_SEUIL = « REDUIT » [POST_BEREMIN], on aura :

\[\sigma^\star_w = \left(\frac{1}{V_0} \int_\Omega\left(max\left(0,\sigma_I-\sigma_{th}\right)\right)^m dV \right)^\frac1m\]

Dans le cas TYPE_SEUIL = « RESTREINT », on aura :

\[\sigma^\star_w = \left(\frac{1}{V_0} \int_{\Omega_{th}} \sigma_I ^m dV \right)^\frac1m \ \text{avec} \ \Omega_{th} \text{ le volume où } \sigma_I > \sigma_{th}\]

Maximum temporel

La référence [bib31] propose une variante du modèle de Beremin en offrant la possibilité de considérer la valeur instantanée au lieu du maximum temporel sur tout l’historique pour la contrainte principale maximale.

Cela consiste à remplacer dans les équations du paragraphe 3.3 la grandeur \(\underset{\left\lbrace u<t,\dot{p}(u)>0\right\rbrace }{\max}{{\sigma}}_{I}(u)\) par \(\sigma_I(t)\)

Plasticité active

Il est possible de désactiver la condition \(\dot{p}(u)>0\). Dans ce cas, l’intégration du champ de contrainte se fait sur l’ensemble du volume. Cette variante du modèle de Beremin est notamment utilisée dans le cas d’une distribution de Weibull à trois paramètres [bib31] .

Déclinaison industrielle du modèle de Beremin

Cette variation déterministe du modèle est décrite en détails dans les références [bib31] et [bib32] . On en reprend ici les grandes lignes.

La déclinaison industrielle du modèle de Beremin considère que, dans le cas le plus pénalisant, l’instabilité de la rupture fragile provient de l’interaction entre la contrainte principale maximale \(\sigma_I\) et une distribution de sites d’amorçage susceptibles d’amorcer le clivage dans le plan perpendiculaire au défaut le plus chargé.

La combinaison de ces deux facteurs amène à quantifier le risque de rupture brutale par le biais d’une densité surfacique de contrainte de Weibull, noté \(\sigma_W^{2D}\), définie comme suit :

\[\sigma_W^{2D} = \left[ \frac{1}{V_0} . \int_{A_p} \left< \sigma_I - \sigma_{th}\right>_+^m dS \right]^{1/m}\]

Dans l’expression ci-dessus, \(m\) est le paramètre matériau lié à la distribution des sites d’amorçage, \(\sigma_{th}\) est la contrainte seuil (contrainte minimale en deçà de laquelle un site ne peut pas amorcer le clivage), et \(V_0\) une constante de normalisation habituellement fixée à \(50 \mu m ^3\)

Enfin, \(A_p\) correspond à la zone de plasticité active dans le plan perpendiculaire en pointe de fissure. En pratique, pour des valeurs de \(\sigma_{th}\) suffisamment élevées, cette surface est incluse dans la zone telle que \(\sigma_I > \sigma_{th}\) et cette condition de plasticité active est abandonnée.

En pratique, le calcul de l’intégrande volumique de la contrainte de Weibull est identique dans le cas du modèle de Beremin et de sa déclinaison industrielle. Une fois l’intégrande calculée sur le volume, elle est projetée sur des plans perpendiculaires au front de fissure (illustration en figure ci-dessous).

Fig. 315 Plans d’intégration de \(\sigma_W^{2D}\) le long d’un front semi-elliptique

Implémentation

Calcul de la probabilité de rupture

Des conseils d’utilisation de ce modèle sont donnés dans la documentation [U2.05.08].

Considérons un domaine \({\Omega}_{c}\) de la structure étudiée qui peut être l’ensemble du maillage étudié, un groupe de mailles ou une maille. Suite à un calcul thermomécanique élastoplastique, on connaît l’évolution des champs de contrainte, de déformation et de déformation plastique cumulée dans ce domaine. A partir du champ de contrainte à la pointe de la fissure (ou de l’entaille) on cherche à déterminer la probabilité de rupture cumulée par clivage de la structure (modèle de Beremin) ou la densité surfacique de contrainte de Weibull (déclinaison industrielle du modèle de Beremin). L’utilisation du modèle se fait en post-processing à l’aide de la macro-commande [POST_BEREMIN].

De plus, dans le cas d’un filte en plasticité active ou d’une correction plastique quelconque, la loi de comportement du matériau doit comporter une variable interne correspondante à l’indicateur plastique ou à la déformation plastique équivalente cumulée \(p\) . Il s’agit en particulier des lois (liste non exhaustive) : VMIS_ISOT_*, VMIS_ECMI_*, VMIS_*_CHAB, ROUSS_*, LEMAITRE, MONOCRISTAL.

L’intégration numérique correspondante dans code_aster s’effectue en deux temps:

• on calcule en chaque point de Gauss \({{\sigma}}_{I}\)

• on applique les filtres demandés par l’utilisateur (plasticité active, contrainte seuil, maximum des contraintes sur l’historique)

• par quadrature sur chaque maille puis simple sommation sur le domaine \({\Omega}_{c}\) visé, on en déduit la contrainte de Weibull ainsi que la probabilité de rupture associée. La sommation est pondérée par un coefficient multiplicatif qui tient compte des symétries éventuelles et du type de modélisation retenue (axi, 2D, 3D..). On veillera bien à définir ce coefficient (COEF_MULT) conformément aux indications données dans [POST_BEREMIN].

La première étape permet d’introduire une variante (mot-clé SIGM_ELMOY au lieu de SIGM_ELGA) conduisant à des résultats sensiblement différents dans le cas d’une structure fissurée (présence de gradient): dans chaque maille, \({{\sigma}}_{I}\) est déterminée à partir de la moyenne pondérée par les poids de Gauss sur cette maille du champ de contrainte.

Paramètres du matériau

Le modèle de Beremin nécessite la connaissance de plusieurs paramètres: les paramètres caractéristiques du matériau considéré dans la loi de Weibull, \(m\) et \({\sigma}_{u}\) (éventuellement la contrainte seuil \(\sigma_th\)) ainsi que le volume élémentaire de la zone plastique élémentaire \({V}_{0}\) . Le volume élémentaire \({V}_{0}\) doit être suffisamment grand afin de respecter l’hypothèse (5). Dans la loi de Weibull, les paramètres \({V}_{0}\) et \({{\sigma}}_{u}\) ne sont pas indépendants : c’est le produit \({V}_{0}{{\sigma}}_{u}^{m}\) qui intervient dans le calcul de la probabilité de rupture.

L’identification de ces paramètres n’est pas unique, mais dépend fortement des champs de contrainte calculés.

Projection pour la déclinaison industrielle du modèle de Beremin

On présente ci-dessous les différentes étapes permettant de calculer la densité surfacique de contraintes de Weibull.

1. L’intégrande de la contrainte de Weibull est calculée sur le volume spécifié par l’utilisateur, en fonction des différentes filtres ou options demandés (plasticité active, contrainte seuil, moyenne par éléments, et maximum de l’historique des contraintes). Cette étape est donc identique entre le modèle de Beremin et sa déclinaison industrielle.

2. L’intégrande volumique est ensuite projetée sur le plan d’intégration. Par exemple, dans le cas d’une formulation avec contrainte seuil, c’est la quantité \(\left< \sigma_I - \sigma_{th}\right>_+^m\) qui est projetée.

3. L’intégrale surfacique est ensuite calculée pour obtenir \(\sigma_W^{2D}\)

Ainsi, pour chaque plan d’intégration, il est nécessaire de calculer un projecteur permettant de passer d’un champ exprimé aux points de Gauss du modèle 3D à un champ exprimé sur le maillage 2D du plan d’intégration. Pour cela, le champ exprimé aux points de Gauss est transformé en champs par cellules sur le maillage dual. Chaque cellule du maillage 2D est reperée par son centre, et on identifie à quelle(s) cellule(s) 3D appartient ce centre (à une précision numérique près). Ces opérations sont réalisées en medcoupling.

La construction de ce projecteur peut être relativement lente, mais elle n’est réalisée qu’une fois par plan. Dans le cas d’une analyse de sensibilité aux paramètres matériaux, il est donc fortement recommandé de renseigner tous les paramètres matériaux dans le même appel à POST_BEREMIN.

Approches alternatives

Parmi les modèles locaux introduits dans code_aster ([R7.02.06] et [U2.05.08]) qui permettent de décrire la rupture fragile par clivage il existe le modèle de Bordet (voir [bib16] et [R7.02.06]). Ce modèle représente une extension du modèle de Beremin où on suppose que les microfissures créées au moment de l’atteinte du seuil de plasticité restent potentiellement actives tout au long du chargement qui s’en suit. Toutefois, dans les aciers, la rupture globale est principalement liée à des microfissures nouvellement créées. Il convient donc de prendre en compte le niveau de déformation plastique atteint à chaque instant. Cette option est possible dans le modèle de Beremin via l’option de correction plastique . L’effet de la plasticité sur les microdéfauts est pris en compte dans le modèle de Bordet en considérant que le probabilité de clivage s’exprime comme le produit de la probabilité de nucléation et de propagation au même instant.

Parmi les autres approches alternatives il y a l’approche Gp, qui permet de définir un critère d’amorçage d’une fissure déjà existante à travers le calcul de taux de restitution d’énergie élastique. Cette approche est valide en élasticitélinéaire ainsi qu’en élasticité non-linéaire. [bib29] [R7.02.16]

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