v7.22.124 HSNV124 - Elément de volume en traction et température variables#
Résumé:
Ce test, proposé par l’IPSI pour la journée Phi2As du 30 Mars 2000 sur les comportements non linéaires permet de valider la bonne prise en compte de la variation des coefficients avec la température pour quatre modèles de comportement (écrouissage isotrope non linéaire, écrouissage cinématique linéaire, et deux types d’écrouissage cinématique non linéaire) en \(\mathrm{3D}\) .
Quatre modélisations permettent de valider chacun de ces comportements.
La solution de référence est analytique pour les trois premiers comportements, et les résultats seront comparés à ceux des autres participants à la journée Phi2as pour le quatrième.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence [bib1]#
Ecrouissage isotrope : analytique#
\(t=\mathrm{1s}\) ( \(T=0°C\) ) :
avec
soit
Chauffage: Déformation plastique maximum à \(t=\mathrm{1.45222s}\) (\(T=45.222°C\) ):
soit
Ensuite: la déformation plastique n’évolue plus.
Ecrouissage cinématique linéaire : analytique#
\(t=\mathrm{1s}\) ( \(T=0°C\) ) :
Chauffage: Déformation plastique constante jusqu’à \(t=356/316=\mathrm{1.12658s}\) (\(T=12.658°C\) ):
Ensuite, la déformation plastique diminue pour atteindre à \(t=\mathrm{2s}\) :
Ecrouissage cinématique non linéaire I : analytique#
\(t=\mathrm{1s}\) ( \(T=0°C\) ) :
avec \(A=\frac{C}{D}=100\) soit
Chauffage: Déformation plastique maximum à \(t=\mathrm{1.26011s}\) (\(T=26.011°C\) ):
soit
La déformation plastique n’évolue plus jusqu’à \({t}_{1}=\mathrm{1.98332s}\) (\({T}_{1}=98.332°C\) ) où on rencontre l’autre extrémité du domaine d’élasticité.
Ensuite: la déformation plastique diminue pour atteindre à \(t=\mathrm{2s}\) :
avec
soit
Ecrouissage cinématique non linéaire II#
Comparaison à la solution de référence proposée à la journée \({\Phi}^{2}\mathrm{As}\) . (résultat numérique obtenu avec 10 pas de temps), et comparaison aux résultats obtenus avec Code_Aster avec une discrétisation en temps très fine
Déformation plastique \(\mathrm{YY}\) |
Calcul fin Aster: 100 pas jusqu’à \(\mathrm{1.26s}\) , 100 pas entre 1.98 et 2s |
Référence \({\Phi}^{2}\mathrm{As}\) : Résultat pour 10 pas |
\(t=\mathrm{1s}\) |
2.1072 10–03 |
2.1072 10–03 |
\(\mathrm{1.26s}<t<\mathrm{1.98s}\) |
4.18947 10–03 |
4.38 10–03 |
\(t=\mathrm{2s}\) |
4.12131 10–03 |
4.32 10–03 |
Précision sur les résultats de référence#
On a une solution analytique pour les trois premiers comportements, l’incertitude est donc nulle. Elle est estimée à \(\text{4\%}\) pour le quatrième (écart entre le résultat pour 10 pas et celui pour 200 pas, la solution dépendant fortement de la discrétisation temporelle).
Références bibliographique#
IPSI: journée d’étude Phi2AS du 30 mars 2000 sur les comportements non linéaires des matériaux.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Comportement \(\mathrm{C1}\) : écrouissage isotrope, en \(\mathrm{3D}\) .Il est modélisé de deux façons:
soit à l’aide du comportement VMIS_ISOT_TRAC, avec des courbes de traction données tous les \(10°C\) , et interpolées pour chaque température, ce qui peut être imprécis,
soit à l’aide du comportement VMIS_CIN1_CHAB, en annulant l’écrouissage cinématique non linéaire, et en gardant uniquement l’écrouissage isotrope qui s’exprime justement sous la forme:
Il suffit de prendre alors: |
\({R}_{0}=\mathrm{SIGY}=200.\) -1.7.T |
\({R}_{I}=\mathrm{SIGY}+Q(T)=200.-\mathrm{1.7.T}+100.+\mathrm{1.7.T}=300\) |
|
\({C}_{I}={G}_{0}=0\) |
1 pas de temps entre \(t=\mathrm{0s}\) et \(t=\mathrm{1s}\) et 20 pas de temps entre \(t=\mathrm{1s}\) et \(t=\mathrm{2s}\) .
Caractéristiques du maillage#
Le maillage comporte une maille HEXA8.
Grandeurs testées et résultats#
Comportement VMIS_ISOT_TRAC:
Instant( \(s\) ) |
Déformation plastique selon \(Y\) |
Référence |
Aster |
\(\text{\%}\) différence |
\(t=1.\) |
\(\mathrm{EPYY}\) |
2.1072 10–03 |
2.1096 10–03 |
0.1 |
\(\mathrm{t1}=1.45\) |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.8108 10–03 |
4.8135E-03 |
0.056 |
2 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.8108 10–03 |
4.8135E-03 |
0.056 |
Comportement VMIS_CIN1_CHAB:
Instant( \(s\) ) |
Déformation plastique selon \(Y\) |
Référence |
Aster |
\(\text{\%}\) Différence |
||
\(\mathrm{t1}=1.\) |
\(\mathrm{EPYY}\) |
2.1072 10–03 |
2.1096 10–03 |
0.1 |
||
\(\mathrm{t1}=1.45\) |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.8108 10–03 |
4.81079 10–03 |
0.0001 |
||
2 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.8108 10–03 |
4.81079 10–03 |
0.0001 |
||
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Comportement \(\mathrm{C2}\) : écrouissage cinématique linéaire, en \(\mathrm{3D}\) . Il est modélisé de trois façons:
soit à l’aide du comportement VMIS_CINE_LINE, en prenant:
\(\text{D\_SIGM\_EPSI}=\mathrm{E.C}(T)/(E+C(T))\) avec \(C(T)=(1000+\mathrm{2990.T})\)
soit à l’aide du comportement VMIS_ECMI_LINE, en prenant:
\(\text{D\_SIGM\_EPSI}=\mathrm{E.C}(T)/(E+C(T))\) et la constante de Prager \(\mathrm{PRAG}=2/3C(T)\)
soit à l’aide du comportement VMIS_CIN1_CHAB, en gardant uniquement l’écrouissage cinématique linéaire : Il suffit de prendre alors: \({R}_{0}={R}_{I}=\mathrm{SIGY}\) , \(b=0\) , \({C}_{I}=C(T)\) , \({G}_{0}=0\)
Discrétisation temporelle:1 pas de temps entre \(t=\mathrm{0s}\) et \(t=\mathrm{1s}\) et 20 pas de temps entre \(t=\mathrm{1s}\) et \(t=\mathrm{2s}\) .
Caractéristiques du maillage#
Le maillage comporte une maille HEXA8.
Grandeurs testées et résultats#
Comportement VMIS_CINE_LINE:
Instant( \(s\) ) |
Déformation plastique selon \(Y\) |
Référence |
Aster |
% différence |
\(\mathrm{t1}=1.1\) |
\(\mathrm{EPYY}\) |
0.01 |
0.01 |
|
2 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
8.E–4 |
8.E–4 |
0 |
Comportement VMIS_ECMI_LINE:
Instant( \(s\) ) |
Déformation plastique selon \(Y\) |
Référence |
Aster |
% différence |
\(\mathrm{t1}=1.1\) |
\(\mathrm{EPYY}\) |
0.01 |
0.01 |
|
2 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
8.E–4 |
8.E–4 |
0 |
Comportement VMIS_CIN1_CHAB:
Instant( \(s\) ) |
Déformation plastique selon \(Y\) |
Référence |
Aster |
% différence |
\(\mathrm{t1}=1.1\) |
\(\mathrm{EPYY}\) |
0.01 |
0.01 |
|
2 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
8.E–4 |
8.E–4 |
0 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Comportement \(\mathrm{C3}\) : écrouissage cinématique non linéaire (\(I\) ) en \(\mathrm{3D}\) . Il est modélisé de deux façons:
soit à l’aide du comportement VMIS_CIN1_CHAB. Il suffit de prendre alors:
\({R}_{0}={R}_{I}=\mathrm{SIGY}\) , \(b=0\) , \({C}_{I}=C(T)=(100+\mathrm{1.7.T})(50+\mathrm{2.T})\) , \({G}_{0}=50\)
soit à l’aide du comportement VMIS_CIN2_CHAB, en choisissant les paramètres de telle façon que les deux variables cinématiques soient identiques : Il suffit de prendre alors:
\({R}_{0}={R}_{I}=\mathrm{SIGY}\) , \(b=0\) , \({\mathrm{C1}}_{I}={\mathrm{C2}}_{I}=C(T)/2\) , \({\mathrm{G1}}_{0}={\mathrm{G2}}_{0}=50\)
Discrétisation temporelle: 20 pas de temps entre \(t=\mathrm{0s}\) et \(t=\mathrm{1s}\) et 60 pas de temps entre \(t=\mathrm{1s}\) et \(t=\mathrm{2s}\) .
Caractéristiques du maillage#
Le maillage comporte une maille HEXA8.
Grandeurs testées et résultats#
Comportement VMIS_CIN1_CHAB:
Instant(s) |
Déformation plastique selon \(Y\) |
Référence |
Aster |
% différence |
1 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
2.1072 10–03 |
2.113 10–03 |
0.27 |
1.26 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.0729 10–03 |
4.0875 10–03 |
0.36 |
1.98 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.0729 10–03 |
4.0875 10–03 |
0.36 |
2 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.0372 10–03 |
3.978 10–03 |
1.46 |
Comportement VMIS_CIN2_CHAB:
Instant(s) |
Déformation plastique selon \(Y\) |
Référence |
Aster |
% différence |
1 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
2.1072 10–03 |
2.113 10–03 |
0.27 |
1.26 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.0729 10–03 |
4.0875 10–03 |
0.36 |
1.98 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.0729 10–03 |
4.0875 10–03 |
0.36 |
2 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.0372 10–03 |
3.978 10–03 |
1.46 |
Remarque#
L’écart avec la solution de référence vient de la discrétisation temporelle. En raffinant davantage, la solution se rapproche de la solution analytique. On a choisi un compromis entre une discrétisation temporelle raisonnable en temps calcul et néanmoins assez précise.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Comportement \(\mathrm{C4}\) : écrouissage cinématique non linéaire (\(\mathrm{II}\) ) en \(\mathrm{3D}\) . Il est modélisé de deux façons:
soit à l’aide du comportement VMIS_CIN1_CHAB. Il suffit de prendre alors:
\({R}_{0}={R}_{I}=\mathrm{SIGY}\) , \(b=0\) , \({C}_{I}=C(T)=(100+\mathrm{1.7.T})(50+\mathrm{2.T})\) , \({G}_{0}=D(T)\)
soit à l’aide du comportement VMIS_CIN2_CHAB, en choisissant les paramètres de telle façon que les deux variables cinématiques soient identiques : Il suffit de prendre alors:
\({R}_{0}={R}_{I}=\mathrm{SIGY}\) , \(b=0\) , \({\mathrm{C1}}_{I}={\mathrm{C2}}_{I}=C(T)/2\) , \({\mathrm{G1}}_{0}={\mathrm{G2}}_{0}=D(T)\)
Discrétisation temporelle: 40 pas de temps entre \(t=\mathrm{0s}\) et \(t=\mathrm{1s}\) et 30 pas de temps entre \(t=\mathrm{1s}\) et \(t=\mathrm{2s}\) .
Caractéristiques du maillage#
Le maillage comporte une maille HEXA8.
Grandeurs testées et résultats#
Comportement VMIS_CIN1_CHAB:
Instant(s) |
Déformation plastique selon \(Y\) |
Référence |
Aster |
% différence |
1 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
2.1072 10–03 |
2.11 10–03 |
0.14 |
1.26 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.18947 10–03 |
4.231 10–03 |
0.99 |
1.98 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.18947 10–03 |
4.231 10–03 |
0.99 |
2 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.12131 10–03 |
4.163 10–03 |
1.00 |
Comportement VMIS_CIN2_CHAB:
Instant(s) |
Déformation plastique selon \(Y\) |
Référence |
Aster |
% différence |
1 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
2.1072 10–03 |
2.11 10–03 |
0.14 |
1.26 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.18947 10–03 |
4.231 10–03 |
0.99 |
1.98 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.18947 10–03 |
4.231 10–03 |
0.99 |
2 |
\(\mathrm{EPYY}\) |
4.12131 10–03 |
4.163 10–03 |
1.00 |
Remarque#
L’écart avec la solution de référence (obtenue pour une discrétisation temporelle très fine) vient de la discrétisation temporelle. On a choisi ici un compromis entre une discrétisation temporelle raisonnable en temps calcul et néanmoins assez précise.
Synthèse des résultats#
Ce test permet de mettre en évidence les effets de variation des coefficients des comportements élastoplastiques avec la température.
Les résultats sont identiques à la solution analytique pour l’écrouissage cinématique linéaire (où la solution ne dépend pas de la discrétisation temporelle). Pour les autres comportements, la précision est moins bonne (écart inférieur à \(\text{1.5\%}\) ) car la solution dépend fortement de la discrétisation temporelle choisie.
Ce test permet donc de valider l’intégration des comportements VMIS_ISOT_TRAC, VMIS_CINE_LINE, VMIS_ECMI_LINE, VMIS_CIN1_CHAB, et VMIS_CIN2_CHAB par rapport à la variation des coefficients avec la température.