v3.02.316 SSLP316 - Estimateur d’erreur sur une plaque fissurée avec X-FEM#
Résumé:
L’objectif de ce test est de valider l’estimateur d’erreur en norme de l’énergie basé sur les résidus d’équilibre dans le cadre X-FEM. Les conditions de type Neumann et Dirichlet sont traitées.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Conditions aux limites de Dirichlet#
Le champ de contrainte analytique correspondant au problème de la plaque fissurée infinie soumise au mode I s’écrit [1] :
\({\sigma}_{\mathit{XX}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi r}}{K}_{I}\cos\frac{\theta}{2}(1-\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{3\theta }{2})\) , \({\sigma}_{\mathit{YY}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi r}}{K}_{I}\cos\frac{\theta}{2}(1+\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{3\theta }{2})\) et \({\sigma}_{\mathit{XY}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi r}}{K}_{I}\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{3\theta }{2}\) .
Avec \({K}_{I}=1.0\) , on a:
\({\sigma}_{\mathit{XX}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi r}}\cos\frac{\theta}{2}(1-\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{3\theta }{2})\) , \({\sigma}_{\mathit{YY}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi r}}\cos\frac{\theta}{2}(1+\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{3\theta }{2})\) et \({\sigma}_{\mathit{XY}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi r}}\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{3\theta }{2}\) .
Conditions aux limites de Neumann#
Sachant que \(\nu =0.0\) et que la pression imposée est constante, le champ de contrainte correspond simplement à la pression imposée:
\({\sigma}_{\mathit{XX}}=-P=20\mathit{MPa}\) , \({\sigma}_{\mathit{YY}}=0\mathit{MPa}\) et \({\sigma}_{\mathit{XY}}=0\mathit{MPa}\) .
Grandeurs et résultats de référence#
On compare le champ de contraintes SIGM_ELNO calculé aux nœuds par l’opérateur CALC_ERREUR et on vérifie par des non régressionsqu’ils correspondent bien au champ SIEF_ELNO calculé par l’opérateur CALC_CHAMP.
On teste également le champ de contraintes calculé aux nœuds des sous-éléments X-FEM.
Enfin on teste le champ d’estimation de l’erreur en résidu [2] .
Conditions aux limites de Dirichlet#
Sachant que le raffinement du maillage sera insuffisant pour capter la variation de contrainte asymptotique en fond de fissure, le calcul de l’indicateurd’erreur qui se base sur ces variations numériques n’est pas en mesure de faire une bonne estimation de l’erreur. On décide donc d’appliquer des tests de non régression.
Conditions aux limites de Neumann#
Les contraintes sont constantes dans la plaque. La solution étant P0, l’erreur numérique doit être nulle. L’erreur estimée doit également être nulle.
Références bibliographiques#
IRWIN, « Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate », Journal of Applied Mechanics 24, 361-364, 1957.
Document R4.10.02, Estimateur d’erreur en résidu, manuel de Référence de Code_Aster .
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation C_PLAN.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 121 éléments de type QUAD4.
Grandeurs testées et résultats#
On teste les contraintes maximaleset minimalessur laplaque pour le champ SIEF_ELNO:
Identification |
Type de référence |
\(\mathit{MAX}\) - \(\mathit{SIXX}\) |
“NON_REGRESSION” |
\(\mathit{MIN}\) - \(\mathit{SIXX}\) |
“NON_REGRESSION” |
\(\mathit{MAX}\) - \(\mathit{SIXY}\) |
“NON_REGRESSION” |
\(\mathit{MIN}\) - \(\mathit{SIXY}\) |
“NON_REGRESSION” |
On teste les contraintes maximales et minimales sur la plaque pour le champ SIGM_ELNO calculé en souterrain par l’opérateur CALC_ERREUR:
Identification |
Type de référence |
\(\mathit{MAX}\) - \(\mathit{SIXX}\) |
“NON_REGRESSION” |
\(\mathit{MIN}\) - \(\mathit{SIXX}\) |
“NON_REGRESSION” |
\(\mathit{MAX}\) - \(\mathit{SIXY}\) |
“NON_REGRESSION” |
\(\mathit{MIN}\) - \(\mathit{SIXY}\) |
“NON_REGRESSION” |
On teste les contraintes minimumset maximums sur la plaque du champ SISE_ELNO (nœud des sous-éléments X-FEM) calculé en souterrain par l’opérateur CALC_ERREUR:
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Précision |
\(\mathit{MAX}\) - \(X4\) |
“NON_REGRESSION” |
0.812078942873 MPa |
1E-04% |
\(\mathit{MIN}\) - \(X4\) |
“NON_REGRESSION” |
-0.510118026455 MPa |
1E-04% |
Enfin on teste le champ pour l’estimateur d’erreur ERME_ELEM:
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Précision |
\(\mathit{MAX}\) - \(\mathit{ERREST}\) |
“NON_REGRESSION” |
0.000698457464821 |
1E-04% |
\(\mathit{MIN}\) - \(\mathit{ERREST}\) |
“NON_REGRESSION” |
3.49704197058E-06 |
1E-04% |
Remarques#
Les contraintes obtenues calculées aux nœuds du maillage par CALC_ERREUR et par CALC_CHAMP sont bien les mêmes.
Le champ de contraintes est résolu aux points de Gauss:
Le lissage fait par le calcul des contraintes aux nœuds introduit des erreurs qui conduisent l’opérateur CALC_ERREURàsous-estimerl’erreur du champ asymptotique en fond de fissure.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation D_PLAN.
Caractéristiques du maillage#
On utilise le même maillage que pour la modélisation A.
Grandeurs testées et résultats#
On teste les contraintes minimumset maximums sur laplaque pour le champ SIEF_ELNO calculé par l’opérateur CALC_CHAMP:
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Précision |
\(\mathit{MAX}\) - \(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
20.0MPa |
5E-3% |
\(\mathit{MIN}\) - \(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
20.0 MPa |
5E-3% |
\(\mathit{MAX}\) - \(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
0.0MPa |
0.05 |
\(\mathit{MIN}\) - \(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
0.0MPa |
0.05 |
On teste les contraintes minimumset maximums sur la plaque pour le champ SIGM_ELNO calculé en souterrain par l’opérateur CALC_ERREUR:
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Précision |
\(\mathit{MAX}\) - \(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
20.0MPa |
5E-3% |
\(\mathit{MIN}\) - \(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
20.0 MPa |
5E-3% |
\(\mathit{MAX}\) - \(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
0.0MPa |
0.05 |
\(\mathit{MIN}\) - \(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
0.0MPa |
0.05 |
On teste les contraintes minimumset maximums sur la plaque du champ SISE_ELNO (nœud des sous-éléments X-FEM) calculé en souterrain par l’opérateur CALC_ERREUR:
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Précision |
\(\mathit{MAX}\) - \(X4\) |
“ANALYTIQUE” |
0.0MPa |
0.05 |
\(\mathit{MIN}\) - \(X4\) |
“ANALYTIQUE” |
0.0MPa |
0.05 |
Enfin on teste le champ pour l’estimateur d’erreur ERME_ELEM:
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Précision |
\(\mathit{MAX}\) - \(\mathit{ERREST}\) |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
1E-04 |
\(\mathit{MIN}\) - \(\mathit{ERREST}\) |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
1E-04 |
Remarques#
Les contraintes obtenues calculées aux nœuds du maillage par CALC_ERREUR et par CALC_CHAMP sont bien les mêmes.
Le calcul de l’erreur tient bien compte des efforts de pression appliqués sur le bord droit. On obtient une estimation de l’erreur nulle (à l’erreur numérique près).
Synthèse des résultats#
Les modélisations A et B permettent bien de couvrir les opérateurs de calcul de l’estimateur d’erreur en résidu mécanique dans le cadre X-FEM.
Il faut cependant faire attention quant à l’interprétation de ces estimations en fond de fissure. La méthode de ré-interpolation aux nœuds et aux nœuds des sous-éléments d’intégration ne semble pas convaincante pour bien estimer l’erreur des champs asymptotiques.