v4.25.001 TTLV01 – Sphère : échange de chaleur par convection

Résumé:

Ce test est issu de la validation indépendante de la version 3 en thermique transitoire linéaire.

Il s’agit d’un problème tridimensionnel représenté par quatre modélisations, l’une volumique, les trois autres axisymétriques.

Les fonctionnalités testées sont les suivantes:

• éléments thermiques volumiques,

• éléments thermiques axisymétriques,

• algorithme de thermique transitoire,

• conditions limites : convection.

Les résultats sont comparés avec ceux fournis par VPCS.

Solution de référence

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

La solution de référence est celle donnée dans la fiche TTLV01/89 du guide VPCS.

• calcul des coefficients,

• lecture sur abaque de Gurney-Lurie.

Résultats de référence

Température en surface et au centre de la sphère pour \(t\) compris entre \(400s\) et \(2400s\)

Incertitude sur la solution

< 2%

En dessous de \(600s\) , l’incertitude augmente (lecture difficile des abaques).

Références bibliographiques

• Guide de validation des progiciels de calcul de structures. Société Française des Mécaniciens, AFNOR 1990 ISBN 2-12-486611-7

Modélisation A

Caractéristiques de la modélisation

3D (PENTA6 et TETRA4)

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds :	361
Nombre de mailles et types :	450 PENTA6, 50 TETRA4 (et 50 TRIA3)

Remarques

On prend, pour la chaleur volumique, \(\mathrm{CP}=\rho {c}_{p}=4816800.0J/{m}^{\mathrm{3 }}°C\) .

La condition limite \(\varphi =0.\) est implicite sur les bords libres.

Discrétisation du temps : 36 intervalles

de	0 à	100 secondes :	8	intervalles de	\(12.5\mathrm{s.}\)
de	100 à	300 secondes :	8	intervalles de	\(25.0\mathrm{s.}\)
de	300 à	700 secondes :	8	intervalles de	\(50.0\mathrm{s.}\)
de	700 à	1400 secondes :	7	intervalles de	\(100.0\mathrm{s.}\)
de	1400 à	2400 secondes :	5	intervalles de	\(200.0\mathrm{s.}\)

Résultats de la modélisation A

Valeurs testées

Identification	Référence	Aster	Ecart relatif (%)		Ecart absolu (°C)
			différence	tolérance	différence	tolérance
Températures :
Au centre (\(O:\mathrm{N291}\) )	\(T(°C)\)
t = 400 s	334	340.56	1.965%	5.%	6.56
t = 600 s	500	493.15	1.371%	5.%	6.85
t = 800 s	618	610.27	1.252%	5.%	7.73
t = 1000 s	706	700.18	0.824%	5.%	5.82
t = 1200 s	774	769.35	0.600%	5.%	4.65
t = 1400 s	828	822.57	0.656%	5.%	5.43
t = 1600 s	872	863.33	0.994%	5.%	8.67
t = 1800 s	902	894.73	0.806%	5.%	7.27
t = 2000 s	923	918.91	 0.443%	5.%	 4.09
t = 2200 s	942	937.54	 0.474%	5.%	 4.46
t = 2400 s	956	951.89	0.430%	5.%	4.11
En surface(\(A:\mathrm{N292}\) )	\(T(°C)\)
t = 400 s	461	474.82	2.998%	5.%	13.8
t = 600 s	608	596.37	1.913%	5.%	11.6
t = 800 s	696	689.64	0.914%	5.%	6.36
t = 1000 s	774	761.24	1.648%	5.%	12.8
t = 1200 s	828	816.33	1.410%	5.%	11.7
t = 1400 s	868	858.70	1.071%	5.%	9.30
t = 1600 s	902	891.16	1.202%	5.%	10.8
t = 1800 s	923	916.17	0.741%	5.%	6.83
t = 2000 s	942	935.42	 0.698%	5.%	 6.58
t = 2200 s	956	950.26	 0.601%	5.%	 5.74
t = 2400 s	962	961.69	0.033%	5.%	0.314

Remarques

Les écarts relatifs sont supérieurs à 2% pour \(t=400.s\) , inférieurs pour \(t\ge 600.s\)

En surface, les résultats calculés par Code_Aster sont symétriques par rapport à la diagonale \(\mathrm{AC}\) . L’écart maximal observé, en relatif comme en absolu, est de 0.29% soit \(1.4°C\) , entre le point \(A\) (\(\mathrm{N291}\) ) et le point \(D\) (\(\mathrm{N179}\) ) à l’instant \(t=400.s\) . Ces écarts diminuent en valeur absolue lorsque le temps augmente.

Modélisation B

Caractéristiques de la modélisation

AXIS (TRIA3, QUAD4)

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds :	61
Nombre de mailles et types :	45 QUAD4, 5 TRIA3 (et 5 SEG2)

Remarques

On prend, pour la chaleur volumique, \(\mathrm{CP}=\rho {c}_{p}=4816800.0J/{m}^{\mathrm{3 }}°C\) .

La condition limite \(\varphi =0.\) est implicite sur les bords libres.

Discrétisation du temps : 36 intervalles

de	0 à	100 secondes :	8	intervalles de	\(12.5\mathrm{s.}\)
de	100 à	300 secondes :	8	intervalles de	\(25.0\mathrm{s.}\)
de	300 à	700 secondes :	8	intervalles de	\(50.0\mathrm{s.}\)
de	700 à	1400 secondes :	7	intervalles de	\(100.0\mathrm{s.}\)
de	1400 à	2400 secondes :	5	intervalles de	\(200.0\mathrm{s.}\)

Résultats de la modélisation B

Valeurs testées

Identification	Référence	Aster	Ecart relatif (%)		Ecart absolu (°C)
			différence	tolérance	différence	tolérance
Températures :
Au centre (A : N1)	\(T(°C)\)
t = 400 s	334	339.95	1.780%	5.%	5.95
t = 600 s	500	492.47	1.506%	5.%	7.53
t = 800 s	618	609.59	1.361%	5.%	8.41
t = 1000 s	706	699.55	0.914%	5.%	6.45
t = 1200 s	774	768.78	0.675%	5.%	5.22
t = 1400 s	828	822.05	0.718%	5.%	5.95
t = 1600 s	872	862.88	1.046%	5.%	9.12
t = 1800 s	902	894.34	0.849%	5.%	7.66
t = 2000 s	923	918.58	 0.479%	5.%	 4.42
t = 2200 s	942	937.26	 0.503%	5.%	 4.74
t = 2400 s	956	951.65	0.455%	5.%	4.35
En surface (N : N56)	\(T(°C)\)
t = 400 s	461	475.14	3.068%	5.%	14.1
t = 600 s	608	596.46	1.899%	5.%	11.5
t = 800 s	696	689.58	0.922%	5.%	6.42
t = 1000 s	774	761.11	1.666%	5.%	12.9
t = 1200 s	828	816.15	1.431%	5.%	11.8
t = 1400 s	868	858.51	1.093%	5.%	9.49
t = 1600 s	902	890.97	1.223%	5.%	11.0
t = 1800 s	923	915.99	0.760%	5.%	7.01
t = 2000 s	942	935.26	 0.715%	5.%	 6.74
t = 2200 s	956	950.11	 0.616%	5.%	 5.89
t = 2400 s	962	961.56	0.046%	5.%	-0.441

Remarques

Les écarts relatifs sont supérieurs à 2% pour \(t=400.s\) , inférieurs pour \(t\ge 600.s\)

L’écart maximal observé entre deux nœuds sur la surface, en relatif comme en absolu, est de 0.012% soit \(0,055°C\) , entre le point \(B\) (\(\mathrm{N56}\) ) et le point \(C\) (\(\mathrm{N61}\) ) à l’instant \(t=400.s\) . Ces écarts diminuent en valeur absolue lorsque le temps augmente.

Modélisation C

Caractéristiques de la modélisation

AXIS (TRIA6, QUAD8)

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds :	171
Nombre de mailles et types :	45 QUAD8, 5 TRIA6 (et 5 SEG3)

Remarques

On prend, pour la chaleur volumique, \(\mathrm{CP}=\rho {c}_{p}=4816800.0J/{m}^{\mathrm{3 }}°C\) .

La condition limite \(\varphi =0.\) est implicite sur les bords libres.

Discrétisation du temps : 36 intervalles

de	0 à	100 secondes :	8	intervalles de	\(12.5\mathrm{s.}\)
de	100 à	300 secondes :	8	intervalles de	\(25.0\mathrm{s.}\)
de	300 à	700 secondes :	8	intervalles de	\(50.0\mathrm{s.}\)
de	700 à	1400 secondes :	7	intervalles de	\(100.0\mathrm{s.}\)
de	1400 à	2400 secondes :	5	intervalles de	\(200.0\mathrm{s.}\)

Résultats de la modélisation C

Valeurs testées

Identification	Référence	Aster	Ecart relatif (%)		Ecart absolu (°C)
			différence	tolérance	différence	tolérance
Températures :
Au centre (A : N1)	\(T(°C)\)
t = 400 s	334	341.10	2.126%	5.%	7.10
t = 600 s	500	493.15	1.370%	5.%	6.85
t = 800 s	618	609.65	1.303%	5.%	8.05
t = 1000 s	706	699.70	0.893%	5.%	6.30
t = 1200 s	774	768.80	0.672%	5.%	5.20
t = 1400 s	828	822.00	0.725%	5.%	6.00
t = 1600 s	872	862.78	1.058%	5.%	9.22
t = 1800 s	902	894.22	0.863%	5.%	7.78
t = 2000 s	923	918.45	 0.493%	5.%	 4.55
t = 2200 s	942	937.14	 0.516%	5.%	 4.86
t = 2400 s	956	951.54	0.467%	5.%	4.46
En surface (N : N163)	\(T(°C)\)
t = 400 s	461	474.78	2.989%	5.%	13.8
t = 600 s	608	596.02	1.971%	5.%	12.0
t = 800 s	696	689.12	0.989%	5.%	-6.88
t = 1000 s	774	760.65	1.725%	5.%	13.3
t = 1200 s	828	815.72	1.483%	5.%	12.3
t = 1400 s	868	858.12	1.138%	5.%	-9.88
t = 1600 s	902	890.63	1.261%	5.%	11.4
t = 1800 s	923	915.69	0.792%	5.%	7.31
t = 2000 s	942	935.00	 0.743%	5.%	 7.00
t = 2200 s	956	949.90	 0.639%	5.%	 6.10
t = 2400 s	962	961.37	0.065%	5.%	0.625

Remarques

Les écarts relatifs sont supérieurs à 2% pour \(t=400.s\) , inférieurs pour \(t\ge 600.s\)

Les écarts observés entre les résultats calculés par Code_Aster sur deux nœuds de la surface extérieure, sont inférieurs à \(0,011°C\) (soit 0.002%).

Modélisation D

Caractéristiques de la modélisation

AXIS (TRIA6, QUAD9)

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds :	216
Nombre de mailles et types :	45 QUAD9, 5 TRIA6 (et 5 SEG3)

Remarques

On prend, pour la chaleur volumique, \(\mathrm{CP}=\rho {c}_{p}=4816800.0J/{m}^{\mathrm{3 }}°C\) .

La condition limite \(\varphi =0.\) est implicite sur les bords libres.

Discrétisation du temps : 36 intervalles

de	0 à	100 secondes :	8	intervalles de	\(12.5\mathrm{s.}\)
de	100 à	300 secondes :	8	intervalles de	\(25.0\mathrm{s.}\)
de	300 à	700 secondes :	8	intervalles de	\(50.0\mathrm{s.}\)
de	700 à	1400 secondes :	7	intervalles de	\(100.0\mathrm{s.}\)
de	1400 à	2400 secondes :	5	intervalles de	\(200.0\mathrm{s.}\)

Résultats de la modélisation D

Valeurs testées

Identification	Référence	Aster	Ecart relatif (%)		Ecart absolu (°C)
			différence	tolérance	différence	tolérance
Températures :
Au centre (A : N1)	\(T(°C)\)
t = 400 s	334	341.10	2.125%	5.%	7.10
t = 600 s	500	493.14	1.371%	5.%	6.86
t = 800 s	618	609.95	1.303%	5.%	8.05
t = 1000 s	706	699.70	0.893%	5.%	6.30
t = 1200 s	774	768.79	0.673%	5.%	5.21
t = 1400 s	828	821.99	0.726%	5.%	6.01
t = 1600 s	872	862.78	1.058%	5.%	9.22
t = 1800 s	902	894.22	0.863%	5.%	7.78
t = 2000 s	923	918.45	 0.493%	5.%	 4.55
t = 2200 s	942	937.13	 0.516%	5.%	 4.87
t = 2400 s	956	951.54	0.467%	5.%	4.46
En surface (N : N207)	\(T(°C)\)
t = 400 s	461	474.78	2.989%	5.%	13.8
t = 600 s	608	596.01	1.971%	5.%	12.0
t = 800 s	696	689.12	0.989%	5.%	-6.88
t = 1000 s	774	760.65	1.725%	5.%	13.4
t = 1200 s	828	815.72	1.483%	5.%	12.3
t = 1400 s	868	858.12	1.138%	5.%	9.88
t = 1600 s	902	890.63	1.261%	5.%	11.4
t = 1800 s	923	915.69	0.792%	5.%	7.31
t = 2000 s	942	935.00	 0.743%	5.%	 7.00
t = 2200 s	956	949.89	 0.639%	5.%	 6.11
t = 2400 s	962	961.37	0.065%	5.%	0.626

Remarques

Les écarts relatifs sont supérieur à 2% pour \(t=400.s\) , inférieurs pour \(t\ge 600.s\)

Les résultats calculés par Code_Aster sur les nœuds de la surface extérieure sont quasiment identiques (maximum : \({5.10}^{–5}°C\) soit \({10}^{–7}\) en relatif).

Synthèse des résultats

Les résultats obtenus sont satisfaisants. L’écart maximum obtenu (3%) se situe sur la surface extérieure de la sphère pour l’instant t le plus faible. Cet écart diminue lorsque l’instant t augmente.

Quel que soit la modélisation, les résultats sont toujours plus précis au centre qu’à la surface extérieure de la sphère.

A découpage identique les résultats entre les éléments linéaires et quadratiques sont sensiblement les mêmes.