On décrit ici des lois de comportement hyper-élastique adoptées pour les élastomères.
Les cas compressible et incompressible sont présentés.
Expressions analytiques
Cette section présente les expressions analytiques des lois visco-hyper-élastique et hyper-élastique compressible.
On rappelle que qaund le module de relaxation en cisaillement est égal à zéro, on retrouve les équations de la loi hyper-élastique.
Cas des contraintes hyper-élastiques
Nous allons détailler l’expression analytique des contraintes de Piola-Kirchhoff pour le potentiel hyper-élastique de Signorini (\(p=2\) et \(q=1\) ) dans le cas incompressible. On a donc le tenseur de contraintes de Piola-Kirchhoff 2, représentant les contraintes mesurées dans la configuration initiale qui s’écrit:
(1959)\[\stressPKTwo
=
2 \frac{\partial{\Psi}^{\mathrm{iso}}}{\partial\partial\ECGDroite}
+
2 \frac{\partial{\Psi}^{\mathrm{vol}}}{\partial\partial\ECGDroite}\]
Avec les deux potentiels:
(1960)\[ \begin{align}\begin{aligned}{\Psi}^{\mathrm{iso}}
=
{C}_{10} \left(\tensTwoInva{1}{\EDil} - 3 \right)
+
{C}_{01} \left(\tensTwoInva{2}{\EDil} - 3 \right)
+
{C}_{20} \left(\tensTwoInva{1}{\EDil}-3 \right)^{2}\\\text{ et }\\{\Psi}^{\mathrm{vol}}
=
\frac{\bulkModulus}{2} {\left( \jacobTransfor-1 \right)}^{2}\end{aligned}\end{align} \]
Pour obtenir les contraintes, il faut dériver le potentiel:
(1961)\[\begin{split}\left \lbrace \begin{array}{ll}
\tensTwoCmpCO{\stressPKTwo^{\mathrm{iso}}}{i}{j}
=
2 \frac{\partial{\Psi}^{\mathrm{iso}}}{\partial\tensTwoInva{1}{\EDil}}
\frac{\partial\tensTwoInva{1}{\EDil}}{\partial{\tensTwoCmpCO{\stressPKTwo}{i}{j}}}
+
2 \frac{\partial{\Psi}^{\mathrm{iso}}}{\partial\tensTwoInva{2}{\EDil}}
\frac{\partial\tensTwoInva{2}{\EDil}}{\partial{\tensTwoCmpCO{\stressPKTwo}{i}{j}}} \\
\tensTwoCmpCO{\stressPKTwo^{\mathrm{vol}}}{i}{j}
=
2 \frac{\partial{\Psi}^{\mathrm{vol}}}{\partial \jacobTransfor}
\frac{\partial \jacobTransfor}{\partial{\tensTwoCmpCO{\stressPKTwo}{i}{j}}}
\end{array} \right.\end{split}\]
Avec:
(1962)\[\begin{split}\left \lbrace \begin{array}{ll}
\frac{\partial {\Psi}^{\mathrm{iso}}}{\partial \tensTwoInva{1}{\EDil}}
=
{C}_{10} + 2 C_{20} \left( \tensTwoInva{1}{\EDil}-3 \right) \\
\frac{\partial {\Psi}^{\mathrm{iso}}}{\partial \tensTwoInva{2}{\EDil}}
=
{C}_{01}
\end{array} \right.\end{split}\]
Ainsi que les dérivées des invariants réduits ( cf. [bib5] pour les dérivées des invariants d’un tenseur):
(1963)\[\frac{\partial\tensTwoInva{1}{\EDil}}{\partial{\tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{i}{j}}}
=
\left(\tensTwoInva{3}{\ECGDroite}\right)^{-\frac{1}{3}}
\left(
{\tensTwoCmpCO{{\tensTwoUnit}}{i}{j}}
-
\frac{1}{3} {\tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{i}{j}} \tensTwoInva{1}{\ECGDroite}
\right)\]
(1964)\[\frac{\partial\tensTwoInva{2}{\EDil}}{\partial{\tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{i}{j}}}
=
\left( \tensTwoInva{3}{\ECGDroite} \right)^{-\frac{2}{3}}
\left(
\tensTwoInva{1}{\ECGDroite} \tensTwoCmpCO{{\tensTwoUnit}}{i}{j}
-
{\tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{i}{j}}
-
\frac{2}{3} {\tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{i}{j}} \tensTwoInva{2}{\ECGDroite}
\right)\]
(1965)\[\frac{\partial \jacobTransfor}{\partial{\tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{i}{j}}}
=
\frac{1}{2} \left( \tensTwoInva{3}{\ECGDroite} \right)^{\frac{1}{2}} {\tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{i}{j}}\]
Voici donc l’expression analytique des contraintes volumiques:
(1966)\[\tensTwoCmpCO{\stressPKTwo^{\mathrm{vol}}}{i}{j}
=
\bulkModulus \left(\jacobTransfor-1 \right) \jacobTransfor {\tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{i}{j}}\]
Et des contraintes isochores:
(1967)\[\tensTwoCmpCO{\stressPKTwo^{\mathrm{iso}}}{i}{j}
=
2 \left\lbrace
\left( {C}_{10}+ 2 C_{20} \left( \tensTwoInva{1}{\EDil}-3 \right) \right )
{\jacobTransfor}^{-\frac{2}{3}}
\left(
\tensTwoCmpCO{{\tensTwoUnit}}{i}{j}
-
\frac{1}{3} {\tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{i}{j}} \tensTwoInva{1}{\ECGDroite}
\right)
+
{C}_{01}
{\jacobTransfor}^{-\frac{4}{3}}
\left( \tensTwoInva{1}{\ECGDroite} \tensTwoCmpCO{{\tensTwoUnit}}{i}{j}
-
{\tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{i}{j}}
-
\frac{2}{3} {\tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{i}{j}} \tensTwoInva{2}{\ECGDroite}
\right)
\right \rbrace\]
Cas des contraintes visco-hyper-élastiques
En couplant la viscosité avec l’hyper-élasticité, le tenseur de contraintes de Piola-Kirchhoff 2 devient :
(1968)\[{\stressPKTwo}
=
{\stressPKTwo}^{\mathrm{iso}}
+
{\stressPKTwo}^{\mathrm{vol}}
+
\sum_{i=1}^N \tensTwo{H}_{i}\]
Cas de la matrice élastique de la loi hyper-élastique
Nous allons détailler l’expression analytique de la matrice élastique pour le potentiel hyper-élastique de Signorini (\(p=2\) et \(q=1\) ) dans le cas incompressible. On a donc:
(1969)\[\modulusTangent
=
4 \frac{\partial^{2}{\Psi}^{\mathrm{iso}}}
{\partial C \partial C}
+
4 \frac{\partial^2{\Psi}^{\mathrm{vol}}}{\partial C \partial C}\]
Il faut donc dériver (deux fois) le potentiel. Pour la partie isochorique:
(1970)\[\tensFourCmpCO{\modulusTangent^{\mathrm{iso}}}{i}{j}{k}{l}
=
\frac{\partial^2{\Psi}^{\mathrm{iso}}}
{\partial^2\tensTwoInva{1}{\EDil}}
\frac{\partial^2\tensTwoInva{1}{\EDil}}
{\partial \tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{i}{j} \partial \tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{k}{l}}
+
\frac{\partial^2{\Psi}^{\mathrm{iso}}}
{\partial^2\tensTwoInva{2}{\EDil}}
\frac{\partial^2\tensTwoInva{2}{\EDil}}
{\partial \tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{i}{j} \partial \tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{k}{l}}\]
et pour la partie volumique
(1971)\[\tensFourCmpCO{\modulusTangent^{\mathrm{vol}}}{i}{j}{k}{l}
=
\frac{\partial^2{\Psi}^{\mathrm{vol}}}
{\partial^2\jacobTransfor}
\frac{\partial^2\jacobTransfor}
{\partial \tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{i}{j} \partial \tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{k}{l}}\]
Les constantes matériaux sont supposées constantes. On a donc:
(1972)\[\frac{\partial^2{\Psi}^{\mathrm{iso}}}{\partial^2\tensTwoInva{1}{\EDil}} = 2 C_{20}
\text{ et }
\frac{\partial^2{\Psi}^{\mathrm{iso}}}{\partial^2\tensTwoInva{2}{\EDil}} = 0\]
On voit que le coefficient \(\bulkModulus\) est bien un coefficient de pénalisation et que son choix impacte le conditionnement de la matrice. Les dérivées des invariants réduits:
(1973)\[\frac{\partial^2 \tensTwoInva{1}{\EDil}}
{\partial \tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{i}{j} \partial \tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{k}{l}}
=
\left(\tensTwoInva{3}{\ECGDroite}\right)^{-\frac{1}{3}}
\left(
\tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{k}{i} \tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{l}{j} \tensTwoInva{1}{\ECGDroite}-
\tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{i}{j} \tensTwoCmpCO{{\tensTwoUnit}}{k}{l}
-
\tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{k}{l} \tensTwoCmpCO{{\tensTwoUnit}}{i}{j}
+
\frac{1}{3} \tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{k}{l} \tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{i}{j} \tensTwoInva{1}{\ECGDroite}
\right)\]
(1974)\[\frac{\partial^2\tensTwoInva{2}{\EDil}}
{\partial \tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{i}{j} \partial \tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{k}{l}}
=
- \frac{2}{3} \left(\tensTwoInva{3}{\ECGDroite}\right)^{-\frac{2}{3}}
\tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{k}{l}
\left(
\tensTwoInva{1}{\ECGDroite} \tensTwoCmpCO{{\tensTwoUnit}}{i}{j}
-
\tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{i}{j}
-
\frac{2}{3} \tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{i}{j} \tensTwoInva{2}{\ECGDroite}
\right)
+
\left(\tensTwoInva{3}{\ECGDroite}\right)^{-\frac{2}{3}}
\left(
\tensTwoCmpCO{{\tensTwoUnit}}{k}{l} \tensTwoCmpCO{{\tensTwoUnit}}{i}{j}
-
\tensTwoCmpCO{{\tensTwoUnit}}{i}{k} \tensTwoCmpCO{{\tensTwoUnit}}{j}{l}
+
\frac{2}{3} \tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{k}{i}
\tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{l}{j}
\tensTwoInva{2}{\ECGDroite}
-
\frac{2}{3} \tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{i}{j}
\left(
\tensTwoInva{1}{\ECGDroite}
\tensTwoCmpCO{{\tensTwoUnit}}{k}{l}
-
\tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{k}{l}
\right)
\right)\]
(1975)\[\frac{\partial^2\jacobTransfor}{\partial \tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{i}{j} \partial \tensTwoCmpCO{\ECGDroite}{k}{l}}
=
\frac{1}{4} \left(\tensTwoInva{3}{\ECGDroite}\right)^{\frac{1}{4}}
\left(
\tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{k}{l}
\tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{i}{j}
-
2 \tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{k}{i}
\tensTwoCmpCO{\inverse{\ECGDroite}}{l}{j}
\right)\]
Cas de la matrice élastique de la loi visco-hyper-élastique
Dans le cas de la prise en compte de la viscosité, l’expression analytique de la matrice élastice devient :
(1976)\[\modulusTangent
=
\modulusTangent^{\mathrm{vol}}
+
\modulusTangent^{\mathrm{iso}}
+
\sum_{i=1}^N \frac{\partial \tensTwo{H}_{i}}{\partial \ECGDroite}
=
\modulusTangent^{\mathrm{vol}}
+
\modulusTangent^{\mathrm{iso}}
\left(
1
+
\sum_{i=1}^N g_i \tau_{i}
\frac{ \left(1-\exp \left(-\frac{dt} {\tau_{i}} \right) \right)}
{dt}
\right)\]
Loi hyper-élastique compressible
Cas des contraintes hyper-élastique compressible
Le tenseur de contrainte de Piola-Kirchhoff 2, s’écrit :
(1977)\[\stressPKTwo
=
2 \frac{\partial{\Psi}}{\partial\ECGDroite}\]
Avec :
(1978)\[\Psi
=
2 \frac{\mu_i}{\alpha_i^2}\sum_{i=1}^{n}\left(\lambda_1^{\alpha_i}+
\lambda_2^{\alpha_i}+
\lambda_3^{\alpha_i}-3+
\frac{1}{\beta_i}(\jacobTransfor^{-\alpha_i\beta_i}-1)\right)\]
En supposant que :
(1979)\[f
=
\lambda_1^{\alpha_i}+
\lambda_2^{\alpha_i}+
\lambda_3^{\alpha_i}\]
On a donc :
(1980)\[ \begin{align}\begin{aligned}\stressPKTwo
=
4 \frac{\mu_i}{\alpha_i^2}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial{f}}{\partial\ECGDroite}-\\
\frac{\alpha_i}{2}{\jacobTransfor}^{-\alpha_i\beta_i-2} \frac{\partial{\tensTwoInva{3}{\ECGDroite}}}{\partial\ECGDroite}\right)\end{aligned}\end{align} \]
Cas de la matrice élastique de la loi hyper-élastique compressible
La matrice élastique pour le potentiel hyper-élastique compressilbe de Hill s’écrit :
(1981)\[\modulusTangent
=
\frac{\partial{\stressPKTwo}}{\partial\ECGDroite}\]
On suppose :
(1983)\[W_J
=
\frac{1}{\beta_i}(J^{-\alpha_i\beta_i}-1)\]
On a donc :
(1983)\[ \begin{align}\begin{aligned}\modulusTangent
=
4\frac{\mu_i}{\alpha_i^2}\sum_{i=1}^{n}
\left(
\frac{\partial^2{f}}{\partial^2\ECGDroite}+\\\left(
\frac{\partial^2{W_J}}{\partial^2{\jacobTransfor}}
-\frac{1}{\jacobTransfor}\frac{\partial{W_J}}{\partial{\jacobTransfor}}
\right)\\\frac{1}{2\jacobTransfor}\frac{\partial{\tensTwoInva{3}{\ECGDroite}}}{\partial\ECGDroite}\\\otimes\frac{\partial{\tensTwoInva{3}{\ECGDroite}}}{\partial\ECGDroite}+\\\frac{1}{\jacobTransfor}\frac{\partial{W_J}}{\partial{\jacobTransfor}}
\frac{\partial^2{\tensTwoInva{3}{\ECGDroite}}}{\partial^2\ECGDroite}\\\right)\end{aligned}\end{align} \]
