r4.07.02 Modélisation des excitations turbulentes#

Résumé:

On décrit la modélisation des excitations turbulentes disponible dans Code_Aster et la manière dont ces dernières sont prises en compte dans un calcul de dynamique. Les excitations turbulentes sont caractérisées par une densité spectrale d’efforts, spécifiée à l’aide de l’opérateur DEFI_SPEC_TURB [U4.44.31]. Leur prise en compte dans un calcul de dynamique se fait par projection du spectre sur la base modale de la structure dont on veut calculer la réponse. Les opérations de projection sont effectuées à l’aide de l’opérateur PROJ_SPEC_BASE [U4. 63.14].

Table des matières

Modèles d’excitation turbulente applicables aux structures filaires#

Principes généraux#

Hypothèses#

On suppose que l’excitation linéique induite sur la structure filaire par la turbulence de l’écoulement peut être modélisée sous la forme d’un processus aléatoire stationnaire ergodique gaussien de moyenne nulle. Cette excitation turbulente est donc entièrement caractérisée par sa densité interspectrale \({S}_{f}({x}_{1},{x}_{2},\omega )\) , où \({x}_{1}\) et \({x}_{2}\) sont deux points quelconques de la poutre et \(w\) désigne la pulsation. L’excitation turbulente appliquée à la structure est donc caractérisée par sa densité interspectrale \({S}_{f}\) .

De plus, on suppose que les forces turbulentes sont indépendantes du mouvement de la structure. L’excitation turbulente est identifiée expérimentalement sur une maquette de référence. Elle est ensuite applicable à tout composant réel en similitude géométrique avec la maquette de référence.

Calcul des interspectres d’excitations modales#

On désigne par \({f}_{t}(x,s)\) la densité linéique d’excitation turbulente exercée sur la poutre; \(x\) est l’abscisse courante d’un point de la poutre et \(s\) la pulsation complexe (variable de Laplace). On fait les hypothèses supplémentaires \(\mathit{H1}\) et \(\mathit{H2}\) suivantes:

\(\mathit{H1}\) . La longueur excitée \({L}_{e}\) est inférieure à la longueur totale \(L\) de la poutre.

\(\mathit{H2}\) . L’expression de \({f}_{t}(x,s)\) ne dépend pas de l’origine de la zone excitée \({x}_{e}\) ; cela se traduit par \({f}_{t}(x,s)={f}_{t}(x-{x}_{e},s)\) .

Dans ce cas, on peut exprimer la densité linéique \({f}_{t}\) sous la forme suivante:

\({f}_{t}(x,s)=\frac{1}{2}{\mathrm{\rho U}}^{2}D\cdot {C}_{f}(\alpha ,\frac{D}{{D}_{h}},\frac{D}{{L}_{e}},{s}_{r}\text{,Re})\) éq 2.1.2-1

avec: \(\begin{array}{ccc}\alpha =\frac{x-{x}_{e}}{{L}_{e}}& {s}_{r}=\frac{\text{sD}}{U}& \text{Re}=\frac{\text{UD}}{u}\end{array}\)

Où \(\rho\) désigne la masse volumique du fluide, \(U\) est la vitesse moyenne d’écoulement du fluide, \(D\) et \({D}_{h}\) sont respectivement le diamètre de la structure et le diamètre hydraulique, \({C}_{f}\) représente le coefficient adimensionnel de force turbulente, \(x\) est l’abscisse courante d’un point de la poutre, \({x}_{e}\) désigne l’abscisse de l’origine de la zone excitée, \({L}_{e}\) représente la longueur excitée, \(\alpha\) est la variable d’espace réduite, \(s\) est la pulsation complexe (variable de Laplace), \({s}_{r}\) est la pulsation complexe réduite, \(\nu\) est la viscosité cinématique du fluide, enfin «  \(\text{Re}\) «  désigne le nombre de Reynolds.

Par hypothèse de similitude géométrique du composant réel avec la maquette de référence, on obtient:

\({f}_{t}(x,s)=\frac{1}{2}{\mathit{\rho U}}^{2}D\cdot {C}_{f}(\alpha ,{s}_{r}\text{,Re})\) éq 2.1.2-2

Ainsi, l’excitation turbulente modale \({Q}_{i}(s)\) peut s’écrire dans le domaine de Laplace(hypothèse \(\mathit{H2}\) ):

\({Q}_{i}(x)=\underset{{x}_{e}}{\overset{{x}_{e}+{L}_{e}}{\int}}{f}_{t}(x,s){\phi }_{i}(x)\text{dx}={L}_{e}\underset{0}{\overset{1}{\int}}{f}_{t}(\alpha {L}_{e},s){\phi }_{i}(\alpha {L}_{e}+{x}_{e})d\alpha\) éq 2.1.2-3

où \({\phi }_{i}(x)\) est la composante de la \(i\) ème déformée modale suivant la direction d’espace dans laquelle agit l’excitation turbulente.

Au moyen de l’expression [éq 2.1.2-2], on déduit:

\({Q}_{i}(s)=\frac{1}{2}{\mathit{\rho U}}^{2}{\text{DL}}_{e}\underset{0}{\overset{1}{\int}}{C}_{f}(\alpha ,{s}_{r}\text{,Re}){\phi }_{i}(\alpha {L}_{e}+{x}_{e})d\alpha\) éq 2.1.2-4

Les densités interspectrales d’excitations turbulentes modales s’expriment alors sous la forme:

\({S}_{{Q}_{i}{Q}_{j}}(f,U)={(\frac{1}{2}{\mathit{\rho U}}^{2}{\text{DL}}_{e})}^{2}\frac{D}{U}\underset{0}{\overset{1}{\int}}\underset{0}{\overset{1}{\int}}{\Phi}_{t}({\alpha}_{1},{\alpha}_{2},{f}_{r}\text{,Re}){\phi }_{i}({\alpha}_{1}{L}_{e}+{x}_{e}){\phi }_{j}({\alpha}_{2}{L}_{e}+{x}_{e})d{\alpha}_{1}d{\alpha}_{2}\) éq 2.1.2-4

avec

\(1\le i,j\le N\) , où \(N\) est le nombre de modes retenus pour déterminer la réponse de la structure;

\({\Phi}_{t}\) : interspectre de \({C}_{f}\) entre \({\alpha}_{1}\) et \({\alpha}_{2}\) ;

\({f}_{r}=\frac{\text{fD}}{U}\) : fréquence réduite.

Remarque:

Dans ce qui suit, on conserve les hypothèses \(\mathit{H1}\) et \(\mathit{H2}\) et on note \({I}_{ij}({f}_{r}\text{,Re})\) l’intégrale:

\({I}_{ij}({f}_{r}\text{,Re})=\underset{0}{\overset{1}{\int}}\underset{0}{\overset{1}{\int}}{\Phi}_{t}({\alpha}_{1},{\alpha}_{2},{f}_{r}\text{,Re}){\phi }_{i}({\alpha}_{1}{L}_{e}+{x}_{e}){\phi }_{j}({\alpha}_{2}{L}_{e}+{x}_{e}){\mathrm{d\alpha }}_{1}{\mathrm{d\alpha }}_{2}\) éq 2.1.2-5

A l’aide de cette notation, les interspectres d’excitations modales s’écrivent:

\({S}_{{Q}_{i}{Q}_{j}}(f,U)={(\frac{1}{2}{\mathrm{\rho U}}^{2}{\text{DL}}_{e})}^{2}\frac{D}{U}{I}_{ij}({f}_{r}\text{,Re})\) éq 2.1.2-6

L’expression des autospectres d’excitations modales est analogue:

\({S}_{{Q}_{i}{Q}_{i}}(f,U)={(\frac{1}{2}{\mathrm{\rho U}}^{2}{\text{DL}}_{e})}^{2}\frac{D}{U}{I}_{ii}({f}_{r}\text{,Re})\) éq 2.1.2-7

Spectres de type « longueur de corrélation »#

Mots-clés#

Les mots-clés facteurs SPEC_LONG_COR_i(\(i\) variant de 1 à 4) de l’opérateur DEFI_SPEC_TURB [U4.44.31] permettent d’accéder à des spectres de type « longueur de corrélation ». Ces spectres, spécifiques des configurations du type « faisceau de tubes sous écoulement transverse », sont prédéfinis mais l’utilisateur peut en ajuster les paramètres.

Définition du modèle#

Densité interspectrale#

Dans le cas de spectres de type « longueur de corrélation », la densité interspectrale caractérisant l’excitation turbulente est supposée pouvoir être mise sous une forme à variables séparables telle que:

\({S}_{i}({x}_{1},{x}_{2},\omega )={S}_{0}(\omega ){\varphi}_{0}({x}_{1},{x}_{2})\) éq 2.2.2.1-1

Dans cette expression, \({S}_{0}(\omega )\) représente l’autospectre de turbulence et \({\varphi}_{0}({x}_{1},{x}_{2})\) désigne une fonction de corrélation spatiale définie par:

\({\varphi}_{0}({x}_{1},{x}_{2})=\exp\cdot (\frac{-\mid {x}_{2}-{x}_{1}\mid }{{\lambda}_{c}})\) éq 2.2.2.1-2

où \({x}_{1}\) et \({x}_{2}\) désignent les abscisses de deux points d’observation et \({\lambda}_{c}\) représente la longueur de corrélation.

Quatre expressions analytiques sont disponibles dans l’opérateur DEFI_SPEC_TURB [U4.44.31]. Ces expressions correspondent chacune à une représentation particulière de \({S}_{0}(\omega )\) .

L’utilisateur définit un spectre de turbulence en choisissant l’une de ces formes analytiques, dont il peut ajuster les paramètres.

Modélisation du spectre de turbulence par une expression à variables séparées#

  • Cas général

La fonction \({\Phi}_{\text{tt}}\) introduite dans la relation est modélisée par une forme à variables séparées:

\({\Phi}_{t}({\alpha}_{1},{\alpha}_{2},{f}_{r}\text{,Re})=\sum_{n=1}^{{N}_{s}}{\varphi}_{n}({\alpha}_{1},{\alpha}_{2}){\Phi}_{n}({f}_{r}\text{,Re})\) éq 2.2.2.2-1

Où \({N}_{s}\) désigne le degré de la base des fonctions de forme \({\varphi}_{n}\) et \({\Phi}_{n}\) est une fonction indépendante de la variable d’espace. Ces deux fonctions sont stockées dans la base de données et peuvent être sélectionnées par l’utilisateur.

Les autospectres d’excitations modales sont donnés par [éq 2.1.2-7] en introduisant:

\({I}_{ii}({f}_{r}\text{,Re})=\sum_{n=1}^{{N}_{s}}{L}_{ni}^{2}\cdot {\Phi}_{n}({f}_{r}\text{,Re})\) éq 2.2.2.2-2

avec: \({L}_{ni}^{2}=\underset{0}{\overset{1}{\int}}\underset{0}{\overset{1}{\int}}{\varphi}_{n}({\alpha}_{1},{\alpha}_{2})\cdot {\phi }_{i}({\alpha}_{1}{L}_{e}+{x}_{e}){\phi }_{i}({\alpha}_{2}{L}_{e}+{x}_{e})\cdot {\mathrm{d\alpha }}_{1}{\mathrm{d\alpha }}_{2}\) éq 2.2.2.2-3

Le principe de calcul est le suivant: on calcule tout d’abord les valeurs des \({L}_{ni}^{2}\) en réalisant le calcul des intégrales doubles; on calcule ensuite \({\Phi}_{n}({f}_{r}\text{,Re})\) pour toutes les valeurs de n; on obtient finalement l’expression de \({S}_{{Q}_{i}{Q}_{i}}(f,U)\) à l’aide de l’équation [éq 2.1.2-4].

  • Cas particulier: modèle utilisé pour les tubes de générateur de vapeur

Le cas particulier de l’étude des tubes de GV correspond à un cas particulier du cas général présenté précédemment en posant \(\text{Ns}=1\) . L’interspectre d’excitation turbulente entre deux points d’abscisses réduites \({\alpha}_{1}\) et \({\alpha}_{2}\) est alors donné par:

\({\Phi}_{t}({\alpha}_{1},{\alpha}_{2},{f}_{r}\text{,Re})=\exp(-\frac{\mid {\alpha}_{1}-{\alpha}_{2}\mid }{{\lambda}_{c}}\cdot {L}_{e})\cdot \Phi ({f}_{r}\text{,Re})\) éq 2.2.2.2-4

où \({\lambda}_{c}\) représente la longueur de corrélation des forces turbulentes et \({L}_{e}\) est la longueur excitée. En général, on prend \({\lambda}_{c}\) de l’ordre de 3 à 4 fois le diamètre extérieur du tube.

Les spectres d’autocorrélation d’excitations modales, dans le cas de profils de vitesse et de masse volumique constants, sont donnés par:

\({S}_{\text{QiQi}}(f,U)={(\frac{1}{2}{\mathrm{\rho U}}^{2}{\text{DL}}_{e})}^{2}\cdot \frac{D}{U}{I}_{ii}({f}_{r}\text{,Re})\) éq 2.2.2.2-5

avec:

\({I}_{ii}({f}_{r}\text{,Re})=\Phi ({f}_{r}\text{,Re})\underset{0}{\overset{1}{\int}}\underset{0}{\overset{1}{\int}}.\exp(-\frac{\mid {\alpha}_{2}-{\alpha}_{1}\mid }{{\lambda}_{c}}{L}_{e}).{\phi }_{i}({\alpha}_{1}{L}_{e}+{x}_{e}){\phi }_{i}({\alpha}_{2}{L}_{e}+{x}_{e}).{\mathrm{d\alpha }}_{1}{\mathrm{d\alpha }}_{2}\)

éq 2.2.2.2-6

Dans le cas général de profils de masse volumique et de vitesse d’écoulement quelconques, on a:

\(\begin{array}{}{S}_{\text{QiQj}}(f,U)={(\frac{1}{2}D)}^{2}\cdot \frac{D}{U}S({f}_{r})\\ \underset{{x}_{e}}{\overset{{x}_{e}{\text{+L}}_{e}}{\int}}\underset{{x}_{e}}{\overset{{x}_{e}+{L}_{e}}{\int}}\exp(-\frac{\mid {x}_{2}-{x}_{1}\mid }{{\lambda}_{c}})\cdot {\rho}_{e}({x}_{1}){\rho}_{e}({x}_{2})\cdot {U}_{e}^{2}({x}_{1}){U}_{e}^{2}({x}_{2}){\phi }_{i}({x}_{1}){\phi }_{i}({x}_{2}){\text{dx}}_{1}{\text{dx}}_{2}\end{array}\)

éq 2.2.2.2-7

Où \(D\) est le diamètre de la structure, \({L}_{e}\) est la longueur de la zone excitée, \({x}_{e}\) est l’abscisse de l’origine de la zone excitée, \(U\) est la vitesse moyenne de l’écoulement, \(S({f}_{r})\) est une densité spectrale d’excitation indépendante de la vitesse moyenne de l’écoulement \(U\) , \({x}_{1}\) et \({x}_{2}\) sont les abscisses curvilignes de deux points d’observation sur le tube, \({\rho}_{e}(x)\) est le profil de masse volumique du fluide le long du tube, \({U}_{e}(x)\) est le profil de vitesse transverse de l’écoulement le long du tube et \({\lambda}_{c}\) désigne la longueur de corrélation.

Les profils adimensionnels de masse volumique et de vitesse transverse de l’écoulement externe sont définis de la manière suivante:

\({\rho}_{e}(x)\) désignant l’évolution de la masse volumique du fluide externe le long de la zone immergée \({L}_{\text{imm}}\) du tube, on désigne par \(\rho\) la masse volumique du fluide externe moyennée sur la partie immergée du tube:

\(\rho =\frac{1}{{L}_{\text{imm}}}\underset{{x}_{\text{imm}}}{\overset{{x}_{\text{imm}}+{L}_{\text{imm}}}{\int}}{\rho}_{e}(x)\text{dx}\) éq 2.2.2.2-8

On désigne par \(r(x)\) le profil adimensionnel de masse volumique tel que \({\rho}_{e}(x)=\rho \cdot r(x)\) .

\({U}_{e}(x)\) désignant l’évolution de la vitesse d’écoulement du fluide externe sur la longueur excitée \({L}_{e}\) du tube, on désigne par \(U\) la vitesse d’écoulement du fluide moyennée sur la longueur excitée du tube:

\(U=\frac{1}{{L}_{e}}\underset{{x}_{e}}{\overset{{x}_{e}+{L}_{e}}{\int}}{U}_{e}(x)\text{dx}\) éq 2.2.2.2-9

On désigne par \(u(x)\) le profil adimensionnel de vitesse transverse de l’écoulement externe, tel que \({U}_{e}(x)=U\cdot u(x)\) .

En introduisant les grandeurs moyennes et les profils adimensionnels dans l’expression [éq2.2.2.2-7], on obtient:

\(\begin{array}{}{S}_{\text{QiQj}}(f,U)={(\frac{1}{2}{\mathrm{\rho U}}^{2}D)}^{2}.\frac{D}{U}S({f}_{r})\underset{{x}_{e}}{\overset{{x}_{e}+{L}_{e}}{\int}}\underset{{x}_{e}}{\overset{{x}_{e}+{L}_{e}}{\int}}\exp(-\frac{\mid {x}_{2}-{x}_{1}\mid }{{\lambda}_{c}})\\ {\rho}_{e}({x}_{1}){\rho}_{e}({x}_{2}){U}_{e}^{2}({x}_{1}){U}_{e}^{2}({x}_{2}){\phi }_{i}({x}_{1}){\phi }_{j}({x}_{2}){\text{dx}}_{1}{\text{dx}}_{2}\end{array}\) éq 2.2.2.2-10

Après avoir noté \(\alpha =\frac{x-{x}_{e}}{{L}_{e}}\) , il vient:

\(\begin{array}{}{S}_{\text{QiQj}}(f,U)=\frac{1}{4}{\rho}^{2}{U}^{3}{D}^{3}{L}_{e}^{2}S({f}_{r})\times \underset{0}{\overset{1}{\int}}\underset{0}{\overset{1}{\int}}[\exp(-\frac{\mid {x}_{2}-{x}_{1}\mid }{{\lambda}_{c}})r({\alpha}_{1}{L}_{e}+{x}_{e})r({\alpha}_{2}{L}_{e}+{x}_{e})\\ {u}^{2}({\alpha}_{1}{L}_{e}+{x}_{e}){u}^{2}({\alpha}_{2}{L}_{e}+{x}_{e}){\phi }_{i}({\alpha}_{1}{L}_{e}+{x}_{e}){\phi }_{i}({\alpha}_{2}{L}_{e}+{x}_{e})]{\mathrm{d\alpha }}_{1}{\mathrm{d\alpha }}_{2}\end{array}\)

éq 2.2.2.2-11

Où \(S({f}_{r})\) représente le spectre de turbulence, défini en fonction d’une fréquence réduite \({f}_{r}\) (nombre de Strouhal). Pour un tube en interaction avec un écoulement transverse, \({f}_{r}\) s’écrit:

\({f}_{r}=\frac{\text{fD}}{U}\)

où \(f\) est la fréquence dimensionnée, \(D\) est le diamètre du tube et \(U\) est la vitesse moyenne de l’écoulement.

L’intégrale double de l’expression [éq 2.2.2.2-11] est évaluée par l’opérateur PROJ_SPEC_BASE [U4.63.14].

  • Cas de zones d’excitation multiples

Dans le cas où il existe plusieurs zones d’excitations, on introduit les notations supplémentaires suivantes:

La zone d’excitation \(k\) étant repérée par son abscisse de début \({x}_{k}\) et sa longueur \({L}_{k}\) , on note \({U}_{k}(x)\) le profil de vitesse transverse de l’écoulement fluide au niveau de cette zone. La vitesse transverse moyenne sur la zone d’excitation \(k\) est alors donnée par :

\({\stackrel{ˉ}{U}}_{k}=\frac{1}{{L}_{k}}\underset{{x}_{k}}{\overset{{x}_{k}+{L}_{k}}{\int}}{U}_{k}(x)\text{dx}\)

On en déduit le profil adimensionnel de vitesse transverse, normalisé sur la zone \(k\) :

\({u}_{k}(x)=\frac{{U}_{k}(x)}{{\stackrel{ˉ}{U}}_{k}}\)

\(K\) désignant le nombre total de zones d’excitation, la vitesse transverse moyenne sur l’ensemble des zones d’excitation est définie par :

\(\stackrel{ˉ}{U}=\frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}{\stackrel{ˉ}{U}}_{k}\)

Si \({V}_{\text{gap}}\) est la vitesse intertube à l’entrée du GV (la plage de vitesses débitantes est définie dans CALC_FLUI_STRU [U4.66.02] à l’aide du mot-clé VITE_FLUI), on procède à une seconde normalisation; la vitesse transverse en un point \(x\) situé dans la zone d’excitation \(k\) est donnée par:

\({V}_{k}(x)={V}_{\text{gap}}\frac{{U}_{k}(x)}{\stackrel{ˉ}{U}}={V}_{\text{gap}}\frac{{\stackrel{ˉ}{U}}_{k}}{\stackrel{ˉ}{U}}{u}_{k}(x)\)

Grâce à cette normalisation, la moyenne arithmétique de vitesse transverse sur toutes les zones d’excitation est égale à la vitesse inter-tube; on a en effet :

\(\frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}(\frac{1}{{L}_{k}}\underset{{x}_{k}}{\overset{{x}_{k}+{L}_{k}}{\int}}{V}_{k}(x)\text{dx})={V}_{\text{gap}}\)

Le calcul des interspectres d’excitations modales, réalisé par l’opérateur PROJ_SPEC_BASE [U4.63.14], se fait en additionnant les contributions de chacune des zones d’excitation suivant la relation :

\({S}_{{Q}_{i}{Q}_{j}}(f,{V}_{\text{gap}})={(\frac{1}{2}D)}^{2}\sum_{k=1}^{K}(\frac{D}{{\stackrel{ˉ}{V}}_{k}}\times {L}_{ij}^{k}\times S({f}_{r}^{k}))\)

avec :

\({\stackrel{ˉ}{V}}_{k}={V}_{\text{gap}}\times \frac{{U}_{k}}{\stackrel{ˉ}{U}}\) et \({f}_{r}^{k}=\frac{\text{fD}}{{\stackrel{ˉ}{V}}_{k}}\)

et \({L}_{ij}^{k}=\underset{{x}_{k}}{\overset{{x}_{k}+{L}_{k}}{\int}}\underset{{x}_{k}}{\overset{{x}_{k}+{L}_{k}}{\int}}\exp(\frac{-\mid {x}_{2}-{x}_{1}\mid }{{\lambda}_{c}}){\rho}_{e}({x}_{1}){\rho}_{e}({x}_{2}){V}_{k}^{2}({x}_{1}){V}_{k}^{2}({x}_{2}){\phi }_{i}({x}_{1}){\phi }_{i}({x}_{2}){\text{dx}}_{1}{\text{dx}}_{2}\)

soit: \({L}_{ij}^{k}={\stackrel{ˉ}{V}}_{k}^{4}\times \underset{{x}_{k}}{\overset{{x}_{k}+{L}_{k}}{\int}}\underset{{x}_{k}}{\overset{{x}_{k}+{L}_{k}}{\int}}\exp(\frac{-\mid {x}_{2}-{x}_{1}\mid }{{\lambda}_{c}}){\rho}_{e}({x}_{1}){\rho}_{e}({x}_{2}){u}_{k}^{2}({x}_{1}){u}_{k}^{2}({x}_{2}){\phi }_{i}({x}_{1}){\phi }_{i}({x}_{2}){\text{dx}}_{1}{\text{dx}}_{2}\)

On pose :

\({l}_{ij}^{k}=\underset{{x}_{k}}{\overset{{x}_{k}+{L}_{k}}{\int}}\underset{{x}_{k}}{\overset{{x}_{k}+{L}_{k}}{\int}}\exp(\frac{-\mid {x}_{2}-{x}_{1}\mid }{{\lambda}_{c}}){\rho}_{e}({x}_{1}){\rho}_{e}({x}_{2}){u}_{k}^{2}({x}_{1}){u}_{k}^{2}({x}_{2}){\phi }_{i}({x}_{1}){\phi }_{i}({x}_{2}){\text{dx}}_{1}{\text{dx}}_{2}\)

L’expression des interspectres d’excitations modales devient alors :

\({S}_{{Q}_{i}{Q}_{j}}(f,{V}_{\text{gap}})={(\frac{1}{2}D)}^{2}\sum_{k=1}^{K}(\frac{D}{{\stackrel{ˉ}{V}}_{k}}\times {\stackrel{ˉ}{V}}_{k}^{4}\times {l}_{ij}^{k}\times S({f}_{r}^{k}))\)

d’où:

\({S}_{{Q}_{i}{Q}_{j}}(f,{V}_{\text{gap}})=\frac{1}{4}{D}^{3}\times \sum_{k=1}^{K}({\stackrel{ˉ}{V}}_{k}^{3}\times {l}_{ij}^{k}\times S({f}_{r}^{k}))\)

  • Expressions analytiques des spectres disponibles pour l’utilisateur

Les différentes expressions analytiques des spectres disponibles dans l’opérateur DEFI_SPEC_TURB [U4.44.31] sont les suivantes:

  • SPEC_LONG_COR_1

Chaque vitesse \({U}_{i}\) définie par l’utilisateur en discrétisant la plage de vitesses \(\left[{U}_{\min}-{U}_{\max}\right]\) explorée est d’abord normalisée sous la forme \({U}_{i}^{\text{kn}}\) en appliquant l’équation:

\({U}_{i}^{\text{kn}}={U}_{i}\frac{{\stackrel{ˉ}{U}}^{k}}{\stackrel{ˉ}{U}}\)

où \({\overline{U}}^{k}\) et \(\overline{U}\) désignent respectivement la vitesse moyennée sur la zone d’excitation «  \(k\) « , et la vitesse moyenne sur l’ensemble des zones d’excitation.

Un nombre de Reynolds « local » \({R}_{e}^{\text{ik}}\) , associé à la zone «  \(k\) «  et à la vitesse \({U}_{i}\) est ensuite calculéà partir des caractéristiques locales de l’écoulement:

\({\text{Re}}^{\text{ik}}\text{= -}\frac{{U}_{i}^{\text{kn}}\cdot D}{\nu}\)

Le spectre d’excitation turbulente associé à la zone «  \(k\) «  et à la vitesse \({U}_{i}\) est déterminé sous la forme d’un vecteur \({S}^{\text{ik}}\) , possédant autant de composantes que de points utilisés pour discrétiser l’intervalle fréquentiel \(\left[{f}_{\min}-{f}_{\max}\right]\) , support de l’excitation. La \(j\) -ième composante \({S}_{j}^{\text{ik}}\) de ce vecteur est fournie par l’expression:

\({S}_{j}^{\text{ik}}=\frac{{\phi }_{0}}{{(1-{(\frac{{f}_{\text{rj}}^{\text{ik}}}{{f}_{\text{rc}}})}^{})}^{2}+4{\epsilon}^{2}{(\frac{{f}_{\text{rj}}^{\text{ik}}}{{f}_{\text{rc}}})}^{}}\) éq 2.2.2.2-12

\({f}_{\text{rj}}^{\text{ik}}\) est fournie par:

\({f}_{\text{rj}}^{\text{ik}}=\frac{{f}_{j}D}{{U}_{i}^{\text{kn}}}\)

où:

\({f}_{j}\) est la valeur de fréquence associée à la j-ième composante dans la discrétisation de l’intervalle fréquentiel \(\left[{f}_{\min}-{f}_{\max}\right]\) , \({f}_{\text{rc}}\) est une fréquence de coupure valant 0.2 ; \({\phi }_{o}\) , \(\beta\) , \(\epsilon\) dépendent du nombre de Reynolds selon les équations fournies dans le tableau ci‑dessous:

\({R}_{e}^{\text{ik}}\)

\({f}_{o}\)

\(\beta\)

\(\epsilon\)

\(\left]-\infty ;1.5{10}^{4}\right]\)

2.83504 10-4

3

0.7

\(\left]1.5{10}^{4};3.5{10}^{4}\right]\)

\(1.3\cdot {10}^{-4}(\begin{array}{c}20.42-{14.10}^{-4}\cdot {R}_{e}^{\mathit{ik}}-9.81\cdot {10}^{-8}\cdot {R}_{e}^{{\mathit{ik}}^{2}}+11.97\cdot {10}^{-12}\cdot {R}_{e}^{{\mathit{ik}}^{3}}\\ -35.95\cdot {10}^{-17}\cdot {R}_{e}^{{\mathit{ik}}^{4}}+34.69\cdot {10}^{-22}\cdot {R}_{e}^{{\mathit{ik}}^{5}}\end{array})\)

Idem

Idem

\(\left]3.5{10}^{4};5{10}^{4}\right]\)

Idem

4

0.3

\(\left]5{10}^{4};5.5{10}^{4}\right]\)

\(50.18975\cdot {10}^{–4}\)

Idem

Idem

\(\left]5.5{10}^{4};+\infty \right]\)

Idem

4

0.6

  • SPEC_LONG_COR_2

Le spectre d’excitation turbulente s’écrit:

\(S({f}_{r})=\frac{{f}_{0}}{1+{(\frac{{f}_{r}}{{f}_{\text{rc}}})}^{\beta}}\) éq 2.2.2.2-13

Les valeurs par défaut des paramètres sont les suivantes:

\(\begin{array}{}{\phi }_{0}=1.5\cdot {10}^{-3}\\ \beta =2.7\\ {f}_{\text{rc}}=0.1\end{array}\)

  • SPEC_LONG_COR_3

Le spectre d’excitation turbulente s’écrit:

\(S({f}_{r})=\frac{{\phi }_{0}}{{f}_{r}^{\beta}}\) éq 2.2.2.2-14

avec:

\(\begin{array}{c}{\phi }_{0}={\phi }_{0}({f}_{\text{rc}})\\ \beta =\beta ({f}_{\text{rc}})\end{array}\)

Les valeurs par défaut des paramètres sont les suivantes: \({f}_{\text{rc}}\) = 2

Si \({f}_{r}\le {f}_{\text{rc}}\) , on a:

\(\begin{array}{c}{\phi }_{0}=5\cdot {10}^{-3}\\ \beta =0.5\end{array}\)

sinon

\(\begin{array}{c}{\phi }_{0}=4\cdot {10}^{-5}\\ \beta =3.5\end{array}\)

  • SPEC_LONG_COR_4

Le spectre d’excitation turbulente s’écrit:

\(S({f}_{r})=\frac{{\phi }_{0}}{{f}_{r}^{\beta}{\rho}_{v}^{g}}\) éq 2.2.2.2-15

avec:

\({\phi }_{0}=\frac{1}{6.8\cdot {10}^{-2}}{10}^{\phi }\)

Les autres paramètres sont définis par:

\(\begin{array}{}\phi ={\mathrm{At}}_{v}^{0.5}-B{\tau}_{v}^{1.5}-C{\tau}_{v}^{2.5}-D{\tau}_{v}^{3.5}\\ \beta =2\\ \gamma =4\end{array}\)

\({\tau}_{v}\) désigne le taux de vide; \({\rho}_{v}\) est le débit volumique défini par \({\rho}_{v}={\rho}_{m}U\) ; \({\rho}_{m}\) est le débit massique et \(U\) désigne la vitesse moyenne de l’écoulement. Les valeurs des coefficients du polynôme en \({\tau}_{v}\) sont les suivantes:

\(\begin{array}{}A=24.042\\ B\text{= -}50.421\\ C=63.483\\ D=33.284\end{array}\)

Modèle d’excitation turbulente répartie#

Mots-clés#

Le mot-clé facteur SPEC_FONC_FORME de l’opérateur DEFI_SPEC_TURB [U4.44.31] permet de définir un spectre d’excitation par sa décomposition sur une famille de fonctions de forme. L’utilisateur a la possibilité de définir le spectre en fournissant une matrice interspectrale et une liste de fonctions de forme associées. Les concepts [interspectre] et [fonction] doivent alors avoir été générés en amont. Dans le cas du composant « grappe de commande », l’utilisateur peut également utiliser un spectre de turbulence prédéfini, identifié sur la maquette GRAPPE1.

Décomposition sur une famille de fonctions de forme#

Le modèle d’excitation turbulente répartie suppose que la densité linéique instantanée des forces turbulentes \({f}_{t}(x,t)\) peut être décomposée sur une famille de fonctions de forme \({j}_{k}(x)\) de dimension \(K\) de la façon suivante:

\({f}_{t}(x,t)=\sum_{k=1}^{K}{\varphi}_{k}(x){\alpha}_{k}(t)\) éq 2.3.2-1

Les coefficients \({\alpha}_{k}(t)\) définissent à chaque instant la décomposition de l’excitation turbulente sur la famille de fonctions de forme.

La densité interspectrale d’excitation turbulente entre deux points de la structure filaire d’abscisses \({x}_{1}\) et \({x}_{2}\) s’écrit alors:

\({S}_{f}({x}_{1},{x}_{2},\omega )=\sum_{k=1}^{K}\sum_{k=1}^{K}{\varphi}_{k}({x}_{1}){\varphi}_{l}({x}_{2}){\mathrm{S\alpha }}_{k}{\alpha}_{l}(\omega )\) éq 2.3.2-2

Cette formulation permet de prendre en compte une excitation dont la répartition spatiale est quelconque.

Mise en équations#

Application d’une excitation turbulente répartie#

La longueur d’application \(L\) est caractérisée de manière intrinsèque par le domaine de définition des fonctions de forme associées à l’excitation. La zone d’application est déterminée par la donnée du nom du nœud autour duquel elle est centrée.

\({x}_{n}\) désignant l’abscisse repérant ce nœud, l’excitation turbulente est imposée sur le domaine \(\left[{x}_{n}-L/2,{x}_{n}+L/2\right]\) .

L’excitation turbulente pouvant être, d’autre part, développée de manière corrélée dans les deux directions \(Y\) et \(Z\) orthogonales à l’axe de la structure filaire, les fonctions de forme sont a priori des vecteurs à deux composantes.

On renseigne donc, par convention dans une table_fonction, deux fonctions de forme, la première est associée à la direction \(Y\) et l’autre à la direction \(Z\) . Chacune des deux fonctions est définie sur l’intervalle \(\left[0,L\right]\) .

Excitation turbulente identifiée sur la maquette GRAPPE1#

Les fonctions de forme \({\varphi}_{k}\) sont les 12 premières déformées modales de flexion de la structure identifiées expérimentalement, réparties selon les deux directions orthogonales à l’axe principal de la poutre. L’expression analytique générale de ces déformées est la suivante:

\({\overrightarrow{\varphi}}_{k}(x)=(\begin{array}{c}{\varphi}_{\text{Yk}}(x)\\ {\varphi}_{\text{Zk}}(x)\end{array})\) éq 2.3.3.2-1

avec:

\({\varphi}_{\text{Yk}}(x)={A}_{\text{Yk}}\cdot \cos(\frac{{n}_{\text{Yk}}}{L}x)+{B}_{\text{Yk}}\cdot \sin(\frac{{n}_{\text{Yk}}}{L}x)+{C}_{\text{Yk}}\cdot \text{ch}(\frac{{n}_{\text{Yk}}}{L}x)+{D}_{\text{Yk}}\cdot \text{sh}(\frac{{n}_{\text{Yk}}}{L}x)\) éq 2.3.3.2-2

\({\varphi}_{\text{Zk}}(x)={A}_{\text{Zk}}\cdot \cos(\frac{{n}_{\text{Zk}}}{L}x)+{B}_{\text{Zk}}\cdot \sin(\frac{{n}_{\text{Zk}}}{L}x)+{C}_{\text{Zk}}\cdot \text{ch}(\frac{{n}_{\text{Zk}}}{L}x)+{D}_{\text{Zk}}\cdot \text{sh}(\frac{{n}_{\text{Zk}}}{L}x)\) éq 2.3.3.2-3

où \({n}_{\text{Yk}}\) et \({n}_{\text{Zk}}\) désignent des nombres d’ondes, \(L\) est la longueur d’application de l’excitation et les coefficients \({A}_{\text{Yk}}\) , \({B}_{\text{Yk}}\) , \({C}_{\text{Yk}}\) , \({D}_{\text{Yk}}\) , \({A}_{\text{Zk}}\) , \({B}_{\text{Zk}}\) , \({C}_{\text{Zk}}\) , \({D}_{\text{Zk}}\) sont des coefficients réels constants caractéristiques de la fonction de forme considérée.

Les 6 premières fonctions de forme sont associées à la direction \(Y\) et \({A}_{\text{Zk}}\) , \({B}_{\text{Zk}}\) , \({C}_{\text{Zk}}\) , \({D}_{\text{Zk}}\) sont donc nuls, pour \(1\le k\le 6\) .

Les 6 dernières fonctions de forme sont associées à la direction \(Z\) et \({A}_{\text{Yk}}\) , \({B}_{\text{Yk}}\) , \({C}_{\text{Yk}}\) , \({D}_{\text{Yk}}\) sont donc nuls, pour \(7\le k\le 12\) .

Cette famille de fonctions de forme est donc caractérisée par \(5\times 12=60\) coefficients réels.

L’excitation turbulente identifiée sur la maquette GRAPPE1 est homogène dans les deux directions orthogonales à l’axe de la structure filaire, la turbulence étant décorrélée entre ces deux directions.

La matrice interspectrale \(\left[{\mathrm{S\alpha }}_{k}{\alpha}_{l}\right]\) identifiée sur la maquette GRAPPE1 est donc une matrice de dimension \(12\times 12\) , constituée de deux blocs diagonaux identiques de dimension 6:

\(\left[{\mathrm{S\alpha }}_{k}{\alpha}_{l}\right]=\left[\begin{array}{cc}\left[{S}_{o}(\omega )\right]& \left[0\right]\\ \left[0\right]& \left[{S}_{o}(\omega )\right]\end{array}\right]\)

Par propriété de symétrie hermitique, cette matrice est entièrement définie par la donnée de la partie triangulaire supérieure (ou inférieure) de \(\left[{S}_{o}(\omega )\right]\) , soit 21 interspectres. Pour chacun d’entre eux, les paramètres caractéristiques sont le niveau de plateau, la fréquence de coupure et la pente du spectre au-delà de cette fréquence.

La matrice interspectrale d’excitation turbulente identifiée sur la maquette GRAPPE1 est donc caractérisée par 63 coefficients réels (\(3\times 21\) ).

Remarque:

Les excitations GRAPPE1 sont disponibles à deux débits de référence. L’ensemble des données caractérisant ces excitations représente donc* **246 coefficients réels ( \([60+63]\times 2\) **).*

Projection de l’excitation sur base modale#

On note:

\({\phi }_{i}(x)=(\begin{array}{c}{\text{DY}}_{i}(x)\\ {\text{DZ}}_{i}(x)\end{array})\) la \(i\) -éme déformée modale de la structure.

Soient \({\beta}_{\text{ik}}\) les coordonnées de la \(i\) -éme déformée modale de la structure sur la base des fonctions de forme \({\varphi}_{k}(x)\) :

\({\phi }_{i}(x)=\sum_{k=1}^{K}{\beta}_{\text{ik}}\cdot {\varphi}_{k}(x)\) éq 2.3.3.3-1

Les interspectres d’excitations modales \({S}_{{Q}_{i}{Q}_{j}}(\omega )\) appliquées à la structure s’écrivent alors:

\({S}_{{Q}_{i}{Q}_{j}}(\omega )=\sum_{k=1}^{K}\sum_{k=1}^{K}{\beta}_{\text{ik}}\cdot {\beta}_{\text{jl}}\cdot {S}_{{\alpha}_{k}{\alpha}_{l}}(\omega )\) éq 2.3.3.3-2

Pour chaque mode \(i\) de la structure, les coefficients \({\beta}_{\text{ik}}\) sont déterminés en intégrant l’équation [éq2.3.3.3-1] prémultipliée par les fonctions \({\varphi}_{j}\) , sur le domaine d’application de l’excitation. On obtient ainsi:

\(\underset{{x}_{0}-L/2}{\overset{{x}_{0}+L/2}{\int}}{\varphi}_{j}(x+L/2)\cdot {\phi }_{i}(x)\cdot \text{dx}=\sum_{k=1}^{K}{\beta}_{\text{ik}}\cdot \underset{{x}_{0}-L/2}{\overset{{x}_{0}+L/2}{\int}}{\varphi}_{j}(x+L/2)\cdot {\varphi}_{k}(x+L/2)\cdot \text{dx}\)

\(\begin{array}{cc}\underset{{x}_{0}-L/2}{\overset{{x}_{0}+L/2}{\int}}{\varphi}_{j}(x+L/2)\cdot {\phi }_{i}(x)\cdot \text{dx}=\sum_{k=1}^{K}{\beta}_{\text{ik}}\cdot \underset{0}{\overset{L}{\int}}{\varphi}_{j}(x)\cdot {\varphi}_{k}(x)\cdot \text{dx}& \forall (i,j)\end{array}\) éq 2.3.3.3-3

Pour chaque \(i\) , l’équation [éq 2.3.3.3-3] s’écrit sous forme matricielle:

\(\left[\begin{array}{c}{a}_{\text{jk}}\end{array}\right]\cdot ({\beta}_{\text{ik}})=({b}_{ij})\) éq 2.3.3.3-4

avec:

\({a}_{\text{jk}}=\underset{0}{\overset{L}{\int}}{\varphi}_{j}(x)\cdot {\varphi}_{k}(x)\cdot \text{dx}\)

soit:

\({a}_{\text{jk}}=\underset{0}{\overset{L}{\int}}({\varphi}_{\text{Yj}}(x)\cdot {\varphi}_{\text{Yk}}(\varphi )+{\varphi}_{\text{Zj}}(x)\cdot {\varphi}_{\text{Zk}}(x))\cdot \text{dx}\)

et

\({b}_{ij}=\underset{{x}_{0}-L/2}{\overset{{x}_{0}+L/2}{\int}}{\varphi}_{j}(x+L/2)\cdot {\phi }_{i}(x)\cdot \text{dx}\)

soit:

\({b}_{ij}=\underset{{x}_{0}-L/2}{\overset{{x}_{0}+L/2}{\int}}({\text{DY}}_{i}(x)\cdot {\varphi}_{\text{Yj}}(x+L/2)+{\text{DZ}}_{i}(x)\cdot {\varphi}_{\text{Zj}}(x+L/2))\cdot \text{dx}\)

La résolution de chacun des systèmes d’équations linéaires conduit aux \({\beta}_{\text{ik}}\) .

Le calcul des produits scalaires s’effectue dans l’opérateur PROJ_SPEC_BASE [U4. 63.14].

Remarques:

  1. Les fonctions \({\varphi}_{k}(x)\) représentent, en pratique, les déformées modales relevées sur la maquette. Le système (),à diagonale prépondérante, est donc bien conditionné. En particulier, lorsque la structure filaire maquette a une masse linéique homogène, les fonctions \({\varphi}_{k}(x)\) sont orthogonales et la matrice \(\left[\begin{array}{c}{a}_{\text{jk}}\end{array}\right]\) est diagonale.

  2. Des tests comparant le domaine d’application de l’excitation au domaine de définition de la structure sont effectués.

Modèle d’excitation turbulente localisée#

Mots-clés#

Le mot-clé facteur SPEC_EXCI_POINT de l’opérateur DEFI_SPEC_TURB [U4.44.31] s’utilise dans le cas d’un spectre d’excitation associé à une ou plusieurs forces et moments ponctuels. L’utilisateur peut définir le spectre en fournissant:

  • une matrice interspectrale d’excitations (le concept [interspectre] associé doit être généré en amont),

  • la liste des nœuds d’application de ces excitations,

  • la nature de l’excitation appliquée en chacun de ces nœuds (force ou moment),

  • les directions d’application des excitations ainsi définies.

Il peut également utiliser un spectre de turbulence prédéfini, identifié sur la maquette GRAPPE2.

Fondements#

Le modèle d’excitation turbulente localisée est un cas particulier du modèle d’excitation turbulente répartie. Ainsi, on suppose de même qu’en paragraphe [§2.3.2] que la densité linéique instantanée des forces turbulentes \({f}_{t}(x,t)\) peut être décomposée sur une famille de fonctions de forme \({\varphi}_{k}(x)\) de la façon suivante:

\({f}_{t}(x,t)=\sum_{k=1}^{K}{\varphi}_{k}(x){\alpha}_{k}(t)\) éq 2.4.2-1

Les coefficients \({\alpha}_{k}(t)\) définissent à chaque instant la décomposition de l’excitation turbulente sur la famille de fonctions de forme.

La densité interspectrale d’excitation turbulente entre deux points de la structure filaire d’abscisses \({x}_{1}\) et \({x}_{2}\) s’écrit alors:

\({S}_{f}({x}_{1},{x}_{2},\omega )=\sum_{k=1}^{K}\sum_{l=1}^{K}{\varphi}_{k}({x}_{1})\cdot {\varphi}_{l}({x}_{2})\cdot {S}_{{\alpha}_{k}{\alpha}_{l}}(\omega )\) éq 2.4.2-2

La particularité du modèle d’excitation turbulente localisée tient à la spécificité des fonctions de forme \({\varphi}_{k}(x)\) :

\({\varphi}_{k}(x)=\delta (x-{x}_{k})\) permet de représenter une force ponctuelle appliquée au point d’abscisse \({x}_{k}\)

\({\varphi}_{k}(x)={\delta}^{'}(x-{x}_{k})\) permet de représenter un moment ponctuel appliqué au point d’abscisse \({x}_{k}\)

\(\delta (x-{x}_{k})\) et \({\delta}^{'}(x-{x}_{k})\) désignent respectivement la distribution de Dirac et la dérivée de la distribution de Dirac au point d’abscisse \({x}_{k}\) .

Compte tenu de la spécificité des fonctions de forme, la projection d’une excitation turbulente localisée sur base modale est beaucoup plus simple que dans le cas général (excitation répartie), puisque l’on peut calculer analytiquement l’expression de l’excitation projetée.

Mise en équations#

Application d’une excitation turbulente localisée#

On considère une excitation turbulente appliquée à une structure filaire et constituée de forces et de moments ponctuels. Cette excitation est entièrement caractérisée par les données suivantes:

  • liste des nœuds d’application des forces et moments ponctuels,

  • nature de l’excitation appliquée en chaque nœud (force ou moment),

  • direction de l’excitation appliquée en chaque nœud.

\(\text{Ainsi}{f}_{t}(x,t)=\sum_{k=1}^{K}{F}_{k}(s)\cdot \delta (x-{x}_{k})\cdot {n}_{k}-\sum_{m=1}^{M}{M}_{m}(s)\cdot {\delta}^{'}(x-{x}_{m})\cdot {n}_{m}\) éq 2.4.3.1-1

est l’expression d’une excitation turbulente localisée, caractérisée par \(K\) forces et \(M\) moments ponctuels, appliqués respectivement aux nœuds d’abscisses \({x}_{k}\) et \({x}_{m}\) dans les directions \({n}_{k}\) et \({\overrightarrow{n}}_{m}\) .

On a: \({n}_{k}=(\begin{array}{c}0\\ \cos\cdot ({\theta}_{k})\\ \sin\cdot ({\theta}_{k})\end{array})\) et \({n}_{m}\) défini de manière analogue.

\(\theta\) représente l’azimut donnant la direction d’application de la force (ou du moment) dans le plan \(P\) orthogonal à la fibre neutre au nœud d’application, tel que défini dans la figure [Figure 2.4.3.1-a] ci‑dessous:

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Figure 2.4.3.1-a: Définition de la direction d’application

L’excitation généralisée associée au \(i\) ème mode de la structure, \({Q}_{i}(s)\) , étant définie par:

\({Q}_{i}(s)=\underset{0}{\overset{L}{\int}}{\phi }_{i}(x)\cdot {f}_{t}(x,t)\cdot \text{dx}\) éq 2.4.3.1-2

où \(L\) représente la longueur de la poutre et \({\phi }_{i}(x)\) la déformée du mode \(i\) , on obtient, compte tenu de l’expression [éq 2.4.3.1-1]:

\({Q}_{i}(s)=\sum_{k=1}^{K}{F}_{k}(s)\cdot {\phi }_{i}({x}_{k})\cdot {n}_{k}-\sum_{m=1}^{M}{M}_{m}(s)\cdot {\phi }_{i}({x}_{k})\cdot {n}_{m}\) éq 2.4.3.1-3

Le calcul des interspectres d’excitations modales conduit alors à:

\(\begin{array}{c}{S}_{{Q}_{i}{Q}_{j}}(s)=\sum_{{k}_{1}=1}^{K}\sum_{{k}_{2}=1}^{K}{S}_{{F}_{{k}_{1}}{F}_{{k}_{2}}(s)}({\phi }_{i}({x}_{{k}_{1}}).{n}_{{k}_{1}}).({\phi }_{j}({x}_{{k}_{2}}).{n}_{{k}_{2}})\\ +\sum_{{k}_{1}=1}^{K}\sum_{{m}_{2}=1}^{M}{S}_{{F}_{{k}_{1}}{M}_{{m}_{2}}(s)}({\phi }_{i}({x}_{{k}_{1}}).{n}_{{k}_{1}}).({\phi }_{{j}^{¢}}({x}_{{m}_{2}}).{n}_{{m}_{2}})\\ +\sum_{{m}_{1}=1}^{M}\sum_{{k}_{2}=1}^{K}{S}_{{M}_{{m}_{1}}{F}_{{k}_{2}}(s)}({\phi }_{i}^{'}({x}_{{m}_{1}}).{n}_{{m}_{1}}).({\phi }_{j}({x}_{{k}_{2}}).{n}_{{k}_{2}})\\ +\sum_{{m}_{1}=1}^{M}\sum_{{m}_{2}=1}^{M}{S}_{{M}_{{m}_{1}}{M}_{{m}_{2}}(s)}({\phi }_{i}^{'}({x}_{{m}_{1}}).{n}_{{m}_{1}}).({\phi }_{{j}^{¢}}({x}_{{m}_{2}}).{n}_{{m}_{2}})\end{array}\) éq 2.4.3.1-4

Remarque:

Lorsque l’utilisateur définit le spectre d’excitation turbulente, il doit renseigner la matrice interspectrale des excitations ponctuelles dont les termes interviennent ci-dessus. Cette matrice a pour dimension \(K+M\) (nombre de forces et moments ponctuels appliqués).

Excitation turbulente identifiée sur la maquette GRAPPE2#

L’excitation turbulente identifiée sur la maquette GRAPPE2 est représentée par une force et un moment résultants, appliqués en un même nœud suivant les deux directions orthogonales à l’axe de la structure. La densité linéique de cette excitation a pour expression:

\({f}_{t}(x,s)=\frac{1}{2}{\mathrm{\rho U}}^{2}{D}_{h}\left[{L}_{p}\cdot {F}_{t}({s}_{r})\cdot \delta (x-{x}_{0})-{L}_{p}^{2}\cdot {M}_{t}({s}_{r})\cdot {\delta}^{'}(x-{x}_{0})\right](\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array})\) éq 2.4.3.2-1

Où \(\rho\) est la masse volumique du fluide, \(U\) est la vitesse moyenne de l’écoulement, \({D}_{h}\) est le diamètre hydraulique, \({L}_{p}\) est l’épaisseur de la plaque de logement (correspondant à la longueur excitée), \({x}_{0}\) est l’abscisse du point d’application de l’excitation, \({s}_{r}=\frac{s\cdot D}{U}\) est la fréquence complexe réduite, \({F}_{t}({s}_{r})\) et \({M}_{t}({s}_{r})\) sont les coefficients adimensionnels représentant la force et le moment résultants.

Les grandeurs \(\rho\) , \(U\) , \({D}_{h}\) et \({L}_{p}\) permettent de dimensionner l’excitation.

En substituant l’expression [éq 2.4.3.2-3] dans la relation [éq 2.4.3.1-4] définissant l’excitation modale \({Q}_{i}(s)\) , on obtient:

\({Q}_{i}(s)=\frac{1}{2}{\mathrm{\rho U}}^{2}{D}_{h}\left[{L}_{p}\cdot {F}_{t}({s}_{r})\cdot {\phi }_{i}({x}_{0})\cdot (\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array})+{L}_{p}^{2}\cdot {M}_{t}({s}_{r})\cdot {\phi }_{i}^{'}({x}_{0})\cdot (\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array})\right]\) éq 2.4.3.2-2

La force et le moment ponctuels identifiés sur la maquette GRAPPE2 étant décorrélés, le calcul des interspectres d’excitations modales conduit finalement à:

\(\begin{array}{cc}{S}_{{Q}_{i}{Q}_{j}}={(\frac{1}{2}{\mathrm{\rho U}}^{2}{D}_{h})}^{2}\frac{D}{U}\cdot & [:ref:`{L}_{p}^{2}\cdot {\phi }_{i}({x}_{0})\cdot (\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array})´{\phi }_{j}({x}_{0})\cdot (\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array})\cdot {S}_{{F}_{t}{F}_{t}}({s}_{r})\\ & +{L}_{p}^{4}\cdot {\phi }_{i}^{'}({x}_{0})\cdot (\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array})´{\phi }_{j}^{'}({x}_{0})\cdot (\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array})\cdot {S}_{{M}_{t}{M}_{t}}({s}_{r}) <{L}_{p}^{2}\cdot {\phi }_{i}({x}_{0})\cdot (\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array})´{\phi }_{j}({x}_{0})\cdot (\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array})\cdot {S}_{{F}_{t}{F}_{t}}({s}_{r})\\ & +{L}_{p}^{4}\cdot {\phi }_{i}^{'}({x}_{0})\cdot (\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array})´{\phi }_{j}^{'}({x}_{0})\cdot (\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array})\cdot {S}_{{M}_{t}{M}_{t}}({s}_{r})>\)]end{array}` éq 2.4.3.2-3

Dans cette expression, \(D\) est le diamètre extérieur de la structure, \({S}_{{F}_{t}{F}_{t}}({s}_{r})\) et \({S}_{{M}_{t}{M}_{t}}({s}_{r})\) représentent respectivement les autospectres adimensionnels de force et de moment identifiés sur la maquette GRAPPE2. L’opérateur PROJ_SPEC_BASE [U4.63.14] calcule les interspectres d’excitations modales suivant la relation [éq 2.4.3.2-3] ci-dessus.

Remarques:

1)

Les autospectres adimensionnels GRAPPE2 sont utilisables pour simuler le comportement de toute structure en similitude avec la maquette; on fait alors intervenir les paramètres géométriques caractéristiques de la structure pour dimensionner l’excitation. La maquette GRAPPE2 ayant été construite en similitude avec la configuration réacteur, les rapports suivants sont fixés et caractéristiques de cette géométrie : \(\frac{{D}_{h}}{D}\text{et}\frac{{L}_{p}}{D}\) On rappelle que \({D}_{h}\) et \(D\) désignent respectivement le diamètre hydraulique et le diamètre extérieur de la structure; \({L}_{p}\) est l’épaisseur de la plaque de logement, correspondant à la longueur excitée. La donnée de \(\rho\) , \(U\) et \(D\) est donc suffisante pour dimensionner de manière univoque l’excitation turbulente à partir des autospectres adimensionnels.

2)

Les autospectres adimensionnels \({S}_{{F}_{t}{F}_{t}}({s}_{r})\) et \({S}_{{M}_{t}{M}_{t}}({s}_{r})\) étant l’un et l’autre définis par trois coefficients réels (niveau de plateau, fréquence réduite de coupure et pente au-delà de cette fréquence), seules six constantes permettent de caractériser l’excitation turbulente adimensionnelle identifiée sur la maquette GRAPPE2. Quatre configurations ayant été étudiées (écoulement ascendant ou descendant, tige de commande centrée ou excentrée), l’ensemble des données caractérisant les excitations GRAPPE2 représente donc 24 coefficients réels.

Bibliographie#

    1. GAY, T. FRIOU: Résorption du logiciel FLUSTRU dans ASTER. HT32/93/002/B

    1. GRANGER, N. GAY: Logiciel FLUSTRU Version 3. Note de principe. HT32/93/013/B

    1. PEROTIN, M. LAINET: Intégration d’un modèle général d’excitation turbulente dans le Code_Aster : spécifications. HT32/96/003/A

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Version Aster

Auteur(s) Organisme(s)

Description des modifications

04/07/09

A. ADOBES, L. VIVAN (EDF-R&D/MFTT, CS)