v6.04.186 SSNV186 – LBB condition et contact frottant avec X-FEM#
Résumé
Ce test a pour but de valider la prise en compte du contact (par la méthode continue [bib1]) sur les lèvres de la fissure dans le cadre de la méthode X-FEM [bib2], lorsque la LBB condition [bib3] [bib4] n’est pas respectée.
Le contact/frottement est traité par un algorithme de Lagrangien augmenté pour les modélisations A à H et par un algorithme pénalisé pour les modélisations I à K.
Ce test met en jeu un bloc parallélépipédique en compression. L’interface le traversant est représentée par une level set. L’interface est droite, non–penchée et traverse complètement les éléments.
Modélisation A : hexaèdres (version 2)#
Dans cette modélisation, le maillage considéré ne comporte que des hexaèdres. Cette modélisation sert de référence pour les autres, car ce cas ne présente pas de segments P0. En effet, dans le cas des hexaèdres coupés par une interface parallèlement aux faces, le nombre de pressions de contact (une par arête coupée) est compatible avec la discrétisation du champ de déplacement [bib1] [bib2].
Caractéristiques du maillage#
Le problème est invariant suivant l’axe \(\mathit{Ox}\) . Afin de limiter le temps de calcul, le maillage considéré ici ne comporte qu’un seul élément suivant cet axe. La structure est alors modélisée par un maillage régulier composé de \(1\times 20\times 20\) HEXA8 voir [ Figure 2.1-1 ].
Figure 2.1-1: Maillage d’hexaèdres
Ce maillage est composé d’éléments finis linéaires. Dans le cadre de la méthode continue [bib1] avec X-FEM [bib2], les inconnues de contact sont portées par les nœuds sommets.
Fonctionnalités testées#
On utilise le schéma d’intégration réduit à 4 points de Gauss par facette de contact.
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la 1ère itération de contraintes actives.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la pression de contact au point \(P\) de coordonnées \((0,10,17.5)\) . Cette valeur sert de référence pour les autres modélisations.
\(\lambda =-9528440\mathit{Pa}\)
Modélisation B : pentaèdres et loi adhérente (version 2)#
Dans cette modélisation, on teste l’efficacité de l’algorithme version 2 pour un maillage pentaédrique, dans le cas d’une interface entièrement adhérente. Afin de modéliser celle-ci, on utilise la loi cohésive CZM_LIN_MIX.
Caractéristiques du maillage#
La structure est modélisée par un maillage régulier composé de pentaèdres HEXA6 (voir fig.).
Figure 3.1-1: Maillage de pentaèdres
Fonctionnalités testées#
On valide l’utilisation de l’algorithme version 2 pour une interface adhérente.
On valide l’implémentation de la loi cohésive CZM_LIN_MIX pour les éléments pentaèdres.
On utilise le schéma d’intégration réduit à 4 points de Gauss par facette de contact.
La loi cohésive CZM_LIN_MIX est utilisée avec une contrainte critique \({\sigma}_{c}\) très supérieure à la pression appliquée (définie par l’équation ): \({\sigma}_{c}=50\times {10}^{6}\mathit{Pa}\) . Ainsi, la contrainte critique ne sera jamais dépassé au cours du calcul: l’interface reste donc adhérente.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la pression de contact au point \(P\) de coordonnées \((0,10,17.5)\) , la valeur de référence étant celle de la modélisation \(A\) .
Identification |
Référence |
% différence |
Point \(P\) |
\(-9528440\) |
1.0 |
Modélisation C : triangles et loi adhérente (version 2)#
Dans cette modélisation, on teste l’efficacité de l’algorithme version 2 pour un maillage triangulaire, dans le cas d’une interface entièrement adhérente. Afin de modéliser celle-ci, on utilise la loi cohésive CZM_LIN_MIX.
Caractéristiques du maillage#
La structure est modélisée par un maillage régulier composé de pentaèdres TRIA3 (voir fig.).
Figure 4.1-1: Maillage de triangles
Fonctionnalités testées#
On valide l’utilisation de l’algorithme version 2 pour une interface adhérente.
On valide l’implémentation de la loi cohésive CZM_LIN_MIX pour les éléments triangles.
La loi cohésive CZM_LIN_MIX est utilisée avec une contrainte critique \({\sigma}_{c}\) très supérieure à la pression appliquée (définie par l’équation ): \({\sigma}_{c}=50\times {10}^{6}\mathit{Pa}\) . Ainsi, la contrainte critique ne sera jamais dépassé au cours du calcul: l’interface reste donc adhérente.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la pression de contact au point \(P\) de coordonnées \((0,10,17.5)\) , la valeur de référence étant celle de la modélisation \(A\) .
Identification |
Référence |
% différence |
Point \(P\) |
\(-9528440\) |
0.7 |
Modélisation D : pentaèdres et frottement#
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est identique à celui de la modélisation B.
Fonctionnalités testées#
On utilise le schéma d’intégration réduit à 4 points de Gauss par facette de contact.
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la 1ère itération de contraintes actives.
L’algorithme visant à restreindre l’espace des multiplicateurs de Lagrange est le n°2.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la pression de contact au point \(P\) de coordonnées \((0,10,17.5)\) .
Identification |
Référence |
% différence |
Point \(P\) |
\(-9528440\) |
0.10 |
Commentaires#
Cette modélisation montre que l’algorithme version 2 permet de réduire de manière efficace les oscillations. On observe que l’algorithme version 2 a tendance à introduire des approximations \(\mathit{P1}\) par morceaux des pressions de contact sur l’interface, ce qui le rend plus précis que la version1 (voir aussi la [ Figure 7.2-1 ] et la [ Figure 7.2-2 ]).
Modélisation E : tétraèdres (algorithme version 1)#
Ce test met en jeu un maillage libre composé de tétraèdres. Afin de réduire le nombre d’éléments et donc le temps de calcul, la longueur de la structure suivant l’axe \(\mathrm{Ox}\) est \(\mathrm{LX}=1m\) .
Caractéristiques du maillage#
Le maillage considéré est un maillage libre réalisé avec GMSH. Il est constitué de 3629 TETRA4. La [ Figure 6.1-1 ] représente le maillage dans le plan \(\mathrm{Oyz}\) . L’interface y est tracée uniquement à des fins de visualisation.
Figure 6.1-1: Maillage libre
Conditions aux limites et chargements#
La face inférieure est encastrée.
La face supérieure est soumise à une pression uniforme:
\(\mathit{pression}=100\frac{E}{{10}^{6}}\mathit{Pa}\) éq 6.2-1
Les déplacements suivant les axes \(x\) et \(y\) sont bloqués pour les nœuds de la surface supérieure.
Fonctionnalités testées#
On utilise le schéma d’intégration réduit à 4 points de Gauss par facette de contact.
Le contact est actif dès la 1ère itération de contraintes actives mais le frottement n’est pas pris en compte
L’algorithme visant à restreindre l’espace des multiplicateurs de Lagrange est le n°1.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur des pressions de contact pour tous les points de l’interface. La solution analytique est tout simplement:
\(\lambda ={\sigma}_{zz}=-\mathit{pression}\) éq 6.4-1
Identification |
Référence |
% différence |
MAX(LAGS_C) |
-10E7 |
0.01% |
MIN(LAGS_C) |
-10E7 |
0.01% |
Pour tester tous les points de contact en une seule fois, on teste le minimum et le maximum de la colonne.
Commentaires#
Ce test permet de valider la robustesse de l’algorithme de restriction de l’espace des multiplicateurs de Lagrange de pression, dans un cas de maillage libre en 3D. Même sur une structure soumise à pression constante, l’algorithme est indispensable car des oscillations des pressions de contact peuvent apparaître (c’est le cas ici si l’algorithme n’est pas activé).
Synthèses des résultats 3D#
Résumé#
Dans le cadre de la méthode X-FEM, on a montré que, sans traitement particulier, une structure maillée avec des pentaèdres soumis à un chargement non-uniforme peut présenter de fortes oscillations des pressions de contact, comme le montre la deuxième courbe de la [ Figure 7.2-1 ]), réalisée avec une formulation différente [bib7], à présent résorbée dans Code_Aster, pour laquelle l’absence d’algorithme de restriction n’entraînait pas de pivot nul. La même structure maillée avec des hexaèdres soumis au même chargement ne présente pas de telles oscillations (modélisation A servant de référence).
On a proposé deux algorithmes permettant de réduire significativement ces oscillations. Le premier (troisième courbe de la [ Figure 7.2-1 ]) semble moins précis que le second (modélisation D).
De plus même sous chargement uniforme, des oscillations peuvent apparaître et il est indispensable d’utiliser un algorithme de réduction de l’espace des multiplicateurs de Lagrange de pression (modélisation E).
Courbes de comparaison#
La [ Figure 7.2-1 ] rassemble les courbes des pressions de contact le long de l’axe \(\mathit{Oy}\) , respectivement pour le maillage hexaédrique (modélisation A), un maillage pentaédrique sans algorithme de traitement de la LBB, un maillage pentaédrique avec l’algorithme 1 et enfin un maillage pentaédrique avec l’algorithme 2 (modélisation D). On remarque que les oscillations pour le deuxième cas sont si fortes qu’en certains points la valeur de la pression de contact devient positive, ce qui voudrait dire qu’il y a décollement de l’interface. Les deux algorithmes permettent une réduction visible des oscillations, et on retrouve la courbe de référence obtenue avec le maillage d’hexaèdres.
Figure 7.2-1: Comparaison des pressions de contact suivant les modélisations (pressions exprimées en GPa)
La [ Figure 7.2-2 ] compare en détails les effets des deux algorithmes. On remarque que le premier implique souvent des pressions de contact constantes par morceaux, alors que le second tend à linéariser les pressions. Il est évident que de telles différences s’amenuisent en raffinant le maillage.
Figure 7.2-2: Comparaison des 2 algorithmes (pressions exprimées en GPa)
Modélisation F : quadrangles 2D#
Cette modélisation est l’équivalent en 2D de la modélisation A (référence). Ce cas ne présente pas d’oscillations des pressions de contact. Tout comme dans la modélisation A, les quadrangles sont coupés par une interface parallèlement aux arêtes. Il n’y a alors pas de segments P0.
Caractéristiques du maillage#
La structure est alors modélisée par un maillage régulier composé de \(20\times 20\) QUAD4 (Voir []).
Figure 8.1-1: Maillage de quadrangles
Fonctionnalités testées#
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la 1ère itération de contraintes actives.
L’algorithme visant à restreindre l’espace des multiplicateurs de Lagrange est le numéro 2.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la pression de contact au point \(P\) de coordonnées \((10,17.5)\) .
Identification |
Référence |
% différence |
Point \(P\) |
\(-9528440\) |
\(2.41{10}^{-4}\) |
Commentaires#
Ce cas test permet de retrouver les valeurs de référence des pressions de contacts calculées dans la modélisation A, et de vérifier que dans le cas de quadrangles coupés parallèlement à leurs faces, ces pressions de contacts ne présentent pas de segments P0 (voir [ Figure 11.2-1 ]).
Modélisation G : triangles (algorithme version 1)#
Caractéristiques du maillage#
La structure est modélisée par un maillage régulier composé de triangles. Le test est l’équivalent en 2D de la modélisation B (Voir [ Figure 9.1-1 ]).
Figure 9.1-1: Maillage de triangles
Fonctionnalités testées#
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la 1ère itération de contraintes actives.
L’algorithme visant à restreindre l’espace des multiplicateurs de Lagrange est le n°1.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la pression de contact au point \(P\) de coordonnées \((10,17.5)\) .
Identification |
Référence |
% différence |
Point \(P\) |
\(-9528440\) |
0.655 |
Commentaires#
Cette modélisation montre que l’algorithme mis en place permet de réduire efficacement les oscillations. (voir [ Figure 11.2-1 ]).
Modélisation H : triangles (algorithme version 2)#
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est identique à celui de la modélisation G.
Fonctionnalités testées#
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la 1ère itération de contraintes actives.
L’algorithme visant à restreindre l’espace des multiplicateurs de Lagrange est le n°2.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la pression de contact au point \(P\) de coordonnées \((10,17.5)\) .
Identification |
Référence |
% différence |
Point \(P\) |
\(-9528440\) |
0.655 |
Commentaires#
Cette modélisation montre qu’en 2D, l’algorithme version 2 a un comportement très proche de celui de la version 1. En effet, mis à part les premières pressions de contacts mesurées sur la gauche du maillage, les valeurs observées sont identiques, et les courbes obtenues avec les deux algorithmes se recouvrent presque intégralement. (voir [ Figure 11.2-1 ]).
Synthèses des résultats 2D#
Résumé#
On a, dans un premier temps, vérifié que le comportement de la structure de référence (modélisation A) pouvait être retrouvé en 2D (modélisation F). Après avoir observé le phénomène d’oscillations en 2D, on a testé sur des cas en 2D les deux algorithmes qui permettent de réduire ces oscillations en 3D.
Les deux algorithmes testés dans les modélisations G et H donnent, en 2 dimensions, des résultats très proches, et permettent de réduire conséquemment les oscillations introduites par le maillage.
Courbes de comparaison#
La [ Figure 11.2-1 ] représente les courbes des pressions de contact le long de l’axe Ox pour les 3modélisations en 2D présentées. On remarque que les courbes représentatives des deux algorithmes se recouvrent presque intégralement. Les deux algorithmes sont donc à peu près aussi efficients l’un que l’autre en 2D. Il permettent néanmoins de réduire efficacement les oscillations.
Figure 11.2-1: Comparaison des pressions de contact suivant les modélisations 2D (pression exprimées en GPa).
Il est à noter qu’un raffinement de maillage augmente évidemment la précision des résultats obtenus.
Modélisation I : pentaèdres (algorithme version 2), méthode pénalisée#
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est identique à celui de la modélisation B.
Fonctionnalités testées#
On utilise le schéma d’intégration réduit à 4 points de Gauss par facette de contact.
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la 1ère itération de contraintes actives.
L’algorithme visant à restreindre l’espace des multiplicateurs de Lagrange est le n°2.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la pression de contact au point \(P\) de coordonnées \((0,10,17.5)\) .
Identification |
Référence |
% différence |
Point \(P\) |
\(\lambda =-9528440\mathit{Pa}\) |
\(4.4{10}^{-3}\) |
Commentaires#
On retrouve des résultats comparables à ceux de la modélisation B où l’algorithme de contact/frottement était le Lagrangien augmenté, et ce, sur toute la surface de contact (voir [Figure 26.2.1]).
Modélisation J : tétraèdres (algorithme version 1), méthode pénalisée#
Ce test met en jeu un maillage libre composé de tétraèdres. Afin de réduire le nombre d’éléments et donc le temps de calcul, la longueur de la structure suivant l’axe \(\mathrm{Ox}\) est \(\mathrm{LX}=1m\) .
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est identique à celui de la modélisation E.
Conditions aux limites et chargements#
La face inférieure est encastrée.
La face supérieure est soumise à une pression uniforme:
\(\mathrm{pression}=100\frac{E}{{10}^{6}}\mathrm{Pa}\) éq 13.2-1
Les déplacements suivant les axes \(x\) et \(y\) sont bloqués pour les nœuds de la surface supérieure.
Fonctionnalités testées#
On utilise le schéma d’intégration réduit à 4 points de Gauss par facette de contact.
Le contact est actif dès la première itération de contraintes actives .
L’algorithme visant à restreindre l’espace des multiplicateurs de Lagrange est le n°1.
On teste ici la méthode pénalisée pour traiter le contact/frottement.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur des pressions de contact pour tous les points de l’interface. La solution analytique est tout simplement:
\(\lambda ={\sigma}_{zz}=-\mathit{pression}\) éq 13.4-1
Identification |
Référence |
% différence |
MAX(LAGS_C) |
-10E7 |
10-4 |
MIN(LAGS_C) |
-10E7 |
10-4 |
Pour tester tous les points de contact en une seule fois, on teste le MINIMUM et le MAXIMUM de la colonne.
Commentaires#
On retrouve des résultats comparables à ceux de la modélisation E où l’algorithme de contact/frottement était le Lagrangien augmenté.
Modélisation K : triangles (algorithme version 1), méthode pénalisée#
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est identique à celui de la modélisation G.
Fonctionnalités testées#
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la première itération de contraintes actives.
L’algorithme visant à restreindre l’espace des multiplicateurs de Lagrange est le n°1.
On teste ici la méthode pénalisée pour traiter le contact/frottement.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la pression de contact au point \(P\) de coordonnées (10, 17.5).
Identification |
Référence |
% différence |
Point \(P\) |
\(-9528440\) |
\(0.30\) |
Commentaires#
On retrouve des résultats comparables à ceux de la modélisation G où l’algorithme de contact/frottement était le Lagrangien augmenté, et ce, sur toute la surface de contact (voir [Figure 26.2.2]).
Synthèses des résultats en méthode pénalisée#
Résumé#
On a montré que la méthode pénalisée permettait de satisfaire la LBB condition au même titre que la méthode du Lagrangien augmenté.
Courbes de comparaison#
Les Figures 26.2.1 et 26.2.2 montrent le profil de pression de contact le long de l’interface lorsqu’on utilise la méthode pénalisée et la méthode de Lagrangien augmenté. Les résultats des modélisations A et F sont donnés à titre de référence. On constate qu’il a y très peu d’écart entre les résultats des deux méthodes.
Figure 15.2-1: Comparaison de la méthode du Lagrangien augmenté et de la méthode pénalisée en 3D.
Figure 15.2-2: Comparaison de la méthode du Lagrangien augmenté et de la méthode pénalisée en 2D.
Modélisation L : pyramides (algorithme version 2)#
Caractéristiques du maillage#
Le maillage en éléments linéaires est constitué d’hexaèdres, de tétraèdres et de pyramides. La fissure illustrée en bleu sur la traverse une partie des pyramides et des tétraèdres en leur milieu.
Figure 16.1-1: Maillage d’hexaèdres, de tétraèdres et de pyramides
Fonctionnalités testées#
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la première itération de contraintes actives. Les pressions de contact inconnues sont mises aux nœuds des éléments. L’algorithme visant à restreindre l’espace des multiplicateurs de Lagrange est le n°2. On teste ici les éléments pyramide.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la pression de contact au point \(\mathit{P1}\) et \(\mathit{P2}\) de coordonnées respectives \((0,10,17.)\) et \((0,10,18.)\) . Ces nœuds sont les sommets de l’arête passant par le point \(P\) \((0,10,17.5)\) .
Identification |
Référence |
% différence |
Points \(\mathit{P1}\) et \(\mathit{P2}\) |
\(-9528440\) |
0.0351 |
Courbes de comparaison#
La [] représente les courbes des pressions de contact le long de l’axe \(\mathit{Oy}\) à \(x=0\) pour les modélisations A et L. On a pris les valeurs en \(z=17\) pour la modélisation M étant donné qu’il n’y a pas de point en \(z=17.5\) comme pour la modélisation A. On remarque tout de même que la courbe de la modélisation L suit bien la courbe de référence obtenue avec le maillage d’hexaèdres.
Figure 16.4-1: Comparaison des pressions de contact suivant les modélisations
Commentaires#
On retrouve des résultats comparables à ceux de la modélisation A où l’ensemble du maillage de la structure contient des hexaèdres. L’introduction des pyramides dans le maillage au niveau de la surface de contact altère peu les résultats des pressions de contact.
Modélisation M : pyramides (algorithme version 2)#
Caractéristiques du maillage#
Le maillage de la modélisation M reprend le maillage de la modélisation L en le passant en quadratique. Il est constitué d’hexaèdres, de tétraèdres et de pyramides. La fissure illustrée en bleu sur la traverse une partie des pyramides et des tétraèdres en leur milieu.
Fonctionnalités testées#
Le frottement est pris en compte et le contact est actif dès la première itération de contraintes actives. Les pressions de contact inconnues sont mises aux nœuds des éléments. L’algorithme visant à restreindre l’espace des multiplicateurs de Lagrange est le n°2. On teste ici les éléments pyramide en quadratique (PYRA13).
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la pression de contact au point \(P\) de coordonnées (10, 17.5).
Identification |
Référence |
% différence |
Point \(P\) |
\(-9528440\) |
\(0.025\) |
Courbes de pression de contact#
Figure 17.4-1: Evolution de la pression de contact suivant l’axe Oy.
Commentaires#
Les résultats de la modélisation quadratique sont comparables à ceux des modélisations linéaire précédentes. Cette modélisation permet de valider l’utilisation de pyramides quadratique avec la méthode X-FEM et du contact.