v2.01.033 SDLD33 - Réponse sismique spectrale d’un système 2 masses - 4 ressorts multi-supporté par 2 groupes décorrélés d’appuis#
Résumé:
Le problème consiste à calculer la réponse spectrale d’un système 2 masses – 4 ressorts multi-supporté, soumis à une excitation sismique multiple, en considérant les 3 appuis comme 2 groupes décorrélés d’appuis.
On teste l’élément discret en traction, le calcul des modes propres, des modes statiques et de la réponse spectrale par superposition modale via l’opérateur COMB_SISM_MODAL.
Modélisation A: cette modélisation permet de valider l’ordre des combinaisons à considérer dans le cas du système multi-support à savoir le cumul intra-groupe puis le cumul inter-groupe.
Modélisation B: cette modélisation permet de valider les règles de combinaisons à considérer dans le cumul des groupes décorrélés d’appuis avecDDS intra-groupe égaux.
Modélisation C: cette modélisation permet de valider des options de sorties des calculs modaux spectraux en cas du multi-appui corrélé.
Les résultats obtenus sont en très bon accord avec les résultats analytiques de référence.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
On calcule la réponse spectrale par superposition modale d’un système 2 masses – 4 ressorts soumis à trois excitations distinctes. On détermine le déplacement des masses aux nœuds \(\mathrm{NO2}\) et \(\mathrm{NO4}\) suivant l’axe \(x\) .
On calcule analytiquement:
les fréquences propres \({f}_{i}\) ,
les vecteurs propres associés \({\phi }_{{N}_{i}}\) normalisés par rapport à la masse modale,
les modes statiques d’appuis \({\Psi}_{i}\) du système,
les facteurs de participation modale \({P}_{ij}\) relatif aux appuis,
\({\mathrm{Rm}}_{ij}\) le maximum de la réponse de chaque mode à partir des spectres d’excitation,
\({R}_{ij}\) la contribution du mouvement d’entraînement de chaque appui à partir des déplacements différentiels,
Résultats de référence#
2.2.1 Matrices et vecteurs caractéristiques
matrice de rigidité \(K\)
\(K=\left[\begin{array}{ccccc}{k}_{1}& -{k}_{1}& 0& 0& 0\\ -{k}_{1}& {k}_{1}+{k}_{2}& -{k}_{2}& 0& 0\\ 0& -{k}_{2}& {k}_{2}+{k}_{3}& -{k}_{3}& 0\\ 0& 0& -{k}_{3}& {k}_{3}+{k}_{4}& -{k}_{4}\\ 0& 0& 0& -{k}_{4}& {k}_{4}\end{array}\right]\) matrice relative aux degrés de liberté 1, 2, 3, 4, 5
\({K}^{p}=\left[\begin{array}{ccccc}{k}_{1}+{k}_{2}& 0& -{k}_{1}& -{k}_{2}& 0\\ 0& {k}_{3}+{k}_{4}& 0& -{k}_{3}& -{k}_{4}\\ -{k}_{1}& 0& {k}_{1}& 0& 0\\ -{k}_{2}& -{k}_{3}& 0& {k}_{2}+{k}_{3}& 0\\ 0& -{k}_{4}& 0& 0& {k}_{4}\end{array}\right]\)
matrice partitionnée degrés de liberté de structure 2, 4, degrés de liberté de support 1, 3, 5
\({K}^{p}=\left[\begin{array}{cc}k& {k}_{\mathrm{xs}}\\ {k}_{\mathrm{sx}}& {k}_{\mathrm{ss}}\end{array}\right]\) \(k=\left[\begin{array}{cc}{k}_{1}+{k}_{2}& 0\\ 0& {k}_{3}+{k}_{4}\end{array}\right]\) \({k}_{\mathrm{xs}}=\left[\begin{array}{cccc}-{k}_{1}& 0& -{k}_{2}& 0\\ 0& -{k}_{3}& 0& -{k}_{4}\end{array}\right]\)
matrice de masse \(M\)
\(M=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 0& {m}_{1}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& {m}_{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\)
matrice relative aux degrés de liberté 1, 2, 3, 4, 5
\({M}^{p}=\left[\begin{array}{ccccc}{m}_{1}& 0& 0& 0& 0\\ 0& {m}_{2}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\)
matrice partitionnée degrés de liberté de structure 2, 4, degrés de liberté de support 1, 3, 5
calcul modal en base encastrée
\((K-{\lambda}_{i}M){\phi }_{i}=0\) avec \({\lambda}_{i}={\omega}_{i}^{2}\)
\(\mathrm{dét}(K-{\lambda}_{i}M)=0\iff {\lambda}_{i}^{2}-(\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{{m}_{1}}+\frac{{k}_{3}+{k}_{4}}{{m}_{2}}){\lambda}_{i}+\frac{({k}_{1}+{k}_{2})({k}_{3}+{k}_{4})}{{m}_{1}{m}_{2}}=0\)
\({\lambda}_{1}=\frac{2k}{m}\) \({\lambda}_{2}=\frac{4k}{m}\)
fréquences propres:
\(\Rightarrow\) \({f}_{1}=\frac{{\omega}_{1}}{2\pi }\) \({f}_{2}=\frac{{\omega}_{2}}{2\pi }\)
modes propres non normés:
\({\phi }_{1}=\left[\begin{array}{}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\) \({\phi }_{2}=\left[\begin{array}{}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\)
masses modales généralisées \({\mu}_{i}={\phi }_{i}^{T}M{\phi }_{i}\) :
\({\mu}_{1}={\mu}_{2}=m\)
modes propres normés à la masse modale généralisée unitaire \({\phi }_{\mathrm{Nk}}\) :
\(\Rightarrow\) \({\phi }_{\mathrm{N1}}=\frac{{\phi }_{1}}{\sqrt{{\mu}_{1}}}\) \({\phi }_{\mathrm{N2}}=\frac{{\phi }_{2}}{\sqrt{{\mu}_{2}}}\)
modes statiques d’appuis \({\Psi}_{\mathrm{Sj}}\)
Matrice des modes statiques réduite aux ddls de structure \({\varphi}_{S}=-{k}^{-1}{k}_{\mathrm{xs}}\)
\({\varphi}_{S}=\frac{-1}{4k}\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-k& -k& 0\\ 0& -2k& -2k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}& & 0\\ 0& & \end{array}\right]\)
solution statique à un déplacement unitaire du nœud \(\mathrm{NO1}\) :
déplacements: \({\Psi}_{\mathrm{S1}}=\left[\begin{array}{}1\\ \\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\)
solution statique à un déplacement unitaire du nœud \(\mathrm{NO3}\) :
déplacements: \({\Psi}_{\mathrm{S2}}=\left[\begin{array}{}0\\ \\ 1\\ \\ 0\end{array}\right]\)
solution statique à un déplacement unitaire du nœud \(\mathrm{NO5}\) :
déplacements: \({\Psi}_{\mathrm{S3}}=\left[\begin{array}{}0\\ 0\\ 0\\ \\ 1\end{array}\right]\)
mode de corps rigide \({\psi}_{\mathrm{R1}}\)
Matrice des modes rigides réduite aux ddls de structure: \({\varphi}_{R}={\varphi}_{S}{S}_{R}\)
Mode de corps rigide \({\psi}_{\mathrm{R1}}=\left[\begin{array}{}1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\)
On vérifie bien que: \({\psi}_{\mathrm{R1}}={\Psi}_{\mathrm{S1}}+{\Psi}_{\mathrm{S2}}+{\Psi}_{\mathrm{S3}}\)
2.2.2 Modélisation A: Chargement 1 multi-appuis
facteurs de participation modale \({P}_{\mathrm{kj}}={\phi }_{\mathrm{Nk}}^{T}M{\Psi}_{j}\) :
contribution du mode dynamique 1 au mouvement imposé au nœud \(\mathrm{NO1}\) :
\(\Rightarrow\) \({P}_{11}={\phi }_{\mathrm{N1}}^{T}M{\Psi}_{1}=\frac{\sqrt{m}}{2}\)
contribution du mode dynamique 1 au mouvement imposé au nœud \(\mathrm{NO3}\) :
\(\Rightarrow\) \({P}_{12}={\phi }_{\mathrm{N1}}^{T}M{\Psi}_{2}=\frac{\sqrt{m}}{2}\)
contribution du mode dynamique 1 au mouvement imposé au nœud \(\mathrm{NO5}\) :
\(\Rightarrow\) \({P}_{13}={\phi }_{\mathrm{N1}}^{T}M{\Psi}_{3}=0\)
contribution du mode dynamique 2 au mouvement imposé au nœud \(\mathrm{NO1}\) :
\(\Rightarrow\) \({P}_{21}={\phi }_{\mathrm{N2}}^{T}M{\Psi}_{1}=0\)
contribution du mode dynamique 2 au mouvement imposé au nœud \(\mathrm{NO3}\) :
\(\Rightarrow\) \({P}_{22}={\phi }_{\mathrm{N2}}^{T}M{\Psi}_{2}=\frac{\sqrt{m}}{2}\)
contribution du mode dynamique 2 au mouvement imposé au nœud \(\mathrm{NO5}\) :
\(\Rightarrow\) \({P}_{23}={\phi }_{\mathrm{N2}}^{T}M{\Psi}_{3}=\frac{\sqrt{m}}{2}\)
réponse du mode \(i\) au mouvement de l’appui \(j\)
\({\mathrm{Rm}}_{\mathrm{kj}}={\phi }_{\mathrm{Nk}}{P}_{\mathrm{kj}}\frac{{A}_{\mathrm{kj}}}{{\omega}_{i}^{2}}\)
Réponses combinées des oscillateurs modaux
Réponse du mode 1 au mouvement de l’appui1 : \({\mathrm{Rm}}_{11}={\phi }_{\mathrm{N1}}{P}_{11}\frac{{A}_{11}}{{\omega}_{1}^{2}}=\frac{{A}_{11}}{2{\omega}_{1}^{2}}(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array})\)
Réponse du mode 1 au mouvement de l’appui2 : \({\mathrm{Rm}}_{12}={\phi }_{\mathrm{N1}}{P}_{12}\frac{{A}_{12}}{{\omega}_{1}^{2}}=\frac{{A}_{12}}{2{\omega}_{1}^{2}}(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array})\)
Réponse du mode 1 au mouvement de l’appui3 : \({\mathrm{Rm}}_{13}={\phi }_{\mathrm{N1}}{P}_{13}\frac{{A}_{13}}{{\omega}_{1}^{2}}=(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array})\)
Réponse du mode 2 au mouvement de l’appui1 : \({\mathrm{Rm}}_{21}={\phi }_{\mathrm{N2}}{P}_{21}\frac{{A}_{21}}{{\omega}_{2}^{2}}=(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array})\)
Réponse du mode 2 au mouvement de l’appui2 : \({\mathrm{Rm}}_{22}={\phi }_{\mathrm{N2}}{P}_{22}\frac{{A}_{22}}{{\omega}_{2}^{2}}=\frac{{A}_{22}}{2{\omega}_{2}^{2}}(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array})\)
Réponse du mode 2 au mouvement de l’appui3 : \({\mathrm{Rm}}_{23}={\phi }_{\mathrm{N2}}{P}_{23}\frac{{A}_{23}}{{\omega}_{2}^{2}}=\frac{{A}_{23}}{2{\omega}_{2}^{2}}(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array})\)
cumul intra-groupe (somme algébrique)
mode 1: \({\mathrm{Rm}}_{\mathrm{1groupe1}}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}=\frac{{A}_{11}+{A}_{12}}{2{\omega}_{1}^{2}}(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array})\)
mode 2: \({\mathrm{Rm}}_{\mathrm{2groupe1}}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}=\frac{{A}_{22}}{2{\omega}_{2}^{2}}(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array})\)
contribution de l’appui \(j\) au mouvement d’entraînement
\({R}_{j}={\Psi}_{j}{D}_{j}\)
contributions des groupes 1 et 2 au mouvement d’entraînement
\({R}_{\mathrm{groupe1}}={R}_{1}+{R}_{2}=\frac{1}{2}(\begin{array}{c}{D}_{1}+{D}_{2}\\ {D}_{2}\end{array})\) \({R}_{\mathrm{groupe2}}={R}_{3}=\frac{1}{2}(\begin{array}{c}0\\ {D}_{3}\end{array})\)
cumul sur les modes (quadratique)
\({\mathit{Rm}}_{\mathit{groupe}1}=\sqrt{{({\mathit{Rm}}_{11}+{\mathit{Rm}}_{12})}^{2}+{({\mathit{Rm}}_{21}+{\mathit{Rm}}_{22})}^{2}}=\left(\begin{array}{c}\frac{{A}_{11}+{A}_{12}}{2{\omega}_{1}^{2}}\\ \frac{{A}_{22}}{2{\omega}_{2}^{2}}\end{array}\right)\)
\({\mathrm{Rm}}_{\mathrm{groupe2}}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{13}^{2}+{\mathrm{Rm}}_{23}^{2}}=\frac{{A}_{23}}{2{\omega}_{2}^{2}}(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array})\)
réponse des groupes d’appuis 1 et 2
\({R}_{1}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{\mathrm{groupe1}}^{2}+{R}_{\mathrm{groupe1}}^{2}}\) \({R}_{1}^{2}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c}\frac{{({A}_{11}+{A}_{12})}^{2}}{{\omega}_{1}^{2}}+{({D}_{1}+{D}_{2})}^{2}\\ \frac{{A}_{22}^{2}}{{\omega}_{2}^{2}}+{D}_{2}^{2}\end{array}\right]\)
\({R}_{2}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{\mathrm{groupe2}}^{2}+{R}_{\mathrm{groupe2}}^{2}}\) \({R}_{2}^{2}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{{A}_{23}^{2}}{{\omega}_{2}^{2}}+{D}_{3}^{2}\end{array}\right]\)
cumul inter-groupe (quadratique)
\(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) \({R}^{2}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c}\frac{{({A}_{11}+{A}_{12})}^{2}}{{\omega}_{1}^{2}}+{({D}_{1}+{D}_{2})}^{2}\\ \frac{{A}_{22}^{2}+{A}_{23}^{2}}{{\omega}_{2}^{2}}+{D}_{2}^{2}+{D}_{3}^{2}\end{array}\right]\)
2.2. 3 M odélisation B
Il est noté ici que, seule la réponse au DDS est considérée pour valider les règles de combinaison à employer dans cette modélisation B.
contribution de l’appui \(j\) au mouvement d’entraînement
\({R}_{j}={\Psi}_{j}{D}_{j}\)
\({R}_{e1}={\Psi}_{S1}{D}_{1}=\left[\begin{array}{c}{D}_{1}\\ \raisebox{1ex}{{D}_{1}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\)
\({R}_{e2}={\Psi}_{S2}{D}_{1}=\left[\begin{array}{c}0\\ \raisebox{1ex}{{D}_{1}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ {D}_{1}\\ \raisebox{1ex}{{D}_{1}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ 0\end{array}\right]\)
\({R}_{e3}={\Psi}_{S3}{D}_{2}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \raisebox{1ex}{{D}_{2}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ {D}_{2}\end{array}\right]\)
et aux réactions d’appuis:
\({F}_{1}=k{D}_{1}\left[\begin{array}{c}\raisebox{1ex}{1}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ 0\\ \raisebox{1ex}{-1}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ 0\\ 0\end{array}\right]\)
\({F}_{2}=k{D}_{1}\left[\begin{array}{c}\raisebox{1ex}{-1}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ 0\\ \raisebox{1ex}{3}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ 0\\ -1\end{array}\right]\)
\({F}_{3}=k{D}_{2}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\)
Dans cette modélisation B, le cumul des groupes décorrélés d’appuis avec DDS égaux est présenté dans le calcul 1 où le cumul intra-groupe esten valeur absolueet le cumul inter-groupe est quadratique. La combinaison en valeur absolue pour le cumul intra-groupe est ici utilisée car les déplacements différentiels aux appuis sont non-signés. A titre contre-exemplaire, les calculs 2 et 3 sont également établis où les cumuls intra-groupe et inter-groupe sont respectivement linéaire et quadratique.
Calcul 1:Combinaison des groupes décorrélés d’appuis avec DDS intra-groupe égaux:
\({R}_{e}=\sqrt{{(\left|{R}_{e1}\right|+\left|{R}_{e2}\right|)}^{2}+{({R}_{e3})}^{2}}=\left[\begin{array}{c}\left|{D}_{1}\right|\\ \left|{D}_{1}\right|\\ \left|{D}_{1}\right|\\ \sqrt{{(\raisebox{1ex}{{D}_{1}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.)}^{2}+{(\raisebox{1ex}{{D}_{2}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.)}^{2}}\\ \left|{D}_{2}\right|\end{array}\right]\)
\(F=\sqrt{{(\left|{F}_{1}\right|+\left|{F}_{2}\right|)}^{2}+{({F}_{3})}^{2}}=k\left[\begin{array}{c}\left|{D}_{1}\right|\\ 0\\ \sqrt{{(2{D}_{1})}^{2}+{({D}_{2})}^{2}}\\ 0\\ \sqrt{{({D}_{1})}^{2}+{({D}_{2})}^{2}}\end{array}\right]\)
Calcul 2:C ombinaison linéaire intra-groupe et inter-groupe
\({R}_{e}={R}_{e1}+{R}_{e2}+{R}_{e3}=\left[\begin{array}{c}{D}_{g1}\\ {D}_{1}\\ {D}_{1}\\ \raisebox{1ex}{({D}_{1}+{D}_{2})}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ {D}_{2}\end{array}\right]\)
\(F={F}_{1}+{F}_{2}+{F}_{3}=k\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {D}_{1}\\ 0\\ -({D}_{1}+{D}_{2})\end{array}\right]\)
Calcul 3:C ombinaison quadratique intra-groupe et inter-groupe
\({R}_{e}=\sqrt{{({R}_{e1})}^{2}+{({R}_{e2})}^{2}+{({R}_{e3})}^{2}}=\left[\begin{array}{c}\left|{D}_{1}\right|\\ \raisebox{1ex}{\left|{D}_{1}\right|}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.\\ \left|{D}_{1}\right|\\ \sqrt{{(\raisebox{1ex}{{D}_{1}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.)}^{2}+{(\raisebox{1ex}{{D}_{2}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{2}\right.)}^{2}}\\ \left|{D}_{2}\right|\end{array}\right]\)
\(F=\sqrt{{({F}_{1})}^{2}+{({F}_{2})}^{2}+{({F}_{3})}^{2}}=k\left[\begin{array}{c}\raisebox{1ex}{\left|{D}_{1}\right|}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{\sqrt{2}}\right.\\ 0\\ \sqrt{\raisebox{1ex}{{(\sqrt{10}{D}_{1})}^{2}}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{4}\right.+{({D}_{2})}^{2}}\\ 0\\ \sqrt{{({D}_{1})}^{2}+{({D}_{2})}^{2}}\end{array}\right]\)
2.2. 4 M odélisation C
La modélisation C consiste à tester les options de sorties pour un calcul modal spectral en multi-appui corrélé, c’est-à-dire, tous les appuis corrélés entre eux. Ainsi, un seul groupe d’appui est formé. Toutes les contributions des appuis sont combinées en LINE par défaut. Le cumul modal est effectué par la règle SRSS.
Le chargement sismique consiste en trois spectres en VITE, qui sont convertis des spectres en ACCE dans les modélisations A et B en les divisant par les pulsations associées aux deux modes \({f}_{1}=2.25079\) Hz et \({f}_{1}=3.1831\) Hz. Les valeurs numériques sont les suivantes:
au nœud \(\mathit{NO}1\) :
\({\mathit{SRO}}_{\mathit{NO}1}^{\mathit{VITE}}({f}_{1})={A}_{11}/(2\pi {f}_{1})=7/(2\pi 2.25079)m/s\)
\({\mathit{SRO}}_{\mathit{NO}1}^{\mathit{VITE}}({f}_{2})={A}_{21}/(2\pi {f}_{2})=5/(2\pi 3.1831)m/s\)
au nœud \(\mathit{NO}3\) :
\({\mathit{SRO}}_{\mathit{NO}3}^{\mathit{VITE}}({f}_{1})={A}_{12}/(2\pi {f}_{1})=7.7/(2\pi 2.25079)m/s\)
\({\mathit{SRO}}_{\mathit{NO}3}^{\mathit{VITE}}({f}_{2})={A}_{22}/(2\pi {f}_{2})=5.5/(2\pi 3.1831)m/s\)
au nœud \(\mathit{NO}5\) :
\({\mathit{SRO}}_{\mathit{NO}5}^{\mathit{VITE}}({f}_{1})={A}_{13}/(2\pi {f}_{1})=12/(2\pi 2.25079)m/s\)
\({\mathit{SRO}}_{\mathit{NO}5}^{\mathit{VITE}}({f}_{2})={A}_{23}/(2\pi {f}_{2})=6/(2\pi 3.1831)m/s\)
Solution analytique des réponses en déplacement ( DEPL ):
La réponse du mode 1:
\({\mathit{Rm}}_{1}={\mathit{Rm}}_{11}+{\mathit{Rm}}_{12}+{\mathit{Rm}}_{13}=\frac{1}{2{\omega}_{1}^{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ {A}_{11}+{A}_{12}\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\)
La réponse du mode 2:
\({\mathit{Rm}}_{2}={\mathit{Rm}}_{21}+{\mathit{Rm}}_{22}+{\mathit{Rm}}_{23}=\frac{1}{2{\omega}_{2}^{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ {A}_{22}+{A}_{23}\\ 0\end{array}\right]\)
La réponse dynamique totale par cumul quadratique de deux modes :
\(\mathit{Rm}=\sqrt{{\mathit{Rm}}_{1}^{2}+{\mathit{Rm}}_{2}^{2}}=\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{\left|{A}_{11}+{A}_{12}\right|}{2{\omega}_{1}^{2}}\\ 0\\ \frac{\left|{A}_{22}+{A}_{23}\right|}{2{\omega}_{2}^{2}}\\ 0\end{array}\right]\)
Des réponses en réactions aux supports: (REAC_NODA):
La réponse du mode 1:
\({F}_{1}=K({\mathit{Rm}}_{11}+{\mathit{Rm}}_{12}+{\mathit{Rm}}_{13})=\left[\begin{array}{c}-{k}_{1}\frac{{A}_{11}+{A}_{12}}{2{\omega}_{1}^{2}}\\ 0\\ -{k}_{2}\frac{{A}_{11}+{A}_{12}}{2{\omega}_{1}^{2}}\\ 0\\ 0\end{array}\right]\)
La réponse du mode 2:
\({F}_{2}=K({\mathit{Rm}}_{21}+{\mathit{Rm}}_{22}+{\mathit{Rm}}_{23})=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -{k}_{3}\frac{{A}_{22}+{A}_{23}}{2{\omega}_{2}^{2}}\\ 0\\ -{k}_{4}\frac{{A}_{22}+{A}_{23}}{2{\omega}_{2}^{2}}\end{array}\right]\)
La réponse dynamique totale par cumul quadratique de deux modes :
\(F=\sqrt{{F}_{1}^{2}+{F}_{2}^{2}}=\left[\begin{array}{c}\frac{{k}_{1}\left|{A}_{11}+{A}_{12}\right|}{2{\omega}_{1}^{2}}\\ 0\\ \sqrt{{(\frac{{k}_{1}\left|{A}_{11}+{A}_{12}\right|}{2{\omega}_{1}^{2}})}^{2}+{(\frac{{k}_{4}\left|{A}_{22}+{A}_{23}\right|}{2{\omega}_{2}^{2}})}^{2}}\\ 0\\ \frac{{k}_{4}\left|{A}_{22}+{A}_{23}\right|}{2{\omega}_{2}^{2}}\end{array}\right]\)
Incertitude sur la solution#
Aucune (solution analytique)
Modélisation#
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 5 nœuds, 4 mailles SEG2 et 2 mailles POI1.
Caractéristiques de la modélisation#
Le système est modélisé par:
4 éléments discrets DIS_T de caractéristiques K_T_D_L,
2 éléments discrets DIS_T de caractéristiques M_T_D_N.
Paramètres de modélisation#
Modélisation A#
Calcul des modes statiques pour les mouvements des points \(\mathrm{NO1}\) , \(\mathrm{NO3}\) et \(\mathrm{NO5}\) .
Réponse modale spectrale multi-appuis décorrélés sur les 2 premiers modes sans correction statique (combinaison des réponses modales SRSS), sans amortissement.
Modélisation B#
Calcul des modes statiques pour les mouvements des points \(\mathrm{NO1}\) , \(\mathrm{NO3}\) et \(\mathrm{NO5}\) .
Réponse au DDS avec différentes règles de combinaisons:
Calcul 1: Combinaison des groupes décorrélés d’appuis avec DDS intra-groupe égaux:
Il faut définir les cas de charge par appuis (et non par groupe d’appuis). La combinaison en valeur absolue est utilisée pour le cumul intra-groupe et la combinaison quadratique pour le cumul inter-groupe.
Résultats des occurrences du mot-clé DEPL_MULT_APPUI:
cas 1: N01 avec DX = -0.04 m
cas 2: N03 avec DX = -0.04 m
cas 3: N05 avec DX = 0.06 m
Réponse produite par le mot-clé COMB_DEPL_APPUI:
Liste des cas: cas 1,cas 2 et cas 3
Règle de combinaison des cas 1 et 2: valeur absolue (TYPE_COMBI=”ABS”,)
Règle de combinaison globale: Quadratique
Calcul 2:C ombinaison linéaire intra-groupe et inter-groupe
Résultat des occurrences du mot-clé DEPL_MULT_APPUI:
cas 1: groupe 1 avec DX = -0.04 m
cas 2: groupe 2 avec DX = 0.06 m
Réponse produite par le mot-clé COMB_DEPL_APPUI:
Liste des cas: cas 1 et cas 2
Règle de combinaison : Linéaire (TYPE_COMBI=”LINE”,)
Calcul 3: C ombinaison quadratique intra-groupe et inter-groupe
Résultat des occurrences du mot-clé DEPL_MULT_APPUI:
cas 1: groupe1 avec DX = -0.04 m
cas 2: groupe 2 avec DX = 0.06m
Réponse produite par le mot-clé COMB_DEPL_APPUI:
Liste des cas: cas 1 et cas 2
Règle de combinaison: Quadratique (TYPE_COMBI=”QUAD”,)
Résultats de la modélisation A#
Fréquences propres#
MODE |
Référence |
Code_Aster |
Erreur relative (%) |
1 |
2.2507900E+00 |
2.25079079E+00 |
3.5E-05 |
2 |
3.1830000E+00 |
3.18309886E+00 |
0.003 |
Réponse globale sur base modale complète#
Les modes 1 et 2 sont pris en compte. Les composantes inertielle et statique (réponse aux DDS) de la réponse sont directement cumulées au niveau des appuis.
COMB_MODE=’SRSS’
réponse de l’appui \(j=1\) (nœud \(\mathrm{NO1}\) ): \({R}_{1}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{1}^{2}+{R}_{1}^{2}}\) avec \({\mathrm{Rm}}_{1}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{11}^{2}+{\mathrm{Rm}}_{21}^{2}}\)
réponse de l’appui \(j=2\) (nœud \(\mathrm{NO4}\) ): \({R}_{2}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{2}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) avec \({\mathrm{Rm}}_{2}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{12}^{2}+{\mathrm{Rm}}_{22}^{2}}\)
réponse globale: \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) .
déplacements absolus: DEPL
NOEUD |
Référence |
Code_Aster |
Erreur relative (%) |
NO1 |
4.00000E-02 |
4.00000E-02 |
0.000 |
NO2 |
5.58000E-02 |
5.58083E-02 |
0.015 |
NO3 |
4.40000E-02 |
4.40000E-02 |
0.000 |
NO4 |
3.85600E-02 |
3.85683E-02 |
0.022 |
NO5 |
6.00000E-02 |
6.00000E-02 |
0.000 |
réactions nodales : REAC_NODA
NOEUD |
Référence |
Code_Aster |
Erreur relative (%) |
NO1 |
3.68000E+01 |
3.68044E+01 |
0.012 |
NO2 |
0.00000E+00 |
2.23756E-14 |
2.2E-14 |
NO3 |
8.64900E+01 |
8.64906E+01 |
7.0E-04 |
NO4 |
0.00000E+00 |
3.071843E-14 |
3.1E-14 |
NO5 |
7.71400E+01 |
7.71367E+01 |
-0.004 |
Résultats de la modélisation B#
Nous ne comparons que les réponses au DDS en déplacement absolu et en réactions d’appuis.
Calcul 1 : Combinaison des groupes décorrélés d’appuis avec DDS intra-groupe égaux#
déplacements absolus: DEPL
NOEUD |
Référence |
Code_Aster |
Erreur relative (%) |
NO1 |
0.04 |
4.0000000000E-02 |
0.000 |
NO2 |
0.04 |
4.0000000000E-02 |
0.000 |
NO3 |
0.04 |
4.0000000000E-02 |
0.000 |
NO4 |
0.036055513 |
3.6055512754E-02 |
0.000000682 |
NO5 |
0.06 |
6.0000000000E-02 |
0.000 |
Réaction d’appui: REAC_NODA
NOEUD |
Référence |
Code_Aster |
Erreur relative (%) |
NO1 |
40 |
0.0000000000E+00 |
0.000 |
NO2 |
0.0 |
0.0000000000E+00 |
0.000 |
NO3 |
100 |
100.00000000E+00 |
0.000 |
NO4 |
0.0 |
2.7284841053E-14 |
2.7284841053E-14 |
NO5 |
72.11103 |
7.2111025509E+01 |
0.000 |
Calcul 2 : Combinaison linéaire intra-groupe et inter-groupe#
déplacements absolus: DEPL
NOEUD |
Référence |
Code_Aster |
Erreur relative (%) |
NO1 |
-0.04 |
-4.0000000000E-02 |
0.000 |
NO2 |
-0.04 |
-4.0000000000E-02 |
0.000 |
NO3 |
-0.04 |
-4.0000000000E-02 |
0.000 |
NO4 |
0.01 |
1.0000000000E-02 |
0.000 |
NO5 |
0.06 |
6.0000000000E-02 |
0.000 |
Réaction d’appui: REAC_NODA
NOEUD |
Référence |
Code_Aster |
Erreur relative (%) |
NO1 |
0.0 |
0.0000000000E+00 |
0.000 |
NO2 |
0.0 |
0.0000000000E+00 |
0.000 |
NO3 |
-100 |
-1.0000000000E+02 |
0.000 |
NO4 |
0.0 |
2.72848410531E-14 |
2.72848410531E-14 |
NO5 |
100 |
1.0000000000E+02 |
0.000 |
Calcul 3 : Combinaison quadratique intra-groupe et inter-groupe#
déplacements absolus: DEPL
NOEUD |
Référence |
Code_Aster |
Erreur relative (%) |
NO1 |
0.04 |
4.0000000000E-02 |
0.000 |
NO2 |
0.028284 |
2.8284271247E-02 |
-0.000000873 |
NO3 |
0.04 |
4.0000000000E-02 |
0.000 |
NO4 |
0.036056 |
3.6055512754E-02 |
0.000000682 |
NO5 |
0.06 |
6.0000000000E-02 |
0.000 |
Réaction d’appui: REAC_NODA
NOEUD |
Référence |
Code_Aster |
Erreur relative (%) |
NO1 |
28.28427 |
2.8284271247E+01 |
0.000 |
NO2 |
0.0 |
0.0000000000E+00 |
0.000 |
NO3 |
87.17798 |
8.7177978870E+01 |
0.000 |
NO4 |
0.0 |
2.72848410531E-14 |
2.72848410531E-14 |
NO5 |
72.11103 |
7.21110255092E+01 |
0.000 |
Résultats de la modélisation C#
Cette modélisation consiste à tester des options de sorties afin d’imprimer les résultats spectraux correspondant aux modes et appuis souhaités: TYPE_RESU(_F(TYPE = VALE_SPEC)). Les différentes mots-clés testés correspondent à la recherche du numéro de mode, de l’appui pour les résultats à imprimer.
Réponse totale en cas du multi-appui corrélés TYPE_RESU(_F(TYPE = VALE_TOTA)).#
déplacements absolus: DEPL
NOEUD |
Référence |
Code_Aster ( NOM_CAS = TOTA ) |
Erreur relative (%) |
NO1 |
0.0 |
0.0000000000E+00 |
0.000 |
NO2 |
0.0367500000128258 |
3.67500129052E-02 |
0.000 |
NO3 |
0.0 |
0.0000000000E+00 |
0.000 |
NO4 |
0.0143750000166001 |
1.43750077500E-02 |
0.000 |
NO5 |
0.0 |
0.0000000000E+00 |
0.000 |
Réaction d’appui: REAC_NODA
NOEUD |
Référence |
Code_Aster ( NOM_CAS = TOTA ) |
Erreur relative (%) |
NO1 |
36.750000012825800 |
3.6750012905E+01 |
0.000 |
NO2 |
0.0 |
1.59111253910E-14 |
0.000 |
NO3 |
46.659672125420200 |
4.6659691809E+01 |
0.000 |
NO4 |
0.0 |
3.07896532112E-14 |
0.000 |
NO5 |
28.750000033200200 |
2.8750015500E+01 |
0.000 |
Réponse spectrale TYPE_RESU(_F(TYPE = VALE_SPEC)).#
Mode 1:
déplacements absolus: DEPL
A ppui |
DX au NOEUD |
Référence |
Code_Aster |
Erreur relative (%) |
APP1 ( NOM_CAS = SPEC_1XAPP1 ) |
NO2 |
0.0175000000 |
1.75000061453E-02 |
0.000 |
NO4 |
0.0 |
-7.33086981220E-18 |
0.000 |
|
APP2 ( NOM_CAS = SPEC_1XAPP2 ) |
NO2 |
0.0192500000 |
1.92500067598E-02 |
0.000 |
NO4 |
0.0 |
-8.06395679342E-18 |
0.000 |
|
APP3 ( NOM_CAS = SPEC_1XAPP3 ) |
NO2 |
0.0 |
-2.51344107847E-17 |
0.000 |
NO4 |
0.0 |
1.05289730608E-32 |
0.000 |
déplacements absolus: REAC_NODA
Mouvement d’appui |
FX au NOEUD |
Référence |
Code_Aster |
Erreur relative (%) |
APP1 ( NOM_CAS = SPEC_1XAPP1 ) |
NO1 |
-17.5000000061075 |
-1.750000E+01 |
0.000 |
NO3 |
-17.5000000061075 |
-1.750000E+01 |
0.000 |
|
NO5 |
0.0 |
1.4661739E-14 |
0.000 |
|
APP2 ( NOM_CAS = SPEC_1XAPP2 ) |
NO1 |
-19.2500000067183 |
-1.925000E+01 |
0.000 |
NO3 |
-19.2500000067183 |
-1.925000E+01 |
0.000 |
|
NO5 |
0.0 |
1.6127913E-14 |
0.000 |
|
APP3 ( NOM_CAS = SPEC_1XAPP3 ) |
NO1 |
0.0 |
2.5134410E-14 |
0.000 |
NO3 |
0.0 |
2.5134410E-14 |
0.000 |
|
NO5 |
0.0 |
-2.1057946E-29 |
0.000 |
Mode 2:
déplacements absolus: DEPL
Mouvement d’appui |
DX au NOEUD |
Référence |
Code_Aster |
Erreur relative (%) |
APP1 ( NOM_CAS = SPEC_2XAPP1 ) |
NO2 |
0.0 |
6.9316175188E-34 |
0.000 |
NO4 |
0.0 |
-1.4717782532E-18 |
0.000 |
|
APP2 ( NOM_CAS = SPEC_2XAPP2 ) |
NO2 |
0.0 |
-3.2379121570E-18 |
0.000 |
NO4 |
0.006875000007939 |
6.8750023865E-03 |
0.000 |
|
APP3 ( NOM_CAS = SPEC_2XAPP3 ) |
NO2 |
0.0 |
-3.5322691075E-18 |
0.000 |
NO4 |
0.007500000008661 |
7.5000053634E-03 |
0.000 |
déplacements absolus: REAC_NODA
Mouvement d’appui |
FX au NOEUD |
Référence |
Code_Aster |
Erreur relative (%) |
APP1 ( NOM_CAS = SPEC_2XAPP1 ) |
NO1 |
0.0 |
-6.93161751E-31 |
0.000 |
NO3 |
0.0 |
2.9435565064E-15 |
0.000 |
|
NO5 |
0.0 |
2.94355650640E-15 |
0.000 |
|
APP2 ( NOM_CAS = SPEC_2XAPP2 ) |
NO1 |
0.0 |
3.23791215704E-15 |
0.000 |
NO3 |
-13.7500000158784 |
-1.375000477E+01 |
0.000 |
|
NO5 |
-13.7500000158784 |
-1.375000477E+01 |
0.000 |
|
APP3 ( NOM_CAS = SPEC_2XAPP3 ) |
NO1 |
0.0 |
3.5322691075E-15 |
0.000 |
NO3 |
-15.0000000173219 |
-1.500001072E+01 |
0.000 |
|
NO5 |
-15.0000000173219 |
-1.500001072E+01 |
0.000 |
Synthèse des résultats#
Parfait accord des résultats Code_Aster avec les valeurs de référence analytiques.