v3.01.107 SSLL107 - Validation de MACR_CARA_POUTRE#

Résumé:: L’ensemble des modélisations de ce test permettent de valider la macro_commande de calcul des caractéristiques de section de poutre, MACR_CARA_POUTRE [U4.42.02], pour toutes les options proposées. Les sections étudiées sont différentes suivant les modélisations.

Les différentes modélisations :

A : calcul des caractéristiques d’une section de type cornière.
B : calcul des caractéristiques d’une section circulaire.
C : calcul des caractéristiques d’une section rectangulaire.
D : calcul des caractéristiques d’une section rectangulaire alvéolée.
E : calcul des caractéristiques d’une section octogonale.
F : calcul des caractéristiques d’une section circulaire avec un enchaînement sur un calcul de poutre.
G : calcul d’un réseau de 2 poutres de section rectangulaires.
H : calcul des caractéristiques d’une section mince en U.
I : calcul de la constante de torsion pour une section trouée.
J : calcul des coefficients de cisaillement pour une section circulaire trouée.
K : calcul des coefficients de cisaillement pour une section rectangulaire trouée.
L : changement de quadrant des caractéristiques, basé sur la modélisation A.

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Étant donné que les solutions sont spécifiques à chaque modélisation, elles sont décrites dans les paragraphes correspondants. Elles sont tirées principalement de [bib1] et [bib2].

Résultats de référence#

On décrit ici les calculées par MACR_CARA_POUTRE [U4.42.02].

Caractéristiques géométriques :
- Dans le repère OYZ de description du maillage \(2D\) pour le maillage fourni par l’utilisateur * aire : A_M * position du centre de gravité : CDG_Y_M,CDG_Z_M * moments et produit d’inertie d’aire, au centre de gravité G dans le repère GYZ : IY_G_M, IZ_G_M, IYZ_G_M
- Dans le même repère global, pour le maillage obtenu par symétrisation si SYME_Y ou SYME_Z: * aire : A * position du centre de gravité : CDG_Y,CDG_Z * moments et produit d’inertie d’aire, au centre de gravité G dans le repère GYZ: IY_G, IZ_G, IYZ_G
- Dans le repère principal d’inertie Gyz. de la section droite, dont la dénomination correspond à celle utilisée à la description des éléments de poutre de fibre neutre GX [U4.24.01]. * moments d’inertie d’aire principaux dans le repère Gyz, utilisables pour le calcul de la rigidité de flexion de la poutre : IY et IZ * angle de passage du repère GYZ au repère principal d’inertie Gyz : ALPHA * distances caractéristiques, par rapport au centre de gravité G de la section pour les calculs de contraintes maximales : Y_MAX, Y_MIN, Z_MAX, Z_MIN et R_MAX.
- Dans le repère global, en un point \(P\) fourni par l’utilisateur: * Y_P, Z_P: point de calcul des moments d’inertie * IY_P, IZ_P, IYZ_P: moments d’inertie dans le repère PYZ * IY_P, IZ_P: moments d’inertie dans le repère Pyz.
Caractéristiques mécaniques :
- \(JX\) : Constante de torsion
- \(EY\) : Position du centre de torsion / cisaillement
- \(EZ\) : Position du centre de torsion / cisaillement
- \(PCTY\) : Excentrement du centre de torsion dans le repère \(GYZ.\) suivant l’axe \(Y\)
- \(PCTZ\) : Excentrement du centre de torsion dans le repère \(GYZ\) suivant l’axe \(Z\)
- \(AY\) : Coefficient de cisaillement
- \(AZ\) : Coefficient de cisaillement
- \(JG\) : Constante de gauchissement

Incertitude sur la solution#

Solution analytique.

Références bibliographiques#

[bib1] (1,2)

PILKEY W.D.: «Formulas for stress, Strain and Structural Matrices». Wiley & Cons, NewYork, 1994.

[bib2]

D.BLEVINS : Formulas for natural frequency and mode shape.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Section cornière:

../../../../_images/corniere_geometrie.png

Les coordonnées des points sont:

\(P1\)	0.0	0.0
\(P2\)	1.3E-02	0.0
\(P3\)	4.75E-02	0.0
\(P4\)	5.0E-02	0.0E+00
\(P5\)	5.0E-02	5.5E-03
\(P6\)	4.750E-02	8.0E-03
\(P7\)	1.30E-02	8.0E-03
\(P10\)	8.0E-03	1.300E-02
\(P11\)	8.0E-03	4.75E-02
\(P12\)	5.5E-03	5.0E-02
\(P13\)		5.0E-02

Caractéristiques du maillage#

182 mailles TRIA6.

../../../../_images/corniere_maillage.png

Solution de référence#

Pas de solution analytique exacte. Les valeurs sont des valeurs de non régression.

Grandeurs testées et résultats#

Identification	Référence	Tolérance
\(A\)	7.39E-04	1.00E-03
\(ALPHA\)	1.35E+02	1.00E-03
\({CDG}_{Y}\)	1.53E-02	1.50E-03
\({CDG}_{Z}\)	1.53E-02	1.50E-03
\(JX\)	1.43E-08	1.20E-01
\(EY\)	0.00E+00	1.00E-03
\(EZ\)	-1.60E-02	1.00E-03
\({IY}_{G}\)	1.64E-07	4.00E-03
\({IYR2}_{P}\)	1.41E-08	1.40E-02
\({IYZ}_{G}\)	-9.50E-08	1.00E-03
\({IZ}_{G}\)	1.64E-07	4.00E-03
\(IY\)	6.95E-08	4.00E-03
\({IZR2}_{P}\)	1.41E-08	1.40E-02
\(IZ\)	2.60E-07	4.00E-03
\(PCTY\)	-4.00E-03	1.00E-03
\(PCTZ\)	-4.00E-03	1.00E-02
\({R}_{MAX}\)	3.79E-02	1.00E-03
\({Y}_{MAX}\)	3.54E-02	1.00E-03
\({Y}_{MIN}\)	-3.54E-02	1.00E-03
\({Z}_{MAX}\)	2.17E-002	1.00E-03
\({Z}_{MIN}\)	-1.83E-02	1.00E-03

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit de la section d’un cerclede rayon externe \(R=\mathrm{0.025m}\) et d’épaisseur \(\mathrm{0.005m}\) . On ne représente qu’un quart de la section. Cette modélisation permet de tester le mot-clé CARA_GEOM de POST_ELEM, employé également par MACR_CARA_POUTRE pour calculer les caractéristiques géométriques d’une aire plane.

Caractéristiques du maillage#

30 mailles QUAD8.

../../../../_images/tube_cercle_quart_maillage.png

Solution de référence#

Pour la section complète :

\(A=\pi \left[ {R}^{2}-{(R-ep)}^{2} \right] = 1.76714{\times 10^{-04}}~{m}^{2}\)

\({I}_{y}={I}_{z}=\frac{\pi}{4}\left[ {R}^{4}-{(R-ep)}^{4} \right] = 1.81132{\times 10^{-07}}~{m}^{4}\)

\({I}_{p}=2{I}_{y}=2{I}_{z}\)

Grandeurs testées et résultats#

Identification	Référence	% différence
\({A}_{M}\)	1.76714E-04	-7.76E-05
\({CDG}_{\text{Y-M}}\)	1.438288E-02	-1.25E-04
\({CDG}_{\text{Z-M}}\)	1.438288E-02	-1.25E-04
\({IY}_{\text{G-M}}\)	8.7265757E-09	-2.78E-04
\({IZ}_{\text{G-M}}\)	8.7265757E-09	-2.78E-04
\({IYZ}_{\text{G-M}}\)	-7.72837E-09	-3.83E-04
\(A\)	7.0685745E-04	-7.76E-05
\({CDG}_{Y}\)	0.00000E+00	0
\({CDG}_{Z}\)	0.00000E+00	0
\({IY}_{G}\)	1.81132E-07	-4.19E-06
\({IZ}_{G}\)	1.81132E-07	-4.19E-06
\({IYZ}_{G}\)	0.00000E+00
\(IY\)	1.81132E-07	-4.19E-06
\(IZ\)	1.81132E-07	-4.19E-06
\({Y}_{MIN}\)	-2.50000E-02	0.00E+00
\({Y}_{MAX}\)	2.50000E-02	0.00E+00
\({Z}_{MIN}\)	-2.50000E-02	0.00E+00
\({Z}_{MAX}\)	2.50000E-02	0.00E+00

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation#

Section rectangulaire creuse dont on représente un quart. Cette modélisation permet de tester le mot-clé CARA_GEOM de POST_ELEM [U4.81.22], employé également par MACR_CARA_POUTRE [U4.42.02] pour calculer les caractéristiques géométriques d’une aire plane.

../../../../_images/tube_rectangle_geom.png

\(\mathit{Hx}=\mathrm{0.02m}\) , \(\mathit{Hy}=\mathrm{0.05m}\) , \(\mathit{epx}=\mathrm{0.002m}\) , \(\mathit{epy}=\mathrm{0.005m}\).

Caractéristiques du maillage#

Coordonnées des nœuds :

\({N1}\) : 8.00E-03 0.00E+00

\({N2}\) : 8.00E-03 2.00E-02

\({N3}\) : 0.00E+00 2.00E-02

\({N4}\) : 0.00E+00 2.50E-02

\({N5}\) : 1.00E-02 2.50E-02

\({N6}\) : 1.00E-02 0.00E+00

\({N7}\) : 8.00E-03 6.6667E-03

\({N8}\) : 8.00E-03 1.3333E-02

\({N9}\) : 4.00E-03 2.00E-02

\({N10}\) : 5.00E-03 2.50E-02

\({N11}\) : 1.00E-02 1.66667E-02

\({N12}\) : 1.00E-02 8.3333E-03

../../../../_images/tube_rectangle_quart_maillage.png

Solution de référence#

\(A={h}_{y}{h}_{z}-({h}_{y}-2{{ep}}_{y})({h}_{z}-2{{ep}}_{z})= 3.6{\times 10^{-04}}~{m}^{2}\)

\({I}_{x}=\frac{1}{12}\left[{h}_{y}{h}_{z}^{3}-({h}_{y}-2{{ep}}_{y}){({h}_{z}-2{{ep}}_{z})}^{3}\right]=1.23{\times 10^{-07}}~{m}^{4}\)

\({I}_{y}=\frac{1}{12}\left[{h}_{z}{h}_{y}^{3}-({h}_{z}-2{{ep}}_{z}){({h}_{y}-2{{ep}}_{y})}^{3}\right]=1.968{\times 10^{-08}}~{m}^{4}\)

Grandeurs testées et résultats#

Identification	Référence	% différence
\(A\)	3.60000E-04	-2.26E-13
\({ALPHA}\)	9.00000E+01	0.00E+00
\({CDG}_{Y}\)	0.00000E+00	0
\({CDG}_{Z}\)	0.00000E+00	0.00E+00
\({IY}_{G}\)	1.23000E-07	-6.46E-14
\({IYZ}_\text{G_M}\)	-1.11111E-09	1.00E-04
\({IZ}_{G}\)	1.96800E-08	-2.52E-13
\({IY}\)	1.96800E-08	-2.52E-13
\({IZ}\)	1.23000E-07	-6.46E-14
\({R}_{MAX}\)	2.69258E-02	-6.54E-04
\({Y}_{MAX}\)	2.50000E-02	0.00E+00
\({Y}_{MIN}\)	-2.50000E-02	0.00E+00
\({Z}_{MAX}\)	1.00000E-02	0.00E+00
\({Z}_{MIN}\)	-1.00000E-02	0.00E+00

Modélisation D#

Caractéristiques de la modélisation#

Section rectangulaire creuse. Cette modélisation permet de tester MACR_CARA_POUTRE pour calculer les caractéristiques géométriques et mécaniques d’une aire plane.

Deux calculs sont effectués:

le premier est effectué avec le mot-clé SYME_Z = “OUI”, c’est à dire que la section considérée est obtenue par symétrie autour de l’axe \(Z\) (section alvéolée). De plus les inerties sont calculées par rapport au point de coordonnées \((0, –0.025)\) (mot-clé ORIG_INER),
le second est effectué sans symétrie, sur la section maillée, avec un calcul des inerties au centre du maillage, \(C\) de coordonnées \((0.005, 0.0)\) , et 2 groupes de mailles différents, qui correspondent chacun à la moitié verticale du maillage (de part et d’autre de l’axe \({Cz}\)).

Caractéristiques du maillage#

40 mailles QUAD4. Les coordonnées des nœuds sommets du rectangle sont :

\({N1}\) : 0.00E+00 -2.50E-02

\({N2}\) : 0.00E+00 2.50E-02

\({N3}\) : 1.00E-02 2.50E-02

\({N4}\) : 1.00E-02 -2.50E-02

\({N5}\) : 2.00E-03 -2.00E-02

\({N6}\) : 2.00E-03 2.00E-02

\({N7}\) : 8.01E-03 2.00E-02

\({N8}\) : 8.01E-03 -2.00E-02

\({N9}\) : 0.00E+00 0.00E+00

../../../../_images/tube_rectangle_maillage.png

Grandeurs testées et résultats#

Pour la section symétrisée suivant \({OY}\) , les caractéristiques géométriques sont:

Identification	Référence	% différence
\({A}_{M}\)	2.600E-04	-1.25E-13
\(A\)	5.200E-04	-1.25E-13
\({ALPHA}\)	9.000E+01	0.00E+00
\({{CDG}}_{\text{Y-M}}\)	5.000E-03	-5.20E-14
\({{CDG}}_{Y}\)	0.000E+00	0.00E+00
\({{CDG}}_{\text{Z-M}}\)	0.000E+00	1.40E-18
\({{CDG}}_{Z}\)	0.000E+00	1.40E-18
\({{IY}}_{\text{G-M}}\)	7.21667E-08	-4.62E-05
\({{IY}}_{G}\)	1.44333E-07	2.31E-04
\({{IY}}_{P}\)	4.69333E-07	7.10E-05
\({{IYZ}}_{\text{G-M}}\)	0.000E+00	-4.33E-26
\({{IYZ}}_{G}\)	0.000E+00	-4.33E-26
\({{IZ}}_{\text{G-M}}\)	3.44667E-09	-9.67E-05
\({{IZ}}_{G}\)	1.98933E-08	1.68E-04
\({IY}\)	1.98933E-08	1.68E-04
\({{IY}}_{P}\)	1.98933E-08	1.68E-04
\({IZ}\)	1.44333E-07	2.31E-04
\({R}_{{MAX}}\)	2.69260E-02	-6.54E-04
\({Y}_{{MAX}}\)	2.500E-02	0.00E+00
\({Y}_{{MIN}}\)	-2.500E-02	0.00E+00
\({Z}_{{MAX}}\)	1.000E-02	1.73E-14
\({Z}_{{MIN}}\)	-1.000E-02	1.73E-14

Pour la section non symétrisée, les caractéristiques géométriques sont:

Lieu	Identification	Référence	% différence
\({TOUT}\)	\({{IY}}_{P}\)	3.60833E-08	9.24E-05
\({GR1}\)	\({{IY}}_{P}\)	3.60833E-08	9.24E-05
\({GR2}\)	\({{IY}}_{P}\)	7.21667E-08	-4.62E-05
\({TOUT}\)	\({{IZ}}_{P}\)	1.72333E-09	1.93E-04
\({GR1}\)	\({{IZ}}_{P}\)	1.72333E-09	1.93E-04
\({GR2}\)	\({{IZ}}_{P}\)	3.44667E-09	-9.67E-05

Modélisation E#

Caractéristiques de la modélisation#

Section octogonale creuse, dont on maille un quart.

Caractéristiques du maillage#

N1 : 2.30969E-02 0.00000E+00

N2 : 2.30969E-02 9.56708E-03

N3 : 9.56708E-03 2.30969E-02

N4 : 0.00000E+00 2.30969E-02

N5 : 2.11835E-02 0.00000E+00

N6 : 2.11835E-02 8.77452E-03

N7 : 8.77452E-03 2.11835E-02

N8 : 0.00000E+00 2.11835E-02

../../../../_images/tube_octogone_creuse_maillage.png

Grandeurs testées et résultats#

Pour la section symétrisée suivant \({OZ}\) , les caractéristiques géométriques sont :

Identification	Référence	% différence
\({ALPHA}\)	9.00000E+01	0.00E+00
\({{IYZ}}_{G}\)	0.00000E+00	0.00E+00
\({{IZ}}_{G}\)	7.28824E–08	0.003
\({IY}\)	7.28824E–08	0.003
\({IZ}\)	7.28824E–08	0.003
\({R}_{{MAX}}\)	2.50000E–02	4.58E–13
\({Y}_{{MAX}}\)	2.30967E–02	0.001
\({Y}_{{MIN}}\)	–2.30967E–02	0.001
\({Z}_{{MAX}}\)	2.30967E–02	0.001
\({Z}_{{MIN}}\)	–2.30967E–02	0.001

Modélisation F#

Caractéristiques de la modélisation#

Section circulaire pleine, de rayon \({0.025~m}\) . Les caractéristiques calculés sont ensuite utilisées directement dans un calcul de poutre droite (de longueur \(L = 1~m\) ), en traction pure (\(F = 1000~N\) ). Le module d’Young vaut \(2.0{\times 10^{+11}}~Pa\). Les caractéristiques de la section sont données à AFFE_CARA_ELEM [U4.42.01] via le mot-clé TABLE_CARA.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de mailles: 52 TRIA6, 299 QUAD8

Solution de référence#

\(A=\pi {R}^{2}=1.9635{\times 10^{-03}}~{m}^{2}\)

\({I}_{y}={I}_{z}=\frac{\pi }{4}{R}^{4}=3.06796{\times 10^{-07}}~{m}^{4}\)

\({A}_{y}={A}_{z}=\frac{10}{9}\)

\(C={I}_{x}=2{I}_{y}=2{I}_{z}\)

Traction pure d’une poutre de section circulaire pleine, de longueur \(L = {1~m}\) , soumise à une force \(F = {1000~N}\) : \(u(x)=\frac{Fx}{EA}\) \(u(L)=\frac{FL}{EA}=2.54648{\times 10^{-06}}~m\)

Grandeurs testées et résultats#

Pour la section symétrisée suivant \({OY}\) , les caractéristiques géométriques sont:

Identification	Référence	Valeur	Tolérance
\(A\)	ANALYTIQUE	1.96E-03	0.50%
\({{CDG}}_{Y}\)	ANALYTIQUE	0.00E+00	0.10%
\({{CDG}}_{Z}\)	ANALYTIQUE	0.00E+00	0.10%
\({{IY}}_{G}\)	ANALYTIQUE	3.07E-07	0.90%
\({{IZ}}_{G}\)	ANALYTIQUE	3.07E-07	0.90%
\({{IYZ}}_{G}\)	ANALYTIQUE	0.00E+00	0.10%
\({IY}\)	ANALYTIQUE	3.07E-07	0.90%
\({IZ}\)	ANALYTIQUE	3.07E-07	0.90%
\({Y}_{{MIN}}\)	ANALYTIQUE	-2.50E-02	0.10%
\({Y}_{{MAX}}\)	ANALYTIQUE	2.50E-02	0.10%
\({Z}_{{MIN}}\)	ANALYTIQUE	-2.50E-02	0.10%
\({Z}_{{MAX}}\)	ANALYTIQUE	2.50E-02	0.10%
\({JX}\)	ANALYTIQUE	6.14E-07	0.90%
\({AY}\)	ANALYTIQUE	1.17E+00	0.10%
\({AZ}\)	ANALYTIQUE	1.17E+00	0.10%
\({EY}\)	ANALYTIQUE	0.00E+00	0.10%
\({EZ}\)	ANALYTIQUE	0.00E+00	0.10%
\({JG}\)	ANALYTIQUE	0.00E+00	0.10%

Pour le calcul de traction de poutre, le résultat est:

Identification	Référence	Valeur	Tolérance
DEPL	ANALYTIQUE	2.55E-06	1.00E-03
Forc_nodA	ANALYTIQUE	1.00E+03	1.00E-03

Modélisation G#

Caractéristiques de la modélisation#

Section rectangulaire pleine, de largeur \({0.02~m}\) et de hauteur \({0.05~m}\) . Elle est divisée en deux rectangles de hauteurs respectives \({0.025~m}\) , afin de tester le calcul des caractéristiques sur des groupes de mailles pour un réseau constitué ici de deux poutres parallèles, comprises entre deux planchers distant de \(L={0.0002~m}\) (ce qui permet d’obtenir des caractéristiques (coefficient de cisaillement) très proches de celle de la section complète).

../../../../_images/rectangle_geometrie.png

avec b = 0.01, h=0.025

Caractéristiques du maillage#

Nombre de mailles: 32 QUAD8

Solution de référence#

Caractéristiques géométriques pour la section complète et pour chaque demi-section:

LIEU	A	CDG_Y	CDG_Z	IY_G	IZ_G	IYZ_G
Tout	1.00E-03	0.0	0.0	2.08E-07	3.33E-08	0.0
GR1	5.00E-04	0.0	-1.25E-02	2.60E-08	1.67E-08	0.0
GR2	5.00E-04	0.0	1.25E-02	2.60E-08	1.67E-08	0.0

LIEU	Y_P	Z_P	IY_P	IZ_P	IYZ_P	IY	IZ
Tout	0.00E+00	0.00E+00	2.08E-07	3.33E-08	0.0	3.33E-08	2.08E-07
GR1	0.00E+00	0.00E+00	1.04E-07	1.67E-08	0.0	1.67E-08	1.04E-07
GR2	0.00E+00	0.00E+00	1.04E-07	1.67E-08	0.0	1.67E-08	1.04E-07

Coefficients de cisaillement, pour chaque section rectangulaire : \({A}_{y}={A}_{z}=1.2\)

Grandeurs testées et résultats#

Pour la section complète, les caractéristiques géométriques et mécaniques sont:

Identification	Référence	% différence
\(A\)	1.0000000E–03	0.00E+00
\({ALPHA}\)	9.0000000E+01	0.00E+00
\({AY}\)	1.2000000E+00	–0.004
\({AZ}\)	1.2000000E+00	–0.065
\({{CDG}}_{Y}\)	0.0000000E+00	–1.03E–19
\({{CDG}}_{Z}\)	0.0000000E+00	–2.67E–19
\({JX}\)	9.9805000E–08	–0.124
\({EY}\)	0.0000000E+00	1.55E–18
\({EZ}\)	0.0000000E+00	–4.79E–18
\({{IY}}_{G}\)	2.0833333E–07	1.60E–06
\({{IYZ}}_{G}\)	0.0000000E+00	–1.40E–24
\({{IZ}}_{G}\)	3.3333330E–08	1.00E–05
\({PCTY}\)	0.0000000E+00	4.90E–18
\({PCTZ}\)	0.0000000E+00	1.82E–18
\({Y}_{{MAX}}\)	2.5000000E–02	0.00E+00
\({Y}_{{MIN}}\)	–2.5000000E–02	0.00E+00
\({Z}_{{MAX}}\)	1.0000000E–02	1.73E–14
\({Z}_{{MIN}}\)	–1.0000000E–02	1.73E–14

Pour les deux groupes disjoints, on obtient :

Lieu	Identification	Référence	% différence
\({GR2}\)	\(A\)	5.00000E–04	2.17E–14
\({GR1}\)	\(A\)	5.00000E–04	4.34E–14
\({TOUT}\)	\({AY}\)	1.20000E+00	–0.064
\({GR1}\)	\({AY}\)	1.20000E+00	–0.065
\({GR2}\)	\({AY}\)	1.20000E+00	–0.065
\({GR1}\)	\({AZ}\)	1.20000E+00	–0.065
\({GR2}\)	\({AZ}\)	1.20000E+00	–0.065
\({GR1}\)	\({{CDG}}_{Y}\)	0.00000E+00	1.59E–19
\({GR2}\)	\({{CDG}}_{Y}\)	0.00000E+00	2.11E–19
\({GR1}\)	\({{CDG}}_{Z}\)	1.25000E–02	–1.39E–14
\({GR2}\)	\({{CDG}}_{Z}\)	–1.25000E–02	–4.16E–14
\({GR1}\)	\({{IY}}_{G}\)	2.60417E–08	–1.28E–04
\({GR2}\)	\({{IY}}_{G}\)	2.60417E–08	–1.28E–04
\({GR1}\)	\({{IYZ}}_{G}\)	0.00000E+00	–1.58E–24
\({GR2}\)	\({{IYZ}}_{G}\)	0.00000E+00	1.98E–24
\({GR1}\)	\({{IZ}}_{G}\)	1.66667E–08	–2.00E–04
\({GR2}\)	\({{IZ}}_{G}\)	1.66667E–08	–2.00E–04

Modélisation H#

Caractéristiques de la modélisation#

Section en \(U\) , de cote \(l = {20~mm}\), et d’épaisseur \(e = {0.5~mm}\)

Caractéristiques du maillage#

Nombre de mailles: 236 QUAD8

Solution de référence#

Les valeurs analytiques approchées sont issues de [bib1].

Grandeurs testées et résultats#

Pour la section complète, les caractéristiques géométriques et mécaniques sont :

Identification	Référence	% différence
\(A\)	29.5	0.00E+00
\({AY}\)	4.25300E+00	5.483
\({AZ}\)	1.61800E+00	18.472
\({{CDG}}_{Y}\)	6.8602	–0.015
\({{CDG}}_{Z}\)	10	–2.31E–13
\({JX}\)	2.4984	–1.9
\({EY}\)	0	–4.18E–11
\({EZ}\)	–15.43	–0.089
\({JG}\)	8.69 E+04	0.253

Modélisation I#

Caractéristiques de la modélisation#

Section circulaire creuse, de rayon externe \({10~mm}\) , et d’épaisseur \({1~mm}\) .

Caractéristiques du maillage#

Nombre de mailles: 300 QUAD8

Solution de référence#

\(C={I}_{x}=\pi \left[ \frac{{R}^{4}}{2}-\frac{{\left( R-e \right)}^{4}}{2} \right] = 5401.97{{~mm}}^{4}\)

Grandeurs testées et résultats#

La constante de torsion vaut:

Identification	Référence	% différence
\({JX}\)	5401.97	-0.194

Modélisation J#

Caractéristiques de la modélisation#

Trois sections :

circulaire pleine de rayon 2 m.
circulaire creuse, de rayon externe 2 m et de paramètre ALPHA = 0.5 .
circulaire creuse, de rayon externe 2 m et de paramètre ALPHA = 0.9.

Remarque :: ALPHA = (Rext – épaisseur) / Rext

Caractéristiques des maillages#

Nombre de mailles: 318 TRIA6

../../../../_images/cercle_plein_maillage.png

Nombre de mailles: 259 TRIA6

../../../../_images/tube_cercle_epais_maillage.png

Nombre de mailles: 95 TRIA6

../../../../_images/tube_cercle_maillage.png

Grandeurs testées et résultats#

Des tests pour garantir la non-régression du code sont réalisés sur les coefficients de cisaillement calculés.

Modélisation K#

Caractéristiques de la modélisation#

Trois sections :

carré pleine de côté 4 m.
carré creuse, de côté 4 m et de paramètre ALPHA = 0.5 / BETA = 0.525.
carré creuse, de côté 4 m et de paramètre ALPHA = 0.9 / BETA = 0.945.

Remarque :

ALPHA = (HX – 2*EPX)/HX

BETA = (HY – 2*EPY)/HY

Caractéristiques des maillages#

Nombre de mailles: 844 TRIA6

../../../../_images/carre_plein_maillage.png

Nombre de mailles: 762 TRIA6

../../../../_images/carre_creux_epais_maillage.png

Nombre de mailles: 208 TRIA6

../../../../_images/carre_creux_fin_maillage.png

Grandeurs testées et résultats#

Des tests pour garantir la non-régression du code sont réalisés sur les coefficients de cisaillement calculés.

Modélisation L#

Caractéristiques de la modélisation#

Elle est identique à la modélisation A.

Caractéristiques du maillage#

Il est identique à la modélisation A.

Solution de référence#

Pas de solution analytique exacte. Les valeurs sont des valeurs de non régression. Elles sont identiques à celles de la modélisations A.

Grandeurs testées et résultats#

Seules les caractéristiques (non nulles) qui sont modifiées par le changement de quadrant sont testées.

Caractéristiques	Quadrant 2	Quadrant 1	Quadrant 3	Quadrant 4
\(ALPHA\)	1.3500000000e+02	4.5000000000e+01	2.2500000000e+02	3.1500000000e+02
\(EY\)	7.6075307191e-08	1.5067376087e-02	-1.5067376087e-02	-7.6075307191e-08
\(EZ\)	-1.5067376087e-02	7.6075307191e-08	-7.6075307191e-08	1.5067376087e-02
\(IY\)	6.9289341731e-08	2.5916455760e-07	2.5916455760e-07	6.9289341731e-08
\(IZ\)	2.5916455760e-07	6.9289341731e-08	6.9289341731e-08	2.5916455760e-07
\(AY\)	2.1039712106e+00	2.2002272909e+00	2.2002272909e+00	2.1039712106e+00
\(AZ\)	2.2002272909e+00	2.1039712106e+00	2.1039712106e+00	2.2002272909e+00
\(RY\)	3.5355339059e-02	2.1665709211e-02	2.1665709211e-02	3.5355339059e-02
\(RZ\)	2.1665709211e-02	3.5355339059e-02	3.5355339059e-02	2.1665709211e-02
\(IYR2\)	-2.0288723474e-09	-4.2753822597e-16	4.2753822597e-16	2.0288723474e-09
\(IZR2\)	4.2753822597e-16	-2.0288723474e-09	2.0288723474e-09	-4.2753822597e-16

Modélisation M#

Caractéristiques de la modélisation#

La modélisation est constituée par 8 éléments de poutre (SEG2). La section droite de toutes les poutres est une cornière à ailes inégales. La section transverse est représentée à figure Fig. 541. Les axes principaux d’inerties sont (Yl,Zl), avec l’angle \(\alpha = 31.9766°\).

../../../../_images/M_VueCorniere.png — Fig. 541 : Cornières à ailes inégales#

La figure Fig. 542 présente la CAO du problème lorsque les angles de vrille sont ceux par défaut \(\gamma = 0\).

../../../../_images/M_VueCAO.png — Fig. 542 : Vue CAO de la géométrie.#

Caractéristiques du maillage#

Sans objet. Il n’y a pas de calcul de réalisé. Seules les orientations seront testées

Solution de référence#

Les sections « S0x1 », « S0y1 », « S0z1 », « S0x1y1z1 » sont orientées par VECT_GEOM_Y ou VECT_GEOM_Z. L’orientation de ces sections ne change donc pas MAIS l’angle de vrille \(\gamma\) est modifié du fait du changement de quadrant et correspond toujours à \(\alpha\), qui est modifié lors du changement de quadrant.

Les sections « S0x2 », « S0y2 », « S0z2 », « S0x2y2z2 » sont orientées par VECT_Z ou VECT_Y (correspondant aux axes d’inerties). L’orientation de ces sections change MAIS l’angle de vrille \(\gamma\) n’est pas modifié lors des changements de quadrant. Lorsque les sections sont orientées par VECT_Z alors \(\gamma = -\pi/2\), par VECT_Y alors \(\gamma=\pi/2\).

Section	Orientation	Vecteur	Vrille
S0x1	VECT_GEOM_Y	( 0.0, 1.0, 0.0)	\(\alpha\)
S0y1	VECT_GEOM_Y	(-1.0, 0.0, 0.0)	\(\alpha\)
S0z1	VECT_GEOM_Z	(-1.0, 0.0, 0.0)	\(\alpha\)
S0x1y1z1	VECT_GEOM_Z	( 0.0, 0.0, 1.0)	\(\alpha\)
S0x2	VECT_Z	( 0.0, 1.0, 0.0)	\(-\pi/2\)
S0y2	VECT_Z	(-1.0, 0.0, 0.0)	\(-\pi/2\)
S0z2	VECT_Y	(-1.0, 0.0, 0.0)	\(\pi/2\)
S0x2y2z2	VECT_Y	( 0.0, 0.0, 1.0)	\(\pi/2\)

Grandeurs testées et résultats#

Pour tous les quadrants, l’angle de vrille de toutes les mailles est testé.

Dans le fichier de commandes, on y trouve les instructions pour réaliser une sortie au format MED et permettre une visualisation des sections ainsi que les axes principaux d’inerties de chaque section. La figure Fig. 543 montre le résultat du cas ou le quadrant est le 2. Pour réaliser cette sortie, il est nécessaire de décommenter les instructions dans le fichier de commandes et de modifier le fichier export en ajoutant un répertoire en sortie.

../../../../_images/M_VueSectionSP0.png — Fig. 543 : Post-traitement, avec ParaViS, du cas correspond à QUADRANT=2.#

Synthèse des résultats#

Ce test permet de vérifier simultanément le bon fonctionnement de la commande MACR_CARA_POUTRE pour différents types de sections.