v6.01.105 SSNA105 - Cylindre creux soumis à une pression, viscoélasticité linéaire, contact#
Résumé:
Ce cas-test permet de valider la loi de LEMAITRE implantée dans Code_Aster dans le cas de comportement viscoélastique linéaire. Les résultats trouvés sont comparés à une solution analytique.
Ce test reprend la même modélisation que le cas-test SSNA104A auquel on rajoute un cylindre (pastille) et on traite le contact.
Solutions de référence#
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence#
L’ensemble de cette démonstration peut être lue avec plus de détails dans le document [bib1].
Phase sans contact
On veut trouver la valeur de \({p}_{1}(t)\) à appliquer sur la paroi interne de la pastille pour laquelle le contact a lieu.
Pour la pastille, on trouve:
\(\sigma =(\begin{array}{ccc}\gamma (1-\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}^{2}})& 0& 0\\ 0& \gamma (1+\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}^{2}})& 0\\ 0& 0& 2\nu \gamma \end{array})\) où \(\gamma =\frac{{p}_{1}(t){r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{2}-{r}_{1}^{2}}\)
\({\varepsilon}_{\theta}=\frac{1+\nu }{E}\gamma \left[1-2\nu +\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}^{2}}\right]=\frac{w}{r}\) .
La condition de contact s’écrivant: \(w({r}_{3})-w({r}_{2})=0\) , on a \({r}_{3}-{r}_{2}={r}_{2}\frac{2(1+\nu )\gamma }{E}(1-\nu )\)
D’où \(\gamma =(\frac{{r}_{3}}{{r}_{2}}-1)\frac{E}{2{(1-\nu )}^{2}}\)
\({p}_{1}\lim=(\frac{{r}_{3}}{{r}_{2}}-1)\frac{E({r}_{2}^{2}-{r}_{1}^{2})}{2{r}_{1}^{2}{(1-\nu )}^{2}}\) .
Phase avec contact
On veut qu’à partir de l’instant \(t=0\) , la gaine a le même comportement que dans le test ssna104a.
Lorsqu’il y a contact, on a:
\({w}_{P}({r}_{2})={W}_{G}({r}_{3})+{r}_{3}-{r}_{2}\) ,
donc en récupérant la valeur des déplacements dans le test ssna104, on doit obtenir:
\({w}_{P}({r}_{2})={r}_{3}-{r}_{2}+\frac{{p}_{0}{r}_{3}^{3}}{{r}_{4}^{2}-{r}_{3}^{2}}\left\lbrace \frac{1}{E}((1+\nu )\frac{{r}_{4}^{2}}{{r}_{3}^{2}}+\frac{1-2\nu }{2}(3-(1-2\nu ){e}^{-\mathit{Ekt}}))+\frac{3}{2}k\frac{{r}_{4}^{2}}{{r}_{3}^{2}}t\right\rbrace\) .
Le champ de contrainte de la pastille est donné par
\(\sigma =(\begin{array}{ccc}{\gamma}_{1}(1-\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}^{2}})-{\gamma}_{0}(1-\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}^{2}})& 0& 0\\ 0& {\gamma}_{1}(1+\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}^{2}})-{\gamma}_{0}(1+\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}^{2}})& 0\\ 0& 0& {\sigma}_{Z}\end{array})\)
avec \({\gamma}_{1}=\frac{{p}_{1}{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{2}-{r}_{1}^{2}}\) et \({\gamma}_{0}=\frac{{p}_{0}{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{2}-{r}_{1}^{2}}\) .
Comme \({\varepsilon}_{Z}=\frac{1+\nu }{E}{\sigma}_{Z}-\frac{\nu}{E}(2({\gamma}_{1}-{\gamma}_{0})+{\sigma}_{Z})=0\) , on trouve: \({\sigma}_{Z}=2\nu ({\gamma}_{1}-{\gamma}_{0})\) .
On a donc \({\varepsilon}_{\theta}=\frac{1+\nu }{E}{\sigma}_{\theta}-\frac{\nu}{E}({\sigma}_{r}+{\sigma}_{\theta}+{\sigma}_{Z})=\frac{1+\nu }{E}\left[(1-2\nu )({\gamma}_{1}-{\gamma}_{0})+{\gamma}_{1}\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}^{2}}-{\gamma}_{0}\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}^{2}}\right]=\frac{w}{r}\)
\({w}_{P}({r}_{2})=\frac{1+\nu }{E}{r}_{2}\left[2(1-\nu ){\gamma}_{1}-{\gamma}_{0}(1-2\nu +\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{2}})\right]\) , on trouve \({p}_{1}(t)\) donné par la formule un peu plus haut.
Résultats de référence#
Déplacement \(\mathit{DX}\) sur le nœud \(B\)
Incertitude sur la solution#
\(\text{0\%}\) : solution analytique
Références bibliographiques#
Ph. De BONNIERES, deux solutions analytiques de problèmes axisymétriques en viscoélasticité linéaire et avec contact unilatéral, Note HI-71/8301
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Le problème est modélisé en axisymétrie. Le contact est traité par la formulation discrète.
Caractéristiques du maillage#
600 mailles QUAD4
160 mailles SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Référence |
Tolérance |
\(\mathit{DX}(B)\) |
0.9 |
2,1400 E–3 |
RELATIF – 0,95 % |
\(\mathit{SIXX}(B)\) |
0.9 |
0 |
ABSOLU – 9,6E-6 |
\(\mathit{SIYY}(B)\) |
0.9 |
2,7912 E–4 |
RELATIF – 3,40% |
\(\mathit{SIZZ}(B)\) |
0.9 |
6,6000 E–4 |
RELATIF – 2,00% |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Le problème est modélisé en axisymétrie. Le contact est traité par la formulation continue.
Caractéristiques du maillage#
600 mailles QUAD4
160 mailles SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Référence |
Tolérance (%) |
\(\mathit{DX}(B)\) |
0.9 |
2.14 E–3 |
1.2 % |
\(\mathit{SIXX}(B)\) |
0.9 |
0.0 |
|
\(\mathit{SIYY}(B)\) |
0.9 |
2.7912 E–4 |
3.5 % |
\(\mathit{SIZZ}(B)\) |
0.9 |
6.66 E–4 |
2.5 % |
Synthèse des résultats#
Les résultats calculés par Code_Aster sont en accord avec les solutions analytiques mais dépendent très fortement du raffinement du maillage. Les deux méthodes de prise en compte du contact (formulation discrète et continue) donnent les mêmes résultats.