v3.01.014 SSLL14 - Portique plan articulé en pied#
Résumé
Ce test concerne l’étude d’un portique composé de poutres élancées, articulé en pied, en analyse statique linéaire.
Le portique est modélisé avec des éléments linéiques SEG2 et soumis à quatre chargements (répartis ou ponctuels).
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La méthode de calcul et la solution ont été déterminées par F. Voldoire (EDF R&D / AMA) et sont exposées dans l’annexe.
Résultats de référence#
Réactions horizontales \(\mathrm{Fx}\) et verticales \(\mathrm{Fy}\) au point \(A\) .
Moment de flexion \(\mathrm{Mz}\) en \(C\) .
Déplacements horizontal \(\mathrm{Dx}\) et vertical \(\mathrm{Dy}\) du point \(C\) .
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation POU_D_E
10 éléments par tronçons, soit 40 éléments SEG2
Déplacement dans le plan : \(\mathrm{DZ}=0\) sur tout le maillage
Pieds de poteaux \(A\) et \(B\) articulés : \(\mathrm{DX}=\mathrm{DY}=0\)
Grandeurs testées et résultats#
Valeurs testées#
Chargement |
Nœud |
Valeur testée |
Référence |
\(p\) |
\(C\) |
\(\mathrm{Dx}(m)\) |
0.0110476 |
\(\mathrm{Dy}(m)\) |
–0.012422374 |
||
\(\mathrm{Mz}(\mathrm{N.m})\) |
18672.994 |
||
\(A\) |
\(\mathrm{Fx}(N)\) |
5175.37 |
|
\(\mathrm{Fy}(N)\) |
24233.24 |
||
\({F}_{1}\) |
\(C\) |
\(\mathrm{Dx}(m)\) |
0.00000 |
\(\mathrm{Dy}(m)\) |
–0.01497330 |
||
\(\mathrm{Mz}(\mathrm{N.m})\) |
41422.161 |
||
\(A\) |
\(\mathrm{Fx}(N)\) |
4881.487 |
|
\(\mathrm{Fy}(N)\) |
10000.00 |
||
\({F}_{2}\) |
\(C\) |
\(\mathrm{Dx}(m)\) |
–0.03000956 |
\(\mathrm{Dy}(m)\) |
–0.00299466 |
||
\(\mathrm{Mz}(\mathrm{N.m})\) |
8284.432 |
||
\(A\) |
\(\mathrm{Fx}(N)\) |
5976.297 |
|
\(\mathrm{Fy}(N)\) |
4000.00 |
||
\(C\) |
\(C\) |
\(\mathrm{Dx}(m)\) |
0.0273532 |
\(\mathrm{Dy}(m)\) |
–0.001215646 |
||
\(\mathrm{Mz}(\mathrm{N.m})\) |
4916.724 |
||
\(A\) |
\(\mathrm{Fx}(N)\) |
4576.394 |
|
\(\mathrm{Fy}(N)\) |
5000.00 |
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus avec la modélisation POU_D_E sont en très bon accord avec la solution analytique et valident donc le calcul de treillis de poutres soumis à des efforts ponctuels ou répartis.
Annexe#
Présentation#
On considère le portique ci-contre, soumis à diverses charges.
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On considère le portique ci-contre, soumis à diverses charges.
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Hyperstaticité de degré 1.
Inconnue hyperstatique : \(X\)
Charges appliquées :
moment en \(C\) ,
chargement vertical réparti \(p\) sur \({C}_{1}{C}_{2}\) ,
force \(\mathrm{F1}\) , \(\mathrm{F2}\) appliquées en \({C}_{1}\) ,
couple \(\Gamma\) appliqué en \({C}_{1}\)
\(\tan(\alpha )=\frac{\mathrm{2a}}{l}=0.4(\Rightarrow {(\cos(\alpha ))}^{-1}=\sqrt{1.16}=1.077033)\)
\(\tan(\beta )=\frac{l}{2(a+h)}=\frac{1}{1.2}\)
\(b=\frac{l}{\mathrm{2cos}(\alpha )};\sin(\alpha )=\frac{a}{b}\)
Sollicitations isostatiques sous charge réelle répartie \(p`sur :math:`{C}_{1}C\)#
Réactions d’appuis isostatiques#
\({H}_{A}+{H}_{B}=0\) \({V}_{A}+{V}_{B}=\frac{\mathrm{pl}}{\mathrm{2cos}(\alpha )}\) \({\mathrm{lV}}_{B}=\frac{{\mathrm{pl}}^{2}}{\mathrm{8cos}(\alpha )}\)
La partie \(\mathrm{CB}\) est articulée et chargée seulement à ses extrémités
\((\begin{array}{}{H}_{B}\\ {V}_{B}\end{array})\wedge \mathrm{BC}=0\iff {H}_{B}=-{V}_{B}\tan(\beta )\)
D’où les réactions isostatiques
\({H}_{A}=\frac{\mathrm{pl}}{\mathrm{8cos}(\alpha )}\tan(\beta )\) ; \({V}_{A}=\frac{3\mathrm{pl}}{\mathrm{8cos}(\alpha )}\) ; \({H}_{B}=\frac{-\mathrm{pl}}{\mathrm{8cos}(\alpha )}\tan(\beta )\) ; \({V}_{B}=\frac{\mathrm{pl}}{\mathrm{8cos}(\alpha )}\)
Remarque:
\(\frac{l\tan(\beta )}{8\cos(\alpha )}=\frac{\mathrm{bl}}{8(a+h)}\)#
Sollicitations#
Poutre \({\mathrm{AC}}_{1}\)
|
\(\begin{array}{}{N}_{\mathrm{iso}}=\frac{-3\mathrm{pl}}{\mathrm{8cos}(\alpha )}\\ {V}_{\mathrm{iso}}=\frac{\mathrm{pl}}{\mathrm{8cos}(\alpha )}\tan(\beta )\\ {M}_{\mathrm{iso}}=\frac{-\mathrm{pl}}{\mathrm{8cos}(\alpha )}\mathrm{y.tan}(\beta )\end{array}\) |
Poutre \({C}_{2}B\)
|
\(\begin{array}{}{N}_{\mathrm{iso}}=\frac{-\mathrm{pl}}{\mathrm{8cos}(\alpha )}\\ {V}_{\mathrm{iso}}=\frac{-\mathrm{pl}}{\mathrm{8cos}(\alpha )}\tan(\beta )\\ {M}_{\mathrm{iso}}=\frac{-\mathrm{pl}}{\mathrm{8cos}(\alpha )}\mathrm{y.tan}(\beta )\end{array}\) |
Poutre \({C}_{1}C\)
|
|
\({M}_{\mathrm{iso}}=\frac{-\mathrm{pl}}{8(a+h)}(2{s}^{2}(\frac{a+h}{b})-s(\mathrm{2a}+\mathrm{3h})+\mathrm{bh})\) avec \(s=\frac{x}{\cos(\alpha )}\in [0,b]\)
Poutre \({\mathrm{CC}}_{2}\)
|
|
Diagrammes#
\((b=\frac{l}{\mathrm{2cos}(\alpha )})\)
Sollicitations sous force concentrée :math:`{F}_{1}`(vers le bas)#
Réactions d’appui#
\({H}_{A}+{H}_{B}=0;\) \({V}_{A}+{V}_{B}={F}_{1};\) \((\begin{array}{}{H}_{A}\\ {V}_{A}\end{array})\wedge \mathrm{AC}=0=(\begin{array}{}{H}_{B}\\ {V}_{C}\end{array})\wedge \mathrm{BC};\) |
|
D’où:
\({H}_{A}=\frac{1}{2}{F}_{1}\tan(\beta )\) ; \({V}_{A}=\frac{1}{2}{F}_{1}\) ; \({H}_{B}=\frac{-1}{2}{F}_{1}\tan(\beta )\) ; \({V}_{B}=\frac{1}{2}{F}_{1}\)
Sollicitations#
Poutre \({\mathrm{AC}}_{1}\) : |
\({N}_{\mathrm{iso}}=\frac{-1}{2}{F}_{1}\) \({V}_{\mathrm{iso}}=\frac{1}{2}{F}_{1}\tan(\beta )\) \({M}_{\mathrm{iso}}=\frac{-1}{2}{F}_{1}y\tan(\beta )\) |
Poutre \({C}_{2}B\) : |
\({N}_{\mathrm{iso}}=\frac{-1}{2}{F}_{1}\) \({V}_{\mathrm{iso}}=\frac{-1}{2}{F}_{1}\tan(\beta )\) \({M}_{\mathrm{iso}}=\frac{-1}{2}{F}_{1}y\tan(\beta )\) |
Poutre \({C}_{1}C\) : |
\({N}_{\mathrm{iso}}=\frac{-1}{2}{F}_{1}(\tan(\beta )\cos(\alpha )+\sin(\alpha ))\) \({V}_{\mathrm{iso}}=\frac{1}{2}{F}_{1}(\tan(\beta )\sin(\alpha )-\cos(\alpha ))\) \({M}_{\mathrm{iso}}=\frac{-1}{2}{F}_{1}(y\tan(\beta )-x)\) |
Poutre \({\mathrm{CC}}_{2}\) : |
\({N}_{\mathrm{iso}}=\frac{-1}{2}{F}_{1}(\tan(\beta )\cos(\alpha )+\sin(\alpha ))\) \({V}_{\mathrm{iso}}=\frac{1}{2}{F}_{1}(\tan(\beta )\sin(\alpha )-\cos(\alpha ))\) \({M}_{\mathrm{iso}}=\frac{-1}{2}{F}_{1}(y\tan(\beta )-(l-x))\) |
Diagrammes (:math:`{F}_{1}`vers le bas)#
Sollicitations sous la force concentrée :math:`{F}_{2}`(vers la gauche)#
Réactions d’appui#
|
|
D’où:
\({H}_{A}={F}_{1}(1-\frac{h}{l}\tan(\beta ))\) ; \({V}_{A}={F}_{2}\frac{h}{l}\) ; \({H}_{B}={F}_{1}\frac{h}{l}\tan(\beta )\) ; \({V}_{B}=-\mathrm{F2}\frac{h}{l}\) ;
Remarque:
\(\frac{h}{l}\tan(\beta )=\frac{h}{2(a+h)}\) \((1-\frac{h}{l}\tan(\beta ))=\frac{\mathrm{2a}+h}{2(a+h)}\)
\(\tan(\beta )\sin(\alpha )–\cos(\alpha )=\frac{-\mathrm{hl}}{\mathrm{2b}(a+h)}\) , \(\tan(\beta )\cos(\alpha )–\sin(\alpha )=\frac{{l}^{2}–4({a}^{2}+\mathrm{ah})}{\mathrm{4b}(a+h)}\)
Sollicitations#
Poutre \({\mathrm{AC}}_{1}\) : |
\({N}_{\mathrm{iso}}=-{F}_{2}\frac{h}{l}\) \({V}_{\mathrm{iso}}={F}_{2}(1-\frac{h}{l}\tan(\beta ))\) \({M}_{\mathrm{iso}}=-{F}_{2}y(1-\frac{h}{l}\tan(\beta ))\) |
Poutre \({C}_{2}B\) : |
\({N}_{\mathrm{iso}}={F}_{2}\frac{h}{l}\) \({V}_{\mathrm{iso}}={F}_{2}\frac{h}{l}\tan(\beta )\) \({M}_{\mathrm{iso}}=-{F}_{2}y\frac{h}{l}y\tan(\beta )\) |
Poutre \({C}_{1}C\) : |
\({N}_{\mathrm{iso}}={F}_{2}((1-\frac{h}{l}\tan(\beta ))\cos(\alpha )–\frac{h}{l}\cos(\alpha ))\) \({V}_{\mathrm{iso}}={F}_{2}((1–\frac{h}{l}\tan(\beta ))–\frac{h}{l}\cos(\alpha ))\) \({M}_{\mathrm{iso}}={F}_{2}(\frac{h}{l}x-(1–\frac{h}{l}\tan(\beta ))y)\) |
Poutre \(C{C}_{2}\) : |
\({N}_{\mathrm{iso}}={F}_{2}\frac{h}{l}(\tan(\beta )\cos(\alpha )+\sin(\alpha ))\) \({V}_{\mathrm{iso}}={F}_{2}\frac{h}{l}(\tan(\beta )\sin(\alpha )-\cos(\alpha ))\) \({M}_{\mathrm{iso}}={F}_{2}\frac{h}{l}(y\tan(\beta )-(l-x))\) |
Diagrammes#
Sollicitations sous le couple concentré:math:`Gamma`(positif)#
Réactions d’appui#
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D’où: \({H}_{A}=-\Gamma \tan\frac{\beta}{l}\) , \({V}_{A}=\frac{\Gamma}{l}\) , \({H}_{B}=\Gamma \tan\frac{\beta}{l}\) , \({V}_{A}=\frac{-\Gamma }{l}\)
Remarque:
\(\frac{\tan(\beta )}{l}=\frac{1}{2(a+h)}\)
Sollicitations#
Poutre \(A{C}_{1}\) : |
\({N}_{\mathrm{iso}}=\frac{-\Gamma }{l}\) \({V}_{\mathrm{iso}}=\frac{-\Gamma \tan(\beta )}{l}\) \({M}_{\mathrm{iso}}=\frac{\Gamma y\tan(\beta )}{l}\) |
Poutre \({C}_{2}B\) : |
\({N}_{\mathrm{iso}}=\frac{-\Gamma }{l}\) \({V}_{\mathrm{iso}}=\frac{\Gamma \tan(\beta )}{l}\) \({M}_{\mathrm{iso}}=\frac{\Gamma y\tan(\beta )}{l}\) |
Poutre \({C}_{1}C\) : |
\({N}_{\mathrm{iso}}=\frac{\Gamma}{l}(\tan(\beta )\cos(\alpha )–\sin(\alpha ))\) \({N}_{\mathrm{iso}}=\frac{-\Gamma }{l}(\tan(\beta )\sin(\alpha )+\cos(\alpha ))\) \({N}_{\mathrm{iso}}=\frac{\Gamma}{l}(x+y\tan(\beta )–l)\) |
Poutre \(C{C}_{2}\) : |
\({N}_{\mathrm{iso}}=\frac{\Gamma}{l}(\tan(\beta )\cos(\alpha )+\sin(\alpha ))\) \({N}_{\mathrm{iso}}=\frac{\Gamma}{l}(\tan(\beta )\sin(\alpha )-\cos(\alpha ))\) \({N}_{\mathrm{iso}}=\frac{\Gamma}{l}(y\tan(\beta )–(l-x))\) |
Diagrammes (:math:`Gamma`positif)#
Sollicitations sous le moment:math:`X`hyperstatique#
Réactions d’appui#
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|
D’où les réactions: \({H}_{a}=\frac{-X}{a+h}\) , \({V}_{A}=0\) , \({H}_{B}=\frac{X}{a+h}\) , \({V}_{B}=0\)
Sollicitations#
Poutre \({\mathrm{AC}}_{1}\) : |
\({N}_{X}=0\) \({V}_{X}=\frac{-X}{a+h}\) \({M}_{X}=\frac{X}{a+h}y\) |
Poutre \({C}_{2}B\) : |
\({N}_{X}=0\) \({V}_{X}=\frac{X}{a+h}\) \({M}_{X}=\frac{X}{a+h}y\) |
Poutre \({C}_{1}C\) : |
\({N}_{X}=\frac{X}{a+h}\cos(\alpha )\) \({V}_{X}=\frac{X}{a+h}\sin(\alpha )\) \({M}_{X}=\frac{X}{a+h}y=\frac{X}{a+h}(h+x\tan(\alpha ))\) |
Poutre \({\mathrm{CC}}_{2}\) : |
\({N}_{X}=\frac{X}{a+h}\cos(\alpha )\) \({V}_{X}=\frac{X}{a+h}\sin(\alpha )\) \({M}_{X}=\frac{X}{a+h}y\) |
Diagrammes#
Sollicitations sous charges fictives ponctuelles en:math:C#
Afin de calculer les déplacement en \(C\) , à l’aide du Principe des travaux Virtuels (\(\mathrm{cf.}\) le paragraphe \([\S 8]\) ), il est nécessaire d’établir les diagrammes de sollicitations sous l’action de deux forces “fictives” \(f\) et \(g\) appliquées en \(C\) .
Réactions d’appui#
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|
D’où:
\({H}_{A}=\frac{-1}{2}(f+g\tan(\beta ))\) , \({V}_{A}=\frac{-1}{2}(g+f\mathrm{cot}(\beta ))\)
\({H}_{B}=\frac{-1}{2}(f-g\tan(\beta ))\) , \({V}_{B}=\frac{-1}{2}(g-f\mathrm{cot}(\beta ))\)
Sollicitations#
Poutre \({\mathrm{AC}}_{1}\) : |
\(n=\frac{1}{2}(g+f\mathrm{cot}(\beta ))\) \(v=\frac{-1}{2}(f+g\tan(\beta ))\) \(m=\frac{1}{2}(f+g\tan(\beta ))\) |
Poutre \({C}_{2}B\) : |
\(n=\frac{1}{2}(g-f\mathrm{cot}(\beta ))\) \(v=\frac{-1}{2}(f-g\tan(\beta ))\) \(m=\frac{-1}{2}(f-g\tan(\beta ))y\) |
Poutre \({C}_{1}C\) : |
\(n=\frac{1}{2}(f+g\tan(\beta ))\cos(\alpha )+\frac{1}{2}(g+f\mathrm{cot}(\beta ))\sin(\alpha )\) \(v=\frac{-1}{2}(f+g\tan(\beta ))\sin(\alpha )+\frac{1}{2}(g+f\mathrm{cot}(\beta ))\cos(\alpha )\) \(m=\frac{1}{2}(f+g\tan(\beta ))y-\frac{1}{2}(g+f\mathrm{cot}(\beta ))x\) |
Poutre \({\mathrm{CC}}_{2}\) : |
\(n=\frac{-1}{2}(f-g\tan(\beta ))\cos(\alpha )+\frac{1}{2}(g-f\mathrm{cot}(\beta ))\sin(\alpha )\) \(v=\frac{-1}{2}(f-g\tan(\beta ))\sin(\alpha )-\frac{1}{2}(g-f\mathrm{cot}(\beta ))\cos(\alpha )\) \(m=\frac{-1}{2}(f-g\tan(\beta ))y-\frac{1}{2}(g-f\mathrm{cot}(\beta ))(l-x)\) |
Diagrammes#
Voici les diagrammes de sollicitations sous l’action des deux forces “fictives” \(f\) et \(g\) . On considère ici: \(f\ge 0,g\ge \mathrm{fcot}(\beta )\) .
Détermination du moment:math:`X`hyperstatique#
On se place en élasticité; on ne considère que l’énergie de flexion, les poutres étant élancées. L’état naturel est supposé vierge (pas de précontraintes ni de déplacement d’appui).
Le potentiel complémentaire est alors:
\(F\ast (X)={\int}_{\mathrm{poteaux}}\frac{{({M}_{\mathrm{iso}}+{M}_{1}X)}^{2}}{{\mathrm{EI}}_{1}}+{\int}_{\mathrm{charpentes}}\frac{{({M}_{\mathrm{iso}}+{M}_{1}X)}^{2}}{{\mathrm{EI}}_{2}}\)
Il est stationnaire à l’équilibre, d’où:
\(\delta .X=\left[{\int}_{\mathrm{pot}}\frac{{M}_{1}^{2}}{{\mathrm{EI}}_{1}}+{\int}_{\mathrm{charp}}\frac{{M}_{1}^{2}}{{\mathrm{EI}}_{2}}\right].X=-{\int}_{\mathrm{pot}}\frac{{M}_{1}{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{1}}-{\int}_{\mathrm{charp}}\frac{{M}_{1}{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{Ei}}_{2}}=S\)
Le coefficient de souplesse \(\delta\) est la somme de:
\({\int}_{\mathrm{pot}}\frac{{M}_{1}^{2}}{{\mathrm{EI}}_{1}}=\frac{\mathrm{2h}}{{\mathrm{3EI}}_{1}}{(\frac{h}{a+h})}^{2}\)
\({\int}_{\mathrm{charp}}\frac{{M}_{1}^{2}}{{\mathrm{EI}}_{2}}=\frac{\mathrm{2b}}{{\mathrm{EI}}_{2}}[{(\frac{h}{a+h})}^{2}+\frac{1}{3}{(\frac{a}{a+h})}^{2}+\frac{\mathrm{ah}}{{(a+h)}^{2}}]\)
soit:
\(E.\delta =\frac{2}{{(a+h)}^{2}}[\frac{{h}^{3}}{{\mathrm{3I}}_{1}}+\frac{b({\mathrm{3h}}^{2}+{a}^{2}+\mathrm{3ah})}{{\mathrm{3I}}_{2}}]\)
Application numérique:
Dans l’exemple considéré:
\({I}_{1}={\mathrm{2I}}_{2}=5.0E-4{m}^{4}\) , \(h=\mathrm{2a}=8m\) , \(l=20m\) , \(b=\frac{l}{2}\sqrt{1.16}\)
D’où: \(\gamma =\frac{2}{E{(a+h)}_{1}^{\mathrm{2I}}}\underset{2353.45347{m}^{3}}{\underset{\underbrace{}}{\frac{{h}^{2}}{3}(h+\frac{\mathrm{19b}}{2})}}\)
On étudie l’un après l’autre les divers chargements pour calculer les seconds membres \(S\) .
Charge répartie:math:p`sur:math:`{C}_{1}C#
Le second membre \(S\) dû à \(f\) est:
\(-{\int}_{\mathrm{pot}}\frac{{M}_{1}{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{1}}=\frac{\mathrm{3h}}{{\mathrm{3EI}}_{1}}(\frac{h}{a+h})(\frac{\mathrm{pblh}}{8(a+h)})=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}\frac{{\mathrm{ph}}^{3}\mathrm{bl}}{24}\)
\(-{\int}_{{\mathrm{CC}}_{2}}\frac{{M}_{1}{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{2}}=\frac{{\mathrm{pb}}^{2}\mathrm{hl}}{8(a+h){\mathrm{EI}}_{2}}(\frac{1}{2}\frac{h}{a+h})+(\frac{a}{6}\frac{a}{a+h})=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{2}}\frac{{\mathrm{phb}}^{\mathrm{2l}}(\mathrm{3h}+a)}{48}\)
\(\begin{array}{}-{\int}_{{C}_{1}C}\frac{{M}_{1}{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{2}}=\frac{1}{{\mathrm{EI}}_{2}}\frac{\mathrm{pl}}{8{(a+h)}^{2}}{\int}_{0}^{b}\left[{\mathrm{2s}}^{2}\frac{a+h}{b}–s(\mathrm{2a}+\mathrm{3h})+\mathrm{bh}\right]\left[h+s\frac{a}{b}\right]\mathrm{ds}\\ =\frac{1}{E{(a+h)}^{2}{I}_{2}}\frac{{\mathrm{plb}}^{2}}{48}({h}^{2}+\mathrm{2ah}+{a}^{2})\end{array}\)
D’où:
\(S=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}}\frac{\mathrm{plb}}{96}\left[\frac{{\mathrm{4h}}^{3}}{{I}_{1}}+\frac{\mathrm{hb}(\mathrm{3h}+a)}{{I}_{2}}+\frac{b({h}^{2}–\mathrm{2ah}-{a}^{2})}{{I}_{2}}\right]\)
Application numérique:
\({I}_{1}=2{I}_{2}\) ; \(h=\mathrm{2a}\) ; \(p=3000{\mathrm{N.m}}^{1}\) (vers le bas)
\(S=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}\underset{43946021.89{\mathrm{N.m}}^{4}}{\underset{\underbrace{}}{\frac{{\mathrm{plbh}}^{2}}{96}\left[\mathrm{4h}+\frac{13}{2}b\right]}}\)
D’où:
le moment en \(C\) :
\(X=18672994\mathrm{N.m}\)
la réaction en \(A\) :
\({H}_{A}=p\frac{\mathrm{bl}}{8(a+h)}-\frac{X}{a+h}=\frac{\frac{\mathrm{pbl}}{8-X}}{a+h}\) , \({H}_{A}=5175.37N\)
\({V}_{A}=\frac{\mathrm{3pb}}{4}-0\) , \({V}_{A}=24233.24N\)
Charge ponctuelle:math:{F}_{1}`en:math:`C#
Le second membre s’obtient à l’aide de:
\(-{\int}_{\mathrm{pot}}\frac{{M}_{1}{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{1}}=\frac{\mathrm{2h}}{{\mathrm{3EI}}_{1}}(\frac{h}{a+h})(\frac{{F}_{1}\mathrm{lh}}{4(a+h)})=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}\frac{{F}_{1}{\mathrm{lh}}^{3}}{12}\)
\(-{\int}_{\mathrm{charp}}\frac{{M}_{1}{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{2}}=\frac{\mathrm{2b}}{{\mathrm{EI}}_{2}}\frac{{F}_{1}\mathrm{lh}}{4(a+h)}(\frac{1}{2}(\frac{h}{a+h})+\frac{1}{6}(\frac{a}{a+h}))=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{2}}\frac{{F}_{1}\mathrm{blh}(\mathrm{3h}+a)}{24}\)
D’où:
\(S=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}}\frac{{F}_{1}\mathrm{lh}}{24}\left[\frac{{\mathrm{2h}}^{2}}{{I}_{1}}+\frac{b(\mathrm{3h}+a)}{{I}_{2}}\right]\)
Application numérique:
\({I}_{1}=2{I}_{2}\) ; \(h=\mathrm{2a}\) ; \({F}_{1}=20000N\) (vers le bas)
\(S=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}\underset{97485127.76{\mathrm{N.m}}^{4}}{\underset{\underbrace{}}{\frac{{F}_{1}{\mathrm{lh}}^{2}}{24}\left[\mathrm{2h}+7b\right]}}\)
D’où:
le moment en \(C\) :
\(X=41422.161\mathrm{N.m}\)
la réaction en \(A\) :
\({H}_{A}=\frac{1}{4}{F}_{1}\frac{l}{a+h}-\frac{X}{a+h}=\frac{\frac{{F}_{1}l}{4-X}}{a+h}\) , \({H}_{A}=4881.4866N\)
\({V}_{A}=\frac{1}{2}{F}_{1}-0\) , \({V}_{A}=10000.0N\)
Charge ponctuelle:math:{F}_{2}`en:math:`{C}_{1}#
Le second membre s’obtient à l’aide de:
\(-{\int}_{{\mathrm{AC}}_{1}}\frac{{M}_{1}{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{1}}=\frac{h}{{\mathrm{3EI}}_{1}}(\frac{h}{a+h})\frac{{F}_{2}h(\mathrm{2a}+h)}{2(a+h)}=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}\frac{{F}_{2}{h}^{3}(\mathrm{2a}+h)}{12}\)
\(-{\int}_{{C}_{2}B}\frac{{M}_{1}{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{1}}=\frac{h}{{\mathrm{3EI}}_{1}}(\frac{h}{a+h})\frac{(-{F}_{2}{h}^{2})}{2(a+h)}=\frac{2}{E{(a+h)}_{1}^{\mathrm{2I}}}\frac{{F}_{2}{h}^{3}(\mathrm{2a}+h)}{12}\)
\(-{\int}_{{C}_{1}C}\frac{{M}_{1}{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{2}}=\frac{b}{{\mathrm{EI}}_{2}}\frac{{F}_{2}h(\mathrm{2a}+h)}{2(a+h)}\left[\frac{1}{2}(\frac{h}{a+h})+\frac{1}{6}(\frac{a}{a+h})\right]=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{2}}\frac{{F}_{2}\mathrm{bh}({\mathrm{3h}}^{2}+\mathrm{7ah}+{\mathrm{2a}}^{2})}{24}\)
\(-{\int}_{{\mathrm{CC}}_{2}}\frac{{M}_{1}{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{2}}=\frac{b}{{\mathrm{EI}}_{2}}\frac{-{F}_{2}{h}^{2}}{2(a+h)}\left[\frac{1}{2}(\frac{h}{a+h})+\frac{1}{6}(\frac{a}{a+h})\right]=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{2}}\frac{-{F}_{2}{\mathrm{bh}}^{2}(\mathrm{3h}+a)}{24}\)
\(S=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}}\frac{{F}_{1}\mathrm{lh}}{24}\left[\frac{{\mathrm{2h}}^{2}}{{I}_{1}}+\frac{b(\mathrm{3h}+a)}{{I}_{2}}\right]\)
Application numérique:
\({I}_{1}=2{I}_{2}\) ; \(h=\mathrm{2a}\) ; \({F}_{2}=10000N\) (vers la gauche)
\(S=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}\underset{19497025.55{\mathrm{N.m}}^{4}}{\underset{\underbrace{}}{\frac{{F}_{2}{h}^{2}a}{12}\left[\mathrm{2h}+7b\right]}}\)
D’où:
le moment en \(C\) :
\(X=8284.4321\mathrm{N.m}\)
la réaction en \(A\) :
\({H}_{A}={F}_{2}\frac{\mathrm{2a}+h}{2(a+h)}-\frac{X}{a+h}=\frac{{F}_{2}(a+\frac{h}{2})-X}{a+h}\) , \({H}_{A}=5976.297N\)
\({V}_{A}=\frac{{F}_{2}h}{l}\) , \({V}_{A}=4000.0N\)
Couple ponctuel:math:Gamma`en:math:`{C}_{1}#
Le second membre s’obtient à l’aide de:
\(-{\int}_{\mathrm{pot}}\frac{{M}_{1}{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{1}}=\frac{-\mathrm{2h}}{{\mathrm{3EI}}_{1}}(\frac{h}{a+h})\frac{\Gamma h}{2(a+h)}=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}\frac{-\Gamma {h}^{3}}{6}\)
\(-{\int}_{{C}_{1}C}\frac{b}{{\mathrm{EI}}_{2}}=\frac{\Gamma (h+\mathrm{2a})}{2(a+h)}\frac{b}{{\mathrm{EI}}_{2}}\left[\frac{1}{2}(\frac{h}{a+h}+\frac{1}{6}(\frac{a}{a+h}))\right]=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{2}}\frac{\Gamma (h+\mathrm{2a})(\mathrm{3h}+a)b}{24}\)
\(-{\int}_{{\mathrm{CC}}_{2}}\frac{{M}_{1}{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{2}}=\frac{b}{{\mathrm{EI}}_{2}}\frac{-\Gamma h}{2(a+h)}\left[\frac{1}{2}(\frac{h}{a+h})+\frac{1}{6}(\frac{a}{a+h})\right]=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{2}}\frac{-\Gamma \mathrm{hb}(\mathrm{3h}+a)}{24}\)
D’où:
\(S=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}}\frac{-\Gamma }{12}\left[\frac{{\mathrm{2h}}^{3}}{{I}_{1}}+\frac{\mathrm{ab}(\mathrm{3h}+a)}{{I}_{2}}\right]\)
Application numérique:
\({I}_{1}=2{I}_{2}\) ; \(h=\mathrm{2a}\) ; \(\Gamma =-100000\mathrm{N.m}\) (sens aiguilles de montre)
\(S=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}\underset{11571281.93{\mathrm{N.m}}^{4}}{\underset{\underbrace{}}{\frac{-\Gamma }{6}\left[{h}^{3}-\mathrm{ab}(\mathrm{3h}+a)\right]}}\)
D’où:
le moment en \(C\) :
\(X=4916.7243\mathrm{N.m}\)
la réaction en \(A\) :
\({H}_{A}=\frac{-\Gamma }{2(a+h)}-\frac{X}{a+h}=\frac{\frac{-\Gamma }{2}-X}{a+h}\) , \({H}_{A}=4576.394N\)
\({V}_{A}=\frac{\Gamma}{l}\) , \({V}_{A}=5000.0N\)
Récapitulatif#
CAS |
Moment en \(C\) |
Réactions en \(A(N)\) |
|
\((\mathrm{N.m})\) |
\({H}_{A}\) |
\({V}_{A}\) |
|
\(p\) sur \({C}_{1}C\) |
18672.994 |
5175.37 |
24233.240 |
\({F}_{1}\) en \(C\) |
41422.161 |
4881.487 |
10000.000 |
\({F}_{2}\) en \({C}_{1}\) |
8284.432 |
5976.297 |
4000.000 |
\(\Gamma\) en \({C}_{1}\) |
4916.724 |
4576.394 |
5000.000 |
TOTAL |
73296.311 |
22033.31 |
43233.24 |
Remarque
Rappel: dans le poteau \({\mathrm{AC}}_{1}\) : effort normal= \(-{V}_{A}\) , effort tranchant= \({H}_{A}\) .
Calcul du déplacement en:math:C#
On ne considère aussi que l’énergie élastique de flexion (poutres élancées). En appliquant le Principe des Travaux virtuels sur la structure soumise aux forces fictives du paragraphe \([\S 6]\) , travaillant dans les déplacements cherchés, on calcule les nombres \(w\) et \(d\) dépendant linéairement de \(f\) et \(g\) :
\(f{u}_{c}+g{v}_{c}={\int}_{\mathrm{pot}}\frac{m({M}_{\mathrm{iso}}+{\mathrm{XM}}_{1})}{{\mathrm{EI}}_{1}}+{\int}_{\mathrm{charp}}\frac{m({M}_{\mathrm{iso}}+{\mathrm{XM}}_{1})}{{\mathrm{EI}}_{2}}=w+\mathrm{Xd},\forall (f,g)\)
Charge répartie:math:p`sur:math:`{C}_{1}C#
\({\int}_{\mathrm{pot}}\frac{m{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{1}}=\frac{\mathrm{2h}}{{\mathrm{3EI}}_{1}}\frac{\mathrm{ghl}}{4(a+h)}\frac{-\mathrm{pbhl}}{8(a+h)}=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}\frac{-{\mathrm{gpbh}}^{3}{l}^{2}}{96}\)
\({\int}_{{C}_{1}C}\frac{m{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{2}}=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{2}}\frac{-{\mathrm{plhb}}^{2}}{384}(\mathrm{2f}(a+h)+\mathrm{gl})(h-a)\)
\({\int}_{{\mathrm{CC}}_{2}}\frac{{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{2}}=\frac{b}{{\mathrm{3EI}}_{2}}\frac{\mathrm{pbhl}}{8(a+h)}(\frac{\mathrm{fh}}{2}-\frac{\mathrm{glh}}{4(a+h)})=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{2}}\frac{-{\mathrm{pb}}^{2}{\mathrm{lh}}^{2}(\mathrm{gl}-\mathrm{2f}(a+h))}{192}\)
D’où:
\(w=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}}\frac{-\mathrm{pbhl}}{384}(\frac{{\mathrm{4glh}}^{2}}{{I}_{1}}+\frac{\mathrm{glb}(\mathrm{3h}+a)-\mathrm{efb}{(a+h)}^{2}}{{I}_{2}})\)
Application numérique:
\({I}_{1}={\mathrm{2I}}_{2}\) ; \(h=\mathrm{2a}\) ; \(p=3000{\mathrm{N.m}}^{-1}\) (vers le bas)
\(w=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}(\mathrm{gl}(\mathrm{2h}+\frac{5}{2}b)-\frac{9}{2}\mathrm{fbh})\underset{-215406.5922{\mathrm{N.m}}^{3}}{\underset{\underbrace{}}{\frac{-{\mathrm{pbh}}^{2}l}{192}}}\)
Charge ponctuelle \({F}_{1}`en :math:`C\)#
\({\int}_{\mathrm{pot}}\frac{m{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{1}}=\frac{\mathrm{2h}}{{\mathrm{3EI}}_{1}}\frac{\mathrm{ghl}}{4(a+h)}\frac{-{F}_{1}\mathrm{hl}}{4(a+h)}=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}\frac{-{F}_{1}{\mathrm{gh}}^{3}{l}^{2}}{48}\)
\({\int}_{\mathrm{charp}}\frac{m{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{2}}=\frac{\mathrm{2b}}{{\mathrm{3EI}}_{2}}\frac{\mathrm{ghl}}{4(a+h)}\frac{-{F}_{1}\mathrm{hl}}{4(a+h)}=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{2}}\frac{-{F}_{1}{\mathrm{gbh}}^{2}{l}^{2}}{48}\)
D’où (on constate que \(w\) ne dépend pas de \(f\) pour ce chargement):
\(w=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}}\frac{-{F}_{1}{\mathrm{gh}}^{2}{l}^{2}}{48}(\frac{h}{{I}_{1}}+\frac{b}{{I}_{2}})\)
Application numérique:
\({I}_{1}={\mathrm{2I}}_{2}\) , \(h=\mathrm{2a}\) , \({F}_{1}=20000N\) (vers le bas)
\(w=\frac{\mathrm{2g}}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}\frac{-{F}_{1}{h}^{2}{l}^{2}}{48}\underset{-3155100365.0{\mathrm{N.m}}^{5}}{\underset{\underbrace{}}{(h+\mathrm{2b})}}\)
Charge ponctuelle \({F}_{2}`en :math:`{C}_{1}\)#
\(\begin{array}{}{\int}_{\mathrm{pot}}\frac{m{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{1}}=\frac{h}{{\mathrm{3EI}}_{1}}\frac{{F}_{2}h}{2(a+h)}\left[-(\mathrm{2a}+h)(\frac{\mathrm{fh}}{2}+\frac{\mathrm{ghl}}{4(a+h)})+h(\frac{-\mathrm{fh}}{2}+\frac{\mathrm{ghl}}{4(a+h)})\right]\\ =\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}\frac{-{F}_{2}{h}^{3}}{24}(\mathrm{agl}+\mathrm{2f}{(a+h)}^{2})\end{array}\)
\({\int}_{\mathrm{charp}}\frac{m{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{2}}=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{2}}\frac{-{F}_{2}{\mathrm{bh}}^{2}}{24}(\mathrm{agl}+\mathrm{2f}{(a+h)}^{2})\)
D’où:
\(w=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}}\frac{-{F}_{2}{h}^{2}}{24}(\mathrm{agl}+\mathrm{2f}{(a+h)}^{2})(\frac{h}{{I}_{1}}+\frac{b}{{I}_{2}})\)
Application numérique:
\({I}_{1}={\mathrm{2I}}_{2}\) , \(h=\mathrm{2a}\) , \({F}_{2}=10000N\) (vers la gauche)
\(w=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}(\mathrm{gl}+\mathrm{9gh})\underset{-3151003.65{\mathrm{N.m}}^{4}}{\underset{\underbrace{}}{\frac{-{F}_{2}{h}^{3}(h+\mathrm{2b})}{48}}}\)
Couple ponctuel \(\Gamma`en :math:`{C}_{1}\)#
\(\begin{array}{}{\int}_{\mathrm{pot}}\frac{m{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{1}}=\frac{h}{{\mathrm{3EI}}_{1}}\frac{\Gamma h}{2(a+h)}\left[(\frac{\mathrm{fh}}{2}+\frac{\mathrm{glh}}{4(a+h)})+(\frac{-\mathrm{fh}}{2}+\frac{\mathrm{glh}}{4(a+h)})\right]\\ =\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}\frac{\Gamma {h}^{3}\mathrm{lg}}{24}\end{array}\)
\(\begin{array}{}{\int}_{\mathrm{charp}}\frac{m{M}_{\mathrm{iso}}}{{\mathrm{EI}}_{2}}=\frac{b}{{\mathrm{3EI}}_{2}}\frac{\Gamma h}{2(a+h)}\left[-(\mathrm{2a}+h)(\frac{\mathrm{fh}}{2}+\frac{\mathrm{glh}}{4(a+h)})+h(\frac{-\mathrm{fh}}{2}+\frac{\mathrm{glh}}{4(a+h)})\right]\\ =\frac{-2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{2}}\frac{\Gamma \mathrm{bh}}{24}(\mathrm{agl}+\mathrm{2f}{(a+h)}^{2})\end{array}\)
Application numérique:
\({I}_{1}={\mathrm{2I}}_{2}\) ; \(h=\mathrm{2a}\) ; \(\Gamma =-100000\mathrm{N.m}\)
\(w=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}\underset{-3151003.65{\mathrm{N.m}}^{4}}{\underset{\underbrace{}}{\frac{\Gamma {h}^{2}}{24}}}(\mathrm{gl}(h-b)-\mathrm{9fhb})\)
Calcul de \(d=\int\frac{m\cdot {M}_{1}}{\mathrm{EI}}\)#
\({\int}_{\mathrm{pot}}\frac{{\mathrm{mM}}_{1}}{{\mathrm{EI}}_{1}}=\frac{\mathrm{2h}}{{\mathrm{3EI}}_{1}}\frac{\mathrm{glh}}{4(a+h)}\frac{h}{a+h}=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}^{1}}\frac{{\mathrm{glh}}^{3}}{12}\)
\({\int}_{\mathrm{charp}}\frac{m{M}_{1}}{{\mathrm{EI}}_{2}}=\frac{\mathrm{2b}}{{\mathrm{EI}}_{2}}\left[\frac{1}{2}(\frac{h}{a+h})+\frac{1}{6}(\frac{a}{a+h})\right]\frac{\mathrm{glh}}{4(a+h)}=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{2}}\frac{\mathrm{glbh}(\mathrm{3h}+a)}{24}\)
D’où (on constate que \(d\) ne dépend pas de \(f\) ):
\(d=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}}\frac{\mathrm{glh}}{24}(\frac{{\mathrm{2h}}^{2}}{{I}_{1}}+\frac{b(\mathrm{3h}+a)}{{I}_{2}})\)
Application numérique:
\({I}_{1}=2{I}_{2}\) , \(h=\mathrm{2a}\)
\(d=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}g\frac{{\mathrm{lh}}^{2}}{24}\underset{-4874.2564{\mathrm{N.m}}^{4}}{\underset{\underbrace{}}{(\mathrm{2h}+\mathrm{7b})}}\)
Récapitulatif des déplacements \({u}_{c}`et :math:`{v}_{c}\)#
\({I}_{1}=5.0E-4{m}^{4}\)
\(E=210000\mathrm{MPA}\)
CAS |
\(X\) |
\(X\stackrel{ˉ}{d}\) |
\({w}_{v}\) |
pression sur \({C}_{1}C\) |
18672.994 |
91016960.3 |
–184930109.4 |
\({F}_{1}\) en \(C\) |
41422.161 |
201902233.4 |
–315100365.0 |
\({F}_{2}\) en \({C}_{1}\) |
8284.432 |
40380445.6 |
–63020073.0 |
\(\Gamma\) en \({C}_{1}\) |
4916.724 |
23965373.4 |
14775091.25 |
CAS |
\({w}_{h}\) |
\({u}_{c}(m)\) |
\({v}_{c}(m)\) |
pression sur \({C}_{1}C\) |
83519999.94 |
0.0110476 |
–0.012422374 |
\({F}_{1}\) en \(C\) |
0.00 |
0.00 |
–0.01497330 |
\({F}_{2}\) en \({C}_{1}\) |
–226872262.8 |
–0.03000956 |
–0.00299466 |
\(\Gamma\) en \({C}_{1}\) |
206790328.5 |
0.0273532 |
–0.001215646 |
Note:
\(d=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}g\stackrel{ˉ}{d}\) , avec: \(\stackrel{ˉ}{d}=4874.2564{m}^{4}\)
\(w=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}(g{w}_{v}+f{w}_{h})\) voir plus haut
\({u}_{c}=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}{w}_{H}\) ; \({v}_{c}=\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}({w}_{v}+X\stackrel{ˉ}{d})\)
\(\frac{2}{E{(a+h)}^{2}{I}_{1}}=1.32275132E-10{N}^{-1}{m}^{-4}\)
Comparaison Aster- référence analytique (R.)
CAS |
Moment en \(C(\mathrm{N.m})\) |
Réaction \({H}_{A}(N)\) |
Réaction \({V}_{A}(N)\) |
Déplacement \({u}_{c}(m)\) |
Déplacement \({v}_{c}(m)\) |
|
\(P\) sur \({C}_{1}C\) |
R : Aster : |
18672.994 18673.20 |
5175.37 5175.36 |
24233.24 24233.2 |
0.0110476 0.0110472 |
–0.012422374 –0.0124233 |
\({F}_{1}\) en \(C\) |
R : Aster : |
41422.161 41422.40 |
4881.487 4881.47 |
10000.00 10000.0 |
0.00000 0.0000 |
–0.01497330 –0.0 |
\({F}_{2}\) en \({C}_{1}\) |
R : Aster : |
8284.432 8284.34 |
5976.297 5976.31 |
4000.00 4000.0 |
–0.03000956 –0.0300098 |
–0.00299466 –0.00299450 |
\(\Gamma\) en \({C}_{1}\) |
R : Aster : |
4916.724 4916.62 |
4576.394 4576.38 |
5000.00 5000.0 |
0.0273532 0.0273536 |
–0.001215646 –0.00121583 |
Nota:
Le calcul Aster a été réalisé en prenant des éléments très élancés, de telle sorte que: \({\mathrm{Sl}}^{2}\ll I\) . Ainsi, l’énergie de flexion est prédominante. Les valeurs du calcul Aster sont issues du cas-test \(\mathrm{VPCS}\) appelé \(\mathrm{SSLL14}\) , avec les données suivantes:
\({I}_{1}=5.0E-4{m}^{4}\) ; \({I}_{2}=2.5E-4{m}^{4}\) ; \(E=210000\mathrm{MPa}\)
\(h=\mathrm{2a}=8m\) ; \(l=20m\) ; \(b=\frac{l}{2}\sqrt{1.16}\)
\(p=3000\mathrm{N.m}\) (vers le bas),
\({F}_{1}=20000N\) (vers le bas),
\({F}_{2}=10000N\) (vers la gauche),
\(\Gamma =-100000\mathrm{Nm}\) (sens aiguille de montre).