r3.06.15 Éléments finis mixtes stabilisés#
Résumé :
Ces éléments finis visent à compléter la bibliothèque d’éléments finis disponibles en mettant à la disposition de l’utilisateur un élément fini ayant les caractéristiques suivantes :
linéaire. L’usage d’un élément fini linéaire peut, dans certains cas, présenter des avantages par rapport à un élément quadratique : compatibilité avec des éléments de structures linéaires ; endommagement plus diffus avec une loi de comportement locale, etc.
mixte. L’élément fini porte comme degrés de liberté supplémentaires toutes les composantes du tenseur des déformations. Cela lui confère une précision bien supérieure aux éléments finis linéaires usuels.
stabilisé. Les formulations mixtes \((\disp , \strain)\) standards peuvent dans certains cas exhiber des oscillations parasites du champ de contraintes. L’élément fini présenté ici introduit un terme de stabilisation permettant de faire disparaître ces oscillations parasites.
Ces éléments finis finis sont disponibles dans [AFFE_MODELE] en 3D (modélisation 3D_MIX_STA) et en déformations planes (modélisation D_PLAN_MIX_STA). Ils ne sont utilisables qu’en petites déformations.
Par ailleurs, deux formulations sont disponibles : une formulation standard (formulation STA, issue de [bib1] et [bib2]) et une formulation incompressible (formulation STA_INCO, issue de [bib3]) inspirée de la méthode B-bar.
Précautions d’emploi#
Choix du paramètre de stabilisation#
Le choix du paramètre de stabilisation \(\tau_{\strain}\) est à la main de l’utilisateur. Dans [bib1], les auteurs recommandent de choisir \(\tau_{\strain} = \frac{h}{L}\) où L représente la longueur caractéristique du problème, et h la taille de mailles.
Conditions de symétries#
En présence d’un plan de symétrie, il est nécessaire d’imposer des conditions de symétrie sur les degrés de liberté de déformations (en plus des conditions aux limites usuelles sur les déplacements).
Par exemple, en déformations planes, un plan de symétrie de normale \(X\) se traduira par une condition aux limites supplémentaires EPXY = 0 sur ce plan.
En 3D, un plan de symétrie de normale \(Y\) se traduira par EPXY = EPYZ = 0.
Variables de commande#
On rappelle l’expression de la déformation utilisée en entrée de la loi de comportement :
Dans l’expression ci-dessus, \(\discMatr{B_U} \discVect{U}\) est constant par élément alors que \(\discMatr{N_E} \discVect{E}\) est affine par élément.
On recommande donc d’utiliser des variables de commandes adaptées afin d’éviter tout verrouillage numérique. Par exemple, dans le cas de la température, on recommande d’utiliser la température suivante comme variable de commande :
Avec \(T\) une température affine et \(\overline{T}\) une température constante par élément. En pratique, le paramètre \(\tau_{\strain}\) étant petit devant 1, il serait aussi possible d’utiliser une température affine comme variable de commande.
Discontinuités#
Les éléments finis mixtes stabilisés possèdent des inconnues nodales de déformations. Pour de faibles valeurs de \(\tau_{\strain}\) (ce qui est souvent le cas en pratique), la déformation et la contrainte sont donc quasiment continues d’un élément à l’autre.
Cet élément n’est donc pas adapté pour la modélisation de fortes discontinuités (comme par exemple la précontrainte dans une structure de génie civil). Cependant, il est tout à fait possible de mélanger des éléments finis linéaires usuels et des éléments finis mixtes stabilisés (voir [bib1]).
Autres usages#
Dans la référence [bib2], les auteurs montrent que les éléments finis mixtes stabilisés présentent de bonnes propriétés pour la modélisation de structures élancées de type plaque.
Dans la référence [bib1], les auteurs montrent que ces éléments finis permettent de capter les trajets de fissuration dans le cas de modèles d’endommagement locaux.
Cependant, cette utilisation des éléments finis mixtes stabilisés ne fait pas l’objet de cas-tests spécifiques et elle n’est donc pas validée sur les applications d’EDF.
Validation#
Le cas-test de la membrane de Cook en élasticité (sslp104) compare les résultats obtenus à ceux de la référence [bib2].
Le cas-test de l’arche encastrée en élasticité (sslp108) est un exemple de mise en oeuvre des conditions aux limites de symétries spécifiques aux éléments mixtes stabilisés. Ce cas-test est aussi initialement tiré de [bib2], mais en l’absence des valeurs numériques permettant de retrouver les valeurs de l’article original, on compare les résultats à ceux obtenus avec des éléments quadratiques standards.
Le cas-test de la membrane de Cook en petites déformations plastiques (modélisation V et W de ssnp178) permet de tester la formulation incompressible en la comparant à des résultats issus de la littérature et obtenus avec d’autres modélisations disponibles pour ce type de problème (HHO et INCO_UPG).
Le cas-test ssnp180 Essais SCIENCE (modélisation C et D) permet de valider l’usage des éléments finis mixtes stabilisés sur une structure représentative des problèmes de béton armé.
Références#
Cervera, Miguel & Barbat, Gabriel & Chiumenti, Michele. (2025). Bending, Twisting, Merging and Branching Cracks: A Challenging Set of Problems. Archives of Computational Methods in Engineering. 32. 10.1007/s11831-025-10223-w.
Cervera, Miguel & Chiumenti, Michele & Codina, Ramon. (2010). Mixed Stabilized Finite Element Methods in Nonlinear Solid Mechanics. Part I: Formulation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 199. 2559-2570. 10.1016/j.cma.2010.04.006.
Saloustros, S., Cervera, M., Kim, S. et al. Accurate and locking-free analysis of beams, plates and shells using solid elements. Comput Mech 67, 883-914 (2021). https://doi.org/10.1007/s00466-020-01969-0