v2.02.108 SDLL108 - « Table à café » de NEUBERT#
Résumé
Ce problème multidirectionnel consiste à effectuer une analyse sismique spectrale d’une structure composée d’éléments de poutres sans masses et de masses discrètes aux nœuds. Il comprend une modélisation.
L’excitation sismique est fournie sous la forme de trois spectres de réponse d’oscillateurs en accélération aux appuis selon les axes \(X\) , \(Y\) et \(Z\) .
Par l’intermédiaire de ce problème, on teste la commande MODE_STATIQUE et les options de combinaison quadratique des modes et de combinaison quadratique et de combinaison de Newmark des directions des excitations de la commande COMB_SISM_MODAL .
Les résultats obtenus sont en bon accord avec les résultats de référence obtenus avec le code HERCULE.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Les résultats de référence ont été obtenus à la fois de manière expérimentale [1] et avec le code HERCULE [2]. Le modèle éléments finis utilisé est identique a celui utilisé pour la modélisation A effectuée avec Code_Aster .
|
|
Les dimensions géométriques utilisées dans les calculs avec HERCULE sont très légèrement différentes de celles présentées au §1.1:
\(L=\mathrm{692.50}\mathrm{mm}\) ; \(l=\mathrm{438.50}\mathrm{mm}\) ; \(H=\mathrm{473.25}\mathrm{mm}\)
Résultats de référence#
Fréquences propres
Déplacements aux points constituant les coins de la table,
Réactions d’appuis aux ancrages,
Efforts internes aux « coins ».
Identification |
Référence [bib-1] expérimentale |
Référence [bib-2] Hercule |
Masses effectives (% de la masse totale) |
||
Mode |
Fréquence(\(\mathrm{Hz}\) ) |
Fréquence(\(\mathrm{Hz}\) ) |
\(X\) |
\(Y\) |
\(Z\) |
1 |
110.0 |
110.857 |
94.2 |
0.0 |
0.0 |
2 |
117.0 |
115.471 |
0.0 |
0.0 |
94.4 |
3 |
134.0 |
135.936 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
4 |
214.0 |
213.541 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
5 |
416.0 |
417.332 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
6 |
434.813 |
0.0 |
24.1 |
0.0 |
|
7 |
464.097 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
|
8 |
553.0 |
557.262 |
0.0 |
0.0 |
0.3 |
9 |
821.0 |
821.746 |
0.0 |
18.0 |
0.0 |
10 |
847.071 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
|
11 |
927.0 |
978.174 |
1.6 |
0.0 |
0.0 |
12 |
991.842 |
0.0 |
2.2 |
0.0 |
|
13 |
1021.669 |
1.8 |
0.0 |
0.0 |
|
14 |
1040.240 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
|
15 |
1056.948 |
0.0 |
0.0 |
0.2 |
|
16 |
1088.861 |
0.0 |
18.8 |
0.0 |
|
17 |
1093.157 |
1.2 |
0.0 |
0.0 |
|
18 |
1107.870 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
|
Identification |
Valeurs obtenues avec combinaison |
|
quadratiques des directions des excitations |
de NEWMARK des directions des excitations |
|
Déplacement : |
||
\(\mathrm{N17}\) \(\mathrm{DX}(m)\) |
3.4246E-04 |
3.4265E-04 |
\(\mathrm{DY}(m)\) |
4.3562E-06 |
4.8392E-06 |
\(\mathrm{DZ}(m)\) |
3.0321E-04 |
3.0324E-04 |
\(\mathrm{DRX}(\mathrm{rad})\) |
3.7031E-04 |
3.7612E-04 |
\(\mathrm{DRY}(\mathrm{rad})\) |
4.7665E-05 |
5.2602E-05 |
\(\mathrm{DRZ}(\mathrm{rad})\) |
5.1104E-04 |
5.2310E-04 |
Réactions : |
||
\(\mathrm{N25}\) \(\mathrm{FX}(N)\) |
1.2536E+03 |
1.2790E+03 |
\(\mathrm{FY}(N)\) |
1.2473E+03 |
1.3868E+03 |
\(\mathrm{FZ}(N)\) |
1.2196E+03 |
1.2441E+03 |
\(\mathrm{MX}(\mathrm{N.m})\) |
3.2474E+02 |
3.2789E+02 |
\(\mathrm{MY}(\mathrm{N.m})\) |
4.1310E+00 |
4.5579E+00 |
\(\mathrm{MZ}(\mathrm{N.m})\) |
3.4846E+02 |
3.5199E+02 |
Efforts : |
||
\(1019\) \(\mathrm{N17}\) \(\mathrm{FX}(N)\) |
1.1312E+03 |
1.1486E+03 |
\(\mathrm{FY}(N)\) |
1.2431E+03 |
1.3793E+03 |
\(\mathrm{FZ}(N)\) |
1.0982E+03 |
1.1141E+03 |
\(\mathrm{MX}(\mathrm{N.m})\) |
2.2833E+02 |
2.2982E+02 |
\(\mathrm{MY}(\mathrm{N.m})\) |
4.1301E+00 |
4.5580E+00 |
\(\mathrm{MZ}(\mathrm{N.m})\) |
2.2068E+02 |
2.2537E+02 |
\(1009\) \(\mathrm{N17}\) \(\mathrm{FX}(N)\) |
1.8813E+02 |
2.0079E+02 |
\(\mathrm{FY}(N)\) |
1.0419E+03 |
1.0650E+03 |
\(\mathrm{FZ}(N)\) |
1.3175E+02 |
1.4833E+02 |
\(\mathrm{MX}(\mathrm{N.m})\) |
2.2833E+02 |
2.2975E+02 |
\(\mathrm{MY}(\mathrm{N.m})\) |
2.9165E+01 |
3.2490E+01 |
\(\mathrm{MZ}(\mathrm{N.m})\) |
1.6408E-01 |
1.6400E-01 |
\(1008\) \(\mathrm{N17}\) \(\mathrm{FX}(N)\) |
2.9587E+02 |
3.3579E+02 |
\(\mathrm{FY}(N)\) |
6.3879E+02 |
6.7526E+02 |
\(\mathrm{FZ}(N)\) |
2.6539E+02 |
2.7947E+02 |
\(\mathrm{MX}(\mathrm{N.m})\) |
1.8400E-01 |
1.8500E-01 |
\(\mathrm{MY}(\mathrm{N.m})\) |
3.2361E+01 |
3.5570E+01 |
\(\mathrm{MZ}(\mathrm{N.m})\) |
2.2068E+02 |
2.2535E+02 |
Remarques
Les déplacements des coins \((\mathrm{N9},\mathrm{N12},\mathrm{N17},\mathrm{N20})\) sont identiques,
Les réactions aux appuis \((\mathrm{N25},\mathrm{N26},\mathrm{N27},\mathrm{N28})\) sont identiques,
Les efforts généralisés sont exprimés dans le repère global.
Références bibliographiques#
NEUBERT V. H. et EZELL W. H.: Dynamic behavior of a foundation like structure. ASME Colloquium on Mechanical Impedance Methods for Mechanical Vibrations, pp. 77-86, 1958.
HERCULE: code de calcul par éléments finis pour le génie civil développé par SOCOTEC.
Modélisation A#
La modélisation A est identique à la modélisation B. Son intérêt consiste à valider le mot clef FREQ_COUP, qui permet d’entrer la fréquence à laquelle on va lire sur le SRO le niveau de correction statique de la réponse sismique.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Maille |
\(\mathrm{E3}\) |
: |
\(\mathrm{N6}-\mathrm{N17}\) |
\(\mathrm{E4}\) |
: |
\(\mathrm{N17}-\mathrm{N18}\) |
|
\(\mathrm{E19}\) |
: |
\(\mathrm{N17}-\mathrm{N16}\) |
Masses de coins |
: |
\(4.444\mathrm{kg}\) |
Masses intermédiaires |
: |
\(0.783\mathrm{kg}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 28
Nombre de mailles et types : 52 (28 MECA_POU_D_T et 24 MECA_DIS_T_N)
Remarques#
Les modes sont normalisés à la masse généralisée à 1.
La réponse globale s’obtient par combinaison quadratique des modes, puis successivement une combinaison quadratique et une combinaison de Newmark des directions des excitations.
Valeurs testées : fréquences#
Identification |
Référence |
% tolérance |
Mode |
Fréquence (\(\mathrm{Hz}\) ) |
|
1 |
110.857 |
.1 |
2 |
115.471 |
.1 |
3 |
135.936 |
.1 |
4 |
213.541 |
.1 |
5 |
417.332 |
.1 |
6 |
434.813 |
.1 |
7 |
464.097 |
.1 |
8 |
557.262 |
.2 |
9 |
821.746 |
.1 |
10 |
847.071 |
.1 |
11 |
978.174 |
.2 |
12 |
991.842 |
.1 |
13 |
1021.669 |
.1 |
14 |
1040.240 |
.1 |
15 |
1056.948 |
.1 |
16 |
1088.861 |
.1 |
17 |
1093.157 |
.1 |
18 |
1107.870 |
.1 |
Valeurs testées avec combinaison quadratique des directions des excitations#
Identification |
Référence |
% tolérance |
Déplacement: |
||
\(\mathrm{N17}\) \(\mathrm{DX}(m)\) |
3.4246E-04 |
|
\(\mathrm{DY}(m)\) |
4.3562E-06 |
|
\(\mathrm{DZ}(m)\) |
3.0321E-04 |
|
\(\mathrm{DRX}(\mathrm{rad})\) |
3.7031E-04 |
|
\(\mathrm{DRY}(\mathrm{rad})\) |
4.7665E-05 |
|
\(\mathrm{DRZ}(\mathrm{rad})\) |
5.1104E-04 |
|
Réactions REAC_NODA: |
||
\(\mathrm{N25}\) \(\mathrm{FX}(N)\) |
1.2536E+03 |
|
\(\mathrm{FY}(N)\) |
1.2473E+03 |
|
\(\mathrm{FZ}(N)\) |
1.2196E+03 |
|
\(\mathrm{MX}(\mathrm{N.m})\) |
3.2474E+02 |
|
\(\mathrm{MY}(\mathrm{N.m})\) |
4.1310E+00 |
|
\(\mathrm{MZ}(\mathrm{N.m})\) |
3.4846E+02 |
|
Efforts EFGE_ELNO: |
||
\(\mathrm{E3}\) \(\mathrm{N17}\) \(\mathrm{FX}(N)\) |
1.1312E+03 |
|
\(\mathrm{FY}(N)\) |
1.2431E+03 |
|
\(\mathrm{FZ}(N)\) |
1.0982E+03 |
|
\(\mathrm{MX}(\mathrm{N.m})\) |
2.2833E+02 |
-2. |
\(\mathrm{MY}(\mathrm{N.m})\) |
4.1301E+00 |
|
\(\mathrm{MZ}(\mathrm{N.m})\) |
2.2068E+02 |
|
\(\mathrm{E4}\) \(\mathrm{N17}\) \(\mathrm{FX}(N)\) |
1.8813E+02 |
|
\(\mathrm{FY}(N)\) |
1.0419E+03 |
|
\(\mathrm{FZ}(N)\) |
1.3175E+02 |
|
\(\mathrm{MX}(\mathrm{N.m})\) |
2.2833E+02 |
|
\(\mathrm{MY}(\mathrm{N.m})\) |
2.9165E+01 |
|
\(\mathrm{MZ}(\mathrm{N.m})\) |
1.6408E-01 |
|
\(\mathrm{E19}\) \(\mathrm{N17}\) \(\mathrm{FX}(N)\) |
2.9587E+02 |
|
\(\mathrm{FY}(N)\) |
6.3879E+02 |
|
\(\mathrm{FZ}(N)\) |
2.6539E+02 |
|
\(\mathrm{MX}(\mathrm{N.m})\) |
1.8400E-01 |
|
\(\mathrm{MY}(\mathrm{N.m})\) |
3.2361E+01 |
|
\(\mathrm{MZ}(\mathrm{N.m})\) |
2.2068E+02 |
Valeurs testées avec combinaison de NEWMARK des directions des excitations#
Identification |
Référence |
% tolérance |
Déplacement: |
||
\(\mathrm{N17}\) \(\mathrm{DX}(m)\) |
3.4265E-04 |
|
\(\mathrm{DY}(m)\) |
4.8392E-06 |
|
\(\mathrm{DZ}(m)\) |
3.0324E-04 |
|
\(\mathrm{DRX}(\mathrm{rad})\) |
3.7612E-04 |
2. |
\(\mathrm{DRY}(\mathrm{rad})\) |
5.2602E-05 |
|
\(\mathrm{DRZ}(\mathrm{rad})\) |
5.2310E-04 |
|
Réactions REAC_NODA: |
||
\(\mathrm{N25}\) \(\mathrm{FX}(N)\) |
1.2790E+03 |
|
\(\mathrm{FY}(N)\) |
1.3868E+03 |
|
\(\mathrm{FZ}(N)\) |
1.2441E+03 |
|
\(\mathrm{MX}(\mathrm{N.m})\) |
3.2789E+02 |
|
\(\mathrm{MY}(\mathrm{N.m})\) |
4.5579E+00 |
|
\(\mathrm{MZ}(\mathrm{N.m})\) |
3.5199E+02 |
|
Efforts EFGE_ELNO: |
||
\(\mathrm{E3}\) \(\mathrm{N17}\) \(\mathrm{FX}(N)\) |
1.1486E+03 |
|
\(\mathrm{FY}(N)\) |
1.3793E+03 |
|
\(\mathrm{FZ}(N)\) |
1.1141E+03 |
|
\(\mathrm{MX}(\mathrm{N.m})\) |
2.2982E+02 |
|
\(\mathrm{MY}(\mathrm{N.m})\) |
4.5580E+00 |
|
\(\mathrm{MZ}(\mathrm{N.m})\) |
2.2537E+02 |
|
\(\mathit{E4}\) \(\mathit{N17}\) \(\mathit{FX}(N)\) |
2.0079E+02 |
|
\(\mathrm{FY}(N)\) |
1.0650E+03 |
|
\(\mathrm{FZ}(N)\) |
1.4833E+02 |
|
\(\mathrm{MX}(\mathrm{N.m})\) |
2.2975E+02 |
|
\(\mathrm{MY}(\mathrm{N.m})\) |
3.2490E+01 |
|
\(\mathrm{MZ}(\mathrm{N.m})\) |
1.6400E-01 |
|
\(\mathrm{E19}\) \(\mathrm{N17}\) \(\mathrm{FX}(N)\) |
3.3579E+02 |
|
\(\mathrm{FY}(N)\) |
6.7526E+02 |
|
\(\mathrm{FZ}(N)\) |
2.7947E+02 |
|
\(\mathrm{MX}(\mathrm{N.m})\) |
1.8500E-01 |
|
\(\mathrm{MY}(\mathrm{N.m})\) |
3.5570E+01 |
|
\(\mathrm{MZ}(\mathrm{N.m})\) |
2.2535E+02 |
Les déplacements des coins \((\mathrm{N9},\mathrm{N12},\mathrm{N17},\mathrm{N20})\) sont identiques,
Les réactions aux appuis \((\mathrm{N25},\mathrm{N26},\mathrm{N27},\mathrm{N28})\) sont identiques,
Les efforts généralisés sont exprimés dans le repère global.
Synthèse des résultats#
On obtient un accord relativement bon entre la solution calculée avec Code_Aster et la solution calculée par HERCULE:
Fréquences: les écarts observés pour les 18 premières fréquences sont faibles, inférieurs à \(\text{0.2\%}\) .
Déplacements: les écarts observés sont inférieurs à \(\text{1\%}\) si on utilise une combinaison quadratique des directions des excitations, et inférieurs à \(\text{2 \%}\) si on utilise une combinaison de Newmark des directions des excitations.
Efforts: les écarts observés sont inférieurs à \(\text{2\%}\) .