v8.01.113 FDLV113 - Source de pression dans une boule pleine de fluide en interaction sol - fluide - structure

Résumé:

Ce test contribue à la validation du chaînage Code_Aster - MISS3D par la méthode fréquentielle de couplage en interaction sol-fluide-structure (ISFS).

Ce test permet de considérer tous les types d’interface: sol-structure, fluide-structure, sol-fluide, sol libre. Il permet également de tester le chargement par source de pression ponctuelle dans le fluide.

Il représente une boule, soit une sphère creuse de dimensions finies, remplie d’eau.

Pour avoir tous les types d’interface, la moitié inférieure de la sphère creuse est modélisée par Code_Aster comme domaine «structure» ; la moitié supérieure représentant le domaine «sol» de mêmes caractéristiques que la structure et le domaine «fluide» est modélisée par MISS3D. Une source de pression harmonique, de module unitaire constant pour chaque fréquence comprise entre \(1\mathrm{Hz}\) et \(30\mathrm{Hz}\) , est imposée au centre de la boule dans le milieu fluide.

On teste le module des déplacements radiaux obtenus à l’extérieur et à l’intérieur de la boule par rapport à une solution analytique calculée. La concordance est correcte à condition de supprimer l’effet d’une résonance parasite correspondant à la première fréquence propre de la sphère avec masse d’eau ajoutée au centre. Cela est possible au moyen de l’introduction d’un paramètre RFIC dans MISS3D.

Solution de référence

Résultats de référence

La méthode fréquentielle de couplage entre Miss3D et Code_Aster est décrite dans le document de référence [bib1].

On teste le module des déplacements radiaux obtenus à l’extérieur et à l’intérieur de la boule par rapport à une solution analytique calculée et détaillée dans une étude applicative [bib2]. Les solutions en pression et développement ne dépendent que du rayon et du temps. On considère que la pression totale dans le fluide est due à la somme de deux contributions:

• la pression \({p}_{d}\) due à la vibration de la paroi à l’interface avec le milieu solide,

• la pression \({p}_{0}\) due à l’action de la masse de Dirac au centre de la sphère, dans un fluide infini

• \(p={p}_{d}+{p}_{0}\)

L’équation d’Helmholtz de propagation des ondes dans le fluide en absence de source s’écrit en coordonnées sphériques après transformation de Fourier :

\(\frac{1}{{r}^{2}}\frac{\delta}{\delta r}({r}^{2}\frac{\delta {p}_{d}}{\delta r})(r,\omega )+\frac{\omega}{{c}_{f}^{2}}{p}_{d}(r,\omega )=0\)

• En posant : \({k}_{f}(\omega )=\frac{\omega}{{c}_{f}}\) , on obtient une solution de la forme \({p}_{d}=A(\sin\frac{({k}_{f}r)}{4\pi r})\) ,

La solution pour la pression \({p}_{0}\) est donnée par une fonction de Green et la pression dans le fluide s’écrit : \(p=\frac{{e}^{i{k}_{f}r}}{4\pi r}+A(\sin\frac{({k}_{f}r)}{4\pi r})\)

L’équation de Navier de propagation des ondes dans le solide en absence de source s’écrit en coordonnées sphériques après transformation de Fourier et en effectuant le changement de variables \(u=\frac{\delta \phi }{\delta r}\) :

\(\frac{{\delta}^{2}}{\delta {r}^{2}}(r\phi )(r,\omega )+{k}_{p}^{2}(r\phi )(r,\omega )=0\)

• En posant \({k}_{p}(\omega )=\frac{\omega}{{c}_{p}}\) , on obtient une solution de la forme :

\(u=B\frac{{e}^{i{k}_{p}r}}{4\pi r}(\frac{i{k}_{p}r-1}{r})+C\frac{{e}^{-i{k}_{p}r}}{4\pi r}(\frac{-i{k}_{p}r-1}{r})\) .

Les 3 coefficients inconnus \(A\) , \(B\) et \(C\) sont alors déterminés à partir de 3 conditions limites:

• Continuité des déplacements normaux à l’interface sol-fluide \(\rho {\omega}^{2}u=\mathrm{grad}(p)\) pour \(r={r}_{1}\) ,

• Continuité des contraintes normales à l’interface sol-fluide \({\sigma}_{\mathrm{rr}}+p=0\) pour \(r={r}_{1}\) ,

• Contrainte radiale nulle sur la surface externe nulle \({\sigma}_{\mathrm{rr}}=0\) pour \(r={r}_{2}\) ,

Références bibliographiques

1. 4. CLOUTEAU: «Manuel de référence de MISS3D – version 6.3 – Centrale Recherche SA»

2. 7. DEVESA, M.FESTA: «étude avec le Code_Aster et son interface avec MISS3D de l’interaction Sol-Structure-Fluide : Application au calcul dynamique des barrages-voûtes», EDF/R&D HP-52/99/001/A.

Modélisation A

Caractéristiques de la modélisation

Les caractéristiques utilisées et le maillage sont ceux déduits des données du paragraphe [1].

On affecte une modélisation 3D aux éléments de la structure

Caractéristiques du maillage

Le maillage fourni à Code_Aster contient des mailles de type HEXA8 pour modéliser la structure et des mailles de types QUAD4 pour modéliser les interfaces avec une discrétisation détaillée dans le paragraphe [1.1]. Il est important d’avoir orienté les éléments de surface des interfaces selon des conventions décrites dans le document [U2.06.08].

Grandeurs testées et résultats

Les valeurs testées sont les modules en \(m\) des réponses aux points \(A\) (équatorial) et \(C\) (polaire) pour le rayon externe de 7 mètres.

Identification	Type référence	Référence	Tolérance
\(\mathrm{MDXA}\) (\(1\mathrm{Hz}\) )	Non régression	2.433100E-04	0.1%
\(\mathrm{MDZC}\) (\(21\mathrm{Hz}\) )	Non régression	0.01679100	0.1%
\(\mathrm{MDXA}\) (\(1\mathrm{Hz}\) )	Source externe	2.648E-04	9.0%

Synthèse des résultats

On représente sur les figures 4a et 4b le déplacement radial analytique en fonction de la fréquence comparé à ceux obtenus par le calcul aux points \(A\) , \(B\) et \(C\) (positionnés sur la figure 1.3-a ci-dessus) pour un rayon de \(7m\) à l’extérieur du domaine structure en post-traitant avec Code_Aster .

On constate une concordance des résultats correcte dans l’ensemble. En particulier, on retrouve assez bien les fréquences de résonance en général vers \(19\mathrm{Hz}\) et \(25\mathrm{Hz}\) malgré un léger décalage et les allures de déplacements hors résonance aux points A et C dans les plans équatorial et vertical. On constate cependant une différence significative au niveau des amplitudes à la résonance liée au moins au léger décalage précédent. D’autre part, on constate au moins une autre perturbation avec une résonance parasite vers \(10\mathrm{Hz}\) . Cette fréquence est la première fréquence propre de la sphère avec masse d’eau ajoutée au centre qu’on peut retrouver par un calcul d’analyse modale. Le mode correspondant est un mode de fluide incompressible différent des modes de gonflement recherchés ici. On peut atténuer cette perturbation par l’introduction du paramètre RFIC (ici valant 0.5) comme donnée de MISS3D.

L’utilisation de modes statiques contraints sur l’enveloppe externe de la sphère est donc exhaustive pour représenter des modes de gonflement à symétrie sphérique mais elle est donc également susceptible de représenter des modes d’une autre nature pouvant perturber la solution, notamment au point \(B\) où on n’a pas imposé explicitement de conditions limites pour retrouver cette symétrie sphérique des déplacements. L’introduction d’un amortissement structurel serait également de nature à diminuer les différences d’amplitude aux fréquences de résonance entre les résultats analytiques et le calcul.

Figure 4a: déplacements analytiques et calculés du test de la sphère de dimension finie (fréq < 15Hz)

Figure 4b: déplacements analytiques et calculés du test de la sphère de dimension finie (fréq > 15Hz)