v6.06.102 SSNX102 - Options de calcul de l’élément 3D_INTERF_POU

Résumé:

L’objectif de ce test est de valider les différentes options de calcul de l’élément d’interaction 3D_INTERF_POU [R7.01.49].

Ce test est purement numérique. Il s’agit de vérifier que la programmation est correcte. Des déplacements sont imposés en différents noeuds de l’élément. On vérifie ensuite que les forces nodales, ainsi que les efforts linéiques d’intéraction et le déplacement relatif, aux points d’intégration et aux noeuds, sont conformes aux attentes.

Les différentes modélisations vérifient :

• l’orientation de l’axe du renforcement : MODI_MAILLAGE( ORIE_INTERF_POU )

• l’orientation de la section du renforcement : AFFE_CARA_ELEM( ORIENTATION )

• le type de section du renforcement : AFFE_CARA_ELEM( POUTRE( _F(SECTION) ))

• le type de comportement : STAT_NON_LINE( COMPORTEMENT( _F(RELATION) ))

• les options de calcul liés à la résolution statique linéaire et non-linéaire : MECA_STATIQUE, STAT_NON_LINE

• les options de calcul liés au posttraitement par CALC_CHAMP : FORC_NODA, SIEF_ELGA, SIEF_ELNO, SIEF_NOEU, SAUT_ELGA, SAUT_ELNO

• autres options de calcul : COOR_ELGA

Solution de référence

\[\newcommand{\disps}{\disp_s} \newcommand{\dispp}{\disp_p} \newcommand{\dispr}{\disp_r} \newcommand{\dispVirts}{\dispVirt_s} \newcommand{\dispVirtp}{\dispVirt_p} \newcommand{\discDisp}{\discVect{U}} \newcommand{\discDisps}{\discVect{U_s}} \newcommand{\discDispp}{\discVect{U_p}} \newcommand{\discDispVirt}{\discVect{\delta U}} \newcommand{\discDispVirts}{\discVect{\delta U_s}} \newcommand{\discDispVirtp}{\discVect{\delta U_p}} \newcommand{\discShapeFunc}{\discMatr{\shapeFunc}} \newcommand{\discShapeFuncp}{\discMatr{\shapeFunc_p}} \newcommand{\discShapeFuncpf}{\discMatr{\shapeFunc_{pf}}} \newcommand{\discShapeFuncs}{\discMatr{\shapeFunc_s}} \newcommand{\discShapeFuncsf}{\discMatr{\shapeFunc_{sf}}} \newcommand{\discForcInterf}{\discVect{p_{f}}} \newcommand{\discForcInterpf}{\discVect{p_{pf}}} \newcommand{\discForcIntersf}{\discVect{p_{sf}}} \DeclareMathOperator{\det}{det}\]

La solution de référence est analytique.

Interpolation du déplacement à l’interface

Soit les déplacements aux noeuds de l’élément :

\[\begin{split}\discDisp = \left\{ \begin{matrix} \discDisps \\ \discDispp \end{matrix} \right\}\end{split}\]

Le déplacement relatif à l’interface se calcule comme suit :

\[\begin{split}\begin{align} \dispr & = \disp_{sf} - \disp_{pf} \\ & = \discMatr{ \begin{matrix} \discShapeFuncsf & - \discShapeFuncpf \end{matrix} } \left\{ \begin{matrix} \discDisps \\ \discDispp \end{matrix} \right\} \end{align}\end{split}\]

Dans les cas tests présentés ici, l’une des deux phases est toujours bloquée. Suivant le problème, on peut donc se contenter de calculer le déplacement de l’une des deux.

Interpolation du déplacement de la matrice à l’interface : SAUT_ELGA, SAUT_ELNO

Soit \(u\) le déplacement en un point quelconque \(\left( \xi,\eta, \chi \right)\) de la matrice sur l’un des trois axes. Alors l’interpolation du déplacement s’écrit :

\[u = \sum_{i=1}^{8} \shapeFunc_i U_i\]

où \(\shapeFunc_i\) la fonction de forme du noeud \(i\) et \(U_i\) son déplacement nodal dans la direction de \(u\).

L’expression des fonctions de forme de la matrice dans son espace standard est donné ci-dessous :

\[\begin{split}\left\{ \begin{align} \shapeFunc_1 & = (1-\xi_s)(1-\eta_s)(1-\chi_s)/8 \\ \shapeFunc_2 & = (1+\xi_s)(1-\eta_s)(1-\chi_s)/8 \\ \shapeFunc_3 & = (1+\xi_s)(1+\eta_s)(1-\chi_s)/8 \\ \shapeFunc_4 & = (1-\xi_s)(1+\eta_s)(1-\chi_s)/8 \\ \shapeFunc_5 & = (1-\xi_s)(1-\eta_s)(1+\chi_s)/8 \\ \shapeFunc_6 & = (1+\xi_s)(1-\eta_s)(1+\chi_s)/8 \\ \shapeFunc_7 & = (1+\xi_s)(1+\eta_s)(1+\chi_s)/8 \\ \shapeFunc_8 & = (1-\xi_s)(1+\eta_s)(1+\chi_s)/8 \end{align} \right.\end{split}\]

Fig. 717 Cinématique du problème 3

Dans le cas du problème 3 (fig. Fig. 717), le déplacement \(U\) est appliqué de façon uniforme sur l’ensemble de noeuds \(\left\{ 2; 3; 6; 7 \right\}\). Par ailleurs, évaluées à l’interface \(\left( \eta = \chi = 0 \right)\), les fonctions de forme de cette ensemble de noeuds, sont toutes égales. Ainsi

\[u_{sf} \left( \xi \right) = \frac{1 + \xi}{2} U\]

Le déplacement relatif aux points de Gauss (SAUT_ELGA) peut ainsi être calculé simplement en évaluant l’expression en ces points. Ceux-ci sont situés en \(\xi = - \sqrt{\frac{1}{3}}\) et \(\xi = \sqrt{\frac{1}{3}}\).

Le déplacement relatif projeté aux noeuds (SAUT_ELNO) est calculé en évaluant l’expression en \(\xi = - 1\) et \(\xi = 1\).

Le calcul de l’intégrale des déplacements relatifs sur l’interface est nécessaire pour le calcul des efforts internes. Il est proposé de les calculer directement ici :

\[\int_{-1}^{1} u_{sf} \left( \xi \right) \; d\xi = U\]

Interpolation du déplacement du renforcement à l’interface

Problème 1

Fig. 718 Cinématique du problème 1

Traitons tout d’abord le problème 1 (fig. Fig. 718) :

Soit \(U\) le déplacement en translation appliqué en bout de renforcement dans la direction du renforcement. Alors

\[u_{pf} \left( x \right) = \shapeFunc_2^u \left( x \right) \, U\]

où

\[\shapeFunc_2^u \left( x \right) = \frac{x}{L}\]

Le calcul de l’intégrale donne :

\[\int_{0}^{L} u_{pf} \left( x \right) \; dL = \frac{L}{2} U\]

Soit \(V\) le déplacement en translation appliqué en bout de renforcement dans l’une des directions de flexion, les rotations restant bloquées. Alors

\[v_{pf} \left( x \right) = \shapeFunc_3^v \left( x \right) \, V\]

où

\[\shapeFunc_3^v \left( x \right) = - \frac{1}{1 + \phi} \left( 2 \left( \frac{x}{L} \right)^3 - 3 \left( \frac{x}{L} \right)^2 - \phi \frac{x}{L} \right)\]

Le calcul de l’intégrale donne :

\[\int_{0}^{L} u_{pf} \left( x \right) \; dL = \frac{L}{2} V\]

Problème 2

Fig. 719 Cinématique du problème 2

Traitons ensuite le problème 2 (fig. Fig. 719).

Soit \(\theta\) la rotation appliquée en bout de renforcement dans l’une des directions orthogonales à l’axe du renforcement [1], les translations restant bloquées. Alors

\[v_{pf} \left( x \right) = \beta \shapeFunc_4^v \left( x \right) \, \alpha \theta\]

où

\[\shapeFunc_4^v \left( x \right) = - \frac{L}{1 + \phi} \left( \left( \frac{x}{L} \right)^3 - \left( 1 - \frac{\phi}{2} \right) \left( \frac{x}{L} \right)^2 - \frac{\phi}{2} \frac{x}{L} \right)\]

et \(\alpha\) est un coefficient permettant d’ajuster le signe de la translation et \(\beta\) le signe de la fonction de forme. En effet, concernant \(\alpha\), une rotation positive autour de \(Y\) engendre une translation négative sur \(Z\), tandis qu’une rotation positive autour de \(Z\) engendre une translation également positive sur \(Y\). Dans le cas de \(\beta\), il s’agit simplement de tenir compte du fait qu’en principe, suivant la direction, il faut considérer des fonctions de forme opposées (\(\shapeFunc_4^w = - \shapeFunc_4^v\)).

Le calcul de l’intégrale donne :

\[\int_{0}^{L} v_{pf} \left( x \right) \; dL = - \beta \frac{L^2}{12} \alpha \theta\]

Remarque

Dans les cas des problèmes 1 et 2, les déplacements (du renforcement) ne sont pas directement vérifiés dans les cas tests. Leur intégrale étant plus simple calculer dans le repère parent, c’est pour cela qu’on ne se préoccupe pas de les écrire dans le repère standard.

Efforts d’interface : SIEF_ELGA, SIEF_ELNO

Soit \(\tau\) l’effort d’interface sur l’un des axes de l’élément :

\[\tau = w_{sc} k u_{sf}\]

où \(k\) la raideur retournée sur l’axe par la loi d’interface, \(u_{sf}\) (ou \(- u_{pf}\)) le déplacement relatif obtenu à dans les paragraphes précédents et \(w_{sc}\) un facteur de forme.

Les trois facteurs de forme (un par direction) prennent des valeurs différentes en fonction du type de section :

• rectangulaire :

\[\begin{split}\vector{w}_{sc} = \left\{ \begin{matrix} 2 \left( h_y + h_z \right) \\ h_y \\ h_z \end{matrix} \right\}\end{split}\]

• circulaire :

\[\begin{split}\vector{w}_{sc} = \left\{ \begin{matrix} 2 \Pi r \\ 2 r \\ 2 r \end{matrix} \right\}\end{split}\]

Efforts internes : FORC_NODA

Les efforts internes appliqués par le renforcement sur la matrice peuvent être calculés analytiquement tels que :

\[p_{sf} = \int_{\domain_f}{} \tau \; d\domain = \int_{\domain_f}{} w_{sc} k u_{sf} \! \left( x \right)\]

et de même ceux de la matrice sur le renforcement :

\[p_{pf} = \int_{\domain_f}{} w_{sc} k u_{pf} \! \left( x \right)\]

D’un point de vue graphique, on est en train de calculer l’aire sous la courbe de la figure Fig. 718 par exemple, qu’on multiplie ensuite par la raideur élastique d’interface.

Ainsi, dans le cas du problème 3, sur un axe quelconque de l’élément :

\[p_{sf} = \int_{-1}^{1} w_{sc} k \frac{1 + \xi}{2} U \valeAbs{\det \jacobTransfor} \; d\xi\]

où \(\valeAbs{\det \jacobTransfor} = \frac{L}{2}\).

A partir des expressions des intégrales des déplacements données plus haut, cela donne :

\[p_{sf} = w_{sc} k U \frac{L}{2}\]

Remarque :

Plutôt que de faire la somme des efforts internes sur tous les noeuds de la matrice, on somme simplement sur deux noeuds, l’un chargé et l’autre bloqué, et on compare à la valeur de référence divisée par quatre.

Dans le cas du problème 1 :

\[p_{pf} = \int_{0}^{L} w_{sc} k \shapeFunc_2^u \left( x \right) \, U \; dL = w_{sc} k \frac{L}{2} U\]

ou

\[p_{pf} = \int_{0}^{L} w_{sc} k \shapeFunc_3^v \left( x \right) \, V \; dL = w_{sc} k \frac{L}{2} V\]

suivant la direction observée.

Dans le cas du problème 2 :

\[p_{pf} = \int_{0}^{L} w_{sc} k \shapeFunc_4^v \left( x \right) \, \theta \; dL = - \beta w_{sc} k \frac{L^2}{12} \alpha \theta\]

Footnotes

[1]

L’élément ne possède pas de raideur en torsion. La torsion relative n’est donc pas calculé.

Modélisation A, B, C et D

Caractéristiques de modélisation

Tableau 159 Caractéristiques de modélisation

Modèle	Orientation de la maille : VECTORIE	Orientation de la section : ANGL_VRIL	Type de section : SECTION	Type de comportement	Opérateur de résolution	Champ(s) de post-traitement
A	Y	35	RECTANGLE	INTERF_POU_CINE	STAT_NON_LINE	FORC_NODA, SIEF_ELGA, SIEF_ELNO, SAUT_ELNO, COOR_ELGA
B	X	197	CERCLE	INTERF_POU_CINE	STAT_NON_LINE	FORC_NODA, SIEF_ELGA, SIEF_ELNO, SAUT_ELNO
C	Y	35	RECTANGLE		MECA_STATIQUE	FORC_NODA
D	Y	35	RECTANGLE	INTERF_POU_ELAS	STAT_NON_LINE	FORC_NODA, SIEF_ELGA, SIEF_ELNO, SAUT_ELNO

En particulier, en sortie de l’opérateur MECA_STATIQUE (modélisation C), seule l’option FORC_NODA est vérifiée.

Grandeurs testées et résultats

Les écarts (en %) par rapport à la référence sont donnés dans les tableaux ci-dessous :

• FORC_NODA

Tableau 160 FORC_NODA - Problème 1 Modèle FX FY FZ A 0.0 0.0 0.0 B 0.0 0.0 0.0 C 0.0 0.0 0.0 D 0.0 0.0 0.0

Tableau 161 FORC_NODA - Problème 2 Modèle FX FY FZ A 0.0 0.0 0.0 B 0.0 0.0 0.0 C 0.0 0.0 0.0 D 0.0 0.0 0.0

Tableau 162 FORC_NODA - Problème 3 Modèle FX FY FZ A 0.0 0.0 0.0 B 0.0 0.0 0.0 C 0.0 0.0 0.0 D 0.0 0.0 0.0

• SIEF_ELGA

Tableau 163 SIEF_ELGA - pt. Gauss n°1 Modèle FX FY FZ A 0.0 0.0 0.0 B 0.0 0.0 0.0 D 0.0 0.0 0.0

Tableau 164 SIEF_ELGA - pt. Gauss n°2 Modèle FX FY FZ A 0.0 0.0 0.0 B 0.0 0.0 0.0 D 0.0 0.0 0.0

• SIEF_ELNO

Tableau 165 SIEF_ELNO - noeud N23 Modèle FX FY FZ A 0.0 0.0 0.0 B 0.0 0.0 0.0 D 0.0 0.0 0.0

Tableau 166 SIEF_ELNO - noeud N25 Modèle FX FY FZ A 0.0 0.0 0.0 B 0.0 0.0 0.0 D 0.0 0.0 0.0

• SAUT_ELNO

Tableau 167 SAUT_ELNO - noeud N23 Modèle DX DY DZ A 0.0 0.0 0.0 B 0.0 0.0 0.0 D 0.0 0.0 0.0

Tableau 168 SAUT_ELNO - noeud N25 Modèle DX DY DZ A 0.0 0.0 0.0 B 0.0 0.0 0.0 D 0.0 0.0 0.0

• COOR_ELGA

Tableau 169 COOR_ELGA - pt. Gauss 1 Modèle COOR_Z A 0.0

Tableau 170 COOR_ELGA - pt. Gauss 2 Modèle COOR_Z A 0.0

Synthèse

Les différentes fonctionnalitées appliquées à l’élément 3D_INTERF_POU et testées dans ce cas test, sont validées. Pour rappel, les différentes modélisations vérifient :

• l’orientation de l’axe du renforcement : MODI_MAILLAGE( ORIE_INTERF_POU )

• l’orientation de la section du renforcement : AFFE_CARA_ELEM( ORIENTATION )

• le type de section du renforcement : AFFE_CARA_ELEM( POUTRE( _F(SECTION) ))

• le type de comportement : STAT_NON_LINE( COMPORTEMENT( _F(RELATION) ))

• les options de calcul liés à la résolution statique linéaire et non-linéaire : MECA_STATIQUE, STAT_NON_LINE

• les options de calcul liés au post-traitement par CALC_CHAMP : FORC_NODA, SIEF_ELGA, SIEF_ELNO, SIEF_NOEU, SAUT_ELGA, SAUT_ELNO