v4.02.101 TPLL101 - Chauffage par effet Joule d’un cylindre creux#
Résumé:
On impose des courants électriques à l’intérieur et à l’extérieur d’un cylindre creux de longueur finie, puis on calcule la température établie sous l’effet d’une source de chaleur produite par effet Joule. La solution de référence est analytique.
Le domaine d’application est la thermique linéaire stationnaire.
Le modèle est axisymétrique.
Le test est effectué sur les éléments QUAD8 et TRIA6 pour la première modélisation, axisymétrique (AXIS). Avec des éléments TETRA4 pour la seconde modélisation, 3D.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Problème élastostatique \(V\) potentiel électrique
Dans le volume \(\Delta V=0.\)
Conditions aux limites NEUMANN \(\lbrace \begin{array}{cc}\mathrm{j.n}=0.& \text{sur}\mathrm{CD}\text{et}\mathrm{AB}\\ \mathrm{j.n}=-10.& \text{sur}\mathrm{AD}\\ \mathrm{j.n}=3.6787944& \text{sur}\mathrm{BC}\end{array}\)
conductivité électrique \(\sigma =1.\)
\(j.n=-\sigma \nabla V\)
Solution axisymétrique
\(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial V}{\partial r})=0\Rightarrow V={V}_{0}\log\frac{r}{A}\)
Les conditions aux limites sur \(\mathrm{AD}\) et \(\mathrm{BC}\) imposent:
\({V}_{0}=10.\)
Remarque:
La connaissance de \(A\) n’est pas nécessaire pour le calcul thermique.
Problème thermique \(T\) la température
\(-\lambda \Delta T=s\) avec une source volumique \(s=\sigma {(\nabla V)}^{2}\)
Conditions aux limites : \(T=0.\) sur \(\mathrm{DA}\) et \(\mathrm{BC}\)
\(-\lambda \nabla T.n=0\) sur \(\mathrm{DC}\) et \(\mathrm{AB}\)
Solution axisymétrique:
\(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial T}{\partial r})=-\frac{\sigma}{1}\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}^{2}}\) \(\Rightarrow\) compte tenu des conditions aux limites
\(T(r)=-\frac{1}{2}\sigma \frac{{v}_{0}^{2}}{\lambda}\log(\frac{r}{{R}_{0}})\log(\frac{r}{{R}_{1}})\)
Résultats de référence#
\(T=588.9313°C\) (température au point \(M\) ).
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’une modélisation AXIS avec des éléments THAXSE2, THAXTR3 et THAXQU4.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 72 mailles de type TRIA3 et 44 mailles de type QUAD4.
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
Température au point \(M\) |
“ANALYTIQUE” |
588.9313 |
0.1% |
On teste la source de chaleur (à partir d’un potentiel électrique via la loi d’Ohm) :
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
SOUR_ELGA au 1er point de Gauss de la maille M67 |
“NON_REGRESSION” |
13.7076 |
Remarques#
Les conditions aux limites du problème électrique sont toutes des conditions de NEUMANN. Néanmoins, on retrouve la solution analytique.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’une modélisation 3D avec des éléments THER_FACE3 et THER_TETRA4.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 716 mailles de type TRIA3 et 910 mailles de type TETRA4.
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
Température au point \(M\) |
“ANALYTIQUE” |
588.9313 |
1.0% |
On teste la source de chaleur (à partir d’un potentiel électrique via la loi d’Ohm) au premier point de Gauss de la maille \({M}_{834}\) :
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
SOUR_ELGA au 1er point de Gauss de la maille M834 |
“NON_REGRESSION” |
41.7093 |
Synthèse des résultats#
En plus du test présenté, on a effectué un calcul sur structure (COTHAA). Les résultats obtenus ont été comparés avec ceux obtenus à l’aide du Code CASTEM 2000. On obtient des résultats très proches.