v4.61.100 MTLP100 - Chauffage et trempe d’un barreau infini à section carrée#

Résumé:

Ce test a pour but de fournir un calcul de métallurgie de référence, en post-traitement d’un calcul évolutif de thermique plane linéaire dont on connaît la solution analytique. Plus concrètement, ce test valide les calculs bidimensionnels de thermique linéaire avec des conditions d’échange et fournit des valeurs de référence (non-régression) pour le modèle de transformation austénitique au chauffage, ainsi que pour le modèle de décomposition de l’austénite au refroidissement.

On note que le programme permettant de saisir les diagrammes TRC pour produire la commande [DEFI_TRC] est jointe au cas-test.

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Grâce aux symétries dans la géométrie, la formulation forte du problème devient :

\[\begin{split}\begin{align*} &\text{Trouver la température}\,T(x,y,t)\,\text{telle que}\\ &\frac{\partial T}{\partial t} - \alpha \nabla\cdot\nabla T = 0, \quad\forall (x,y)\in[0, L]^2,\,t\in[t_{initial},t_{final}];\\ &\frac{\partial T}{\partial x}(0,y,t) = 0, \quad\frac{\partial T}{\partial y}(x, 0, t) = 0;\\ &\frac{\partial T}{\partial x}(L,y,t) = -\beta(T(L,y,t) - {T}_\infty), \quad \frac{\partial T}{\partial y}(x,L,t) = -\beta(T(x,L,t) - {T}_\infty);\\ & T(x,y,0) = {T}_{0};\\ &\text{où}\,\alpha=\lambda/(\rho C_p)\,\text{and}\,\beta=h/\lambda. \end{align*}\end{split}\]

Le changement de variable \(\theta(x,y,t) = (T(x,y,t) - {T}_{\infty})/({T}_0 - {T}_{\infty})\) permet de reformuler le problème ainsi:

\[\begin{split}\begin{align*} &\text{Trouver}\,\theta(x,y,t)\,\text{tel que}\\ &\frac{\partial \theta}{\partial t} - \alpha \nabla\cdot\nabla \theta = 0;\\ &\frac{\partial \theta}{\partial x}(0, y, t) = 0, \quad\frac{\partial \theta}{\partial y}(x, 0, t) = 0;\\ &\frac{\partial \theta}{\partial x}(L, y, t) = -\beta\theta, \quad \frac{\partial \theta}{\partial y}(x, L, t) = -\beta\theta;\\ & \theta(x,y,0) = 1.\\ \end{align*}\end{split}\]

La solution analytique de ce problème thermique est estimée par décomposition en modes de Fourier:

\[\theta (x,y,t) = \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} { {A}_{i,j} \, \exp \left ( -{\omega}_{i}^{2} \, \alpha \, t \right ) \, \exp \left ( -{\omega}_{j}^{2} \, \alpha \, t \right ) \, \cos({\omega}_{i} x) \, \cos({\omega}_{j} y) }\]

avec les coefficients

\[{A}_{i,j} = \frac{16\sin({\omega}_{i}L)\sin({\omega}_{j}L)}{(2{\omega}_{i}L + \sin({2\omega}_{i}L))(2{\omega}_{j}L + \sin({2\omega}_{j}L))}\]

où les fréquences propres \({\omega}_{k}\), pour \(k=i,\,j\), vérifient l’équation:

\[({\omega}_{k} L)\;\tan({\omega}_{k} L) = \beta L\]

A partir des données d’entrée, les 10 premières valeurs de \(\omega_{k}\) sont 1.14222685, 3.73183809, 6.64312075, 9.67758023, 12.75984689, 15.86426476, 18.98051609, 22.10377283, 25.23150137, 28.36225198.

Finalement, on retrouve la température en faisant:

\[T(x,y,t) = \theta (x,y,t) \left( {T}_{0} - {T}_{\infty} \right) + {T}_{\infty}\]

L’évolution de la température théorique aux points A, B et C est représentée dans la figure ci-contre.

../../../../_images/Temperature_mtlp100.svg

Les valeurs de référence pour les évolutions métallurgiques dépendent du modèle et de l’intégration en temps des relations de comportement. ** On ne dispose pas de valeurs de référence ** (tests de non-régression).

La dureté d’un point matériel dépend des proportions métallurgiques de chaque phase. ** On ne dispose pas de valeurs de référence ** (tests de non-régression).

Résultats de référence#

(Calcul thermique):

  • la température aux points \(A\) , \(B\) , \(C\) à l’instant \(t=300s\) .

  • la proportion de bainite aux points \(A\) , \(B\) , \(C\) aux instants \(t=410 \, s\) et \(300 \, s\) respectivement.

  • la proportion de martensite aux points \(A\) , \(B\) , \(C\) à l’instant \(t=410 \,s\) .

  • la proportion d’austénite au point \(A\) aux instants \(t=30 \, s\) et \(140 \,s\) .

  • la dureté au point \(O\) aux instants \(t=30 \, s\), \(140 \,s\), \(300 \, s\) et \(t=410 \, s\) .

Incertitude sur la solution#

Pour la thermique: inférieure à 1% avec 30 modes pour chaque somme.

Références bibliographiques#

  1. F.P.INCROPERA, D.P.DEWITT, J. WILEY. Fundamentals of heat and mass transfer. Third Edition. 1990.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

On utilise des éléments thermiques 2D “PLAN”. En raison de symétrie, on ne maille qu’un quart de section carrée et on raffine en \(x=L\) et \(y=L\) .

../../../../_images/maillage2d.svg

Fig. 563 Maillage bidimensionnel#

Le maillage est obtenu en découpant en 5 mailles QUAD8 selon l’axe des \(x\) et 5 mailles QUAD8 selon l’axe des \(y\). Attention, le maillage n’est pas uniforme !

Les conditions limites sont :

  • Flux nul \(\phi =0\) en \(x=0\) et \(y=0\)

  • Condition d’échange \(-\lambda \partial T/ \partial n = h(T(x,y,t)-{T}_{\infty})\) en \(x=L\) et \(y=L\)

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds:

96

Nombre de mailles et types:

25 QUAD8, 20 SEG3

Remarques#

On fait 165 pas de calcul de \(0\) à \(410 \, s\) (avec 40 pas de \(5 \, s\) , puis 40 pas de \(1 \, s\) , puis 85 pas de \(2 \, s\) ).

Grandeurs testées et résultats#

Évolution de la température aux noeuds A, B, C:

Identification

Grandeurs

Référence

Précision

\(t=300 \, s\) - noeud A

TEMP

ANALYTIQUE

\(0,5 \%\)

\(t=300 \, s\) - noeud B

TEMP

ANALYTIQUE

\(0,5 \%\)

\(t=300 \, s\) - noeud C

TEMP

ANALYTIQUE

\(0,5 \%\)

\(t=410 \, s\) - noeud A

TEMP

ANALYTIQUE

\(0,5 \%\)

\(t=410 \, s\) - noeud B

TEMP

ANALYTIQUE

\(0,5 \%\)

\(t=410 \, s\) - noeud C

TEMP

ANALYTIQUE

\(0,5 \%\)

Option META_ELNO et DURT_ELNO:

Identification

Grandeurs

Référence

\(t=300 \, s\) - noeud A

\(Z_{\text{b}}\)

NON_REGRESSION

\(t=300 \, s\) - noeud B

\(Z_{\text{b}}\)

NON_REGRESSION

\(t=300 \, s\) - noeud C

\(Z_{\text{b}}\)

NON_REGRESSION

\(t=410 \, s\) - noeud A

\(Z_{\text{b}}\)

NON_REGRESSION

\(t=410 \, s\) - noeud B

\(Z_{\text{b}}\)

NON_REGRESSION

\(t=410 \, s\) - noeud C

\(Z_{\text{b}}\)

NON_REGRESSION

\(t=30 \, s\) - noeud O

\({HV}\)

NON_REGRESSION

\(t=140 \, s\) - noeud O

\({HV}\)

NON_REGRESSION

\(t=300 \, s\) - noeud O

\({HV}\)

NON_REGRESSION

\(t=410 \, s\) - noeud O

\({HV}\)

NON_REGRESSION

avec \(Z_{\text{b}}\) la proportion de bainite, \(Z_{\text{m}}\) la proportion de martensite et \({HV}\) la dureté de Vickers.

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

On utilise des éléments thermiques 3D. En raison de symétrie, on ne maille qu’un quart de section carrée et on raffine en \(x=L\) et \(y=L\) .

../../../../_images/maillage3d.png

Fig. 564 Maillage tridimensionnel#

Le maillage est obtenu par extrusion du maillage bidimensionnel de la modélisation A avec 10 mailles. Les conditions limites sont :

  • Flux nul \(\phi =0\) en \(x=0\) et \(y=0\)

  • Condition d’échange \(-\lambda \partial T/ \partial n = h(T(x,y,t)-{T}_{\infty})\) en \(x=L\) et \(y=L\)

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds:

1416

Nombre de mailles et types:

250 HEXA20

Remarques#

On fait 165 pas de calcul de \(0\) à \(410 \, s\) (avec 40 pas de \(5 \, s\) , puis 40 pas de \(1 \, s\) , puis 85 pas de \(2 \, s\) ).

Grandeurs testées et résultats#

Évolution de la température aux noeuds A, B, C:

Identification

Grandeurs

Référence

Précision

\(t=300 \, s\) - noeud A

TEMP

ANALYTIQUE

\(0,5 \%\)

\(t=300 \, s\) - noeud B

TEMP

ANALYTIQUE

\(0,5 \%\)

\(t=300 \, s\) - noeud C

TEMP

ANALYTIQUE

\(0,5 \%\)

\(t=410 \, s\) - noeud A

TEMP

ANALYTIQUE

\(0,5 \%\)

\(t=410 \, s\) - noeud B

TEMP

ANALYTIQUE

\(0,5 \%\)

\(t=410 \, s\) - noeud C

TEMP

ANALYTIQUE

\(0,5 \%\)

Option META_ELNO et DURT_ELNO:

Identification

Grandeurs

Référence

Précision

\(t=300 \, s\) - noeud A

\(Z_{\text{b}}\)

AUTRE_ASTER

\(1.0 \times 10^{-6}\)

\(t=300 \, s\) - noeud C

\(Z_{\text{b}}\)

AUTRE_ASTER

\(0,01 \%\)

\(t=410 \, s\) - noeud A

\(Z_{\text{b}}\)

AUTRE_ASTER

\(0,01 \%\)

\(t=410 \, s\) - noeud C

\(Z_{\text{b}}\)

AUTRE_ASTER

\(1.0 \times 10^{-6}\)

\(t=30 \, s\) - noeud O

\({HV}\)

AUTRE_ASTER

\(1.0 \times 10^{-6}\)

\(t=140 \, s\) - noeud O

\({HV}\)

AUTRE_ASTER

\(1.0 \times 10^{-6}\)

\(t=300 \, s\) - noeud O

\({HV}\)

AUTRE_ASTER

\(1.0 \times 10^{-6}\)

\(t=410 \, s\) - noeud O

\({HV}\)

AUTRE_ASTER

\(1.0 \times 10^{-6}\)

avec \(Z_{\text{b}}\) la proportion de bainite, \(Z_{\text{m}}\) la proportion de martensite et \({HV}\) la dureté de Vickers.

Synthèse des résultats#

Les proportions de bainites, de martensite et le calcul de dureté sont des résultats permettant de vérifier la non régression du code (pas de solution de référence).