v6.04.515 SSNV515 – Essai de traction avec la loi de Rankine#

Résumé

On réalise un essai de traction simple avec la loi de Rankine . Les solutions calculées sont comparées à une solution analytique. Trois modélisations dont proposées :

  • une modélisation 0D avec SIMU_POINT_MAT;

  • une modélisation 3D;

  • une modélisation 2D axisymétrique;

Solution analytique#

Introduisons d’abord les notations suvantes:

(4884)#\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{c}A=K+\frac{4}{3}G\\ B=K-\frac{2}{3}G\\ C=2\left(K+\frac{G}{3}\right)\end{array}\right.\end{split}\]

Avec \(K=\frac{E}{3\left(1-2\nu \right)}\) et \(G=\frac{E}{2\left(1+\nu \right)}\) les modules de compressibilité et de cisaillement, respectivement.

Soit \(C\) le tenseur d’éalsticité de Hooke, on aura avec l’hypothèse \({{\varepsilon}}_{yy}={{\varepsilon}}_{xx}\) :

(4885)#\[\begin{split}C.d{\varepsilon}=\left\{ \begin{array}{c}Bd{{\varepsilon}}_{zz}+Cd{{\varepsilon}}_{xx}\\ Bd{{\varepsilon}}_{zz}+Cd{{\varepsilon}}_{xx}\\ Ad{{\varepsilon}}_{zz}+2Bd{{\varepsilon}}_{xx}\end{array}\right.\end{split}\]

On notera pour simplifier la contrainte verticale à l’instant \(+\) \({\sigma}^{+}={\sigma}_{zz}^{+}\) , de sorte que le critère de Rankine s’écrit:

(4886)#\[{\sigma}^{+}\le {\sigma}_{t}\]

On a par ailleurs:

(4887)#\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{l} \sigma^{\text{préd}} = \sigma^{-} + n.C.d\varepsilon \\ \sigma^{+} = \sigma^{-} + n.C.(d\varepsilon - d\lambda n) = \sigma^{\text{préd}} - \underbrace{d\lambda n.C.n}_{\Delta\sigma_{C}} \end{array} \right.\end{split}\]

Avec \(n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\) et où:

(4888)#\[d\lambda =\frac{{⟨{\sigma}^{\mathit{préd}}-{\sigma}_{t}⟩}_{+}}{A}\]

D’après la loi d’écoulement associée, on a aussi:

(4889)#\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{c}d{{\varepsilon}}_{zz}^{P}=d\lambda =d{{\varepsilon}}_{v}^{P}\\ {e}^{P}=\frac{2}{3}d\lambda \end{array}\right.\end{split}\]

Comme \(n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\) , on obtient:

(4890)#\[\Delta {\sigma}_{C}=d\lambda A\]

La combinaison des équations (), () et () nous donne la contrainte \({\sigma}_{zz}^{+}\) . Les équations () et () nous donnent la norme de la déformation plastique déviatorique \({e}^{P}\) .

Essayons d’obtenir maintenant l’expression de la déformation élastique horizontale \({{\varepsilon}}_{xx}^{\text{élas}}\) .

Latéralement, on a la condition \({\sigma}_{xx}^{+}={P}_{0}\) , soit:

(4891)#\[{\sigma}_{xx}^{\text{préd}}-\Delta {\sigma}_{xx,C}={P}_{0}\]

Avec \(\Delta {\sigma}_{xx,C}=d\lambda B\)

On obtient alors en utilisant l’équation ():

(4892)#\[{\sigma}_{xx}^{-}+Cd{{\varepsilon}}_{xx}^{\text{élas}}+Bd{{\varepsilon}}_{zz}-Bd\lambda ={P}_{0}\]

D’où l’incrément de déformation élastique horizontale:

(4893)#\[d{{\varepsilon}}_{xx}^{\text{élas}}=\frac{{P}_{0}-{\sigma}_{xx}^{-}+B\left(d\lambda -d{{\varepsilon}}_{zz}\right)}{C}\]

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

La modélisation A est réalisée sur un point matériel0D avec SIMU_POINT_MAT.

Grandeurs testées et résultats#

Valeurs testées#

Les solutions sont post-traitées au point \(C\) , en termes de:

  • contrainte verticale \({\sigma}_{zz}\) ;

  • déformation horizontale \({{\varepsilon}}_{xx}\) ;

  • norme de la déformation plastique déviatorique \({e}^{P}=\Vert {e}^{P}\Vert\)

Elles sont comparées à une solution analytique (décrite dans le paragraphe suivant) en termes d” écart maximal entre \(t=0\) et \(t=20\) . Les résultats sont récapitulés dans les tableaux suivants:

\(Q=\sqrt{\frac{1}{2}\underline{\underline{s}}:\underline{\underline{s}}}[\mathit{Pa}]\)

Variable

Ecart absolu | Code_Aster - Analytique |

\({\sigma}_{zz}\)

0

\({{\varepsilon}}_{xx}\)

3.10-5

\({e}^{P}\)

1.333 10-5

Commentaires#

L’écart avec la solution analytique est très faible.

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

La modélisation B est réalisée en 3D avec STAT_NON_LINE.

Grandeurs testées et résultats#

Valeurs testées#

Les solutions sont post-traitées au point \(C\) , en termes de:

  • contrainte verticale \({\sigma}_{zz}\) ;

  • déformation horizontale \({{\varepsilon}}_{xx}\) ;

  • norme de la déformation plastique déviatorique \({e}^{P}=\Vert {e}^{P}\Vert\)

Elles sont comparées à une solution analytique (décrite dans le paragraphe suivant) en termes d” écart maximal entre \(t=0\) et \(t=20\) . Les résultats sont récapitulés dans les tableaux suivants:

\(Q=\sqrt{\frac{1}{2}\underline{\underline{s}}:\underline{\underline{s}}}[\mathit{Pa}]\)

Variable

Ecart absolu | Code_Aster - Analytique |

\({\sigma}_{zz}\)

0

\({{\varepsilon}}_{xx}\)

3.10-5

\({e}^{P}\)

1.333 10-5

Commentaires#

L’écart avec la solution analytique est très faible.

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation#

La modélisation C est réalisée sur un point matériel2D axisymétrique avec STAT_NON_LINE.

Grandeurs testées et résultats#

Valeurs testées#

Les solutions sont post-traitées au point \(C\) , en termes de:

  • contrainte verticale \({\sigma}_{zz}\) ;

  • déformation horizontale \({{\varepsilon}}_{xx}\) ;

  • norme de la déformation plastique déviatorique \({e}^{P}=\Vert {e}^{P}\Vert\)

Elles sont comparées à une solution analytique (décrite dans le paragraphe suivant) en termes d” écart maximal entre \(t=0\) et \(t=20\) . Les résultats sont récapitulés dans les tableaux suivants:

\(Q=\sqrt{\frac{1}{2}\underline{\underline{s}}:\underline{\underline{s}}}\phantom{\rule{2em}{0ex}}[\mathit{Pa}]\)

Variable

Ecart absolu | Code_Aster - Analytique |

\({\sigma}_{zz}\)

0

\({{\varepsilon}}_{xx}\)

3.10-5

\({e}^{P}\)

1.333 10-5

Commentaires#

L’écart avec la solution analytique est très faible.

Modélisation D#

Caractéristiques de la modélisation#

La modélisation D est réalisée sur un point matériel3D avec STAT_NON_LINE. La différence par rapport à la modélisation B est le calcul de l’état initial par un chargement thermique. Pour amener l’échantillon à la contrainte isotrope initiale \({P}_{0}=10\mathit{kPa}\) , on amène l’échantillon de 20° à 30° celcius. Les déplacements de l’échantillon sont bloqués, de sorte que la dilatation thermique amène l’échantillon en compression. On obtient:

\({\sigma}_{0}=\frac{E}{9\left(1-2\nu \right)}\alpha \Delta T={P}_{0}\)

Soit la valeur suivante du coefficient de dilatation thermique: \(\alpha =\frac{9\left(1-2\nu \right){P}_{0}}{E\Delta T}\)

Grandeurs testées et résultats#

Valeurs testées#

Les solutions sont post-traitées au point \(C\) , en termes de:

  • contrainte verticale \({\sigma}_{zz}\) ;

  • déformation horizontale \({{\varepsilon}}_{xx}\) ;

  • norme de la déformation plastique déviatorique \({e}^{P}=\Vert {e}^{P}\Vert\)

Elles sont comparées à une solution analytique (décrite dans le paragraphe suivant) en termes d” écart maximal entre \(t=0\) et \(t=20\) . Les résultats sont récapitulés dans les tableaux suivants:

\(Q=\sqrt{\frac{1}{2}\underline{\underline{s}}:\underline{\underline{s}}}[\mathit{Pa}]\)

Variable

Ecart absolu | Code_Aster - Analytique |

\({\sigma}_{zz}\)

0

\({{\varepsilon}}_{xx}\)

3.10-5

\({e}^{P}\)

1.333 10-5

Commentaires#

L’écart avec la solution analytique est très faible.

Synthèse des résultats#

On représente dans les figures suivantes l’évolution des différentes grandeurs lors de l’essai de traction avec la loi de Rankine.

../../../../_images/100000000000034A00000253F2381D2B6E8469D4.png

Fig. 668 Evolution des contraintes lors de l’essai de traction#

../../../../_images/100000000000034A00000253AB9C15F4BACB88B8.png

Fig. 669 Evolution des déformations lors de l’essai de traction#

../../../../_images/100000000000034A000002539FE4993E22022955.png

Fig. 670 Evolution des variables internes lors de l’essai de traction#