v3.06.100 SSLA100 - Cylindre infini soumis à un champ de forces volumiques et surfaciques#
Résumé:
Ce test de mécanique quasi-statique linéaire permet de valider l’affectation d’un chargement de champ de forces, surfacique ou volumique.
La structure étudiée est cylindrique. Les champs aux nœuds de densité volumique et surfacique de forces sont lus dans un fichier au format Ideas. Pour le chargement volumique, le champ lu varie quadratiquement en fonction de la distance à l’axe; pour le chargement surfacique, le champ lu correspond à une pression interne.
Trois modélisations du même problème sont réalisées:
modélisation 3D;
modélisation 2D axisymétrique;
modélisation 2D déformations planes;
La solution de référence est analytique.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Le problème de mécanique statique linéaire axisymétrique considéré peut être résolu de manière analytique. On résout indépendamment la réponse à la sollicitation force volumique et force surfacique pour les sommer ensuite.
Force volumique quadratique \({F}_{V}(r)=\alpha {r}^{2}\)
On considère les équations d’équilibre en coordonnées cylindriques:
qui se simplifient étant donnée la symétrie axiale en:
En utilisant la loi de comportement puis les relations déformations-déplacements, on aboutit à l’équation différentielle suivante:
La force volumique appliquée est du type: fV= .r²
La solution de l’équation différentielle s’écrit alors:
éq 2.1-1
Les deux constantes d’intégrations \({c}_{1}\) et \({c}_{2}\) sont déterminées grâce aux conditions aux limites:
On obtient:
Force surfacique type pression \({F}_{S}({R}_{int})=P\)
Le problème à résoudre est de même nature, mais avec une force volumique appliquée nulle: \({f}_{V}=0\) soit \(\alpha =0\) .
La solution en déplacement [éq 2.1-1] s’écrit alors:
, devant respecter les conditions:
Ce qui donne:
éq 2.1-2
Résultats de référence#
Application Numérique:
|
= \(0.5m\) ; |
|
= \(1m\) ; |
|
= \(1.4m\) ; |
|
= \(10\mathrm{Pa}\) ; |
|
= \(1\mathrm{kg}/{m}^{3}\) ; |
|
= \(0.3\) ; |
|
= \(1N/{m}^{5}\) ; |
|
= \(1N/{m}^{2}\) . |
en injectant les valeurs numériques dans les solutions [éq 2.1-1] et [éq 2.1-2] on trouve après sommation:
Incertitudes sur la solution#
Nulle (solution de référence analytique).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
La cylindre est modélisé en éléments 3D volumiques:
P1
P2
Caractéristiques du maillage#
Le cylindre est représenté par un maillage régulier d’éléments quadratiques à 20 nœuds contenant:
8 éléments;
96 nœuds.
Le maillage contient 1 seul élément dans le sens radial et vertical et 8 découpages sur la circonférence.
Valeurs testées#
Identification |
Instants |
Référence |
\({U}_{X}\) en \(\mathrm{P1}\) |
1 |
0.52130982 |
\({U}_{X}\) en \(\mathrm{P2}\) |
1 |
0.44203108 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Une coupe longitudinale du cylindre est modélisé en éléments 2D volumiques, en considérant l’hypothèse d’axisymétrie.
P2
P1
Caractéristiques du maillage#
Le cylindre est représenté par un maillage régulier d’éléments quadratiques à 8 nœuds contenant:
4 éléments;
21 nœuds.
Le maillage contient 2 découpages dans le sens radial et 2 découpages dans le sens vertical.
Valeurs testées#
Identification |
Instants |
Référence |
\({U}_{X}\) en \(\mathrm{P1}\) |
1 |
0.52130982 |
\({U}_{X}\) en \(\mathrm{P2}\) |
1 |
0.44203108 |
Remarque#
Modélisation plus performante que le 3D car 2 découpages dans le sens radial et pas de discrétisation circonférentielle.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Une coupe transversale du cylindre est modélisée en éléments 2D volumiques, en considérant l’hypothèse des déformations planes.
P2
P1
Caractéristiques du maillage#
Le cylindre est représenté par un maillage régulier d’éléments quadratiques à 8 nœuds contenant:
8 éléments;
40 nœuds.
Le maillage contient 1 seul découpage dans le sens radial et 8 découpages dans le sens vertical (comme le 3D).
Valeurs testées#
Identification |
Instants |
Référence |
\({U}_{X}\) en \(\mathrm{P1}\) |
1 |
0.52130982 |
\({U}_{X}\) en \(\mathrm{P2}\) |
1 |
0.44203108 |
Remarques#
Modélisation de performance très voisine du 3D car mêmes discrétisations circonférentielle et radiale.
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus par code_Aster sont très proches de la solution analytique, malgré des maillages très grossiers.
Les modélisations 3D et 2D plane fournissent des précisions très voisines car elles présentent les mêmes discrétisations circonférentielle et radiale. La modélisation 2D axisymétrique est plus performante car elle présente 2 découpages dans le sens radial et pas de discrétisation circonférentielle.