v3.04.105 SSLV105 - Raidissement centrifuge d’une poutre en rotation#
Résumé:
Test de Mécanique des structures en analyse statique linéaire.
La géométrie est celle d’une poutre élancée soumise à une rotation autour d’une de ses extrémités. Cinq modélisations sont considérées : éléments 3D (HEXA20), poutres de Timoshenko multifibres (POU_D_TGM), poutres d’Euler (POU_D_E) et poutres de Timoshenko (POU_D_T) à section constante ou variable. On teste ici les forces d’inertie de rotation (comme le test SSLV104) avec prise en compte du raidissement centrifuge.
Les solutions de référence (analytique et numérique) prennent en compte le terme de rigidité supplémentaire dû à la rotation. Les résultats sont identiques à ceux correspondant aux solutions de référence.
Solution de référence#
Méthodes de calcul utilisées pour les solutions de référence#
Dans le repère local de la poutre, l’équation relative au déplacement \({U}_{x}\) (sans négliger l’allongement) est donnée par:
\(\frac{\partial}{\partial x}\left(ES(x)\frac{\partial {U}_{x}}{\partial x}\right)+\rho S\left(x\right){\omega}^{2}\left(x+{U}_{x}\right)=0.\text{ }\)
Les conditions aux limites associées à cette équation s’écrivent: \(\begin{array}{}{U}_{x}(0)=0\\ \frac{\partial {U}_{x}}{\partial x}(L)={\sigma}_{xx}(L)=0\end{array}\) .
Cas d’une section constante – Solution analytique#
Dans le cas d’une section constante (modélisations A, B, C et D), l’équation ci-dessus peut être simplifiée comme suit:
\(\frac{{\partial}^{2}{U}_{x}}{\partial {x}^{2}}+\frac{\rho}{E}{\omega}^{2}(x+{U}_{x})=0\) .
On pose \(\alpha =\sqrt{\frac{\rho {\omega}^{2}}{E}}\) . En intégrant l’équation différentielle précédente, on obtient, dans le repère de la poutre :
\({U}_{x}(x)=\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha \cos(\alpha L)}-x\) \({U}_{y}={U}_{z}=0\)
Dans le repère global, le déplacement en tout point de la poutre s’écrit donc :
\(\begin{array}{}{U}_{x}(X,Y,Z)=\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{\sin(\alpha r)}{\alpha \cos(\alpha L)}-r)\\ {U}_{y}(X,Y,Z)=\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{\sin(\alpha r)}{\alpha \cos(\alpha L)}-r)\\ {U}_{z}(X,Y,Z)=\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{\sin(\alpha r)}{\alpha \cos(\alpha L)}-r)\end{array}\) ,
avec \(r=\sqrt{{X}^{2}+{Y}^{2}+{Z}^{2}}\) .
Cas d’une section variable – Solution numérique#
Dans le cas de la poutre à section variable de la modélisation E, la solution de référence considérée provient d’un calcul Aster réalisé avec un modèle 3D, disposant de 19268 éléments quadratiques (TETRA10) et de 29122 nœuds.
Résultats de référence#
Valeurs des trois déplacements au centre de la section la plus éloignée de l’axe de rotation.
Incertitude sur la solution#
Solution analytique pour les modélisations A, B, C et D.
Solution numérique (calcul Aster 3D) pour la modélisation E.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Eléments 3D (HEXA20)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 1521
Nombre de mailles et types: 200 HEXA20
Résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
\(\mathrm{DX}\) en \(L\) |
“ANALYTIQUE” |
8.75 10–3 |
0.1 |
\(\mathrm{DY}\) en \(L\) |
“ANALYTIQUE” |
8.75 10–3 |
0.1 |
\(\mathrm{DZ}\) en \(L\) |
“ANALYTIQUE” |
8.75 10–3 |
0.1 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Eléments Poutres de Timoshenko multi-fibres (POU_D_TGM)
4 fibres dans la section
8 éléments sur la longueur
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 9
Nombre de mailles et types: 8 SEG2
Résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
\(\mathit{DX}\) en \(L\) |
“ANALYTIQUE” |
8.75 10–3 |
3.E-5 |
\(\mathit{DY}\) en \(L\) |
“ANALYTIQUE” |
8.75 10–3 |
3.E-5 |
\(\mathit{DZ}\) en \(L\) |
“ANALYTIQUE” |
8.75 10–3 |
3.E-5 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Eléments Poutres d’ Euler (POU_D_ E )
8 éléments sur la longueur
Section carrée constante
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 9
Nombre de mailles et types: 8 SEG2
Résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
\(\mathit{DX}\) en \(L\) |
“ANALYTIQUE” |
8.75 10–3 |
3.E-5 |
\(\mathit{DY}\) en \(L\) |
“ANALYTIQUE” |
8.75 10–3 |
3.E-5 |
\(\mathit{DZ}\) en \(L\) |
“ANALYTIQUE” |
8.75 10–3 |
3.E-5 |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Eléments Poutres de Timoshenko (POU_D_T)
8 éléments sur la longueur
Section carrée constante
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 9
Nombre de mailles et types: 8 SEG2
Résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
\(\mathrm{DX}\) en \(L\) |
“ANALYTIQUE” |
8.75 10–3 |
3.E-5 |
\(\mathrm{DY}\) en \(L\) |
“ANALYTIQUE” |
8.75 10–3 |
3.E-5 |
\(\mathrm{DZ}\) en \(L\) |
“ANALYTIQUE” |
8.75 10–3 |
3.E-5 |
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
Eléments Poutres de Timoshenko (POU_D_T)
8 éléments sur la longueur
Section circulaire à variation homothétique
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 9
Nombre de mailles et types: 8 SEG2
Résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
\(\mathrm{DX}\) en \(L\) |
“AUTRE_ASTER” |
1.58110–2 |
0.2 |
\(\mathrm{DY}\) en \(L\) |
“AUTRE_ASTER” |
1.58110–2 |
0.2 |
\(\mathrm{DZ}\) en \(L\) |
“AUTRE_ASTER” |
1.58110–2 |
0.2 |
Synthèse des résultats#
Fonctionnement correct de l’option RIGI_ROTA.
Dans le cas des modélisations B, C et D, les poutres avec 8 éléments donnent la solution avec une erreur relative inférieure à 9.10-5%. Avec un seul élément l’erreur est seulement de 0.6%. En comparaison, dans le cas de la modélisation A, les éléments 3D avec 200 éléments donnent la solution à 0.01%. Ceci est dû au fait que la solution est intégrée presque exactement avec les poutres.
Dans le cas de la modélisation E impliquant une poutre à section variable, les éléments poutres avec 8 éléments approchent la solution de référence avec une erreur relative de 0.1%.
Noter l’augmentation du déplacement axial par rapport au cas sans raidissement (SSLV104 [V3.04.104]).