v2.07.100 SHLV100 - Réponse harmonique d’un cylindre creux en déformations planes#

Résumé:

Ce test tridimensionnel axisymétrique permet de valider les calculs des matrices de rigidité, de masse et des vecteurs de pression sur tous les éléments \(\mathrm{3D}\) et \(\mathrm{2D}\) déformations planes et axisymétriques (10 modélisations).

Les déplacements sont imposés :

soit par degrés de liberté,
soit par face d’élément.

Pour les quatre modélisations 3D, les pressions appliquées sont fournies avec le signe moins, car les faces d’éléments \(\mathrm{3D}\) sont mal orientés dans les fichiers de maillage utilisés.

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Les constantes \(A\) et \(B\) sont calculées en résolvant le système linéaire obtenu en écrivant :

\({\sigma}_{\mathrm{rr}}(a)=-p\) \({\sigma}_{\mathrm{rr}}(b)=0\)

On obtient :

Pour \(r=0.1\)	\({u}_{r}=7.3398{10}^{-3}\)	Pour \(r=0.2\)	\({u}_{r}=4.6816{10}^{-3}\)
	\({\sigma}_{\mathrm{rr}}=-1\)		\({\sigma}_{\mathrm{rr}}=0.\)
	\({\sigma}_{\theta \theta }=1.6685\)		\({\sigma}_{\theta \theta }=0.66738\)
	\({\sigma}_{zz}=0.20055\)		\({\sigma}_{zz}=0.20031\)

Passage dans le système d’axes cartésiens :

\(\begin{array}{ccc}{\sigma}_{xx}& =& {\sigma}_{\mathrm{rr}}{\cos}^{2}\theta +{\sigma}_{\theta \theta }{\sin}^{2}\theta -2{\sigma}_{r\theta }\sin\theta \cos\theta \\ {\sigma}_{yy}& =& {\sigma}_{\mathrm{rr}}{\sin}^{2}\theta +{\sigma}_{\theta \theta }{\cos}^{2}\theta +2{\sigma}_{r\theta }\sin\theta \cos\theta \\ {\sigma}_{xy}& =& {\sigma}_{\mathrm{rr}}\sin\theta \cos\theta -{\sigma}_{\theta \theta }\sin\theta \cos\theta -2{\sigma}_{r\theta }({\cos}^{2}\theta -{\sin}^{2}\theta )\end{array}\)

avec :

\(\theta =0°\) aux points \(A\) et \(B\)

\(\theta =22.5°\) aux points \(C\) et \(D\)

\(\theta =45°\) aux points \(E\) et \(F\)

Résultats de référence#

Déplacements \((u,v)\) et contraintes

aux points \(A,B,C,D,E,F\) .

Incertitude sur la solution#

Précision du calcul des Fonctions de Bessel.

Références bibliographiques#

1. BONNET : Méthodes des équations intégrales régularisées en élastodynamique- Bulletin de la DER - Série C - N°1/2 - (1987).
ERINGEN - SUHUBI - Elastodynamics, Vol.2 : linear theory Academic Press (1975).

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Eléments \(\mathrm{3D}\) (PENTA6 et HEXA8) (issu du maillage \(\mathrm{2D}\) ci-dessous).

../../../../_images/1000595A00001C6C0000136E1FC7E94653094F79.svg

suivant l’axe \(Z\) : 2 couches d’éléments épaisseur totale : 0.01

Conditions limites :

	DDL_IMPO:	( Tout:’oui’	Dz: 0. )
face \(\mathrm{AB}\)		( Group_no:BordAB	Dy: 0. )
face \(\mathrm{EF}\)	FACE_IMPO:	( Group_ma:FaceEF	Dnor: 0. )
pression sur la face \(\mathrm{AE}\)	PRES_REP:	( Group_ma:FaceAE	Pres: -1. )

Noms des nœuds :

A=No1

B=No119

C=No36

D=No166

E=No41

F=No171

Caractéristiques du maillage#

Nombre de noeuds: 513

Nombre de mailles et types : 400 PENTA6100 HEXA840 QUAD4

Remarques#

La pression a un signe négatif (au lieu de positif) car les faces des éléments \(\mathrm{3D}\) sont mal orientées.

Grandeurs testées et résultats#

Localisation	Grandeurs	Référence	Aster	% différence	tolérance
A		7.3398 10–3 0. –1. 1.6685 0.20055 0.	7.3243 10–3 eps –0.8789 1.6241 0.2235 –0.0922	–0.21 – 12.1 –2.66 11.75 –	10–2 0.2 0.2
C		6.78109 10–3 2.80882 10–3 –0.60921 1.27771 0.20055 –0.94346	6.7670 10–3 2.8012 10–3 –0.5121 1.3300 0.2454 –0.8567	–0.21 –0.27 15.94 4.09 22.39 9.20	10–2 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3
E		5.19002 10–3 5.19002 10–3 0.33425 0.33425 0.20055 –1.33425	5.1784 10–3 5.1784 10–3 0.4319 0.5315 0.289 –1.269	–0.22 –0.22 29.23 59.04 44.50 4.87	10–2 0.6 0.6 0.6 0.6
B		4.6716 10–3 0. 0. 0.66738 0.20021 0.	4.6641 10–3 eps –0.0132 0.6724 0.1977 0.0219	–0.16 – – 0.75 –1.25 –	10–2 2.10–2 – –
D		4.32523 10–3 1.79157 10–3 0.09774 0.56964 0.20021 –0.23595	4.3084 10–3 1.7854 10–3 0.0739 0.5728 0.1941 –0.2348	–0.39 –0.34 –24.39 0.56 –3.05 0.49	10–2 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3
F		3.31039 10–3 3.31039 10–3 0.33369 0.33369 0.20021 –0.33369	3.2974 10–3 3.2974 10–3 0.2977 0.3245 0.1866 –0.3415	–0.39 –0.39 –10.78 2.75 –6.80 –2.34	10–2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

Remarques#

Le maillage est insuffisant pour des éléments linéaires.