v3.03.137 SSLS137 - Plaque de béton précontraint avec un câble excentré en flexion#
Résumé:
Ce test a pour but de valider la macro-commande CALC_PRECONT pour les éléments coques. La solution de référence est établie à partir de la théorie des poutres. La première modélisation est faite avec des éléments \(\mathrm{3D}\) et visent à valider l’utilisation de la théorie des poutres comme référence. Deux modélisations de coques sont ensuite proposées (DKT et Q4GG) ainsi que deux types de mailles différentes (TRIA3, QUAD4) pour chaque modélisation. Enfin, la modélisation F reprend la modélisation D en remplaçant la loi de comportement élastique du béton par la loi de comportement non linéaire GLRC_DAMAGE.
Solution de référence#
Pour chaque modélisation, l’objectif est de retrouver la bonne tension initiale de précontrainte du câble après l’application de CALC_PRECONT mais aussi de déterminer le déplacement maximal de la plaque au nœud \(D\) suivant l’axe \(z\) après application de la pression.
Résultats de référence#
Pour déterminer le déplacement maximal, on utilise la théorie des poutres travaillant en flexion. Pour une poutre encastrée à une extrémité et libre de l’autre sous chargement réparti, le déplacement maximal à l’extrémité libre appelé flèche, est donné par:
\(f=-\frac{{\mathit{qL}}^{4}}{\mathrm{8EI}}\)
\(q\) : la force répartie en \(N/m\) .
\(L\) : la longueur de la poutre en \(m\) .
\(E\) : le module de Young de la plaque, donc du béton en \(\mathit{Pa}\) .
\(I=\frac{{t}^{3}l}{12}\) : le moment quadratique de la poutre par rapport à l’axe y en \({m}^{4}\) .
Pour la force de pression:
Grâce à son excentrement, le câble participe à la rigidité du modèle:
\({(\mathit{EI})}_{\mathit{eq}}={E}_{b}\frac{{t}^{3}l}{12}+{E}_{a}{a}_{x}l\times {e}_{z}^{2}\)
\({a}_{x}=\frac{A}{\mathit{dx}}\) : est le taux de ferraillage.
\({(\mathit{EI})}_{\mathit{eq}}=13.50{\mathit{MN.m}}^{2}\)
La flèche sous le chargement de pression se calcule ainsi:
\({f}_{p}=\frac{-{P}_{0}l\times {L}^{4}}{8{(\mathit{EI})}_{\mathit{eq}}}\)
Alors:
\({f}_{p}=-\mathrm{0.118552m}\)
Pour la mise en tension du câble de précontrainte:
Le câble mis en tension applique alors un effort de compression \(-{F}_{0}\) et un moment fléchissant \(-{e}_{z}{F}_{0}\) sur l’extrémité libre de la plaque.
Avec le principe de superposition, l’expression de la contrainte normale est:
\({\sigma}_{x}=\frac{-{F}_{0}}{\mathit{tl}}(1+\frac{12{e}_{z}z}{{t}^{2}})\)
Si on néglige les effets du coefficient de Poisson le champ de déplacement est donné par:
\(\lbrace \begin{array}{c}u(x,y,z)=\frac{-{F}_{0}}{{E}_{b}\mathit{tl}}(1+\frac{12{e}_{z}z}{{t}^{2}})x\\ v(x,y,z)=0\\ w(x,y,z)=\frac{{F}_{0}}{{E}_{b}\mathit{tl}}(\frac{6{e}_{z}}{{t}^{2}}{x}^{2})\end{array}\)
Les déplacements sont donnés à l’extrémité libre de la poutre au nœud \(D\) , soit en \((4,0.5,0)\) :
\(\lbrace \begin{array}{c}u(x,y,z)=-\mathrm{0.375mm}\\ v(x,y,z)=0\\ w(x,y,z)=\mathrm{16.875mm}\end{array}\)
Par superposition, le déplacement maximal théorique de la plaque précontrainte sous la force de pression est de:
\({f}_{\mathit{tot}}={f}_{p}+w\)
\({f}_{\mathit{tot}}=-\mathrm{0.101677m}\)
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: 3D
Type d’éléments finis: Hexaèdre (HEXA8), dimension de \(\mathrm{0.05m}\) pour la hauteur et de \(\mathrm{0.04m}\) pour la longueur et de \(\mathrm{0.04m}\) au maximum pour la largeur.
La plaque est découpée en 13 éléments sur sa largeur, en 100 sur sa longueur et en 4 sur son épaisseur.
L’armature en acier est modélisée par des éléments BARRE. Le câble est discrétisé en 101 éléments.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur du déplacement au nœud \(D\) suivant l’axe \(z\) .
Nœud |
Composante |
Valeur de référence ( \(m\) ) |
Précision |
\(D\) |
DZ |
\(-0.101677\) 0.000000 |
\(2.0E-2\) |
On teste aussi la tension dans plusieurs éléments du câble.
Maille |
Valeur de référence ( \(N\) ) |
Précision |
\(\mathit{M564}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
\(\mathit{M562}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
\(\mathit{M547}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: DKT
Type d’éléments finis: Quadrangle (QUAD4), dimension de \(\mathrm{0.1m}\) .
La plaque est alors découpée en 5 éléments sur sa largeur et en 40 sur sa longueur.
L’armature en acier est modélisée par des éléments BARRE. Le câble est discrétisé en 41 éléments étant donné que chaque nœud du câble se situe au milieu d’un élément quadrangle.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur du déplacement au nœud D suivant l’axe \(z\) .
Nœud |
Composante |
Valeur de référence ( \(m\) ) |
Précision |
\(D\) |
DZ |
\(-0.101677\) 0.000000 |
\(1.0E-2\) |
On teste aussi la tension dans plusieurs éléments du câble.
Maille |
Valeur de référence ( \(N\) ) |
Précision |
\(\mathit{M119}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
\(\mathit{M122}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
\(\mathit{M130}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: DKT
Type d’éléments finis: Triangle (TRIA3), dimension de \(\mathrm{0.1m}\) .
Deux éléments triangles sont créés à partir d’un élément quadrangle du modèle de la modélisation précédente.
La plaque est alors découpée en 5 éléments sur sa largeur et en 40 sur sa longueur.
L’armature en acier est modélisée par des éléments BARRE. Le câble est discrétisé en 41 éléments.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur du déplacement au nœud D suivant l’axe \(z\) .
Nœud |
Composante |
Valeur de référence ( \(m\) ) |
Précision |
\(D\) |
DZ |
\(-0.101677\) 0.000000 |
\(1.0E-2\) |
On teste aussi la tension dans plusieurs éléments du câble.
Maille |
Valeur de référence ( \(N\) ) |
Précision |
\(\mathit{M110}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
\(\mathit{M116}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
\(\mathit{M127}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: Q4GG
Type d’éléments finis: Quadrangle (QUAD4), dimension de \(\mathrm{0.1m}\) .
La plaque est alors découpée en 5 éléments sur sa largeur et en 40 sur sa longueur.
L’armature en acier est modélisée par des éléments BARRE. Le câble est discrétisé en 41 éléments.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur du déplacement au nœud \(D\) suivant l’axe \(z\) .
Nœud |
Composante |
Valeur de référence ( \(m\) ) |
Précision |
\(D\) |
DZ |
\(-0.101677\) 0.000000 |
\(1.0E-2\) |
On teste aussi la tension dans plusieurs éléments du câble.
Maille |
Valeur de référence ( \(N\) ) |
Précision |
\(\mathit{M119}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
\(\mathit{M122}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
\(\mathit{M130}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: Q4GG
Type d’éléments finis: Triangle (TRIA3), dimension de \(\mathrm{0.1m}\) .
Deux éléments triangles sont créés à partir d’un élément quadrangle du modèle de la modélisation précédente.
La plaque est alors découpée en 5 éléments sur sa largeur et en 40 sur sa longueur.
L’armature en acier est modélisée par des éléments BARRE. Le câble est discrétisé en 41 éléments.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur du déplacement au nœud \(D\) suivant l’axe \(z\) .
Nœud |
Composante |
Valeur de référence ( \(m\) ) |
Précision |
\(D\) |
DZ |
\(-0.101677\) 0.000000 |
\(1.0E-2\) |
On teste aussi la tension dans plusieurs éléments du câble.
Maille |
Valeur de référence ( \(N\) ) |
Précision |
\(\mathit{M110}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
\(\mathit{M116}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
\(\mathit{M127}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: Q4GG
Type d’éléments finis: Quadrangle (QUAD4), dimension de \(\mathrm{0.1m}\) .
La plaque est alors découpée en 5 éléments sur sa largeur et en 40 sur sa longueur. Elle est modélisée par la loi non linéaire GLRC_DAMAGE.
Le câble en acier est modélisé par des éléments BARRE. Le câble est discrétisé en 41 éléments.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur du déplacement au nœud \(D\) suivant l’axe \(z\) .
Nœud |
Composante |
Valeur de référence ( \(m\) ) |
Précision |
\(D\) |
DZ |
\(-0.101677\) 0.000000 |
\(1.0E-2\) |
On teste aussi la tension dans plusieurs éléments du câble.
Maille |
Valeur de référence ( \(N\) ) |
Précision |
\(\mathit{M119}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
\(\mathit{M122}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
\(\mathit{M130}\) |
\(3.75\times {10}^{5}\) |
\(1.0E-8\) |
Synthèse#
Les résultats obtenus avec la modélisation A correspondent bien à la solution analytique proposée à partir de la théorie des poutres . Cela valide donc le choix du modèle de poutre comme référence.
Dans les modélisations B à E (DKT et Q4GG), les valeurs des contraintes dans le câble en sortie de CALC_PRECONT sont bien celles attendues. D’autre part, les valeurs de flèche obtenues sont quasiment identiques à la solution analytique. On remarque que le pourcentage d’erreur est moins important avec la modélisation DKT pour ce cas d’étude, mais surtout que l’erreur sur la flèche est bien moindre qu’avec la modélisation \(\mathrm{3D}\) .
La modélisation F permet de valider que le calcul de précontrainte est correct lorsque le béton est modélisé par la loi GLRC_DAMAGE .
Ceci valide l’utilisation de la macro-commande CALC_PRECONT pour les coques.