v3.02.320 SSLP320 - Propagation d’une fissure X-FEM débouchante sollicitée en Mode I#
Résumé
Ce test a pour but de valider le calcul des facteurs d’intensité de contrainte (\({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) ) et le trajet de propagation de fissure avec X-FEM en 2D, dans le cadre de l’élasticité linéaire.
Ce test met en jeu une plaque rectangulaire avec une fissure débouchante, et soumise à un chargement de traction sur les bords inférieur et supérieur de la plaque.
Trois méthodes pour gérer la propagation d’une fissures X-FEM sont disponibles. Chacune d’entre elles fait l’objet d’une modélisation.
Trois modélisations sont considérées:
modélisation A: méthode maillage,
modélisation B: méthode simplexe,
modélisation C: méthode upwind,
modélisation D: méthode géométrique,
La pertinence des résultats est évaluée par comparaison des facteurs d’intensité des contraintes avec les valeurs analytiques.
On trouve un écart entre \({K}_{I}\) et \({K}_{I}\) théorique inférieur à 1,13% pour la méthode maillage, 1,12% pour la méthode simplexe, 1,13% pour la méthode upwind, 1,1% pour la méthode géométrique et 1,1% pour la méthode upwind & FMM.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Les expressions analytiques des facteurs d’intensité de contrainte \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) sont des fonctions de la force répartie \(p\) , de la longueur de la fissure a, de la largeur de la plaque \(\mathrm{Lx}\) :
\(\begin{array}{}{K}_{I}=p\sqrt{\pi a}f(\frac{a}{\mathrm{Lx}})\\ {K}_{\mathrm{II}}=0\end{array}\)
où la fonction \(f\) peut être déterminée de plusieurs manières différentes. Nous choisissons celle obtenue par [bib1], et qui est vrai pour \(\begin{array}{}\frac{a}{\mathrm{Lx}}<0,6\end{array}\) :
\(\begin{array}{}f(\frac{a}{\mathrm{Lx}})=1,12-0,231(\frac{a}{\mathrm{Lx}})+10,55{(\frac{a}{\mathrm{Lx}})}^{2}-21,72{(\frac{a}{\mathrm{Lx}})}^{3}+30,39{(\frac{a}{\mathrm{Lx}})}^{4}\end{array}\)
On fait avancer la fissure grâce à la loi de Paris:
\(\begin{array}{}\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dN}}=C\Delta {K}^{m}\end{array}\) où a est la longueur de fissure, \(C\) et \(m\) sont des constantes du matériau, \(\begin{array}{}\Delta K\end{array}\) est la différence entre deux FICs consécutifs et \(N\) est le nombre de cycles.
Avec les valeurs numériques du test:
Pas de propagation: \(0,25m\)
\(\mathrm{Lx}\) : \(10m\)
Grandeurs et résultats de référence#
Référence |
||
\(a(m)\) |
\({K}_{I}({\mathrm{Pa.m}}^{0,5})\) |
\({K}_{\mathrm{II}}({\mathrm{Pa.m}}^{0,5})\) |
2,5 |
4,205998 106 |
0 |
2,75 |
4,63286 106 |
0 |
3 |
5,09492 106 |
0 |
3,25 |
5,59908 106 |
0 |
3,5 |
6,15349 106 |
0 |
3,75 |
6,76776 106 |
0 |
4 |
7,4531 106 |
0 |
4,25 |
8,2224 106 |
0 |
4,5 |
9,0905 106 |
0 |
4,75 |
1,0074 107 |
0 |
5 |
1,1192 107 |
0 |
5,25 |
1,2465 107 |
0 |
5,5 |
1,3916 107 |
0 |
5,75 |
1,55716 107 |
0 |
6 |
1,74586 107 |
0 |
Incertitudes sur la solution#
Aucune, solution analytique.
Références bibliographiques#
TADA H., PARIS P., IRWIN G.:The stress analysis of cracks, Handbook. Del Research Corporation, Hellertown, Pennsylvania, 1973.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Dans cette modélisation, la méthode maillage est testée pour la propagation de fissure. Les level-sets sont déterminées par projection orthogonale sur les segments composant la fissure.
Caractéristiques du maillage#
La structure est modélisée par un maillage «sain» régulier composé de \(40\times 101\) QUAD4, respectivement suivant les axes \(x,y\) . La fissure est représentée par une succession de SEG2, indépendamment du maillage de la structure..
Fig. 547 Maillage de la plaque fissurée#
Grandeurs testées et résultats#
Pour chaque pas de propagation (\(2,5m\) ), on teste la valeur des facteurs d’intensité de contraintes \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) données par CALC_G.
On teste également l’ordonnée du fond de fissure donnée par PROPA_FISS.
Résultats sur \({K}_{I}\) :#
Identification |
code_aster |
Référence |
différence |
CALC_G |
|||
KI_1 |
4,17448 106 |
4,205998 106 |
-0,749 % |
KI_2 |
4,60197 106 |
4,63286 106 |
-0,667 % |
KI_3 |
5,0668 106 |
5,09492 106 |
-0,552 % |
KI_4 |
5,575 106 |
5,59908 106 |
-0,43 % |
KI_5 |
6,1334 106 |
6,15349 106 |
-0,326 % |
KI_6 |
6,7499 106 |
6,76776 106 |
-0,264 % |
KI_7 |
7,4338 106 |
7,4531 106 |
-0,259 % |
KI_8 |
8,19599 106 |
8,2224 106 |
-0,322 % |
KI_9 |
9,0497 106 |
9,0905 106 |
-0,449 % |
KI_10 |
1,0011 107 |
1,0074 107 |
-0,627 % |
KI_11 |
1,1099 107 |
1,1192 107 |
-0,828 % |
KI_12 |
1,2339 107 |
1,2465 107 |
-1,011 % |
KI_13 |
1,37603 107 |
1,3916 107 |
-1,121 % |
KI_14 |
1,54018 107 |
1,55716 107 |
-1,09 % |
KI_15 |
1,7313 107 |
1,74586 107 |
-0,834 % |
Résultats sur \({K}_{\mathrm{II}}\) :#
Pour ce test, on souhaite que \({K}_{\mathrm{II}}\) soit inférieur à \({10}^{-4}{K}_{I}\) . Ainsi, on s’assure que \({K}_{\mathrm{II}}\) est assez proche de zéro, la valeur de référence.
Identification |
code_aster |
Référence |
CALC_G |
||
KII_1 |
-2,7313 102 |
0 |
KII_2 |
-8,5062 101 |
0 |
KII_3 |
-2,6061 102 |
0 |
KII_4 |
1,5995 102 |
0 |
KII_5 |
-2,7309 102 |
0 |
KII_6 |
-2,3176 102 |
0 |
KII_7 |
-3,1276 102 |
0 |
KII_8 |
3,1327 102 |
0 |
KII_9 |
-3,8393 102 |
0 |
KII_10 |
-4,1916 102 |
0 |
KII_11 |
-4,986 102 |
0 |
KII_12 |
-5,6998 102 |
0 |
KII_13 |
-6,7642 102 |
0 |
KII_14 |
-7,9542 102 |
0 |
KII_15 |
-9,5344 102 |
0 |
Résultats sur l’ordonnée du fond de fissure :#
On vérifie que les coordonnées en ordonnée des fonds de fissure successifs sont proche de la valeur initiale. Cette vérification donne les mêmes indications que le test sur \({K}_{\mathrm{II}}\) .
Identification |
code_aster |
Référence |
Différence |
CALC_G |
|||
y_1 |
15 |
15 |
0 % |
y_2 |
15 |
15 |
2,18 10-4% |
y_3 |
15 |
15 |
2,8 10-4% |
y_4 |
15 |
15 |
4,51 10-4% |
y_5 |
15 |
15 |
5,47 10-4% |
y_6 |
15 |
15 |
6,95 10-4 % |
y_7 |
15 |
15 |
8,1 10-4 % |
y_8 |
15 |
15 |
9,5 10-4% |
y_9 |
15,0002 |
15 |
0,001 % |
y_10 |
15,0002 |
15 |
0,001 % |
y_11 |
15,0002 |
15 |
0,001 % |
y_12 |
15,0002 |
15 |
0,002 % |
y_13 |
15,0002 |
15 |
0,002 % |
y_14 |
15,0003 |
15 |
0,002 % |
y_15 |
15,0003 |
15 |
0,002 % |
Résultats complémentaires#
Fig. 548 Influence du choix des couronnes RI et RS sur l’erreur sur KI#
Nous pouvons voir ici que la configuration la plus adaptée pour le choix de \(\mathrm{RI}\) et \(\mathrm{RS}\) (couronnes inférieure et supérieure du champ thêta) est: \(\mathrm{RI}=2\ast {L}_{0}\) et \(\mathrm{RS}=7\ast {L}_{0}\) où \({L}_{0}\) est la plus petite arête du maillage.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Dans cette modélisation, la méthode simplexe est testée pour la propagation de fissure.
Les level-sets sont déterminées par résolution des équations de réactualisation.
Caractéristiques du maillage#
On utilise ici le même maillage que dans la modélisation A.
Grandeurs testées et résultats#
Pour chaque pas de propagation, on teste la valeur des facteurs d’intensité de contraintes \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) données par CALC_G.
Résultats sur \({K}_{I}\) :#
Identification |
code_aster |
Référence |
différence |
CALC_G |
|||
KI_1 |
4,1749 106 |
4,205998 106 |
0,73 % |
KI_2 |
4,6025 106 |
4,63286 106 |
0,65 % |
KI_3 |
5,0675 106 |
5,09492 106 |
0,54 % |
KI_4 |
5,5758 106 |
5,59908 106 |
0,41 % |
KI_5 |
6,1344 106 |
6,15349 106 |
0,31 % |
KI_6 |
6,7511 106 |
6,76776 106 |
0,24 % |
KI_7 |
7,4352 106 |
7,4531 106 |
0,24 % |
KI_8 |
8,1976 106 |
8,2224 106 |
0,30 % |
KI_9 |
9,0516 106 |
9,0905 106 |
0,42 % |
KI_10 |
1,0013 106 |
1,0074 107 |
0,60 % |
KI_11 |
1,1101 106 |
1,1192 107 |
0,80 % |
KI_12 |
1,2341 106 |
1,2465 107 |
0,98 % |
KI_13 |
1,37608 106 |
1,3916 107 |
1,09 % |
KI_14 |
1,5405 106 |
1,55716 107 |
1,06 % |
KI_15 |
1,7317 106 |
1,74586 107 |
0,80 % |
Résultats sur \({K}_{\mathrm{II}}\) :#
Identification |
code_aster |
Référence |
CALC_G |
||
KII_1 |
-294.543283239 |
0 |
KII_2 |
140.53299141 |
0 |
KII_3 |
-92.1854404834 |
0 |
KII_4 |
31.5966858116 |
0 |
KII_5 |
-22.0812184567 |
0 |
KII_6 |
1.80888843609 |
0 |
KII_7 |
-14.6528361549 |
0 |
KII_8 |
-12.9336699382 |
0 |
KII_9 |
-21.8747247036 |
0 |
KII_10 |
-27.5009059699 |
0 |
KII_11 |
-36.8193114189 |
0 |
KII_12 |
-47.1435134216 |
0 |
KII_13 |
-60.5512354886 |
0 |
KII_14 |
-77.2532857738 |
0 |
KII_15 |
-98.7961435219 |
0 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Dans cette modélisation, la méthode upwind fast marching UPWIND est testée pour la propagation de fissure.
Les level-sets sont déterminées par résolution des équations de réactualisation par schéma aux différences finies.
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise ici le même maillage que dans la modélisation A.
Grandeurs testées et résultats#
Pour chaque pas de propagation, on teste la valeur des facteurs d’intensité de contraintes \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathit{II}}\) données par CALC_G.
Résultats sur KI :#
Identification |
code_aster |
Référence |
différence |
CALC_G |
|||
KI_1 |
4,174911 106 |
4,205998 106 |
0,739 % |
KI_2 |
4,602545 106 |
4,632857 106 |
0,654 % |
KI_3 |
5,067525 106 |
5,094923 106 |
0,538 % |
KI_4 |
5,575881 106 |
5,599079 106 |
0,414 % |
KI_5 |
6,134452 106 |
6,153487 106 |
0,309 % |
KI_6 |
6,751139 106 |
6,767759 106 |
0,24 % |
KI_7 |
7,435204 106 |
7,453097 106 |
0,24 % |
KI_8 |
8,197634 106 |
8,222429 106 |
0,302 % |
KI_9 |
9,051616 106 |
9,090524 106 |
0,428 % |
KI_10 |
1,0013134 107 |
1,0074102 107 |
0,605 % |
KI_11 |
1,1101774 107 |
1,1191940 107 |
0,805 % |
KI_12 |
1,2341792 107 |
1,2464967 107 |
0,99 % |
KI_13 |
1,3763566 107 |
1,3916354 107 |
1,098 % |
KI_14 |
1,5405615 107 |
1,5571606 107 |
1,065 % |
KI_15 |
1,7317423 107 |
1,7458645 107 |
0,809 % |
Résultats sur KII :#
Identification |
code_aster |
Référence |
CALC_G |
||
KII_1 |
-294.54 |
0 |
KII_2 |
-310.00 |
0 |
KII_3 |
-330.90 |
0 |
KII_4 |
-357.05 |
0 |
KII_5 |
-389.44 |
0 |
KII_6 |
-428.98 |
0 |
KII_7 |
-476.90 |
0 |
KII_8 |
-534.75 |
0 |
KII_9 |
-604.47 |
0 |
KII_10 |
-688,57 |
0 |
KII_11 |
-790,30 |
0 |
KII_12 |
-913.84 |
0 |
KII_13 |
-1064.72 |
0 |
KII_14 |
-1250.30 |
0 |
KII_15 |
-1480.53 |
0 |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Dans cette modélisation, la méthode géométrique est testée pour la propagation de fissure.
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise ici le même maillage que dans la modélisation A.
Grandeurs testées et résultats#
Pour chaque pas de propagation, on teste la valeur des facteurs d’intensité de contraintes \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) données par CALC_G.
Résultats sur KI :#
Identification |
code_aster |
Référence |
différence |
CALC_G |
|||
KI_1 |
4,205998 106 |
4,205998 106 |
0,739 % |
KI_2 |
4,602538 106 |
4,632857 106 |
0,654 % |
KI_3 |
5,067526 106 |
5,094923 106 |
0,538 % |
KI_4 |
5,575879 106 |
5,599079 106 |
0,414 % |
KI_5 |
6,134453 106 |
6,153487 106 |
0,309 % |
KI_6 |
6,751140 106 |
6,767759 106 |
0,246 % |
KI_7 |
7,435205 106 |
7,453097 106 |
0,240% |
KI_8 |
8,197636 106 |
8,222429 106 |
0,302 % |
KI_9 |
9,051618 106 |
9,090524 106 |
0,428 % |
KI_10 |
1,0013136 107 |
1,0074102 107 |
0,61% |
KI_11 |
1,1101777 107 |
1,1191940 107 |
0,805% |
KI_12 |
1,2341796 107 |
1,2464967 107 |
0,99 % |
KI_13 |
1,3763571 107 |
1,3916354 107 |
1,098% |
KI_14 |
1,5405621 107 |
1,5571606 107 |
1,065 % |
KI_15 |
1,7317438 107 |
1,7458645 107 |
0,808 % |
Résultats sur KII :#
Identification |
code_aster |
Référence |
CALC_G |
||
KII_1 |
-294.543283255 |
0 |
KII_2 |
140.53345257 |
0 |
KII_3 |
-92.1815420989 |
0 |
KII_4 |
31.588424802 |
0 |
KII_5 |
-22.0719386916 |
0 |
KII_6 |
1.80251453051 |
0 |
KII_7 |
-14.6478888153 |
0 |
KII_8 |
-12.9364628022 |
0 |
KII_9 |
-21.8732802716 |
0 |
KII_10 |
-27.5019633622 |
0 |
KII_11 |
-36.819305336 |
0 |
KII_12 |
-47.1442361154 |
0 |
KII_13 |
-60.5518993996 |
0 |
KII_14 |
-77.2544634291 |
0 |
KII_15 |
-98.7975849383 |
0 |
Synthèses des résultats#
On peut comparer le temps de calcul pour le même nombre de pas de propagation (15) des trois méthodes.
Maillage |
Méthode |
Temps (\(s\) ) |
\(40\times 101\) |
Maillage |
21.7 |
Simplexe |
18.8 |
|
Upwind |
23.7 |
|
géométrique |
21.2 |
Les résultats permettent de valider sur un cas simple le calcul des facteurs d’intensité de contraintes en mode \(I\) pour les éléments X-FEM pour les quatre méthodes maillage, simplexe, upwind et géométrique.