r7.04.01 Estimation de la durée de vie en fatigue à grand nombre de cycles et en fatigue oligocyclique

Résumé :

La plupart des structures industrielles sont soumises à des efforts variables dans le temps qui, répétés un grand nombre de fois peuvent conduire à leur rupture par fatigue. On présente dans cette note les principales fonctionnalités des commandes POST_FATIGUE [U4.83.01] et/ou CALC_FATIGUE [U4.83.02] et/ou CALC_CHAMP [U4.81.04] qui permettent d’estimer la limite d’endurance et le cumul de dommage d’une pièce.

Les diverses méthodes disponibles sont:

• cumul linéaire : des méthodes basées sur des essais uniaxiaux (méthodes de Wöhler, Manson-Coffin

et Taheri).

Ces méthodes ont pour point commun de déterminer une valeur de dommage à partir de l’évolution au cours du temps d’une composante scalaire caractérisant, pour le calcul du dommage, l’amplitude de contraintes ou de déformations de la structure.

Pour ce faire, il faut extraire par une méthode de comptage de cycles, les cycles élémentaires de chargement subis par la structure, déterminer le dommage élémentaire associé à chaque cycle et déterminer le dommage total par un règle de cumul linéaire;

• cumul non linéaire : méthode de Lemaître et méthode de Lemaître-Sermage

Ces méthodes permettent de calculer le dommage \(D\) à chaque instant \(t\) , à partir de la donnée du tenseur des contraintes \(\sigma (t)\) et de la déformation plastique cumulée \(p(t)\) ;

• limite d’endurance : critères de Crossland et Dang Van Papadopoulos

Ces critères s’appliquent à des chargements uniaxiaux ou multiaxiaux en contraintes périodiques . Ils fournissent une valeur de critère indiquant s’il y a fatigue ou non. Les contraintes équivalentes définies pour ces critères peuvent aussi servir pour calculer le cumul de dommage.

Table des matières

Méthodes de Wöhler, Manson-Coffin et Taheri

Extraction des pics

L’utilisateur fournit à Code_Aster une fonction qui définit l’histoire (scalaire) du chargement en un point donné. Pour cela, il dispose du mot clé HISTOIRE.

Sur cette histoire du chargement, qui peut être complexe, une première opération d’extraction des pics est réalisée. Cette opération consiste à réduire l’histoire de chargement aux seuls pics fondamentaux.

Remarque:

En fatigue, on dénomme chargement en un point donné la valeur de la réponse de la structure en ce point.

Dans l’utilisation des courbes de Wöhler, il s’agit de contrainte en ce point.

Dans l’utilisation des courbes de Manson-Coffin, il s’agit de déformation en ce point.

L’histoire de chargement est donc l’évolution au cours du temps d’une contrainte, ou d’une déformation.

Si la fonction reste croissante ou décroissante sur plus de deux points consécutifs, on supprime les points intermédiaires pour ne garder que les deux points extrêmes.

On supprime également de l’histoire du chargement les points pour lesquels la variation de la valeur de la contrainte ou de la déformation est inférieure à un certain niveau choisi par l’utilisateur. Cela revient à appliquer un filtre à l’histoire du chargement. La valeur du niveau du filtre est introduite par l’utilisateur sous le mot clé DELTA_OSCI.

Pour illustration considérons l’histoire de chargement suivante:

N° point	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Instant
Chargement					9.6	9.8						2.4	2.2
N° point	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
Instant
Chargement

L’extraction des pics de cette histoire de chargement, avec une valeur de delta de 0.9 conduit à détruire toutes les oscillations d’amplitude inférieure à 0.9. Ce qui conduit à l’histoire de chargement suivante:

N° point	1	2	3	4	7	8	9	10	11	14	15	16	17
Instant
Chargement
N° point	18	19	20	21	23	24	25	26	27	28	29
Instant
Chargement

Remarque:

Notons \(\text{ch}\) la valeur du chargement; \(\text{ch}\) peut être une contrainte ou une déformation.

On a supprimé de l’histoire de chargement:

• le point \(5\) car \(\Delta \text{ch}=\mid \text{ch}(5)-\text{ch}(4)\mid <0.9\) ,

• le point \(6\) car \(\text{ch}=\mid \text{ch}(6)-\text{ch}(4)\mid <0.9\) ,

• le point \(12\) car \(\Delta \text{ch}=\mid \text{ch}(12)-\text{ch}(11)\mid <0.9\) ,

• le point \(13\) car \(\Delta \text{ch}=\mid \text{ch}(13)-\text{ch}(11)\mid <0.9\) .

De même on supprime le point \(22\) car l’histoire de chargement est croissante entre les points \(21,22\) et \(23\) . Donc on ne garde que les points extrêmes.

Méthodes de comptage de cycles

Au cours de leur vie, les structures industrielles sont généralement soumises à des chargements complexes dont les niveaux de sollicitations sont variables.

Les méthodes de comptage de cycles permettent d’extraire de l’histoire de chargement, des cycles élémentaires en fonction de divers critères.

Code_Aster propose trois méthodes distinctes dont deux méthodes non statistiques parmi les méthodes les plus couramment utilisées.

Méthode RAINFLOW

La méthode de comptage des étendues en cascade plus souvent appelée méthode de RAINFLOW, définit des cycles qui physiquement correspondent à des boucles d’hystérésis dans le plan contraintes-déformations. Dans la littérature, on recense plusieurs variantes de cette méthode.

L’algorithme mis en œuvre dans Code_Aster est pour l’essentiel celui proposé par la recommandation AFNOR A 03-406 de novembre 1993 [bib3] (avec des particularités qui sont précisées au cours de la présentation du détail de l’algorithme) et se décompose en trois étapes:

• Une première étape qui consiste à réarranger l’histoire du chargement \(\sigma (t)\) ou \(\varepsilon (t)\) de telle sorte que le chargement débute par la valeur maximale, en valeur absolue, du chargement.

Remarque:

Dans la recommandation AFNOR A 03-406, il n’est pas fait état d’un réarrangement de l’histoire de chargement. Ce réarrangement est cependant effectué dans le logiciel POSTDAM [bib2] et repris dans Code_Aster.

• La seconde étape consiste à extraire les cycles élémentaires de l’histoire de chargement ainsi réarrangée.

La méthode consiste à s’appuyer sur quatre points successifs de l’histoire de chargement \((\text{ch}(i),i=1,\text{Nbpoint})\) .

On note:

\(\begin{array}{}X=\mid \text{ch}(i+1)-\text{ch}(i)\mid \text{et}Y=\mid \text{ch}(i+2)-\text{ch}(i+1)\mid \\ \text{et}Z=\mid \text{ch}(i+3)-\text{ch}(i+2)\mid .\end{array}\)

Tant que \(Y\) est strictement supérieur à \(X\) ou à \(Z\) , on parcourt l’histoire du chargement en se déplaçant d’un point vers la droite (ce qui revient à incrémenter la valeur de \(i\) ).

Dès que \(Y\) est inférieur ou égal à \(X\) et inférieur ou égal à \(Z\) , on considère que l’on a rencontré un cycle élémentaire qui se définit par les deux points \((i+1)\) et \((i+2)\) . L’amplitude du cycle est donnée par \(\Delta \text{ch}=\mid \text{ch}(i+1)-\text{ch}(i+2)\mid\) .

Lorsque le cycle est extrait on supprime les deux points de l’histoire de chargement et on poursuit l’algorithme.

• La troisième étape consiste à traiter le résidu, c’est-à-dire l’histoire de chargement restante après l’étape d’extraction des cycles.

Pour ce faire, on rajoute le même résidu à sa suite moyennant éventuellement certaines précautions au niveau du raccordement suivant les valeurs des extrema considérés ainsi que de la valeur de la première et de la dernière pente du résidu.

Au dernier point du résidu succède le premier point du cycle. De ce fait, les points considérés peuvent ne plus apparaître comme des extrema. Dans le cas où cela se produit, il convient de les éliminer. On rencontre huit cas différents. Pour les traiter explicitement, appelons \({R}_{1}\) et \({R}_{2}\) les deux premiers points du résidu et \({R}_{n-1}\) et \({R}_{n}\) ses deux derniers points.

Remarques :

La recommandation AFNOR A 03-406 fait également état d’un éventuel pré‑traitement du signal, qui consisterait en un filtrage du signal (suppression des parasites) et en une quantification de l’histoire de chargement.

Le filtrage du signal est possible, à la demande de l’utilisateur (voir [§2.1]. Extraction des pics).

La quantification du signal peut être utile pour la rapidité de l’exploitation des résultats de l’analyse de fatigue. Pratiquement, la quantification du signal consiste à découper l’étendue maximale du signal en classes d’intervalles de largeur constante appelées pas, et ramener à une valeur représentative d’une classe donnée (sa valeur moyenne en général) toutes les valeurs situées dans cette classe. Cette possibilité de pré-traitement du signal quant à elle, n’est pas disponible dans Code_Aster.

Dans le cas spécial où l’histoire de chargement est constante (par exemple, chargement moyen appliqué), Code_Aster va compter l’histoire de chargement entière comme un cycle d’amplitude nulle.

Afin d’illustrer la méthode et de préciser les points qui resteraient obscurs, on considère l’histoire de chargement suivante (qui pour l’exemple est considérée de type contraintes):

N° point	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Instant
Chargement			–10.						–70.		–50.		–30.

La méthode de RAINFLOW conduit donc, sur cet exemple, (voir [§Annexe1], pour détail des étapes de l’algorithme) à la détermination de 7 cycles élémentaires définis par la valeur maximale et la valeur minimale du chargement, pour chaque cycle.

Cycle 1 :	VALMAX = 20.	VALMIN = –30.
Cycle 2 :	VALMAX = 25.	VALMIN = 0.
Cycle 3 :	VALMAX = 30.	VALMIN = –50.
Cycle 4 :	VALMAX = 40.	VALMIN = –10.
Cycle 5 :	VALMAX = 50.	VALMIN = 30.
Cycle 6 :	VALMAX = 60.	VALMIN = 20.
Cycle 7 :	VALMAX = 80.	VALMIN = –70.

Remarques:

• Le calcul du dommage ne tenant pas compte de l’ordre d’apparition des cycles élémentaires de chargement, il est sans conséquence de réarranger l’histoire du chargement.

• Pour les méthodes de Taheri, l’ordre d’application des cycles élémentaires de chargement est pris en compte, aussi faut-il être très vigilant à l’utilisation d’une telle méthode de comptage de cycles. Il est conseillé, pour le calcul du dommage par les méthodes de Taheri, d’utiliser la méthode de comptage dite « naturel » [§2.2.3].

Méthode RCC_M

Cette méthode consiste à former les cycles élémentaires de sollicitation en commençant par ceux qui provoquent les plus grandes variations.

Ainsi pour une histoire de chargement comportant \(N\) points, on détermine \(N/2\) cycles élémentaires si \(N\) est pair et \(N/2+1\) si \(N\) est impair.

L’algorithme se décompose en deux étapes. La première étape consiste à ordonner l’histoire de chargement de la plus petite à la plus grande valeur de la contrainte, ou de la déformation.

La seconde étape consiste, quant à elle, à former les cycles élémentaires avec la plus grande variation de la valeur de la contrainte, ou de la déformation.

Sur l’histoire de chargement \(\text{ch}(t)\) réarrangée, les cycles élémentaires sont définis par:

\(\lbrace \begin{array}{ccc}\text{VALMAX}={\text{ch}}_{N+1-i}& & \text{pour}i=1,\text{}N/2\\ \text{VALMIN}\text{}=\text{}{\text{ch}}_{i}& & \end{array}\)

Si \(N\) est impair on détermine un cycle supplémentaire défini par:

\(\lbrace \begin{array}{ccc}\text{VALMAX}={\text{ch}}_{N/2+1}& & \text{si}{\text{ch}}_{N/2+1}>{\text{ch}}_{m}\\ \text{VALMIN}=–{\text{ch}}_{N/2+1}+2\ast {\text{ch}}_{m}& & \end{array}\)

et

\(\lbrace \begin{array}{ccc}\text{VALMAX}={\text{ch}}_{N/2+1}& & \text{sinon}\\ \text{VALMIN}=–{\text{ch}}_{N/2+1}+2\ast {\text{ch}}_{m}& & \end{array}\)

où \({\text{ch}}_{m}=\) contrainte moyenne ou déformation moyenne du chargement = \(\frac{1}{N}\sum_{1}^{N}{\text{ch}}_{i}\) .

Pour illustrer la méthode RCC_M considérons le même exemple que celui utilisé pour la méthode RAINFLOW (dont le chargement était considéré de type contraintes).

N° point	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Instant
Chargement			–10.						–70.		–50.		–30.

La première étape qui consiste à ordonner l’histoire du chargement, de la plus petite à la plus grande valeur du chargement, conduit au stockage suivant:

N° point	9	11	13	3	1	15	5	12	14	7	10	2	6	4	8
Chargement	–70.	–50.	–30.	–10.

L’histoire de chargement se composant de 15 points, la méthode RCC_M détermine 8 cycles élémentaires:

Cycle 1 :	VALMAX = 80.	et	VALMIN = –70.
Cycle 2 :	VALMAX = 60.	et	VALMIN = –50.
Cycle 3 :	VALMAX = 50.	et	VALMIN = –30.
Cycle 4 :	VALMAX = 40.	et	VALMIN = –10.
Cycle 5 :	VALMAX = 30.	et	VALMIN = 0.
Cycle 6 :	VALMAX = 30.	et	VALMIN = 0.
Cycle 7 :	VALMAX = 25.	et	VALMIN = 20.
Cycle 8 :	VALMAX = 20.	et	VALMIN = 6.	car \(({\sigma}_{m}=\frac{1}{N}\sum_{1}^{N}{\sigma}_{i}=6.)\)

Remarque:

Cette méthode de comptage de cycles ne tient absolument pas compte de l’ordre d’apparition des cycles, et ordonne systématiquement les cycles élémentaires par amplitude décroissante. Cette méthode doit être utilisée avec vigilance pour le calcul du dommage par les méthodes de Taheri dont la particularité est de tenir compte de l’ordre d’application des cycles de chargement. Pour le calcul du dommage par les méthodes de Taheri, il est fortement conseillé d’utiliser la méthode de comptage de cycles dite « naturel » [§2.2.3].

Méthode « naturel »

Cette méthode consiste à générer les cycles dans l’ordre de leur apparition dans l’histoire de chargement.

Ainsi pour une histoire de chargement de \(N+1\) points, on détermine \(N/2\) cycles élémentaires si \(N\) pair et \(N/2+1\) cycles élémentaires si \(N\) impair.

La méthode consiste à s’appuyer sur trois points successifs de l’histoire de chargement.

On note \(X=\mid \text{ch}(i+1)-\text{ch}(i)\mid\) et \(Y=\mid \text{ch}(i+2)-\text{ch}(i+1)\mid\) .

Si \(X\ge Y\) on considère que l’on a rencontré un cycle élémentaire qui se définit par les deux points \((i)\) et \((i+1)\) .

L’amplitude du cycle est donnée par \(\Delta \text{ch}=\mid \text{ch}(i+1)-\text{ch}(i)\mid\) .

Si \(X<Y\) on considère que l’on a rencontré un cycle élémentaire qui se définit par les deux points \((i+1)\) et \((i+2)\) .

L’amplitude du cycle est donnée par \(\Delta \text{ch}=\mid \text{ch}(i+2)-\text{ch}(i+1)\mid\) .

Lorsque le cycle est extrait on supprime les deux points \((i)\) et \((i+1)\) de l’histoire de chargement et on poursuit l’algorithme.

Si le nombre de points \((N+1)\) de l’histoire de chargement est impair, l’algorithme décrit précédemment permet de traiter tous les points.

Si le nombre de points \((N+1)\) de l’histoire de chargement est pair, il reste à traiter les deux points restants.

On considère que ces deux points forment un cycle définit par les deux points \(N\) et \((N+1)\) . L’amplitude du cycle est donnée par \(\Delta \text{ch}=\mid \text{ch}(N+1)-\text{ch}(N)\mid\) .

Pour illustrer cette méthode considérons le même exemple que celui utilisé pour les méthodes RAINFLOW et RCC_M.

N° point	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Instant
Chargement			–10.						–70.		–50.		–30.

L’histoire de chargement se composant de 15 points, la méthode « naturel » détermine 7 cycles élémentaires:

Cycle 1 :	VALMAX = 40.	et	VALMIN = –10.
Cycle 2 :	VALMAX = 60.	et	VALMIN = –10.
Cycle 3 :	VALMAX = 50.	et	VALMIN = 20.
Cycle 4 :	VALMAX = 80.	et	VALMIN = –70.
Cycle 5 :	VALMAX = 30.	et	VALMIN = –70.
Cycle 6 :	VALMAX = 30.	et	VALMIN = –50.
Cycle 7 :	VALMAX = 25.	et	VALMIN = –30.

Remarque:

Cette méthode est celle qu’il est fortement recommandé d’utiliser dans le cas du calcul du dommage par les méthodes de Taheri.

Calcul du dommage : méthode de Wöhler

Le nombre de cycles à la rupture est déterminé par interpolation de la courbe de Wöhler du matériau pour un niveau de contrainte alternée donnée (à chaque cycle élémentaire correspond un niveau d’amplitude de contrainte \(\Delta \sigma =\mid {\sigma}_{\max}-{\sigma}_{\min}\mid\) et une contrainte alternée \({S}_{\text{alt}}=1/2\Delta \sigma\) ).

Le dommage d’un cycle élémentaire est égal à l’inverse du nombre de cycles à la rupture \(D=1/N\) .

Dans le cas d’un essai homogène uniaxial avec une contrainte alternée pure (ou symétrique), le nombre de cycles à la rupture est déterminé à partir d’un diagramme d’endurance, encore appelé courbe de Wöhler ou courbe \(S-N\) .

Dans le cas de défauts géométriques ou de cycles élémentaires de contrainte moyenne non nulle, des corrections de la courbe de Wöhler sont nécessaires avant la détermination du nombre de cycles à la rupture et donc du dommage élémentaire.

Diagramme d’endurance

Le diagramme d’endurance, également appelé courbe de Wöhler ou courbe \(S-N\) (courbe contraintes-nombre de cycles à la rupture) est obtenu expérimentalement en soumettant des éprouvettes à des cycles d’efforts périodiques (généralement sinusoïdaux) d’amplitude normale \(\sigma\) et de fréquences constantes, et en notant le nombre de cycles \(N\) au bout duquel la rupture se produit.

La courbe de Wöhler est donc définie pour un matériau donné et se présente sous la forme:

où \({S}_{\text{alt}}\) = la contrainte alternée du cycle = \(\frac{1}{2}\mid {\sigma}_{\max}-{\sigma}_{\min}\mid\)

On distingue trois zones sur cette courbe:

• une zone de fatigue oligocyclique, sous forte contrainte, où la rupture survient après un très petit nombre d’alternances,

• une zone de fatigue ou d’endurance limitée, où la rupture est atteinte après un nombre de cycles qui croît quand la contrainte décroît,

• une zone d’endurance illimitée ou zone de sécurité, sous faible contrainte, pour laquelle la rupture ne se produit pas avant un nombre donné de cycles supérieur à la durée de vie envisagée pour la pièce.

Il existe de nombreuses expressions du diagramme d’endurance:

• La plus ancienne est celle de Wöhler:

\(\ln(N)=a-{\mathrm{bS}}_{\text{alt}}\) éq 2.3.1-1

où \(N\) est le nombre de cycles à la rupture,

\({S}_{\text{alt}}\) la contrainte alternée appliquée,

\(a\) et \(b\) deux caractéristiques du matériau.

Cette expression analytique ne rend pas bien compte, d’une branche horizontale ou asymptotique de la courbe S-N complète, mais elle donne une représentation souvent très bonne de partie moyenne de la courbe.

• Dès 1910, Basquin propose la formule:

\(\ln(N)=a-b\ln({S}_{\text{alt}})\) éq 2.3.1-2

pour tenir compte de la courbure de la courbe de Wöhler qui raccorde la branche descendante à la branche horizontale.

\(D\) = dommage d’un cycle élémentaire = \(1/N=A{S}_{\text{alt}}^{\beta}\) où \(A={e}^{-a}\) et \(\beta =b\) .

• Une autre forme analytique de la courbe de Wöhler est proposé dans POSTDAM pour tenir compte de la courbe hors de la zone singulière:

\({S}_{\text{alt}}=1/2({E}_{C}/E)\Delta \sigma\) éq 2.3.1-3

\(\begin{array}{cc}\mathrm{où}& {E}_{C}=\text{Module d'Young associé à la courbe de fatigue du matériau,}\\ & E=\text{Module d'Young utilisé pour déterminer les contraintes}.\\ & X={\text{LOG}}_{10}({S}_{\text{alt}})\\ & N={10}^{\mathrm{a0}+\mathrm{a1X}+a2{X}^{2}+{\mathrm{a3X}}^{3}}\\ & D=\lbrace \begin{array}{ccc}1/N& \text{si}{S}_{\text{alt}}\ge {S}_{l}& \text{où}{S}_{l}\text{est la limite d'endurance du matériau}\\ 0.& \text{sinon}& \end{array}\end{array}\)

Remarque:

Si l’on prend \(\mathrm{a2}=\mathrm{a3}=0\text{et}{E}_{C}/E=1\) on retrouve la formule de Basquin.

L’utilisateur peut introduire la courbe de Wöhler dans l’opérateur DEFI_MATERIAU [U4.43.01] sous trois formes distinctes:

• une forme discrétisée point par point (mot clé WOHLER sous le mot clé facteur FATIGUE dans DEFI_MATERIAU).

La courbe de Wöhler est dans ce cas une fonction qui donne le nombre de cycles à la rupture \(N\) en fonction de la contrainte alternée \({S}_{\text{alt}}\) et pour laquelle l’utilisateur choisit le mode d’interpolation:

• “LOG” —-> interpolation logarithmique sur le nombre de cycles à la rupture et sur la contrainte alternée (formule de Basquin par morceaux),

• “LIN” —-> interpolation linéaire sur le nombre de cycles à la rupture et sur la contrainte alternée (cette interpolation est déconseillée car la courbe de Wöhler n’est absolument pas linéaire dans ce repère).

• “LIN”, “LOG” interpolation en logarithmique sur le nombre de cycles à la rupture et en linéaire sur la contrainte alternée, ce qui conduit à l’expression donnée par Wöhler.

L’utilisateur doit également choisir le type de prolongement de la fonction à droite et à gauche(s’il est nécessaire d’interpoler la fonction en un point non autorisé par la définition de la fonction il y a arrêt du programme par erreur fatale).

• une forme analytique de Basquin (mots clés A_BASQUIN et BETA_BASQUIN sous le mot clé facteur FATIGUE dans DEFI_MATERIAU)

\(D=A{S}_{\text{alt}}^{\mathrm{\beta }}\) Ce sont les constantes \(A\) et \(\beta\) utilisées dans cette formule qui sont à introduire par l’utilisateur (conformément au code POSTDAM).

• une forme analytique hors zone singulière

\(\begin{array}{}{S}_{\text{alt}}=\text{contrainte alternée}=1/2({E}_{C}/E)\mathrm{\Delta \sigma }\\ X={\text{LOG}}_{10}({S}_{\text{alt}})\\ N={10}^{\mathrm{a0}+\mathrm{a1}X+\mathrm{a2}{X}^{2}+\mathrm{a3}{X}^{3}}\\ D=\lbrace \begin{array}{ccc}1/N& \text{si}{S}_{\text{alt}}\ge {S}_{l}& \text{où}{S}_{l}\text{est la limite d'endurance du matériau}\\ 0.& \text{sinon}& \end{array}\end{array}\)

L’utilisateur doit introduire:

\({E}_{C}\) =	Module d’Young associé à la courbe de fatigue du matériau (mot clé E_REFEsous le mot clé facteur FATIGUE dans DEFI_MATERIAU)
\(E\) =	Module d’Young utilisé pour déterminer les contraintes (mot clé Esous le mot clé facteur ELAS dans DEFI_MATERIAU),

les constantes du matériau \(\mathrm{a0},\mathrm{a1},\mathrm{a2}\mathrm{et}\mathrm{a3}\) (mots clés A0, A1, A2 et A3 sous le mot clé facteur FATIGUE dans DEFI_MATERIAU)

et \({S}_{l}\) la limite d’endurance du matériau (mot clé SL sous le mot clé facteur FATIGUE dans DEFI_MATERIAU).

Remarque :

Cette expression du dommage est disponible sous la même forme dans le logiciel POSTDAM.

Influence des paramètres géométriques sur l’endurance

Coefficient de concentration de contraintes

Suivant la géométrie de la pièce, il peut être nécessaire de pondérer la valeur de la contrainte appliquée par le coefficient de concentration de contraintes \({K}_{T}.\text{}{K}_{T}\) . \({K}_{T}\) est un coefficient fonction de la géométrie de la pièce, de la géométrie du défaut et du type de chargement.

Ce coefficient est donné par l’utilisateur sous le mot clé \({K}_{T}\) du mot clé facteur COEF_MULT.

Il est utilisé pour appliquer à l’histoire du chargement, une homothétie de rapport \({K}_{T}\) , ce qui revient à multiplier toutes les valeurs de l’histoire de chargement par le coefficient \({K}_{T}\) .

(Le calcul du dommage se fera sur une histoire de chargement \(\sigma (t)={K}_{T}\times \sigma (t)\) ).

Coefficient de concentration élasto-plastique

Il peut également être nécessaire de pondérer la valeur de la contrainte appliquée par le coefficient de concentration élasto-plastique \({K}_{e}\) .

Le coefficient de concentration élasto-plastique \({K}_{e}\) (visé aux articles B3234.3 et B3234.5 du RCC_M [bib4]) est défini comme étant le rapport entre l’amplitude de déformation réelle et l’amplitude de déformation fictive déterminée par l’analyse élastique.

Une valeur acceptable du coefficient \({K}_{e}\) peut être déterminée par [bib4]:

\(\lbrace \begin{array}{ccccc}{K}_{e}=1& \text{si}& & \mathrm{\Delta \sigma }<& {\mathrm{3S}}_{m}\\ {K}_{e}=1+(1-n)(\mathrm{\Delta \sigma }/{\mathrm{3S}}_{m}-1)/(n(m-1))& \text{si}& {\mathrm{3S}}_{m}& <\mathrm{\Delta \sigma }<& {\mathrm{3mS}}_{m}\\ {K}_{e}=1/n& \text{si}& {\mathrm{3mS}}_{m}& <\mathrm{\Delta \sigma }& \end{array}\)

où \({S}_{m}\) est la contrainte maximale admissible,

et \(n\) et \(m\) deux constantes dépendant du matériau.

Le facteur élasto-plastique \({K}_{e}\) est un rapport d’homothétie du chargement. Ce facteur dépendant de l’amplitude du chargement. Il est appliqué, cycle par cycle sur les valeurs de la contrainte maximale et minimale de chaque cycle.

Les données \({S}_{m}\) , \(n\) et \(m\) sont introduites sous les mots clés SM_KE_RCCM, N_KE_RCCM et M_KE_RCCM sous le mot clé facteur FATIGUE dans DEFI_MATERIAU.

L’utilisateur demande la prise en compte du facteur de concentration élasto-plastique en indiquant CORR_KE : “RCCM” dans POST_FATIGUE [U4.83.01].

Influence de la contrainte moyenne

Si la pièce n’est pas soumise à des contraintes alternées pures ou symétriques, c’est-à-dire si la contrainte moyenne du cycle n’est pas nulle, la résistance aux sollicitations dynamiques du matériau (sa limite d’endurance) diminue.

On pondère donc la courbe de Wöhler pour calculer le nombre de cycles à la rupture effectifs à l’aide de différents diagrammes.

Le diagramme de Haigh permet de déterminer l’évolution de la limite d’endurance en fonction de la contrainte moyenne \({\sigma}_{m}\) et de la contrainte alternée \({S}_{\text{alt}}\) .

A partir d’un cycle \(({S}_{\text{alt}},{\sigma}_{m})\) identifié dans le signal on calcule la valeur de la contrainte alternée corrigée \({S}_{\text{alt}}^{'}\) .

\(\begin{array}{cc}\text{Si l'on utilise la droite de Goodman}& {S}_{\text{alt}}^{'}=\frac{{S}_{\text{alt}}}{1-\frac{{\sigma}_{m}}{{S}_{u}}}\\ \text{Si l'on utilise la parabole de Gerber}& \begin{array}{}\\ {S}_{\text{alt}}^{'}=\frac{{S}_{\text{alt}}}{1-{(\frac{{\sigma}_{m}}{{S}_{u}})}^{2}}\end{array}\end{array}\)

Si on utilise la droite de Goodman : \({S}_{\text{alt}}^{'}=\frac{{S}_{\text{alt}}}{1-\frac{{\sigma}_{m}}{{S}_{u}}}\)

Si on utilise la parabole de Gerber : \({S}_{\text{alt}}^{'}=\frac{{S}_{\text{alt}}}{1-{(\frac{{\sigma}_{m}}{{S}_{u}})}^{2}}\)

On remarque que ce dernier ne différentie pas la contrainte moyenne en traction et en compression.

où \({S}_{u}\) est la limite à la rupture du matériau.

L’influence de la contrainte moyenne n’est prise en compte que sur demande de l’utilisateur (motclé CORR_HAIG).

Remarque :

Si la courbe de Wöhler est définie par la forme analytique hors zone singulière [éq2.3.1‑3], des étendues de variation de contraintes se trouvant en dessous de la limite d’endurance peuvent se retrouver supérieures à celle-ci. Pour éviter cela, on corrige la limite d’endurance \({S}_{l}\) en prenant une limite d’endurance corrigée [bib5] :

\({S}_{l}^{'}=\frac{{S}_{l}}{1-\frac{{\sigma}_{m}}{{S}_{u}}}\) pour la droite de Goodman

\({S}_{l}^{'}=\frac{{S}_{l}}{1-{(\frac{{\sigma}_{m}}{{S}_{u}})}^{2}}\) pour la parabole de Gerber

Calcul du dommage : méthode de Manson-Coffin

Le domaine d’application de la méthode de Manson-Coffin [bib1] est la fatigue plastique oligocyclique, qui comme son nom l’indique présente deux caractéristiques fondamentales:

• elle est plastique, c’est-à-dire qu’une déformation plastique significative se produit à chaque cycle,

• elle est oligocyclique, c’est-à-dire que les matériaux ont une endurance finie à ce type de sollicitation.

Pour décrire le comportement des matériaux en fatigue plastique oligocyclique, on utilise des essais à déformation imposée alternée.

Dans le cas, d’un essai homogène uniaxial avec une déformation alternée, le nombre de cycles à la rupture est déterminé à partir d’un diagramme de résistance, qui relie la variation de déformation au nombre de cycles entraînant la rupture.

Dans le diagramme de résistance, on sépare les déformations totale, élastique et plastique. Ces diagrammes sont encore connus sous le nom de Coffin-Manson qui les proposèrent en 1950.

Les relations \(\frac{\Delta {\varepsilon}_{e}}{2}-\ln(N)\) et \(\frac{\Delta {\varepsilon}_{p}}{2}-\ln(N)\) sont des droites. La relation \(\frac{\Delta {\varepsilon}_{t}}{2}-\ln(N)\) présente, quant à elle, une courbure vers les déformations positives.

Il a été montré qu’une relation puissance reliait la déformation plastique \(({\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{p})\) et la déformation élastique \(({\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{e})\) au nombre de cycles à la rupture, ce qui conduit aux relations suivantes:

\(\begin{array}{}\Delta {\varepsilon}_{p}=A{N}^{-a}\\ \Delta {\varepsilon}_{e}=B{N}^{-b}\\ \Delta {\varepsilon}_{t}=A{N}^{-a}+B{N}^{-b}\end{array}\)

où \(a\) et \(b\) sont deux caractéristiques du matériau (en général \(a\) est voisin de \(0,5\) et \(b\) voisin de \(0,12\) ); \(A\) et \(B\) , deux constantes du matériau.

L’utilisateur peut introduire la courbe de Manson-Coffin sous une forme mathématique unique: forme discrétisée point par point. C’est une fonction qui donne le nombre de cycles à la rupture \(N\) en fonction de l’amplitude de déformation \((\Delta {\varepsilon}_{})\) .

Comme pour la courbe de Wöhler, l’utilisateur peut choisir le mode d’interpolation sur le nombre de cycles à la rupture et sur l’amplitude de déformation.

Le type de prolongement de la fonction à droite et à gauche est également au choix de l’utilisateur.

Le dommage d’un cycle élémentaire est égal à l’inverse du nombre de cycles à la rupture \(D=1/N\) .

Calcul du dommage : méthode de Taheri

Les méthodes de calcul du dommage proposées par Taheri [bib12] sont au nombre de deux: on les nommera respectivement Taheri-Manson et Taheri-mixte. Ces méthodes s’appliquent à des chargements caractérisés par une composante scalaire de type déformation.

Ces méthodes ont pour particularité de tenir compte de l’ordre d’application des cycles élémentaires de chargement à la structure. Pour cette raison, il convient d’être vigilant au choix de la méthode de comptage des cycles. Il est fortement conseillé d’utiliser la méthode de comptage dite méthode « naturel » [§2.2.3].

Méthode Taheri-Manson

Soient n cycles élémentaires de demi-amplitude \(\frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{1}}{2},\cdots \frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{n}}{2}\) .

La valeur du dommage élémentaire du premier cycle est déterminée par interpolation sur la courbe de Manson-Coffin du matériau.

Le calcul du dommage élémentaire des cycles suivants est effectué par l’algorithme:

• si \(\frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{i+1}}{2}\ge \frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{i}}{2}\)

la valeur du dommage élémentaire du cycle \((i+1)\) est déterminée par interpolation sur la courbe de Manson-Coffin du matériau.

• si \(\frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{i+1}}{2}<\frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{i}}{2}\)

on détermine:

\(\frac{{\mathrm{\Delta \sigma }}_{i+1}}{2}={F}_{\text{NAPPE}}(\frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{i+1}}{2},\underset{j<i}{\text{Max}}(\frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{j}}{2}))\)

puis

\(\frac{\Delta {\varepsilon}_{i+1}^{\ast }}{2}={F}_{\text{FONC}}(\frac{\Delta {\sigma}_{i+1}}{2})\) .

\({F}_{\text{NAPPE}}\) est la courbe d’écrouissage cyclique avec préécrouissage cyclique du matériau.

\({F}_{\text{FONC}}\) est la courbe d’écrouissage cyclique du matériau.

La valeur du dommage du cycle \((i+1)\) est déterminée par interpolation de \(\frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{i+1}^{\ast }}{2}\) sur la courbe de Manson-Coffin du matériau.

Remarque :

Si tous les cycles appliqués sont rangés par valeur croissante de l’amplitude de déformation, cette méthode est identique à la méthode de Manson-Coffin.

Méthode Taheri-Mixte

Soient n cycles élémentaires, de demi-amplitude \(\frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{1}}{2},\cdots \frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{n}}{2}\) .

La valeur du dommage élémentaire du premier cycle est déterminée par interpolation sur la courbe de Manson-Coffin du matériau.

Le calcul du dommage élémentaire des cycles suivants est effectué par l’algorithme:

• si \(\frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{i+1}}{2}\ge \frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{i}}{2}\)

la valeur du dommage élémentaire du cycle \((i+1)\) est déterminée par interpolation sur la courbe de Manson-Coffin du matériau.

• si \(\frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{i+1}}{2}<\frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{i}}{2}\)

on détermine:

\(\frac{{\mathrm{\Delta \sigma }}_{i+1}}{2}={F}_{\text{NAPPE}}(\frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{i+1}}{2},\underset{j<i}{\text{Max}}(\frac{{\mathrm{\Delta \varepsilon }}_{j}}{2}))\)

où \({F}_{\text{NAPPE}}\) est la courbe d’écrouissage cyclique avec préécrouissage cyclique du matériau.

La valeur du dommage du cycle \((i+1)\) est obtenue par interpolation de \(\frac{{\mathrm{\Delta \sigma }}_{i+1}}{2}\) sur la courbe de Wöhler du matériau.

Remarque :

Si tous les cycles appliqués à la structure sont rangés par valeur croissante de l’amplitude de déformation, cette méthode est identique à la méthode de Manson-Coffin.

Le dommage d’un cycle élémentaire est égal à l’inverse du nombre de cycles à la rupture \(D=1/N\) .

Calcul du dommage total

L’approche la plus simple et la plus connue pour déterminer le dommage total d’une pièce soumise à \({n}_{i}\) cycles de contrainte alternée \({S}_{\text{alt}}\) ou de déformation alternée \({E}_{\text{alt}}\) est la règle linéaire du dommage proposée par Miner:

\(\text{Di}=\frac{{n}_{i}}{{N}_{i}}\)

En fonctionnement, les structures sont soumises à divers chargements d’amplitudes différentes. La fatigue subie est due à l’accumulation des dommages élémentaires et le dommage total est calculé à l’aide de la règle de cumul de Miner [bib6]:

\({D}_{\text{total}=}\sum_{i}^{}\frac{{n}_{i}}{{N}_{i}}\)

Dans le cas de Wöhler et Manson-Coffin, cette loi suppose que le dommage augmente linéairement avec le nombre de cycles imposés et qu’il est indépendant du niveau de chargement et de l’ordre d’application des niveaux de chargement (alors qu’expérimentalement, on montre que l’ordre d’application du chargement est un facteur important pour la durée de vie du matériau).

Le calcul du dommage total est demandé par l’utilisateur avec le mot clé CUMUL.

Les méthodes proposées par Taheri tiennent compte de l’ordre d’application du chargement, dans le calcul des dommages élémentaires associés à chaque cycle.

Conclusion

Pour les méthodes basées sur des essais uniaxiaux, le calcul du dommage total subi par une pièce soumise à une histoire de chargement se décompose en plusieurs étapes:

• extraction des pics de l’histoire de chargement, pour aboutir à une histoire plus simple,

• extraction des cycles élémentaires de l’histoire de chargement par une méthode de comptage de cycles,

• calcul du dommage élémentaire associé à chaque cycle élémentaire issu de l’histoire réelle du chargement,

• éventuellement (et pour la méthode de Wöhler), correction du chargement par un coefficient de concentration de contraintes \({K}_{T}\) ,

• éventuellement (et pour la méthode de Wöhler), correction du chargement par un coefficient de concentration élasto-plastique \({K}_{e}\) ,

• éventuellement (et pour la méthode de Wöhler), correction de Haigh pour tenir compte de la valeur non nulle de la contrainte moyenne,

• calcul du dommage total, par une règle de cumul linéaire.

Calcul du dommage de Lemaître généralisé

Cette loi de dommage concerne l’étude de l’amorçage d’une fissure macroscopique, à l’aide d’un post‑processeur de mécanique d’endommagement basé sur une formulation unifiée des lois d’évolution de l’endommagement. Celui-ci utilise, d’une part, des lois d’évolution de l’endommagement spécifiques aux différents mécanismes considérés, et, d’autre part, un modèle plus général basé sur une analyse micro-mécanique du phénomène de l’amorçage.

Cette loi offre un formalisme unique qui suppose que les différents mécanismes d’endommagement sont tous gouvernés par les déformations plastiques, l’énergie de déformation élastique et par un processus d’instabilité.

La loi de Lemaître généralisée

La loi de Lemaître généralisée consiste en un enrichissement de la méthode de calcul de dommage de Lemaitre [bib7] par l’introduction d’une loi en puissance (modèle de Lemaître-Sermage). Elle s’écrit [bib14]:

\(\lbrace \begin{array}{cc}\dot{D}\text{}=\text{}{\left[\frac{Y}{S}\right]}^{s}\dot{p}& \text{si}p>{p}_{D}\\ D\text{}=\text{}0& \text{sinon}\end{array}\) éq 3.1-1

avec:

\(Y=\frac{{\sigma}_{\text{eq}}^{2}}{2E{(1-D)}^{2}}{R}_{\nu}\text{et}{R}_{\nu}=\frac{2}{3}(1+\nu )+3(1-2\nu ){(\frac{{\sigma}_{H}}{{\sigma}_{\text{eq}}})}^{2}\) .

\(Y\) est le taux de restitution de densité d’énergie de déformation élastique.

\({R}_{\mathrm{\nu }}\) est la fonction de triaxialité.

\(\frac{{\sigma}_{H}}{{\sigma}_{\text{eq}}}\) est le taux de triaxialité.

\({\sigma}_{\text{eq}}=\sqrt{\frac{3}{2}{\sigma}_{ij}^{D}{\sigma}_{ij}^{D}}\) est la contrainte équivalente de von Mises.

\({\sigma}_{ij}^{D}={\sigma}_{ij}-\frac{1}{3}{\sigma}_{kk}{S}_{ij}\) est le déviateur de la contrainte.

\({p}_{D}\) est le seuil d’endommagement.

\(S\) et \(s\) sont des caractéristiques matériau.

\(p(t)\) est la déformation plastique cumulée.

Cette loi permet donc de calculer le dommage \(D(t)\) à partir de la donnée du tenseur des contraintes \(\sigma (t)\) et de la déformation plastique cumulée \(p(t)\) .

L’équation [éq 3.1-1] peut s’écrire:

\(\lbrace \begin{array}{cc}{(1-D)}^{\mathrm{2s}}\mathrm{dD}\text{}=\text{}{\left[\frac{C}{S}\right]}^{s}\mathrm{dp}& \text{si}p>{p}_{D}\\ D\text{}=\text{}0& \text{sinon}\end{array}\) éq 3.1-2

avec :

\(C=\frac{{\sigma}_{\text{eq}}^{2}}{2E}{R}_{\nu}\)

L’intégration des équations [éq 3.1-2] entre \({t}_{i}\) et \({t}_{i+1}\) conduit à :

\(\lbrace \begin{array}{cc}\underset{D({t}_{i})}{\overset{D({t}_{i+1})}{\int}}{(1-D)}^{\mathrm{2s}}\mathrm{dD}\text{}=\text{}\underset{p({t}_{i})}{\overset{p({t}_{i+1})}{\int}}{\left[\frac{C}{S}\right]}^{s}\mathrm{dp}& \text{si}p>{p}_{D}\\ D\text{}=\text{}0& \text{sinon}\end{array}\) éq 3.1-3

On remarque qu’il existe une primitive pour le terme à gauche de l’équation [éq 3.1-3] mais pas pour celui à droite. Un schéma d’intégration numérique est donc utilisé pour en calculer l’intégrale. L’équation [éq 3.1-3] peut s’écrire:

\(\lbrace \begin{array}{cc}\frac{{[1-D({t}_{i})]}^{\mathrm{2s}+1}-{[1-D({t}_{i+1})]}^{\mathrm{2s}+1}}{\mathrm{2s}+1}\text{}=\text{}\frac{1}{2}({\left[\frac{C({t}_{i})}{S({t}_{i})}\right]}^{s}+{\left[\frac{C({t}_{i+1})}{S({t}_{i+1})}\right]}^{s})[p({t}_{i+1})-p({t}_{i})]& \text{si}p>{p}_{D}\\ D({t}_{i+1})\text{}=\text{}0& \text{sinon}\end{array}\) éq 3.1-4

On suppose que \(D({t}_{o})=0\) . La valeur du dommage \(D({t}_{i}),i=0,n\) pour chaque instant \({t}_{i}\) peut être déterminée à partir de l’équation [éq 3.1-4]. Dans le Code_Aster , cette grandeur est nommée DOM_LEM.

L’endommagement final à la rupture \({D}_{r}=D({t}_{r})\) est donc associé au temps à la rupture \({t}_{r}\) .

Remarques :

• On considère que les caractéristiques matériau \(E\) (module d’Young), \(\mathrm{\nu }\) (coefficient de poisson) et \(S\) (paramètre matériau) dépendent de la température \(T\) .

• La valeur du module d’Young et la valeur du coefficient de Poisson sont définies dans DEFI_MATERIAU [U4.43.01] sous le mot clé facteur ELAS_FO.

• Les valeurs de \(S\) , \({p}_{D}\) et de \(s\) sont définies dans DEFI_MATERIAU sous le mot clé facteur DOMMA_LEMAITRE et les opérandes S, ESPS_SEUIL et EXP_S. Les paramètres \(S\) et \({p}_{D}\) peuvent dépendre de la température TEMP.

• La loi de Lemaître est obtenue en assignant la valeur \(s=1\)

Identification des paramètres de la loi de Lemaître généralisée

On remarque que l’équation [éq 3.1-4] est valide pour la fatigue et le fluage. Pour la fatigue, \(p\) est la déformation plastique cumulée. Pour le fluage, \(p\) est la déformation plastique instantanée si on néglige la déformation élastique.

On note que les paramètres matériaux \(S\) et \(s\) dépendent fortement non seulement de la température \(T\) mais également de la contrainte \(\sigma\) (via l’expression de \(C\) ). Le processus de détermination de \(S\) et \(s\) à partir des essais de la fatigue a été présenté dans [bib14].

Cette partie vise à présenter une méthode simple pour identifier les paramètres matériaux \(S\) et \(s\) à partir des essais du fluage uni-axiaux.

Dans un premier temps, on fixe la température \(T\) . On va conduire deux essais de fluage à deux niveaux de contrainte \({\sigma}_{1}\) et \({\sigma}_{2}\) suffisamment proches pour que les paramètres \(S\) et \(s\) puissent être considérés comme constants entre ces deux niveaux de contrainte. On désigne \({p}_{\mathrm{r1}}\) et \({p}_{\mathrm{r1}}\) les déformations plastiques à la rupture, mesurées à partir des essais du fluage associés à \({\sigma}_{1}\) et \({\sigma}_{2}\) , respectivement.

Comme la contrainte \(\sigma\) est maintenue constante pendant l’essai de fluage et que \(D({t}_{o})=0\) , \({D}_{r}=D({t}_{r})=1\) , l’équation [éq 3.1-4] peut s’écrire pour les niveaux de contrainte \({\sigma}_{1}\) et \({\sigma}_{2}\) comme:

\(\frac{{S}^{s}}{\mathrm{2s}+1}={[C({\sigma}_{1})]}^{s}.{p}_{\mathrm{r1}}\) éq 3.2-1

\(\frac{{S}^{s}}{\mathrm{2s}+1}={[C({\sigma}_{2})]}^{s}.{p}_{\mathrm{r2}}\) éq 3.2-2

Les paramètres \(S\) et \(s\) sont la solution du système d’équations [éq 3.2-1] et [éq 3.2-2]. A partir de ces équations, le paramètre \(s\) est déterminé comme:

\(s=\frac{\log\frac{{p}_{\mathrm{r2}}}{{p}_{\mathrm{r1}}}}{\log\frac{C({\sigma}_{1})}{C({\sigma}_{2})}}\) éq 3.2-3

Puis, \(S\) peut être déterminé soit à partir de l’équation [éq 3.2-1], soit à partir de l’équation [éq 3.2-2] .

Pour \({\sigma}_{1}<{\sigma}_{2}\) , à partir de l’équation [éq 3.1-7], la valeur de \(s\) est positive (physiquement acceptable) si et seulement si \({p}_{\mathrm{r1}}>{p}_{\mathrm{r2}}\) . Dans le cas contraire, il n’existe pas de solution positive pour le système d’équations [éq 3.2-1] et [éq 3.2-2], i.e., le modèle d’endommagement de Lemaitre n’est pas applicable dans ce cas.

On note que cette méthode simple permet d’identifier les paramètres \(S\) et \(s\) à différentes températures et à différents niveaux de contrainte appliqués à partir des courbes expérimentales/numériques du fluage.

Critères de Crossland et Dang Van Papadopoulos

Les critères [bib9] et [bib13] permettent pour des structures métalliques soumises à des contraintes imposées à la suite d’un grand nombre de cycles de distinguer les chargements endommageant des autres.

On peut classer les critères en deux catégories selon la nature de leur approche:

• approche macroscopique: critère de Crossland,

• approche microscopique: critère de Dang Van Papadopoulos.

Les critères de Crossland et Dang Van Papadopoulos s’appliquent à des chargements uniaxiaux ou multiaxiaux périodiques.

Le but de ces critères n’est pas de déterminer une valeur de dommage, mais une valeur de critère \({R}_{\text{crit}}\) telle que:

\(\lbrace \begin{array}{c}{R}_{\text{crit}}\le 0\text{pas}\text{de}\text{dommage}\\ {R}_{\text{crit}}>0\text{dommage}\text{possible}(\text{fatigue}).\end{array}\)

Critère de Crossland

Le critère de Crossland a un caractère empirique et s’écrit uniquement à partir de variables macroscopiques.

En fait, à partir de campagnes d’essais, on a pu noter que l’amplitude de cission ainsi que la pression hydrostatique jouaient un rôle fondamental dans les mécanismes de fatigue des structures.

C’est pourquoi, Crossland a postulé le critère:

\({R}_{\text{crit}}={\tau}_{a}+a{P}_{\max}-b\)

où

\({\tau}_{a}=\frac{1}{2}\underset{0\le {t}_{0}\le T}{\text{Max}}\underset{0\le {t}_{1}\le T}{\text{Max}}\parallel {\sigma}_{({t}_{1})}^{D}-{\sigma}_{({t}_{0})}^{D}\parallel =\) amplitude de cission

avec \({\sigma}^{D}\) déviateur du tenseur des contraintes.

\({P}_{\max}=\underset{0\le t\le T}{\text{Max}}(\frac{1}{3}\text{trace}\sigma )=\) pression hydrostatique maximale.

\(a=({\tau}_{0}-\frac{{d}_{0}}{\sqrt{3}})/(\frac{{d}_{0}}{\sqrt{3}})\text{et}b={\tau}_{0}\)

avec:

\({\tau}_{0}=\) limite d’endurance en cisaillement pur alterné,

\({d}_{0}=\) limite d’endurance en traction-compression pure alternée.

Critère de Dang Van Papadopoulos

Il est apparu que l’amorçage des fissures de fatigue est un phénomène microscopique se produisant à une échelle de l’ordre du grain. C’est pourquoi, des critères de fatigue, à partir de variables microscopiques locales ont été postulés.

Le critère implémenté [bib8], [bib9] et [bib10] dans Code_Aster est le critère de Dang Van Papadopoulos, qui s’écrit sous la forme:

\({R}_{\mathrm{crit}}={k}^{\ast }+a{P}_{\max}-b\)

où:

\({k}^{\ast }=\frac{R}{\sqrt{2}}\)	si	\(R=\underset{0\le t\le T}{\text{Max}}\sqrt{({\sigma}^{D}(t)-{C}^{\ast }):({\sigma}^{D}(t)-{C}^{\ast })}\)
\({k}^{\ast }=R\)	si	\(R=\underset{0\le t\le T}{\text{Max}}\sqrt{{J}_{2}(t)}=\underset{0\le t\le T}{\text{Max}}\sqrt{\frac{1}{2}({\sigma}^{D}(t)-{C}^{\ast }):({\sigma}^{D}(t)-{C}^{\ast })}\)

avec:

1. \(R\) , le rayon de la plus petite sphère circonscrite au trajet de chargement dans l’espace des déviateurs des contraintes;

2. \({J}_{2}(t)\) , le second invariant des déviateurs des contraintes;

3. \({C}^{\ast }=\underset{C}{\text{Min}}\underset{t}{\text{Max}}\sqrt{({\sigma}^{D}(t)-C):({\sigma}^{D}(t)-C)}\) , le centre de l’hypersphère.

Remarque:

C’est la définition de \(R\) qui utilise \({J}_{2}(t)\) qui est programmée.

\({P}_{\max}=\) pression hydrostatique maximale \(=\underset{0\le t\le T}{\text{Max}}(\frac{1}{3}\text{trace}\sigma )\)

\(a=({\tau}_{0}-\frac{{d}_{0}}{\sqrt{3}})/(\frac{{d}_{0}}{3})\) et \(b={\tau}_{0}\)

avec:

\({\tau}_{0}=\) limite d’endurance en cisaillement pur alterné,

\({d}_{0}=\) limite d’endurance en traction-compression pure alternée.

L’idée de base de Papadopoulos est d’écrire que le grain obéit à un critère de plasticité du type vonMises au lieu du critère de plasticité de type Tresca utilisé par Dang Van.

Papadopoulos a mené une campagne de comparaisons entre les résultats fournis par son critère et des résultats expérimentaux, qui montre que les prédictions du critère de Papadopoulos sont excellentes pour les chargements affines; elles sont un peu moins précises pour les trajets non affines.

Dans sa thèse [bib10] Papadopoulos montre que le critère de Crossland et le critère de Dang Van Papadopoulos donnent les mêmes résultats pour des chargements radiaux.

L’algorithme employé pour le calcul du rayon de la plus petite sphère circonscrite au trajet de chargement dans l’espace des déviateurs de contraintes, est celui proposé dans [bib11]. Il s’agit d’un algorithme récurrent qui repose sur le second invariant des déviateurs des contraintes.

Notons \({S}_{i}\) la valeur du déviateur des contraintes à l’instant \({t}_{i}\) , \({O}_{n}\) le centre de l’hypersphère à l’itération \(n,{R}_{n}\) le rayon de l’hypersphère à l’itération \(n\) et \(x\) le « paramètre d’écrouissage isotrope » de l’algorithme.

• Phase d’initialisation de l’algorithme:

\(\begin{array}{}{O}_{1}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{S}_{i}\\ {R}_{1}=0.\end{array}\)

• Itération de l’étape \(n\) à l’étape \(n+1\) :

on suppose \({O}_{n}\) et \({R}_{n}\) connus. On calcule alors:

\(\begin{array}{}D=\parallel {S}_{i+1}-{O}_{n}\parallel \\ P=D-{R}_{n}\end{array}\)

• Si \(P>0\)

\(\begin{array}{}{R}_{n+1}={R}_{n}+x.P\\ {O}_{n+1}={S}_{i+1}+{R}_{n+1}\frac{{O}_{n}-{S}_{i}}{\parallel {O}_{n}-{S}_{i+1}\parallel }\end{array}\)

• Si \(P<0\)

\(\begin{array}{}{R}_{n+1}={R}_{n}\\ {O}_{n+1}={O}_{n}\end{array}\)

L’algorithme prend fin lorsque tous les points \({S}_{i}\) sont dans l’hypersphère de centre \({O}_{n}\) et de rayon \({R}_{n}\) .

Calcul d’une valeur de dommage

Ces deux critères applicables à des chargements périodiques multiaxiaux permettent de dire s’il y a dommage ou non:

\(\lbrace \begin{array}{c}{R}_{\text{crit}}\le 0\text{pas}\text{de}\text{dommage}\\ {R}_{\text{crit}}>0\text{dommage}\text{possible}(\text{fatigue}).\end{array}\)

Ces critères ne fournissent pas de valeur de dommage. Il peut cependant être intéressant de calculer une valeur de dommage en utilisant les courbes de Wöhler du matériau. Pour ce faire, il faut définir une contrainte équivalente \({\sigma}^{\ast }\) , valeur à interpoler sur la courbe de Wöhler.

Les courbes de Wöhler peuvent être construites à partir d’essais de cisaillement dans quel cas la limite d’endurance est \({\tau}_{0}\) , mais sont plus généralement construites à partir d’essais de traction‑compression pour lesquels la limite d’endurance est \({d}_{0}({d}_{0}<{\tau}_{0})\) .

Pour qu’il y ait cohérence entre le critère et la courbe de Wöhler il faut que :

\(\begin{array}{}\left\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}^{\ast }\le {\tau}_{0}\text{pas}\text{de}\text{dommage}\\ {\sigma}^{\ast }>{\tau}_{0}\text{dommage}\end{array}\right\rbrace \text{pour une courbe de Wöhler définie en cisaillement,}\\ \left\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}^{\ast }\le {d}_{0}\text{pas}\text{de}\text{dommage}\\ {\sigma}^{\ast }>{d}_{0}\text{dommage}\end{array}\right\rbrace \text{pour une courbe de Wöhler définie en traction-compression}.\end{array}\)

Il nous semble donc possible de prendre:

\(\begin{array}{}{\sigma}^{\ast }={R}_{\text{crit}}+{\tau}_{0}\text{pour une courbe de Wöhler en cisaillement}(\text{ce qui est assez rare}),\\ {\sigma}^{\ast }=({R}_{\text{crit}}+{\tau}_{0})\ast ({d}_{0}/{\tau}_{0})\text{pour une courbe de Wöhler en traction-compression}.\end{array}\)

De façon générale, l’utilisateur peut prendre \({\sigma}^{\ast }=({R}_{\text{crit}}+{\tau}_{0})\ast \text{corr}\) où \(\text{corr}\) est un coefficient de correction introduit par l’utilisateur.

Par défaut, ce coefficient \(\mathrm{corr}\) est pris égal à \(({d}_{0}/{\tau}_{0})\) (cas de la courbe de Wöhler introduite en traction-compression).

Remarque :

Dans la littérature, on ne trouve pas de présentation d’une démarche d’utilisation d’un critère pour calculer une valeur de dommage. On sait cependant que certains industriels utilisent une telle démarche, mais sans en connaître la forme adoptée.

La démarche implémentée dans Code_Aster est proposée par le département AMA.

Conclusion

Dans cette note sont exposées les différentes méthodes de calcul du dommage disponibles soit dans l’opérateur POST_FATIGUE soit dans l’opérateur CALC_FATIGUE, soit dans les deux commandes simultanément.

On peut classer ces méthodes en deux grandes classes:

• estimation du dommage à grands nombres de cycles,

• estimation du dommage en fatigue plastique oligocyclique.

Dans la première classe de problèmes, on trouve la méthode de Wöhler, basée sur des essais uniaxiaux, et qui s’applique à des chargements en contrainte. On trouve également dans cette classe, le critère de Crossland, qui est un critère empirique s’appuyant sur des grandeurs macroscopiques et le critère de Dang Van Papadopoulos qui se fonde sur des phénomènes microscopiques.

Les deux critères s’adressent à des chargements en contraintes qui peuvent être uniaxiaux ou multiaxiaux mais périodiques.

Dans la seconde classe de problèmes, on trouve la méthode de Manson-Coffin et les méthodes de Taheri, qui s’appliquent à des chargement en déformations.

L’ensemble des méthodes basées sur des essais uniaxiaux (méthode de Wöhler, méthode de Manson‑Coffin et méthodes de Taheri) sont disponibles dans les deux opérateurs POST_FATIGUE et CALC_FATIGUE.

Les critères, quant à eux, sont uniquement disponibles dans POST_FATIGUE.

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Description des versions du document

Version Aster	Auteur(s) Organisme(s)	Description des modifications
6	A.M DONORE, F. MEISSONNIER EDF-R&D/AMA	texte initial
7,4	A.M DONORE, F. MEISSONNIER EDF-R&D/AMA

On considère l’histoire de chargement suivante (qui pour l’exemple est considérée de type contraintes):

N° point	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Instant
Chargement			–10.						–70.		–50.		–30.

L’étape de réarrangement de l’histoire de chargement conduit au chargement suivant:

N° point	8	9	10	11	12	13	14	15	2	3	4	5	6	7
Chargement		–70.		–50.		–30.				–10.

La seconde étape consiste à extraire les cycles élémentaires. Le premier cycle extrait est le cycle défini par les points 12 et 13 puisque \(\mid \sigma (12)-\sigma (13)\mid\) est inférieur à \(\mid \sigma (14)-\sigma (13)\mid\) et \(\mid \sigma (12)-\sigma (13)\mid\) est inférieur à \(\mid \sigma (12)-\sigma (11)\mid\) .

Cycle 1: \(\mathrm{VALMAX}=20\) et \(\mathrm{VALMIN}=-30\) .

Le cycle ayant été extrait on supprime ces deux points de l’histoire du chargement, et on recommence sur l’histoire restante.

Le cycle suivant extrait est le cycle défini par les points 14 et 15.

Cycle 2: \(\mathrm{VALMAX}=25\) et \(\mathrm{VALMIN}=0\) .

L’histoire restante, après suppression de ces deux points est :

On extrait ensuite le cycle défini par les points 10 et 11.

Cycle 3: \(\mathrm{VALMAX}=30\) et \(\mathrm{VALMIN}=-50\) .

On repart sur l’histoire de chargement suivante:

Le cycle suivant extrait est défini par les points 2 et 3.

Cycle 4: \(\mathrm{VALMAX}=40\) et \(\mathrm{VALMIN}=-10\) .

L’histoire de chargement restante est (c’est le résidu de l’histoire du chargement):

On ne peut plus extraire de cycles, car on a parcouru toute l’histoire du chargement.

On passe donc à la troisième étape, qui consiste à traiter le résidu:

On rajoute le même résidu à sa suite, et on recommence la deuxième étape sur ce chargement.

Le cycle suivant extrait est défini par les points 6 et 7.

Cycle 5: \(\mathrm{VALMAX}=50\) et \(\mathrm{VALMIN}=30\) .

L’histoire de chargement restante est :

Le cycle suivant extrait est défini par les points 4 et 5.

Cycle 6: VALMAX = 60. et VALMIN = 20.

L’histoire de chargement restante est :

Le dernier cycle extrait est un cycle défini par les points 8 et 9.

Cycle 7: \(\mathrm{VALMAX}=80\) et \(\mathrm{VALMIN}=-70\) .

On remarque bien que lorsqu’on applique le comptage RAINFLOW à l’ensemble constitué des deux résidus, on obtient en fin de comptage à nouveau le résidu initial.