r5.03.37 Homogénéisation de structures hétérogènes périodiques

Résumé:

On expose les hypothèses et les méthodes employées dans la commande [CALC_MATE_HOMO] qui effectue le calcul des propriétés thermiques et thermoélastiques linéaires homogénéisées pour des structures hétérogènes périodiques à pas rectangulaire avec des cellules de base possédant des symétries par rapport à des plans orthogonaux dans l’espace cartésien. Le cas à symétrie hexagonale peut aussi être traité. On se place dans le cadre de l’homogénéisation tridimensionnelle des solides hétérogènes et aussi dans celui de l’homogénéisation en théorie des plaques hétérogènes.

On obtient une table des coefficients thermiques et thermoélastiques linéaires homogénéisés qu’on pourra employer pour définir des matériaux équivalents orthotropes, qui peuvent être paramétrés par des variables de commande, comme la température ou l’irradiation.

Tous les champs de correcteurs thermiques et thermoélastiques sont aussi produits, afin de permettre une exploitation ultérieure en vue de reconstituer la solution complète localisée à l’échelle microscopique à partir de la solution macroscopique.

Hypothèses

On présente les hypothèses admises dans le traitement proposé par la commande [CALC_MATE_HOMO]. Le solide hétérogène tridimensionnel étudié peut être :

• de dimensions quelconques dans les trois directions spatiales : on réalise alors une homogénéisation tridimensionnelle, cf. [Voldoire2008], [Voldoire1994].

• élancé, avec une dimension faible devant les deux autres, de type plaque ou coque mince : on réalise alors une homogénéisation dans le cadre de la théorie des plaques hétérogènes, en cinématique de Love-Kirchhoff, en flexion-membrane, cf. [Voldoire1994], [Andrieux1987].

La « cellule de base » tridimensionnelle, ou aussi « volume élémentaire représentatif », correspond à un motif de périodicité à pas rectangulaire, constituant la géométrie du solide hétérogène étudié:

• dans les trois directions spatiales, pour une homogénéisation tridimensionnelle. Le maillage de la cellule de base tridimensionnelle est constitué de mailles tridimensionnelles, sur lesquelles seront affectées des éléments finis massifs isoparamétriques P1 ou P2. Comme on se restreint au cas de symétries par rapport aux plans du référentiel spatial, le maillage se limite à l’octant de la cellule de base \((X>0,Y>0,Z>0)\) ;

• dans deux directions spatiales, et sur la demi-épaisseur de la plaque, selon la troisième direction spatiale (\(Z\)), pour une homogénéisation de type plaque ou coque. Le maillage de la cellule de base est constitué de mailles tridimensionnelles, sur lesquelles seront affectées des éléments finis massifs isoparamétriques P1 ou P2. La dimension de la cellule de base selon la troisième direction spatiale est utilisée pour définir l’épaisseur de celle-ci. Il est possible cependant dans le cas d’une cellule de base de la plaque ou coque hétérogène, de traiter une situation de frontière libre selon la troisième direction spatiale dont l’épaisseur n’est pas plane: pour cela on ajoutera un matériau fictif de propriétés physiques négligeables devant celles des autres parties de la cellule de base afin de « remplir » ces vides pour obtenir une frontière plane. Comme on se restreint au cas de symétries par rapport aux plans du référentiel spatial, le maillage se limite à l’octant de la cellule de base \((X>0,Y>0,Z>0)\) .

Les cas de type périodique à « pas hexagonal » peuvent également être traités en définissant une « sous-cellule » périodique et symétrique à pas carré.

La cellule de base, notée \(C\), est donc bornée par des frontières planes, voir Fig. 193. Elle est constituée de sous-domaines portant chacun un matériau donné et éventuellement une ou plusieurs cavités non maillées : voir Fig. 194, qui peuvent intersecter les frontières de la cellule de base.

Fig. 193 Maillage de cellule de base périodique.

Fig. 194 Schéma de la structure hétérogène : positionnement de la cellule de base sur le réseau périodique.

Les différents matériaux constituant la cellule de base sont définis par des caractéristiques de masse volumique, de conduction thermique isotrope, de capacité calorifique et des caractéristiques thermoélastiques linéaires isotropes, qui sont définies comme des fonctions de variables de commande: température, ou irradiation.

Le modèle de comportement homogénéisé produit sera selon le cas :

• thermique non-linéaire homogénéisée tridimensionnelle,

• thermoélasticité linéaire homogénéisée tridimensionnelle orthotrope,

• thermoélasticité linéaire homogénéisée flexion-membrane de plaque de Love-Kirchhoff, sans couplage flexion-membrane à cause de la symétrie par rapport au feuillet moyen.

• thermoélasticité linéaire homogénéisée flexion-membrane de plaque de Mindlin avec cisaillement transverse, sans couplage flexion-membrane à cause de la symétrie par rapport au feuillet moyen.

• thermoélasticité linéaire homogénéisée flexion-membrane de plaque de Touratier avec cisaillement transverse, sans couplage flexion-membrane à cause de la symétrie par rapport au feuillet moyen.

Méthodes

Homogénéisation en thermique linéaire tridimensionnelle

Pour l’homogénéisation en thermique linéaire tridimensionnelle, on calcule trois champs de correcteurs thermiques \({\zeta}^{i}\), associés chacun à trois gradients de température unitaires dans chacune des trois directions spatiales, homogènes dans le volume de la cellule de base \(C\) tridimensionnelle.

Comme le maillage de la cellule de base est restreint à l’octant \((X>0,Y>0,Z>0)\), les conditions de symétrie matérielle et géométrique et de périodicité imposent les conditions de Dirichlet suivantes :

Correcteur	conditions de Dirichlet	Paroi considérée	Gradient de température imposé \(g\)
\({\zeta}^{1}\)	\(T=0\)	\({x}_{\min}\) et \({x}_{\max}\)	PRE_GRAD_TEMP=_F(FLUX_X=-1)
\({\zeta}^{2}\)	\(T=0\)	\({y}_{\min}\) et \({y}_{\max}\)	PRE_GRAD_TEMP=_F(FLUX_Y=-1)
\({\zeta}^{3}\)	\(T=0\)	\({z}_{\min}\) et \({z}_{\max}\)	PRE_GRAD_TEMP=_F(FLUX_Z=-1)

Les trois problèmes élémentaires de conduction thermique sur la cellule de base \(C\), qui fournissent les trois champs de correcteurs, s’écrivent sous forme variationnelle :

\[\begin{split}\begin{array}{c}\text{Trouver }{{\zeta}}^{i}(x,y,z)\in {V}_{\text{pér}} \text{ tel que :}\hfill \\ {\int}_{C}{\tensTwo{K}}\cdot{\zeta}_{,j}^{i}\,{v}_{,j}\,{dV} = -{\int}_{C}{\tensTwo{K}}\cdot{g}_{j}^{i}\,{v}_{,j}\,{dV} \qquad \forall v\in {V}_{\text{pér}} \end{array}\end{split}\]

l’espace des champs admissibles périodiques \({V}_{\text{pér}}\) se restreignant ici à ceux vérifiant les conditions de Dirichlet rapportées au tableau ci-dessus.

En notant \(\vector{z}\) le vecteur de position dans la cellule de base \(C\), placée au point macroscopique \({\posi}_{0}\), le champ de température microscopique s’écrit alors comme la somme du champ de température macroscopique \({T}^{0}\) développée sur la cellule de base via son gradient \({\vector{g}}^{0}={\gradScal{T^0}}\) et de la contribution des correcteurs :

\[T({\posi}_{0},{\vector{z}}) = {T}^{0}({\posi}_{0}) + {\vector{g}}^{0}({\posi}_{0}) \cdot \vector{z} + \sum_{k}{g}_{k}^{0}({\posi}_{0})\,{{\zeta}}^{k}(\vector{z})\]

Après avoir calculé les trois champs de correcteurs, on effectue la moyenne spatiale sur la cellule de base \(C\) de la capacité calorifique, du coefficient de conduction thermique isotrope. Ces termes correspondent à la « loi des mélanges », dont on retranche la contribution des correcteurs pour obtenir les composantes du tenseur de conduction homogénéisée. Pour ce faire, on effectue le calcul des énergies de dissipation par conduction thermique \({W}_{\text{ther}}\) associées aux combinaisons linéaires des champs de correcteurs thermiques, qui viennent en déduction des termes de la loi des mélanges :

\[{\vector{g}}^{0}\cdot {\tensTwo{K}}^{\text{hom}}\cdot {\vector{g}}^{0} = \frac{1}{\valeAbs{C}}\underset{\text{loi des mélanges}}{{\int}_{C} {\vector{g}}^{0}\cdot {\tensTwo{K}} \cdot {\vector{g}}^{0} \, dV} - \frac{1}{\valeAbs{C}}\underset{\text{contribution des correcteurs}}{{\int}_{C}{\gradScal{{\zeta}^{i}}} \cdot {\tensTwo{K}} \cdot {\gradScal{{\zeta}^{j}}}\, dV}\]

avec :

\[{{\int}_{C}{\gradScal{{\zeta}^{i}}}\cdot \tensTwo{K}\cdot {\gradScal{{\zeta}^{j}}}\, dV} = {W}_{\text{ther}}({\zeta}^{i}+{\zeta}^{j})-{W}_{\text{ther}}({\zeta}^{i})-{W}_{\text{ther}}({\zeta}^{j})\]

Les composantes du tenseur de conduction homogénéisée orthotrope sont exprimées dans les axes du référentiel de la cellule de base :

\[\begin{split}{\tensTwo{K}}^{\text{hom}} = \left \lbrack \begin{array}{ccc}{K}_{11}^{\text{hom}}& 0& 0\\ 0& {K}_{22}^{\text{hom}}& 0\\ 0& 0& {K}_{33}^{\text{hom}}\end{array}\right \rbrack\end{split}\]

Remarques

• Les composantes extra-diagonales de cette matrice sont nulles suite aux symétries de la cellule de base considérée.

• Si la cellule de base \(C\) comporte une symétrie géométrique et matérielle supplémentaire, par rapport à un plan faisant un angle \(\theta =\pm \frac{\pi}{3},\pm \frac{\pi}{4}\) avec le plan \(X=0\), ou une invariance par rotation \(\frac{2 \, \pi}{3}\) autour de l’axe \(\mathit{OZ}\) par exemple, alors on aura nécessairement \({K}_{11}^{\text{hom}}={K}_{22}^{\text{hom}}\).

Homogénéisation en thermoélasticité linéaire tridimensionnelle

Pour l’homogénéisation en thermoélasticité linéaire tridimensionnelle, on calcule six champs de correcteurs élastiques, associés chacun aux six composantes du tenseur symétrique d’ordre deux de déformation tridimensionnelle unitaires et homogènes \({\strain}^{0}\) dans le volume de la cellule de base tridimensionnelle, et un champ de correcteurs de dilatation thermique, pour une déformation égale au coefficient de dilatation dans chaque sous-domaine de la cellule de base tridimensionnelle.

Le maillage de la cellule de base est restreint à l’octant \((X>0,Y>0,Z>0)\). Ce même maillage est utilisé pour les calculs sous-jacents et par conséquent les conditions de symétrie matérielle et géométrique et de périodicité, cf. [Voldoire2008], imposent les conditions de Dirichlet suivantes :

Correcteur	Conditions de Dirichlet	Paroi considérée	Déformation imposée
\({\chi}_{11}\), \({\chi}_{22}\), \({\chi}_{33}\) \({\chi}_{\text{dil}}\), \({\chi}_{p}^{int}\)	\({U}_{x}=0\)	\({x}_{\min}\) et \({x}_{\max}\)	PRE_EPSI=_F(EPXX=-1) PRE_EPSI=_F(EPYY=-1) PRE_EPSI=_F(EPZZ=-1) PRE_EPSI=_F(EPXX=-ALPHA,EPYY=-ALPHA,EPZZ=-ALPHA)
	\({U}_{y}=0\)	\({y}_{\min}\) et \({y}_{\max}\)
	\({U}_{z}=0\)	\({z}_{\min}\) et \({z}_{\max}\)
\({\chi}_{12}\)	\({U}_{y}={U}_{z}=0\)	\({x}_{\min}\) et \({x}_{\max}\)	PRE_EPSI=_F(EPXY=-0.5)
	\({U}_{x}={U}_{z}=0\)	\({y}_{\min}\) et \({y}_{\max}\)
	\({U}_{z}=0\)	\({z}_{\min}\) et \({z}_{\max}\)
\({\chi}_{13}\)	\({U}_{y}={U}_{z}=0\)	\({x}_{\min}\) et \({x}_{\max}\)	PRE_EPSI=_F(EPXZ=-0.5)
	\({U}_{y}=0\)	\({y}_{\min}\) et \({y}_{\max}\)
	\({U}_{x}={U}_{y}=0\)	\({z}_{\min}\) et \({z}_{\max}\)
\({\chi}_{23}\)	\({U}_{x}=0\)	\({x}_{\min}\) et \({x}_{\max}\)	PRE_EPSI=_F(EPYZ=-0.5)
	\({U}_{x}={U}_{z}=0\)	\({y}_{\min}\) et \({y}_{\max}\)
	\({U}_{x}={U}_{y}=0\)	\({z}_{\min}\) et \({z}_{\max}\)

Dans le cas où il y a une cavité (ou plusieurs) au sein de la cellule de base, on effectue également le calcul d’un autre champ de correcteurs élastiques \({\chi}_{p}^{int}\), sous l’action d’une pression unitaire exercée au sein de ces cavités, de sorte d’avoir un accès complet aux contraintes à l’échelle microscopique.

Les six problèmes élémentaires d’élasticité sur la cellule de base \(C\), qui fournissent les six champs de correcteurs, s’écrivent sous forme variationnelle :

\[\begin{split}\left\lbrace \begin{aligned} & \text{Trouver } { \tensTwo{\chi}}(x,y,z)\in {\vector{V}}_{\text{pér}} \text{ tel que : } \\ & {\int}_{C} {\strain}( \tensTwo{\chi}) \cdot \tensTwo{A} \cdot \strain (\vector{v})\, dV = -{\int}_{C} { \strain}^{0} \cdot \tensTwo{A} \cdot \strain (\vector{v})\, dV \qquad \forall \vector{v}\in {\vector{V}}_{\text{pér}} \end{aligned} \right.\end{split}\]

l’espace des champs admissibles périodiques \({\vector{V}}_{\text{pér}}\) se restreignant ici à ceux vérifiant les conditions de Dirichlet rapportées au tableau ci-dessus.

Le problème élémentaire d’élasticité sur la cellule de base \(C\), qui fournit le champ de correcteur de dilatation thermique, s’écrit sous forme variationnelle :

\[\begin{split}\left\lbrace \begin{aligned} & \text{Trouver } {\tensTwo{\chi}}_{\text{dil}}(x,y,z)\in {\vector{V}}_{\text{pér}} \text{ tel que : } \\ & {\int}_{C}\strain ({\tensTwo{\chi}}_{\text{dil}})\cdot \tensTwo{A} \cdot \strain (\vector{v})\, dV = -{\int}_{C}\alpha (x,y,z) \, \tensTwoUnit \cdot \tensTwo{A} \cdot \strain (\vector{v})\, dV \qquad \forall \vector{v}\in {\vector{V}}_{\text{pér}} \end{aligned} \right.\end{split}\]

avec \({\tensTwo{A}}\) le tenseur d’élasticité.

On notera que si le coefficient de dilatation thermique \(\alpha\) est uniforme dans toute la cellule de base, alors on aura \({\tensTwo{\chi}}_{\text{dil}}=\alpha \, ({\chi}^{11}+{\chi}^{22}+{\chi}^{33}) \, {\tensTwoUnit}\).

En notant \({\vector{z}}\) le vecteur de position dans la cellule de base \(C\), placée au point macroscopique \({\posi}_{0}\), le champ de déplacement microscopique s’écrit alors comme la somme du champ de déplacement macroscopique \({\disp}^{0}\) développée sur la cellule de base via la déformation associée \({\strain}^{0}\) et de la contribution des correcteurs, en ne conservant que le terme macroscopique \({T}^{0}\) de la température sur la cellule de base :

\[\disp(\posi_{0},{\vector{z}}) = {\disp}^{0}(\posi_{0}) + {\strain}^{0}({\posi}_{0}) \cdot {\vector{z}} + \sum_{k,l}{\strainCmp}_{kl}^{0}({\posi}_{0}) {\chi}^{kl}({\vector{z}}) - ({T}^{0}({\posi}_{0}) - {T}_{\text{réf}}) \, ( \alpha \, {\tensTwoUnit} \cdot {\vector{z}} + {\tensTwo{\chi} }_{\text{dil}}({\vector{z}})) + {p}_{\text{app}} \, {\tensTwo{\chi} }_{p}^{int}({{\vector{z}}})\]

Et le champ de contraintes microscopiques s’en déduit :

\[\stress({\posi}_{0},{{\vector{z}}}) = \tensTwo{A}\cdot{\strain}^{0}({\posi}_{0}) + \sum_{k,l} { {\strainCmp}_{kl}^{0}({\posi}_{0}) \tensTwo{A} \cdot{\strain} ({\tensTwo{\chi} }^{kl}(\vector{z})) } - ({T}^{0}({\posi}_{0})-{T}_{\text{réf}})\cdot\tensTwo{A}\cdot(\alpha.{\bf Id}+{\strain} ({\tensTwo{\chi} }_{\text{dil}}({{\vector{z}}}))) + {p}_{\text{app}\cdot}\tensTwo{A}\cdot \strain({\chi}_{p}^{int}({{\vector{z}}}))\]

Après avoir calculé les six champs de correcteurs, on effectue la moyenne spatiale sur la cellule de base \(C\) de la masse volumique (ce terme correspond à la «loi des mélanges»), des coefficients de Lamé d’élasticité isotrope, et aussi de la rigidité de dilatation \(3 \alpha K\). Ces termes correspondent à la «loi des mélanges», dont on retranche la contribution des correcteurs pour obtenir les composantes du tenseur d’élasticité homogénéisée. Pour ce faire, on effectue le calcul des énergies de déformation élastique \({W}_{\text{élas}}\) associées aux combinaisons linéaires des champs de correcteurs élastiques, qui viennent en déduction des termes de la loi des mélanges :

\[{\strainCmp}_{ij}^{0}\cdot {\tensTwo{A}}^{\text{hom}} \cdot {\strainCmp}_{kl}^{0} = \frac{1}{\valeAbs{C}}\underset{ \text{loi des mélanges}}{{\int}_{C}{\strainCmp}_{ij}^{0}\cdot \tensTwo{A}\cdot {\strainCmp}_{kl}^{0}\, dV} - \frac{1}{\valeAbs{C}}\underset{\text{contribution des correcteurs}}{{\int}_{C}\strainCmp ({\chi}^{ij})\cdot \tensTwo{A}\cdot \strain ({\chi}^{kl})\, dV}\]

avec :

\[{\int}_{C}\strainCmp ({\chi}^{ij})\cdot \tensTwo{A}\cdot \strainCmp ({\chi}^{kl})\, dV: = {W}_{\text{élas}}({\chi}^{ij}+{\chi}^{kl})-{W}_{\text{élas}}({\chi}^{ij})-{W}_{\text{élas}}({\chi}^{kl})\]

Les composantes du tenseur d’élasticité homogénéisée orthotrope sont dans les axes du référentiel de la cellule de base :

\[\begin{split}{\tensTwo{A}}^{\text{hom}} = \left(\begin{array}{cccccc} {A}_{1111}^{\text{hom}}& {A}_{1122}^{\text{hom}}& {A}_{1133}^{\text{hom}}& 0& 0& 0\\ {A}_{1122}^{\text{hom}}& {A}_{2222}^{\text{hom}}& {A}_{2233}^{\text{hom}}& 0& 0& 0\\ {A}_{1133}^{\text{hom}}& {A}_{2233}^{\text{hom}}& {A}_{3333}^{\text{hom}}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& {A}_{1212}^{\text{hom}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& {A}_{2323}^{\text{hom}}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& {A}_{3131}^{\text{hom}} \end{array}\right)\end{split}\]

Ce tenseur est inversé pour obtenir les modules d’élasticité et coefficients de Poisson orthotropes.

Le matériau sera « isotrope transverse » si la cellule de base \(C\) comporte une symétrie géométrique et matérielle supplémentaire, par rapport à un plan faisant un angle \(\theta =\pm \frac{\pi}{3},\pm \frac{\pi}{4}\) avec le plan \(X=0\), ou une invariance par rotation \(\frac{2 \, \pi}{3}\) autour de l’axe \(\mathit{OZ}\) par exemple. Il n’y a alors plus que cinq coefficients d’élasticité indépendants a priori :

\[\begin{split}{\tensTwo{A}}^{\text{hom}} = \left(\begin{array}{cccccc} {A}_{1111}^{\text{hom}}& {A}_{1122}^{\text{hom}}& {A}_{1133}^{\text{hom}}& 0& 0& 0\\ {A}_{1122}^{\text{hom}}& {A}_{1111}^{\text{hom}}& {A}_{1133}^{\text{hom}}& 0& 0& 0\\ {A}_{1133}^{\text{hom}}& {A}_{1133}^{\text{hom}}& {A}_{3333}^{\text{hom}}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{2}({A}_{1111}^{\text{hom}}-{A}_{1122}^{\text{hom}})& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& {A}_{3131}^{\text{hom}}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& {A}_{3131}^{\text{hom}} \end{array}\right)\end{split}\]

Afin de s’en assurer, on calcule l’erreur relative sur l’expression du coefficient de rigidité élastique en distorsion \({A}_{1212}^{\text{hom}}\) ci-dessus: c’est l’objet du calcul de ISOTRANS qui doit être numériquement nul dans ce cas :

\[\text{ISOTRANS} = \left \lvert \frac{2 \, A^{hom}_{1212} - A^{hom}_{1111} + A^{hom}_{1122}}{A^{hom}_{1212}} \right \rvert\]

On rappelle que dans le cas élastique isotrope homogène on a :

\[\begin{split}{\tensTwo{A}}^{\text{hom}} = \left(\begin{array}{cccccc} \lambda +2\mu & \lambda & \lambda & 0& 0& 0\\ \lambda & \lambda +2\mu & \lambda & 0& 0& 0\\ \lambda & \lambda & \lambda +2\mu & 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mu & 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \mu & 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \mu \end{array}\right)\end{split}\]

Les composantes du tenseur des dilatations thermiques homogénéisées orthotropes sont dans les axes du référentiel de la cellule de base :

\[{\alpha}_{{ii}}^{\text{hom}} = {\left({\tensTwo{A}}^{\text{hom}}\right)}_{iikk}^{-1}\cdot \left( \frac{1}{{\valeAbs{C}}} \underset{\text{loi des mélanges}}{{\int}_{C}\alpha\cdot(\tensTwo{A}\cdot\tensTwoUnit)_{kk} \, dV} + \frac{1}{{\valeAbs{C}}} \underset{\text{contribution du correcteur}}{{\int}_{C}\strainCmp ({\chi}^{kk})\cdot \tensTwo{A}\cdot\strainCmp ({\chi}^{\text{dil}})\, dV} \right)\]

Dans le cas « isotrope transverse » autour de l’axe \(\mathit{OZ}\), on vérifiera \({\alpha}_{11}^{\text{hom}}={\alpha}_{22}^{\text{hom}}\).

Ainsi la relation de comportement macroscopique thermoélastique linéaire homogénéisée s’écrit :

\[{\stress}^{0}({\posi}_{0}) = {\tensTwo{A}}^{\text{hom}\cdot}\left({\strainCmp}^{0}(x)-({T}^{0}({\posi}_{0})-{T}_{\text{réf}})\,{\tensTwo{\alpha}}^{\text{hom}}\right)\]

On rappelle que dans le cas thermoélastique isotrope homogène on a \(\tensTwo{\alpha}=\alpha \tensTwoUnit\) .

Homogénéisation en élasticité linéaire de plaque de Love-Kirchhoff en flexion-membrane

Pour l’homogénéisation en élasticité linéaire de plaque de Love-Kirchhoff en flexion-membrane, on calcule:

• trois champs de correcteurs élastiques, associés chacun aux trois composantes du tenseur symétrique d’ordre deux de déformation de membrane unitaires et homogènes dans le volume de la cellule de base tridimensionnelle,

• trois champs de correcteurs élastiques, associés chacun aux trois composantes du tenseur symétrique d’ordre deux de déformation de flexion unitaires homogènes dans le volume de la cellule de base tridimensionnelle,

• un champ de correcteur de dilatation thermique en membrane, pour une déformation égale au coefficient de dilatation dans chaque sous-domaine de la cellule de base tridimensionnelle.

Le maillage de la cellule de base est restreint à l’octant \((X>0,Y>0,Z>0)\), ayant adopté ici comme direction dans l’épaisseur l’axe \(\mathit{OZ}\). Le maillage est symétrisé par rapport au plan \(\mathit{xOy}\) pour la réalisation des calculs sous-jacents, et par conséquent les conditions de symétrie matérielle et géométrique et de périodicité imposent les conditions de Dirichlet suivantes :

Correcteur	conditions de Dirichlet	Paroi considérée	Déformation imposée
\({\chi}_{11}^{m}\), \({\chi}_{22}^{m}\) \({\chi}_{\text{dil}}^{m}\)	\({U}_{x}=0\)	\({x}_{\min}\) et \({x}_{\max}\)	PRE_EPSI=_F(EPXX=-1) PRE_EPSI=_F(EPYY=-1) PRE_EPSI=_F(EPXX=ALPHA, EPYY=ALPHA, EPZZ=ALPHA)
	\({U}_{y}=0\)	\({y}_{\min}\) et \({y}_{\max}\)
\({\chi}_{12}^{m}\)	\({U}_{y}=0\)	\({x}_{\min}\) et \({x}_{\max}\)	PRE_EPSI=_F(EPXY=-0.5)
	\({U}_{x}=0\)	\({y}_{\min}\) et \({y}_{\max}\)
\({\chi}_{11}^{f}\), \({\chi}_{22}^{f}\)	\({U}_{x}=0\)	\({x}_{\min}\) et \({x}_{\max}\)	PRE_EPSI=_F(EPXX= Z) PRE_EPSI=_F(EPYY= Z)
	\({U}_{y}=0\)	\({y}_{\min}\) et \({y}_{\max}\)
\({\chi}_{12}^{f}\)	\({U}_{y}=0\)	\({x}_{\min}\) et \({x}_{\max}\)	PRE_EPSI=_F(EPXY= 0.5*Z)
	\({U}_{x}=0\)	\({y}_{\min}\) et \({y}_{\max}\)

Le mouvement de corps rigide est bloqué suivant l’axe \(Z\) en un point de la structure.

Les six problèmes élémentaires d’élasticité sur la cellule de base \(C\), qui fournissent les six champs de correcteurs en flexion-membrane, s’écrivent respectivement sous forme variationnelle :

\[\begin{split}\left\lbrace \begin{aligned} & \text{Trouver } {\chi}_{\alpha \beta}^{m}(x,y,z)\in \vector{V}_{\text{pér}} \text{ tel que: } \\ & {\int}_{C} \strain({\chi}_{\alpha \beta}^{m}) \cdot \tensTwo{A} \cdot \strain(\vector{v})\, dV = -{\int}_{C}{\strainCmp}_{\alpha \beta}^{0} \cdot \tensTwo{A} \cdot \strain(\vector{v})\, dV \qquad \forall {\vector{v}}\in \vector{V}_{\text{pér}} \end{aligned} \right.\end{split}\]

et

\[\begin{split}\left\lbrace \begin{aligned} & \text{Trouver } {\chi}_{\alpha \beta}^{f}(x,y,z)\in \vector{V}_{\text{pér}} \text{ tel que: } \\ & {\int}_{C} \strain({\chi}_{\alpha \beta}^{f}) \cdot \tensTwo{A} \cdot \strain(\vector{v})\, dV = {\int}_{C} {\vector{z}} \cdot {\strainCmp}_{\alpha \beta}^{0} \cdot \tensTwo{A} \cdot \strain(\vector{v})\, dV \qquad {\vector{v}}\in \vector{V}_{\text{pér}} \end{aligned} \right.\end{split}\]

l’espace des champs admissibles périodiques \({\vector{V}}_{\text{pér}}\) se restreignant ici à ceux vérifiant les conditions de Dirichlet rapportées au tableau ci-dessus.

Après avoir calculé les six champs de correcteurs, on effectue la moyenne spatiale sur la cellule de base de la masse volumique, des coefficients de Lamé d’élasticité isotrope, et la moyenne spatiale sur la cellule de base du moment d’ordre un selon l’épaisseur des coefficients de Lamé d’élasticité isotrope.

Ensuite on effectue le calcul des énergies de déformation élastique associées aux combinaisons linéaires des champs de correcteurs élastiques de membrane, et de même de flexion, qui viennent en déduction des termes de la loi des mélanges. À cause de la symétrie de la cellule de base par rapport au feuillet moyen, il n’est pas utile d’effectuer les combinaisons linéaires croisées des champs de correcteurs élastiques de membrane et de flexion.

\[{\strainCmp}_{\alpha \beta}^{0} \cdot {\tensTwo{A}}_{\text{hom}}^{\text{memb}}\cdot {\strain}_{\gamma \delta }^{0} = \frac{h}{\valeAbs{C}}\underset{\text{loi des mélanges}}{{\int}_{C}{\strain }_{\alpha \beta }^{0}\cdot \tensTwo{A}\cdot {\strain}_{\gamma \delta }^{0}\, dV} - \frac{h}{\valeAbs{C}}\underset{\text{contribution des correcteurs}}{{\int}_{C}\strain({\chi}_{\alpha \beta}^{m})\cdot \tensTwo{A}\cdot \strain ({\chi}_{\gamma \delta}^{m})\, dV}\]

avec :

\[{\int}_{C}\boldsymbol{\strain}({\chi}_{\alpha \beta }^{m})\cdot \tensTwo{A}\cdot\strain ({\chi}_{\gamma \delta }^{m})\, dV={W}_{\text{élas}}({\chi}_{\alpha \beta }^{m}+{\chi}_{\gamma \delta }^{m})-{W}_{\text{élas}}({\chi}_{\alpha \beta }^{m})-{W}_{\text{élas}}({\chi}_{\gamma \delta }^{m})\]

\[{\boldsymbol{\kappa} }_{\alpha \beta }^{0}\cdot {\tensTwo{A}}_{\text{hom}}^{\text{flex}}\cdot {\boldsymbol{\kappa} }_{\gamma \delta }^{0}=\frac{h}{\valeAbs{C}}\underset{\text{loi des mélanges}}{{\int}_{C}{{\vector{z}}}^{2}\cdot{\strain}_{\alpha \beta }^{0}\cdot \tensTwo{A}\cdot {\strain}_{\gamma \delta }^{0}\, dV}-\frac{h}{\valeAbs{C}}\underset{\text{contribution des correcteurs}}{{\int}_{C} \strain ({\chi}_{\alpha \beta }^{f})\cdot \tensTwo{A}\cdot \strain ({\chi}_{\gamma \delta }^{f})\, dV}\]

avec :

\[{\int}_{C}\strain({\chi}_{\alpha \beta }^{m})\cdot \tensTwo{A}\cdot \strain ({\chi}_{\gamma \delta }^{m})\, dV={W}_{\text{élas}}({\chi}_{\alpha \beta }^{f}+{\chi}_{\gamma \delta }^{f})-{W}_{\text{élas}}({\chi}_{\alpha \beta }^{f})-{W}_{\text{élas}}({\chi}_{\gamma \delta }^{f})\]

où on a noté \(h\) l’épaisseur totale de la cellule de base \(C\) dans la direction de l’axe \(\mathit{Z}\), \({\strain}^{0}\) le tenseur des déformations membranaires et \({\boldsymbol{\kappa} }^{0}\) le tenseur de variation de courbure macroscopique de la plaque ou de la coque.

Les composantes du tenseur d’élasticité homogénéisée orthotrope de membrane et de flexion sont dans les axes du référentiel de la cellule de base :

\[\begin{split}{\tensTwo{A}}_{\text{hom}}^{\text{memb}} = \left(\begin{array}{ccc} {A}_{\text{hom}1111}^{\text{memb}}& {A}_{\text{hom}1122}^{\text{memb}}& 0\\ {A}_{\text{hom}1122}^{\text{memb}}& {A}_{\text{hom}2222}^{\text{memb}}& 0\\ 0& 0& {A}_{\text{hom}1212}^{\text{memb}} \end{array}\right)\end{split}\]

\[\begin{split}{\tensTwo{A}}_{\text{hom}}^{\text{flex}} = \left(\begin{array}{ccc} {A}_{\text{hom}1111}^{\text{flex}}& {A}_{\text{hom}1122}^{\text{flex}}& 0\\ {A}_{\text{hom}1122}^{\text{flex}}& {A}_{\text{hom}2222}^{\text{flex}}& 0\\ 0& 0& {A}_{\text{hom}1212}^{\text{flex}} \end{array}\right)\end{split}\]

On rappelle que les unités de ces composantes de raideurs élastiques sont respectivement: le produit d’une contrainte par une longueur en membrane et le produit d’une contrainte par le cube d’une longueur en flexion.

On rappelle que dans le cas élastique isotrope homogène on a :

\[\begin{split}{\tensTwo{A}}_{\text{hom}}^{\text{memb}} = h \, \left( \begin{array}{ccc} \frac{E}{1-{\nu}^2} & \frac{\nu E}{1-{\nu}^2} & 0\\ \frac{\nu E}{1+\nu } & \frac{E}{1-{\nu}^2} & 0\\ 0 & 0 & \mu \end{array} \right)\end{split}\]

\[\begin{split}{\tensTwo{A}}_{\text{hom}}^{\text{flex}} = \frac{{h}^{3}}{12} \, \left(\begin{array}{ccc} \frac{E}{1-{\nu}^2} & \frac{\nu E}{1-{\nu}^2} & 0 \\ \frac{\nu E}{1-{\nu}^2} & \frac{E}{1-{\nu}^2} & 0 \\ 0 & 0 & \mu \end{array}\right)\end{split}\]

Homogénéisation en élasticité linéaire de plaque avec prise en compte du cisaillement transverse

Lors de la prise en compte du cisaillement transverse, une condition supplémentaire est imposée pour le calcul des correcteurs : le déplacement moyen de la surface supérieure doit être égal à celui de la surface inférieure, cf. [Voldoire1994].

\[\int_{\partial Z_{\sup}} u_{\alpha} \, dS = \int_{\partial Z_{\inf}} u_{\alpha} \, dS\]

Deux correcteurs supplementaires sont calculés:

Correcteur	conditions de Dirichlet	Paroi considérée	Déformation imposée
\({\chi}_{31}^{ct}\)	\({U}_{y}=0\)	\({y}_{\min}\) et \({y}_{\max}\)	PRE_EPSI=_F(EPXZ=-0.5*f(Z))
	\({U}_{z}=0\)	\({x}_{\min}\) et \({x}_{\max}\)
\({\chi}_{23}^{ct}\)	\({U}_{x}=0\)	\({x}_{\min}\) et \({x}_{\max}\)	PRE_EPSI=_F(EPYZ=-0.5*f(Z))
	\({U}_{z}=0\)	\({y}_{\min}\) et \({y}_{\max}\)

Dans le cadre d’une cinématique de Mindlin on considère une distorsion moyenne uniforme et constante dans toute la section \(f(Z)=1\) bien que cette hypothèse puisse produire une réponse trop rigide en cisaillement transverse. On trouve dans l’article de Touratier, cf. [Touratier1989], une proposition de cinématique avec une distorsion transverse non uniforme dans la section \(f(Z)=\frac{\pi}{2} \cdot cos(\frac{\pi \cdot Z}{h})\) avec \(h\) l’épaisseur de la plaque, qui permet de se rapprocher d’une théorie de plaque de type Reissner où l’énergie de cisaillement transverse est contrôlée en contrainte.

Note

Les deux approches mentionnées de Mindlin et Touratier sont des approches en déformation, et elles n’assurent pas la nullité du cisaillement transverse en paroi.

Résultats

La commande produit l’ensemble des champs de correcteurs, solutions des problèmes de thermique linéaire puis d’élasticité linéaire effectués sur la cellule de base.

Les coefficients homogénéisés en thermique linéaire et en thermoélasticité linéaire sont donnés selon les axes du référentiel cartésien du maillage de la cellule de base.

Les correspondances de directions sont les suivantes :

\(x\)	\(y\)	\(z\)	\({xy}\)	\({xz}\)	\({yz}\)
*_L	*_T	*_N	*_LT	*_LN	*_TN
*1	*2	*3	*12	*13	*23

Homogénéisation en thermique linéaire tridimensionnelle

Pour l’homogénéisation en thermique linéaire tridimensionnelle on calcule avec les trois champs de correcteurs les caractéristiques thermiques linéaires homogénéisées:

• de conduction thermique orthotrope : LAMBDA_L, LAMBDA_T, LAMBDA_N,

• de capacité calorifique volumique équivalente: RHO_CP.

Homogénéisation en thermoélasticité linéaire tridimensionnelle

Pour l’homogénéisation en thermoélasticité linéaire tridimensionnelle on calcule avec les sept champs de correcteurs les caractéristiques thermoélastiques linéaires homogénéisées :

• d’élasticité orthotrope (9 coefficients indépendants qui définissent les souplesses élastiques): E_L, E_T, E_N, NU_LT, NU_LN, NU_TN, G_LT, G_LN, G_TN,

• d’élasticité orthotrope (9 coefficients indépendants du tenseur des raideurs élastiques) : A1111, A2222, A3333, A1122, A1133, A2233, A1212, A2323, A3131,

• de dilatation thermique orthotrope : ALPHA_L, ALPHA_T, ALPHA_N

• de masse volumique équivalente : RHO.

On calcule enfin un scalaire ISOTRANS qui permet de s’assurer, s’il est nul, du cas où on obtient une isotropie transverse (par exemple en cas de symétrie hexagonale de la cellule de base) où l’on n’a plus que 5 coefficients élastiques indépendants.

Homogénéisation en élasticité linéaire de plaque de Love-Kirchhoff en flexion-membrane

Pour l’homogénéisation en élasticité linéaire de plaque de Love-Kirchhoff en flexion-membrane, on calcule avec les sept champs de correcteurs les caractéristiques thermoélastiques linéaires homogénéisées en flexion-membrane :

• d’élasticité orthotrope en membrane (4 coefficients indépendants qui définissent les raideurs élastiques) : MEMB_L, MEMB_T, MEMB_LT, MEMB_G_LT,

• d’élasticité orthotrope en flexion (4 coefficients indépendants qui définissent les raideurs élastiques) : FLEX_L, FLEX_T, FLEX_LT, FLEX_G_LT,

• d’élasticité orthotrope en cisaillement transverse (2 coefficients indépendants qui définissent les raideurs élastiques) : CISA_L, CISA_T,

• de dilatation thermique en membrane : ALPHA,

• de masse volumique équivalente : RHO.

Exemples

On pourra consulter les cas-tests :

nom	intitulé	documentation
HPLV105	Paramètres homogénéisés de plaques à tubes de GV	[V7.03.105]
HPLV106	Paramètres homogénéisés d’un composite fibre de verre/résine	[V7.03.106]
HPLV107	Paramètres homogénéisés de plaques à tubes N4 sur cellule entière	[V7.03.107]
HPLV108	Paramètres homogénéisés d’une plaque percée avec matériaux unitaires et comparaison	[V7.03.108]

On pourra aussi effectuer une vérification triviale avec le cas-test HPLV101a intitulé « Homogénéisation d’un matériau homogène » [V7.03.101], en thermique stationnaire isotrope et en élasticité isotrope.

Plaque élastique stratifiée

On considère un matériau stratifié en 3 couches d’épaisseurs différentes de matériaux isotropes. On note en particulier les épaisseurs des couches successives: \({e}_{K}={z}_{K}-{z}_{K-1}\), voir Schéma d’une plaque stratifiée à trois couches symétriques.. Les couches sont supposées symétriques par rapport au feuillet moyen, de sorte d’annuler le couplage flexion-membrane.

Dans ce cas, la cellule de base a une périodicité quelconque sur les directions du plan tangent \((X,Y)\). Par conséquent, les champs de correcteurs en membrane \({\chi}_{11}^{m}\), \({\chi}_{22}^{m}\) dépendent de manière affine par morceaux de la position \(Z\) dans l’épaisseur de la plaque, tandis que le correcteur en membrane \({\chi}_{12}^{m}\) associé à la distorsion est nul partout. Et les champs de correcteurs en flexion \({\chi}_{11}^{f}\), \({\chi}_{22}^{f}\) sont paraboliques par morceaux en \(Z\) dans l’épaisseur de la plaque, tandis que le correcteur en flexion \({\chi}_{12}^{f}\) est nul partout.

Fig. 195 Schéma d’une plaque stratifiée à trois couches symétriques.

Bibliographie

[Voldoire2008] (1,2)

VOLDOIRE F., BAMBERGER Y. Mécanique des structures. Initiation, approfondissements, applications. Presses de l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, Paris, 2008.

[Voldoire1994] (1,2,3)

VOLDOIRE F. Homogénéisation des structures hétérogénes. Collection de notes internes de la Direction des Etudes et Recherches, 66 pages, 1994.

[Andrieux1987]

ANDRIEUX S., MARIGOJ.J. Application des méthodes asymptotiques au probléme de la conduction thermique dans les plaques minces. Note interne EDF-DER, HI-71/5963, 1987.

[Caillerie1982]

CAILLERIE D. Etude de quelques problémes de perturbation en théorie de l’élasticité et de conduction thermique. Thése d’état, Paris, 1982.

[Francfort1983]

FRANCFORT G. Homogenization and linear thermoelasticity. SIAM J. Math. Anal., Vol.14, n°3, pp. 696-708, 1983.

[Suquet1982]

SUQUET P. Plasticité et homogénéisation. Thése d’état, Paris, 1982.

[Sanchez1980]

SANCHEZ-PALENCIA E. Non homogeneous media and vibration theory. Springer, Berlin, 1980.

[Touratier1989]

TOURATIER, M. Un modèle simple et efficace en mécanique des structures composites. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Paris, 1989.