r3.03.08 Relations cinématiques linéaires de type RBE3#

Résumé :

Ce document décrit la manière dont les relations cinématiques linéaires de type RBE3 sont calculées.

Définitions#

La construction des relations cinématiques nécessitent l’introduction des matrices qui permettent d’expliciter les formules de changement de point de réduction pour les différents torseurs. On rappelle que le torseur d’efforts d’un nœud esclave \(i\) transporté sur le nœud maître \(M\) s’écrit:

(340)#\[\begin{split}{T}_{M}=\left[\begin{array}{c}{F}_{M}\\ {M}_{M}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_{i}\\ {M}_{i}+{\xi}_{i}\wedge {F}_{i}\end{array}\right]\end{split}\]

On introduit ainsi la matrice \({S}_{i}\) :

(341)#\[\begin{split}{S}_{i}=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& {\xi}_{\mathit{iz}}& -{\xi}_{\mathit{iy}}\\ 0& 1& 0& -{\xi}_{\mathit{iz}}& 0& {\xi}_{\mathit{ix}}\\ 0& 0& 1& {\xi}_{\mathit{iy}}& -{\xi}_{\mathit{ix}}& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{split}\]

De sorte qu’on puisse écrire:

(342)#\[{T}_{M}={S}_{i}^{T}{T}_{i}\]

Le calcul des relations nécessite une mise à l’échelle des composantes de rotation, afin que les relations créées ne soient pas modifiées lors d’un changement d’échelle du problème. Pour cela, on définit la longueur caractéristique suivante:

(343)#\[{L}_{c}=\frac{{\sum}_{i=1}^{n}\parallel {\xi}_{i}\parallel }{n}\]

et les matrices (diagonales), associées au coefficient de pondération pour le \(i\) -ème nœud esclave:

(344)#\[\begin{split}{W}_{i}={\omega}_{i}\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& {L}_{c}^{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& {L}_{c}^{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& {L}_{c}^{2}\end{array}\right]\end{split}\]

Expression des relations cinématiques#

Obtention des relations cinématiques#

Le raisonnement est mené sur la transmission des efforts entre le nœud maître et les nœuds esclaves. Dans un premier temps, on considère que toutes les composantes du nœud maître et toutes les composantes des nœuds esclaves sont impliquées dans la relation (la section § 4 aborde la restriction des relations à certaines composantes).

Soit \({T}_{M}\) le torseur d’effort du nœud maître que l’on cherche à répartir en \({T}_{i}\) torseurs d’efforts sur les \(n\) nœuds esclaves. La répartition se fait en utilisant les hypothèses suivantes:

  • les torseurs \({T}_{i}\) sont issus d’une même combinaison linéaire \(X{T}_{M}\) du torseur au nœud maître, où \(X\) est la matrice associée à la combinaison linéaire,

  • cette combinaison linéaire \(X{T}_{M}\) est distribuée sur les nœuds esclaves en pondérant le transport par la distance entre le nœud maître et le nœud esclave d’une part, et un coefficient de pondération fixé par l’utilisateur d’autre part.

Chaque torseur \({T}_{i}\) s’écrit alors:

(345)#\[{T}_{i}={W}_{i}{S}_{i}X{T}_{M}\]

La matrice \(X\) des coefficients linéaires est déterminée en assurant que le torseur appliqué au nœud maître est identique à l’ensemble des torseurs \({T}_{i}\) appliqués aux \(n\) nœuds esclaves. \(X\) doit donc vérifier:

(346)#\[{T}_{M}=\sum_{i=1}^{n}{S}_{i}^{T}{T}_{i}=\sum_{i=1}^{n}{S}_{i}^{T}{W}_{i}{S}_{i}X{T}_{M}\]

En reformulant le problème de façon matricielle, il vient que \(X\) est solution du système suivant:

(347)#\[\begin{split}\left[\begin{array}{ccc}{S}_{1}^{T}& \cdots & {S}_{n}^{T}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{W}_{1}& \cdots & 0\\ 0& \ddots & 0\\ 0& \cdots & {W}_{n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{S}_{1}\\ ⋮\\ {S}_{n}\end{array}\right]\left[X\right]=\left[{I}_{d}\right]\end{split}\]

Où \({I}_{d}\) est la matrice identité, soit:

(348)#\[X={({S}^{T}WS)}^{-1}\]

En notant \(S\) est l’assemblage des \({S}_{i}\) et \(W\) est l’assemblage des \({W}_{i}\) .

On note que la matrice \({S}^{T}WS\) doit être inversible. Ceci est assuré par un choix pertinent des degrés de liberté maître et esclave par l’utilisateur. Par exemple, si on cherche à transmettre un torseur complet d’un modèle tridimensionnel à un modèle poutre, il faudra s’assurer que les nœuds esclaves associés au modèle tridimensionnel ne soient pas alignés. Si c’est le cas, les nœuds d’un modèle tridimensionnel ne portant pas les degrés de liberté de rotation, on crée un mécanisme tel que la rotation autour de l’axe formé par l’alignement de nœuds esclaves n’est pas bloquée.

On note maintenant \({B}_{i}={W}_{i}{S}_{i}X\) . De la relation \({T}_{i}={B}_{i}{T}_{M}\) , on utilise l’égalité des travaux virtuels pour générer une contrainte sur les degrés de liberté à partir de la relation sur les torseurs. Le travail du torseur \({T}_{M}\) sur les degrés de liberté du nœud maître \({d}_{M}\) doit être égal à celui des différents torseurs \({T}_{i}\) sur chacun des degrés de libertés \({d}_{i}\) des nœuds esclaves, soit:

(349)#\[{T}_{M}^{T}{d}_{M}=\sum_{i=1}^{n}{T}_{i}^{T}{d}_{i}={T}_{M}^{T}\left(\sum_{i=1}^{n}{B}_{i}^{T}{d}_{i}\right)\]

La relation cinématique appliquée entre le nœud maître et les nœuds esclave s’écrit donc:

(350)#\[{d}_{M}=\sum_{i=1}^{n}{B}_{i}^{T}{d}_{i}\]

Interprétation de la cinématique :

En reprenant l’expression (), on note qu’on a «renversé» le problème initial, puisque si le problème initial consistait à distribuer le torseur d’effort au nœud maître sur les nœuds esclaves, dans la cinématique, cela revient à exprimer les degrés de libertés \({d}_{M}\) du nœud maître comme combinaison linéaire des degrés de liberté \({d}_{i}\) des nœuds esclaves.

En analysant de plus près la cinématique associée à la matrice \(S\) , on constate que chacune des colonnes correspond à un mode de corps rigide (mouvement d’ensemble) de l’ensemble des nœuds esclaves. Les trois premières colonnes sont les mouvements de translation (déplacement unitaire dans une direction, nul dans les deux autres), et les trois dernières colonnes sont les mouvements de rotation autour du nœud maître.

Considérons le cas simple d’une pondération uniforme \({w}_{i}=1\text{}\forall i\) , avec un facteur de correction \({L}_{c}\) supposé unitaire. Dans ces conditions, \(W\) est une matrice identité, la relation () devient:

(351)#\[\begin{split}{d}_{M}={({S}^{T}S)}^{-1}{S}^{T}\left[\begin{array}{c}{d}_{1}\\ ⋮\\ {d}_{n}\end{array}\right]\end{split}\]

La relation () est la solution aux moindres carré d’un problème de minimisation qui s’écrit:

(352)#\[\begin{split}{d}_{M}=\underset{{d}_{m}}{\mathit{ArgMin}}{∥S{d}_{m}-\left[\begin{array}{c}{d}_{1}\\ ⋮\\ {d}_{n}\end{array}\right]∥}^{2}\end{split}\]

En d’autres termes, la relation () cherche à déterminer la meilleure combinaison linéaire possible \({d}_{M}\) des modes de corps rigides passant par tous les degrés de liberté esclaves \({d}_{i}\) . Lorsque la pondération est uniforme, la contrainte linéaire construire par la relation () consiste donc à imposer le mouvement de corps rigide moyen de l’ensemble des nœuds esclaves au nœud maître. L’ajout d’une pondération \({w}_{i}\) sur un nœud conduit à amplifier ou diminuer l’influence relative de ce nœud dans le mouvement du nœud maître.

L’intérêt principal de la liaison type «RBE3» est d’éviter de sur-contraindre le modèle. Contrairement au cas de la liaison solide, les nœuds esclaves d’une relation type RBE3 peuvent continuer d’avoir des mouvements relatifs.

Dimension des matrices#

On note \(\mathrm{NDDLES}\) le nombre total des degrés de liberté esclaves. Les matrices que l’on manipule ont les dimensions suivantes:

  • Matrice \(W\) (assemblage des \({W}_{i}\) ) : \(\mathrm{NDDLES}\) lignes, \(\mathrm{NDDLES}\) colonnes;

  • Matrice \(S\) (assemblage des \({S}_{i}\) ) : \(\mathrm{NDDLES}\) lignes, six colonnes;

  • Matrice \({S}^{T}WS\) : six lignes, six colonnes;

  • Matrice \(X\) : six lignes, six colonnes;

  • Matrice \(B\) : \(\mathrm{NDDLES}\) lignes, six colonnes.

Restriction des relations à certaines composantes#

Composantes sur les nœuds esclaves#

Pour restreindre les composantes sur les nœuds esclaves aux composantes voulues, seules les lignes des matrices \({S}_{i}\) correspondant aux composantes voulues sont conservées (ces matrices deviennent dès lors des matrices rectangulaires et non plus carrées).

Les matrices \({W}_{i}\) restent carrées car on supprime les lignes et les colonnes correspondant aux degrés de liberté esclaves non impliqués dans la relation linéaire.

Composantes sur le nœud maître#

Pour restreindre les composantes sur le nœud maître aux composantes voulues, seules les lignes des matrices \({B}_{i}\) correspondant aux composantes voulues sont conservées.