r4.04.04 Modèles de comportement métallurgique du zircaloy#

Résumé :

Ce document présente les modèles de comportement métallurgique décrivant les transformations structurales, au chauffage et au refroidissement, que subit le zircaloy (gaine de crayon de combustible) entre environ \(700°C\) et \(1000°C\) .

Présentation du modèle#

Proportion à l’équilibre#

Le Zircaloy a une structure hexagonale compacte appelée phase \(\alpha ` , stable jusqu’à des températures de l’ordre de :math:`700°C\) . Au delà d’environ \(700°C\) s’amorce une transformation allotropique vers une phase cubique \(\beta\) , et qui est complète aux environs de \(975°C\) .

La proportion de la phase \({Z}_{\beta}^{\mathit{eq}}\) à l’équilibre est donnée par l’équation, de type Johnson-Mehl-Avrami, suivante :

(1175)#\[\begin{split}\lbrace \begin{array}{ccc}{Z}_{\beta}^{\mathit{eq}}=0& \text{pour}& T\le {T}_{d}^{\mathit{eq}}\\ {Z}_{\beta}^{\mathit{eq}}=1-\exp\left(-{(K(T-{T}_{d}^{\mathit{eq}}))}^{n}\right)& \text{pour}& {T}_{d}^{\mathit{eq}}\le T\le {T}_{f}^{\mathit{eq}}\\ {Z}_{\beta}^{\mathit{eq}}=1& \text{pour}& T>{T}_{f}^{\mathit{eq}}\end{array}\end{split}\]

où \({T}_{d}^{\mathit{eq}}\) est la température de début de transformation \(\alpha \iff \beta ` à l’équilibre, :math:`{T}_{f}^{\mathit{eq}}\) la température de fin de transformation à l’équilibre, \(T\) la température et \(K\) et \(n\) deux paramètres matériaux.

De manière équivalente, en inversant l’équation , on obtient la température équivalente \({T}^{\mathit{eq}}\) en fonction de la proportion \({Z}_{\beta}\) de phase :math:`beta ` :

(1176)#\[\begin{split}\lbrace \begin{array}{cc}{T}^{\mathit{eq}}={T}_{d}^{\mathit{eq}}+\frac{1}{K}{\left(\log\left(\frac{1}{1-{Z}_{\beta}}\right)\right)}^{1/n}& \text{pour}0\le {Z}_{\beta}\le 0,99\\ {T}^{\mathit{eq}}={T}_{f}^{\mathit{eq}}& \text{pour}0,99\le {Z}_{\beta}\le 1\end{array}\end{split}\]

La température de fin de transformation à l’équilibre \({T}_{f}^{\mathit{eq}}\) est choisie telle que correspondant à une proportion \(0,99\) de phase :math:`beta ` transformée, soit:

(1177)#\[{T}_{f}^{\mathit{eq}}={T}_{d}^{\mathit{eq}}+\frac{1}{K}{\left(\log\left(\frac{1}{1-0,99}\right)\right)}^{1/n}\]

Équation d’évolution au chauffage#

La transformation au chauffage est la transformation :math:`alpha Rightarrow beta ` .

La température de début de transformation de phases au chauffage \({T}_{c}\) dépend de la vitesse de température au chauffage et est donnée par l’équation:

(1178)#\[{T}_{c}={T}_{c}^{1}{({V}_{\mathit{ch}})}^{{T}_{c}^{2}}\]

Avec \({V}_{\mathit{ch}}\) la vitesse de chauffage en \(°C/s\) et \({T}_{c}\ge {T}_{d}^{\mathit{eq}}\) .

Le modèle d’évolution de la phase :math:`beta ` au chauffage est donné par l’équation différentielle (modèle de Holt) suivante:

:math:`frac{{mathit{dZ}}_{beta}}{mathit{dt}}={A}_{c}expleft(-frac{E}{RT}right){

T-{T}^{mathit{eq}}({Z}_{beta})

}^{M}`

\({T}^{\mathit{eq}}({Z}_{\beta})\) est la température d’équilibre correspondant à la proportion instantanée \({Z}_{\beta}\) de phase \(\beta ` et donnée par l’équation . :math:`{T}_{c}^{1}\) , \({T}_{c}^{2}\) , \({A}_{c}\) , \(\frac{E}{R}\) et \(M\) sont des paramètres matériaux.

Équation d’évolution au refroidissement#

La transformation au refroidissement est la transformation :math:`beta Rightarrow alpha ` .

La température de début de transformation de phases au refroidissement \({T}_{r}\) dépend de la vitesse de température au refroidissement et est donnée par l’équation:

(1179)#\[{T}_{r}={T}_{r}^{1}+{T}_{r}^{2}\ln({V}_{\mathit{ref}})\]

Avec \({V}_{\mathit{ref}}\) la vitesse de refroidissement en \(°C/s\) et \({T}_{r}\le {T}_{f}^{\mathit{eq}}\) .

Le modèle d’évolution de la phase :math:`beta ` au refroidissement est donné par l’équation différentielle suivante:

:math:`frac{{mathit{dZ}}_{beta}}{mathit{dt}}=-

T-{T}^{mathit{eq}}

expleft({A}_{r}+{B}_{r}

T-{T}^{mathit{eq}}

right){Z}_{beta}(1-{Z}_{beta})` pour \({T}_{d}^{\mathit{eq}}\le T\le {T}_{f}^{\mathit{eq}}\)

\({T}_{r}^{1}\) , \({T}_{r}^{2}\) , \({A}_{r}\) et \({B}_{r}\) sont des paramètres matériaux.

Conditions d’utilisation du modèle métallurgique pour des transitoires quelconques de température#

Quelques règles#

  • Lors des calculs, si la proportion de phase \(\beta ` est supérieure stricte à :math:`0,99\) , on arrondit à un. Pour une vitesse au chauffage inférieure à \(0.1°C/s\) , on utilise \({T}_{c}={T}_{d}^{\mathit{eq}}\) .

  • Si \(0\le {Z}_{\beta}\le 0,99\) , on doit appliquer la règle suivante:

    • Si \(T>{T}^{\mathit{eq}}\iff {Z}_{\beta}<{Z}_{\beta}^{\mathit{eq}}\) , on applique le modèle au chauffage (même si la vitesse de température est négative)

    • Si \(T<{T}^{\mathit{eq}}\iff {Z}_{\beta}>{Z}_{\beta}^{\mathit{eq}}\) , on applique le modèle au refroidissement (même si la vitesse de température est positive)

Algorithme#

On considère un transitoire quelconque de température \(T(t)\) .

Remarque: pour calculer les températures de début de transformation au chauffage \({T}_{c}\) et au refroidissement \({T}_{r}\) , il est nécessaire de calculer les vitesses de chauffage et de refroidissement, respectivement. Pour les calculer, on utilise la méthode de la sécante glissante (et non la vitesse instantanée) d’où les étapes 1 et 2 ci-dessous.

Remarque: une fois les températures seuil \({T}_{c}\) ou \({T}_{r}\) dépassées et tant que la transformation n’est pas totale (au chauffage ou au refroidissement), on intègre les équations d’évolution même si la température repasse par le seuil.

  • Étape 1 : Recherche de l’instant \({t}_{d}^{\mathit{eq}}\) (ou \({t}_{f}^{\mathit{eq}}\) ) correspondant à la température de début \({T}_{d}^{\mathit{eq}}\) (ou de fin \({T}_{f}^{\mathit{eq}}\) , respectivement) de transformation à l’équilibre.

  • Cas où \({Z}_{\beta}=0\) initialement : recherche de \({t}_{d}^{\mathit{eq}}\)

  • Cas où \({Z}_{\beta}=1\) initialement: recherche de \({t}_{f}^{\mathit{eq}}\)

  • Étape 2 : Recherche de l’instant \({t}_{c}\) (ou \({t}_{r}\) ) correspondant à la température de début de transformation \({T}_{c}\) (ou \({T}_{r}\) , respectivement) en utilisant la méthode de la sécante glissante:

  • Cas où \({Z}_{\beta}=0\) initialement: recherche de l’instant où la température \(T(t)\) dépasse \({T}_{c}\) .

  • Si \(T(t)>{T}_{d}^{\mathit{eq}}\) , on incrémente le temps, on calcule \({T}_{c}\) et on teste la condition suivante:

(1180)#\[\text{(C1)}:T(t)>{T}_{c}={T}_{c}^{1}{\left(\frac{T(t)-{T}_{d}^{\mathit{eq}}}{t-{t}_{d}^{\mathit{eq}}}\right)}^{{T}_{c}^{2}}\]

Si la condition \((C1)\) est vraie on passe à l’étape (3).

  • Si \(T(t)\le {T}_{d}^{\mathit{eq}}\) sans que l’on atteint \({T}_{c}\) , il faut alors actualiser \({t}_{d}^{\mathit{eq}}\) en recommençant l’étape 1 à partir de l’instant courant.

  • Cas où \({Z}_{\beta}=1\) initialement: recherche de l’instant où la température \(T(t)\) repasse par \({T}_{r}\) .

  • Si \(T(t)<{T}_{f}^{\mathit{eq}}\) , on incrémente le temps, on calcule \({T}_{r}\) et on teste la condition suivante:

:math:`text{(C2)}:T(t)<{T}_{r}={T}_{r}^{1}+{T}_{r}^{2}lnleft(frac{

T(t)-{T}_{f}^{mathit{eq}}

}{t-{t}_{f}^{mathit{eq}}}right)`

Si la condition \((C2)\) est vraie on passe à l’étape (3).

  • Si \(T(t)\ge {T}_{f}^{\mathit{eq}}\) sans que l’on atteint \({T}_{r}\) , il faut alors actualiser \({t}_{f}^{\mathit{eq}}\) en recommençant l’étape 1 à partir de l’instant courant.

  • Étape 3 : Une fois \({T}_{c}\) (ou \({T}_{r}\) atteint, on calcule pas à pas l’évolution de la fraction de phase \(\beta ` apparaissant à l’aide de l’équation de Holt (au chauffage) ou de l’équation au refroidissement suivant le signe de :math:`(Z-{Z}_{\mathit{eq}})\) et ceci tant que la fraction de phase \(\beta ` demeure inférieure à :math:`0,99\) et supérieure à zéro. et même si l’on passe par un pic de température.

  • Étape 4 : Si au cours de l’étape 3, la fraction de phase \(\beta\) devient égale à 1 (ou 0), on recommence l’étape 1 à partir de l’instant courant.

Formulation numérique#

Connaissant à l’instant précédent la température et la proportion de phase \(\beta\) et à l’instant courant la température, on cherche à déterminer la proportion de phase \(\beta\) à l’instant courant \({Z}_{\beta}^{t}\) .

A un instant donné, on cherche la solution \({Z}_{\beta}^{t}\) telle que \(G({Z}_{\beta}^{t})=0\) , équation qui est résolue par une méthode de Newton avec bornes contrôlées:

(1181)#\[{Z}_{\beta}^{i+1}={Z}_{\beta}^{i}-\frac{G({Z}_{\beta}^{i})}{G'({Z}_{\beta}^{i})}\]

Le critère d’arrêt est donné par la condition suivante:

(1182)#\[\text{Si}G({Z}_{\beta}^{i+1})\le {10}^{-6}\text{alors}{Z}_{\beta}^{i+1}={Z}_{\beta}^{t}\]

Détermination du sens de l’évolution#

Pour savoir quel est le modèle à intégrer à un instant \(t\) donné, il suffit de faire les constatations suivantes:

  • Si \({Z}_{\beta}^{t-1}<{Z}_{\beta}^{\mathit{eq}}({T}^{t})\) et si on intègre le modèle au refroidissement, on aura obligatoirement \({Z}_{\beta}^{t}<{Z}_{\beta}^{t-1}<{Z}_{\beta}^{\mathit{eq}}({T}^{t})\) . Or, ceci est contraire à la condition d’application du modèle au refroidissement qui suppose que \({Z}_{\beta}^{t}>{Z}_{\beta}^{\mathit{eq}}({T}^{t})\) . Il faut donc choisir le modèle au chauffage.

  • Si \({Z}_{\beta}^{t-1}>{Z}_{\beta}^{\mathit{eq}}({T}^{t})\) et si on intègre le modèle au chauffage, on aura obligatoirement \({Z}_{\beta}^{t}>{Z}_{\beta}^{t-1}>{Z}_{\beta}^{\mathit{eq}}({T}^{t})\) . Or, ceci est contraire à la condition d’application du modèle au chauffage qui suppose que \({Z}_{\beta}^{t}<{Z}_{\beta}^{\mathit{eq}}({T}^{t})\) . Il faut donc choisir le modèle au refroidissement.

Intégration des équations#

Modèle pour META_LEMA_ANI#

Dans le cas d’une utilisation de la loi de comportement mécanique META_LEMA_ANI, la phase métallurgique est une variable interne de la loi de comportement. Elle est donc déterminée lors de l’intégration de celle-ci. La résolution de ces équations est alors assurée par le générateur de code MFront.

Modèles pour les autres cas#

Dans tout autre cas, l’intégration est réalisée de la manière suivante:

  • Modèle au chauffage : la solution est telle que \({Z}_{\beta}^{t-1}\le {Z}_{\beta}^{t}<{Z}_{\beta}^{\mathit{eq}}({T}^{t})\) . La fonction \({G}_{c}({Z}_{\beta})\) et sa dérivée sont données par:

:math:`{G}_{c}({Z}_{beta})={Z}_{beta}-{Z}_{beta}^{t-1}-Delta t{A}_{c}expleft(-frac{E}{RT}right){

T-{T}_{mathit{eq}}

}^{M}`

:math:`G{“}_{c}({Z}_{beta})=1+MDelta t{A}_{c}expleft(-frac{E}{RT}right){

T-{T}_{mathit{eq}}

}^{M-1}T{“}_{mathit{eq}}`

  • Modèle au refroidissement : la solution est telle que \({Z}_{\beta}^{\mathit{eq}}({T}^{t})<{Z}_{\beta}^{t}\le {Z}_{\beta}^{t-1}\) . La fonction \({G}_{r}({Z}_{\beta})\) et sa dérivée sont données par:

:math:`{G}_{r}({Z}_{beta})={Z}_{beta}-{Z}_{beta}^{t-1}+Delta t

T-{T}_{mathit{eq}}

expleft({A}_{r}+{B}_{r}

T-{T}_{mathit{eq}}

right){Z}_{beta}

1-{Z}_{beta}

`

:math:`begin{array}{c}G{“}_{c}({Z}_{beta})=1+Delta t

T-{T}_{mathit{eq}}

expleft({A}_{r}+{B}_{r}

T-{T}_{mathit{eq}}

right)left(1-2{Z}_{beta}right)\ -Delta tmathit{sig}(T-{T}_{mathit{eq}})T{“}_{mathit{eq}}expleft({A}_{r}+{B}_{r}

T-{T}_{mathit{eq}}

right){Z}_{beta}(1-{Z}_{beta})lbrace 1+{B}_{r}

T-{T}_{mathit{eq}}

rbrace end{array}`

Avec:

(1183)#\[\begin{split}\lbrace \begin{array}{ccc}\text{Si}{Z}_{\beta}=0& \text{pour}& T{'}_{\mathit{eq}}=1000\\ \text{Si}0<{Z}_{\beta}\le 0.99& \text{pour}& T{'}_{\mathit{eq}}=\frac{1}{Kn}{\left(\log\left(\frac{1}{1-{Z}_{\beta}}\right)\right)}^{\frac{1}{n}-1}\frac{1}{1-{Z}_{\beta}}\\ \text{Si}0,99<{Z}_{\beta}\le 1& \text{pour}& T{'}_{\mathit{eq}}=T{'}_{\mathit{eq}}(0,99)\end{array}\end{split}\]
../../../../_images/1000E9680000268D00001A0C0D23979E6FD45600.svg ../../../../_images/1000E9680000268D00001A0C3911373F34F87C89.svg

Modèle ZIRC dans Code_Aster#

Variables internes#

Les variables internes de la relation de comportement ‘ZIRC’sont :

V1 :

../../../../_images/Object_87.svg

proportion de la phase alpha1,

V2:

../../../../_images/Object_88.svg

proportion de la phase alpha2,

V3: TP, température aux nœuds,

V4:

../../../../_images/Object_89.svg

ou

../../../../_images/Object_90.svg

correspondant à

../../../../_images/Object_91.svg

ou

../../../../_images/Object_92.svg

, respectivement.

La proportion des phases  et  est donnée par:

../../../../_images/Object_93.svg

avec les relations suivantes:

A terme, les variables V1 et V2 disparaîtront pour ne stocker que

../../../../_images/Object_96.svg

dans V1.

Remarque : on considère pour les paramètres matériaux du modèle mécanique, 3 phases différentes: ,  et , c’est pourquoi deux phases V1 et V2 sont stockées. Or les relations ci-dessus ne sont pas adaptées.

Dans le modèle mécanique META_LEMA_ANI, on considère les relations suivantes:

Utilisation du modèle#

Dans le cas d’une utilisation de la loi de comportement mécanique META_LEMA_ANI, la phase métallurgique est une variable interne de la loi de comportement. Elle est donc déterminée lors de l’intégration de celle-ci.

Pour toute autre loi de comportement, les consignes ci-dessous sont à respecter.

Pour activer ce modèle, il suffit de renseigner dans la commande CALC_META, sous le mot clé COMPORTEMENT, la relation ‘ZIRC’ (COMPORTEMENT=_F(RELATION=’ZIRC’)).

Les paramètres matériaux sont renseignés sous le mot-clé facteur META_ZIRC de DEFI_MATERIAU.

Enfin, la définition de l’état métallurgique initial est réalisable à l’aide de la commande CREA_CHAMP, sous le mot clé facteur ETAT_INIT de l’opérateur CALC_META. Il est obligatoire de renseigner les variables internes V1, V2 et V4.

Remarque : en principe, l’état initial métallurgique est soit

../../../../_images/Object_102.svg

, soit

../../../../_images/Object_103.svg

et la variable V4 n’a pas besoin d’être renseignée initialement. Mais, si pour une raison quelconque, un utilisateur souhaite réaliser le calcul suivant:

../../../../_images/Object_104.svg

initialement pour

../../../../_images/Object_105.svg

alors l’instant

../../../../_images/Object_106.svg

sera pris par défaut à zéro si V4 n’était pas renseignée obligatoirement. C’est pourquoi, la variable V4 est obligatoire et correspond au 1er instant du calcul métallurgique (par nécessairement égal à zéro).

Bibliographie#

  1. Forgeron, T., et al., “Experiment and modeling of advanced fuel rod cladding behavior under LOCA conditions: Α-Β phase transformation kinetics and EDGAR methodology”, Zirconium in the Nuclear Industry: Twelth International Symposium, 1998, Toronto, ASTM STP 1354, ASTM

  2. Helfer T, Castelier E, «Le générateur de code mfront: presentation générale et application aux propriétés matériau et aux modèles»

En ligne:

http://tfel.sourceforge.net/documents/mfront/mfront.pdf ` <http://tfel.sourceforge.net/documents/mfront/mfront.pdf>`_