v7.02.311 HPLP311 - Murakami 11.17 Fissure au centre d’une plaque mince rectangulaire faisant obstacle à un flux de chaleur uniforme en milieu isotrope#
Résumé:
Il s’agit d’un calcul statique thermo-élastique linéaire isotrope.
C’est un test de base en \(\mathrm{2D}\) plan pour un chargement thermique stationnaire calculé par éléments finis sur le même maillage avec un matériau isotrope en mode \(\mathrm{II}\) .
Objectif :
test de base en \(\mathrm{2D}\) plan, pour un chargement thermique stationnaire calculé par éléments finis sur le même maillage, avec matériau isotrope, en mode \(\mathrm{II}\) ,
validation du calcul de \({K}_{\mathrm{II}}\) ,
variabilité de \(G\) en fonction de la topologie (secteurs, couronnes) du maillage rayonnant. Vérification de l’invariance des résultats en mécanique de la rupture, à une extrémité de fissure, par rapport au maillage de l’autre extrémité de la même fissure.
Le calcul est testé sur un maillage complet et un demi-maillage. Les paramètres \(L/W\) et \(\mathrm{2A}/W\) étant fixes.
On mesure un écart relatif sur \({K}_{\mathrm{II}}\) , la précision est néanmoins mal définie.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Potentiel complexe.
Résultats de référence#
où le facteur de correction géométrique \({F}_{\mathrm{II}}\) est donné en fonction de \(\eta\) pour chaque matériau, dans le cas particulier \(\beta =0,5\) sur les courbes ci-dessous.
Le matériau isotrope étant représenté par la courbe \(I\)
Incertitude sur la solution#
Précision non définie.
Références bibliographiques#
MURAKAMI: Stress Intensity Factors Handbook, case 11.17, pages 1045-1047. The Society of Materials Science, Japan, Pergamon Press, 1987.
Modélisations A, B, C, D, E et F#
Caractéristiques de la modélisation#
Ces 6 modélisations correspondent à 6 maillages où on fait varier 3 paramètres topologiques. Le tableau ci-dessous résume les différents cas étudiés :
\(\mathrm{NS}=8\) , \(\mathrm{NC}=4\) |
\(\mathrm{NS}=4\) , \(\mathrm{NC}=3\) |
|
\(\mathrm{rt}=0,001\ast a\) |
A |
B |
\(\mathrm{rt}=0,01\ast a\) |
C |
D |
\(\mathrm{rt}=0,1\ast a\) |
E |
F |
Les paramètres topologiques qui varient sont :
\(\mathrm{NS}\) : |
nombre de secteurs sur 90° |
\(\mathrm{NC}\) : |
nombre de couronnes |
\(\mathrm{rt}\) : |
le rayon de la plus grande couronne (avec a : demi longueur de la fissure) |
Modélisations A et B#
Demi maillage - Modélisation A
Zoom de la pointe de fissure - Modélisation A
Demi maillage - Modélisation B
Zoom de la pointe de fissure - Modélisation B
Modélisations C et D#
Maillage complet - Modélisation C
Maillage complet - Modélisation D
Modélisations E et F#
Maillage complet - Modélisation E
Maillage complet - Modélisation F
Définition des rayons des couronnes#
Pour ces différents cas, nous définissons les valeurs des rayons supérieurs et inférieurs, à préciser dans la commande CALC_G :
Modélisation A
1 ère couronne |
2 ième couronne |
3 ième couronne |
4 ième couronne |
|
\(\mathrm{rinf}(m)\) |
3,75E–5 |
7,500E–5 |
1,125E–4 |
1,500E–4 |
\(\text{rsup}(m)\) |
7,50E–5 |
1,125E–4 |
1,500E–4 |
1,875E–4 |
Modélisation B
1 ère couronne |
2 ième couronne |
3 ième couronne |
|
\(\mathrm{rinf}(m)\) |
5,00E–5 |
1,00E–4 |
1,50E–4 |
\(\text{rsup}(m)\) |
1,00E–4 |
1,50E–4 |
2,00E–4 |
Modélisation C
1 ère couronne |
2 ième couronne |
3 ième couronne |
4 ième couronne |
|
\(\mathrm{rinf}(m)\) |
3,75E–4 |
7,500E–4 |
1,125E–3 |
1,500E–3 |
\(\text{rsup}(m)\) |
7,50E–4 |
1,125E–3 |
1,500E–3 |
1,875E–3 |
Modélisation D
1 ère couronne |
2 ième couronne |
3 ième couronne |
|
\(\mathrm{rinf}(m)\) |
5,00E–4 |
1,00E–3 |
1,50E–3 |
\(\text{rsup}(m)\) |
1,00E–3 |
1,50E–3 |
2,00E–3 |
Modélisation E
1 ère couronne |
2 ième couronne |
3 ième couronne |
4 ième couronne |
|
\(\mathrm{rinf}(m)\) |
3,75E–3 |
7,500E–3 |
1,125E–2 |
1,500E–2 |
\(\text{rsup}(m)\) |
7,50E–3 |
1,125E–2 |
1,500E–2 |
1,875E–2 |
Modélisation F
1 ère couronne |
2 ième couronne |
3 ième couronne |
|
\(\mathrm{rinf}(m)\) |
5,00E–3 |
1,00E–2 |
1,50E–2 |
\(\text{rsup}(m)\) |
1,00E–2 |
1,50E–2 |
2,00E–2 |
Caractéristiques du maillage#
Demi-maillage; maillage rayonnant à l’extrémité droite de la fissure.
Le tableau ci-dessous donne la constitution des maillages étudiés :
\(\mathrm{NS}=8\) , \(\mathrm{NC}=4\) |
\(\mathrm{NS}=4\) , \(\mathrm{NC}=3\) |
|
\(\mathrm{rt}=0,001\ast a\) |
3831 nœuds, 1516 éléments, 884 TRI6, 632 QUA8. |
3507 nœuds, 1388 éléments, 820 TRI6, 568 QUA8. |
\(\mathrm{rt}=0,01\ast a\) |
1179 nœuds, 400 éléments, 104 TRI6, 296 QUA8. |
855 nœuds, 272 éléments, 40 TRI6, 232 QUA8. |
\(\mathrm{rt}=0,1\ast a\) |
659 nœuds, 240 éléments, 104 TRI6, 136 QUA8. |
335 nœuds, 112 éléments, 40 TRI6, 72 QUA8. |
Résultats des modélisations A, B, C, D, E et F#
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
\(\text{\%}\) différence |
Diamètre couronne extérieure = \(0,001\ast a\) |
|||
Maillage rayonnant |
\(\mathrm{NS}=8\) |
\(\mathrm{NC}=4\) |
Modélisation A |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°1 |
2,2347E+7 |
2,2814E7 |
2,09 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°2 |
2,2347E+7 |
2,2813E7 |
2,08 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°3 |
2,2347E+7 |
2,2814E7 |
2,09 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°4 |
2,2347E+7 |
2,2814E7 |
2,09 |
Maillage rayonnant |
\(\mathrm{NS}=4\) |
\(\mathrm{NC}=3\) |
Modélisation B |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°1 |
2,2347E+7 |
2,282E7 |
2,10 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°2 |
2,2347E+7 |
2,282E7 |
2,10 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°3 |
2,2347E+7 |
2,281E7 |
2,09 |
Diamètre couronne extérieure = \(0,01\ast a\) |
|||
Maillage rayonnant |
\(\mathrm{NS}=8\) |
\(\mathrm{NC}=4\) |
Modélisation C |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°1 |
2,2347E+7 |
2,166 107 |
3,058 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°2 |
2,2347E+7 |
2,214 107 |
0,919 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°3 |
2,2347E+7 |
2,214 107 |
0,919 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°4 |
2,2347E+7 |
2,214 107 |
0,919 |
Maillage rayonnant |
NS= 4 |
NC= 3 |
Modélisation D |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°1 |
2,2347E+7 |
2,214 107 |
0,919 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°2 |
2,2347E+7 |
2,214 107 |
0,919 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°3 |
2,2347E+7 |
2,214 107 |
0,919 |
Diamètre couronne extérieure = \(0,1\ast a\) |
|||
Maillage rayonnant |
\(\mathrm{NS}=8\) |
\(\mathrm{NC}=4\) |
Modélisation E |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°1 |
2,2347E+7 |
2,2632 107 |
1,276 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°2 |
2,2347E+7 |
2,2572 107 |
1,009 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°3 |
2,2347E+7 |
2,2572 107 |
1,008 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°4 |
2,2347E+7 |
2,2564 107 |
0,972 |
Maillage rayonnant |
\(\mathrm{NS}=4\) |
\(\mathrm{NC}=3\) |
Modélisation F |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°1 |
2,2347E+7 |
2,255E7 |
0,932 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°2 |
2,2347E+7 |
2,2568E7 |
0,988 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°3 |
2,2347E+7 |
2,2568E7 |
0,987 |
Identification |
Référence |
Aster |
\(\text{\%}\) différence |
Diamètre couronne extérieure = \(0,001\ast a\) |
|||
Maillage rayonnant |
\(\mathrm{NS}=8\) |
\(\mathrm{NC}=4\) |
Modélisation A |
\(G\) , couronne n°1 |
2,4969E+3 |
2,5984E+3 |
4,07 |
\(G\) , couronne n°2 |
2,4969E+3 |
2,5990E+3 |
4,09 |
\(G\) , couronne n°3 |
2,4969E+3 |
2,5992E+3 |
4,10 |
\(G\) , couronne n°4 |
2,4969E+3 |
2,5993E+3 |
4,10 |
Maillage rayonnant |
\(\mathrm{NS}=4\) |
\(\mathrm{NC}=3\) |
Modélisation B |
\(G\) , couronne n°1 |
2,4969E+3 |
2,600 103 |
4,134 |
\(G\) , couronne n°2 |
2,4969E+3 |
2,5996 103 |
4,114 |
\(G\) , couronne n°3 |
2,4969E+3 |
2,5996 103 |
4,111 |
Diamètre couronne extérieure = \(0,01\ast a\) |
|||
Maillage rayonnant |
\(\mathrm{NS}=8\) |
\(\mathrm{NC}=4\) |
Modélisation C |
\(G\) , couronne n°1 |
2,4969E+3 |
2,451 103 |
1,842 |
\(G\) , couronne n°2 |
2,4969E+3 |
2,475 103 |
0,858 |
\(G\) , couronne n°3 |
2,4969E+3 |
2,475 103 |
0,858 |
\(G\) , couronne n°4 |
2,4969E+3 |
2,475 103 |
0,858 |
Maillage rayonnant |
NS= 4 |
NC= 3 |
Modélisation D |
\(G\) , couronne n°1 |
2,4969E+3 |
2,475 103 |
0,858 |
\(G\) , couronne n°2 |
2,4969E+3 |
2,475 103 |
0,858 |
\(G\) , couronne n°3 |
2,4969E+3 |
2,475 103 |
0,858 |
Diamètre couronne extérieure = \(0,1\ast a\) |
|||
Maillage rayonnant |
NS= 8 |
NC= 4 |
Modélisation E |
\(G\) , couronne n°1 |
2,4969E+3 |
2,5624E3 |
2,627 |
\(G\) , couronne n°2 |
2,4969E+3 |
2,5503E3 |
2,139 |
\(G\) , couronne n°3 |
2,4969E+3 |
2,5499E3 |
2,124 |
\(G\) , couronne n°4 |
2,4969E+3 |
2,5489E3 |
2,084 |
Maillage rayonnant |
NS= 4 |
NC= 3 |
Modélisation F |
\(G\) , couronne n°1 |
2,4969E+3 |
2,5470E3 |
2,006 |
\(G\) , couronne n°2 |
2,4969E+3 |
2,5497E3 |
2,117 |
\(G\) , couronne n°3 |
2,4969E+3 |
2,5491E3 |
2,094 |
Remarques#
Dans la référence, l’auteur suppose que \(\mathrm{KI}=0\) , mais il ne le vérifie pas a posteriori.
En ce qui concerne le taux de restitution d’énergie \(G\) , si nous supposons que \(\mathrm{KI}=0\) , nous tirons la valeur de référence à partir de la formule d’IRWIN en contraintes planes :
\({G}_{\mathrm{ref}}=(1/E)\ast {\mathrm{KII}}^{2}\)
Modélisation G#
Caractéristiques de la modélisation#
Pour cette modélisation, nous utilisons le modèle complet avec les meilleurs paramètres \(\mathrm{NS}\) , \(\mathrm{NC}\) et \(\mathrm{rt}\) calculés dans les modélisations précédentes. Nous avons donc utilisé les valeurs suivantes :
\(\mathrm{NS}=8\) ,
\(\mathrm{NC}=4\) ,
\(\mathrm{rt}=0,01\ast a\) .
Maillage complet
Caractéristiques du maillage#
Modèle complet, avec maillage rayonnant seulement à l’extrémité droite de la fissure et maillage régulier, non raffiné, à l’extrémité gauche.
Le maillage est constitué de 1718 nœuds et 568 éléments, dont 464 éléments QUA8 et 104 éléments TRI6.
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Aster |
\(\text{\%}\) différence |
Diamètre couronne extérieure = \(0,01\ast a\) |
|||
Maillage rayonnant |
\(\mathrm{NS}=8\) |
\(\mathrm{NC}=4\) |
|
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°1 |
2,2347E+7 |
2,2640E7 |
1,31 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°2 |
2,2347E+7 |
2,2640E7 |
1,31 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°3 |
2,2347E+7 |
2,2640E7 |
1,31 |
\({K}_{\mathrm{II}}\) , couronne n°4 |
2,2347E+7 |
2,2641E7 |
1,31 |
Identification |
Référence |
Aster |
\(\text{\%}\) différence |
Diamètre couronne extérieure = \(0,01\ast a\) |
|||
Maillage rayonnant |
\(\mathrm{NS}=8\) |
\(\mathrm{NC}=4\) |
|
\(G\) , couronne n°1 |
2,4969E+3 |
2,5620E3 |
2,610 |
\(G\) , couronne n°2 |
2,4969E+3 |
2,5626E3 |
2,631 |
\(G\) , couronne n°3 |
2,4969E+3 |
2,5627E3 |
2,635 |
\(G\) , couronne n°4 |
2,4969E+3 |
2,5628E3 |
2,640 |
Synthèse des résultats#
Les écarts entre la solution de référence et les résultats de Code_Aster ne dépassent pas \(\text{3\%}\) sur les coefficients d’intensité de contraintes et \(\text{4\%}\) pour le taux de restitution d’énergie. On vérifie l’invariance des résultats par rapport aux différentes couronnes d’intégration.