v3.04.148 SSLV146 – Cube plein renforcé par des armatures sous chargement triaxial#
Résumé
Ce test \(\mathrm{3D}\) entre dans le cadre de la validation de la formulation GRILLE_MEMBRANE. Il s’agit d’un cube plein de dimension unitaire. On place sur chaque face une nappe d’armatures d’acier de manière à balayer toutes les directions possibles. Le chargement consiste en des déplacements imposés sur tous les nœuds de la structure.
L’intérêt principal de ce test est de tester la modélisation GRILLE_MEMBRANE pour différentes orientations et pour différents éléments (linéaire et quadratique). Les résultats sont comparés à une solution analytique.
Les unités de toutes les valeurs numériques sont en SI.
Solution de référence#
Solution formelle#
On cherche à définir la déformation \(\varepsilon\) selon la direction principale d’une nappe d’armature située dans le plan \(({x}_{\mathrm{1 }};{y}_{1})\) .
Compte tenu des conditions aux limites choisies, on peut écrire:
avec \(({u}_{\mathrm{x1}},{u}_{\mathrm{y1}})\) les composantes du vecteur déplacement dans le plan \(({x}_{\mathrm{1 }};{y}_{1})\) et \(\theta\) l’angle entre la direction principale de la nappe d’armature et \({x}_{1}\) .
Pour définir la direction principale de la nappe, on utilise les angles nautiques \((\alpha ;\beta )\) donnés par le mot clé ANGL_REP. Ils définissent un vecteur \(v\) dont la projection \({x}_{p}\) sur le plan tangent de la nappe fixe la direction principale.
avec \((x,y,z)\) le repère initial. Pour notre application, le vecteur déplacement \(U\) s’écrit:
Pour la nappe \(\mathrm{GEOX}\) (plan \((y;z)\) ):
La direction principale de la nappe est
(\(\theta =90°\) ) . La déformation s’écrit alors:
Pour la nappe \(\mathrm{GEOY}\) (plan \((x;z)\) ):
La direction principale de la nappe fait donc un angle de \(40°\) avec le plan de la nappe. La déformation s’écrit alors:
Pour la nappe \(\mathrm{GEOZ}\) (plan \((x;y)\) ):
La direction principale de la nappe fait donc un angle de \(15°\) avec le plan de la nappe. La déformation s‘écrit alors:
Ces trois valeurs seront les valeurs de référence analytiques pour la validation des calculs.
Modélisations#
En fonction des modélisations, les objets sont maillés avec des éléments différents:
Modélisation A: cube: 1 élément HEXA8 à 8 nœuds
faces: 1 élément QUAD4 à 4 nœuds
Modélisation B: cube: 6 éléments TETRA4 à 4 nœuds
faces: 2 éléments TRIA3 à 3 nœuds
Modélisation C: même modélisation qu’en A avec des éléments quadratiques
Modélisation D: même modélisation qu’en B avec des éléments quadratiques
3.1 Grandeurs testées et résultats de la modélisation A
La modélisation A est constituée d’un élément CUB8 pour le cube et d’un élément QUA4 pour chaque face. Le comportement est élastique (commandes MECA_STATIQUE puis STAT_NON_LINE (vérification)).
On teste les valeurs données par EPSI_ELGA; EPSI_ELNO, SIEF_ELGA, SIEF_ELNO, SIEF_ELGA, SIGM_ELNO en différents points dans les directions principales des nappes d’armature, obtenues respectivement avec les commandes MECA_STATIQUE et STAT_NON_LINE.
Pour MECA_STATIQUE :
Points d’intégration |
EPSI_ELGA (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
SIEF_ELGA (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
||||
Code_Aster |
Référence |
Ecart (\(\text{\%}\) ) |
Code_Aster |
Référence |
Ecart |
|
MA1 – Point 1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA2 – Point 1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA3 – Point 1 (nappe GEOY) |
1.8264 |
1.8263 |
0 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA4 – Point 1 (nappe GEOY) |
1.8264 |
1.8263 |
0 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA5 – Point 1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
MA6 – Point 1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
Noeud |
EPSI_ELNO (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
SIGM_ELNO (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
||||
Code_Aster |
Référence |
Ecart (\(\text{\%}\) ) |
Code_Aster |
Référence |
Ecart |
|
NO1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
NO1 (nappe GEOY) |
1.8264 |
1.8263 |
0 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
NO1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
Pour STAT_NON_LINE
Points d’intégration |
EPSI_ELGA (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
SIEF_ELGA (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
||||
Code_Aster |
Référence |
Ecart (\(\text{\%}\) ) |
Code_Aster |
Référence |
Ecart |
|
MA1 – Point 1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA2 – Point 1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA3 – Point 1 (nappe GEOY) |
1.8264 |
1.8263 |
0.003 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA4 – Point 1 (nappe GEOY) |
1.8264 |
1.8263 |
0.003 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA5 – Point 1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
MA6 – Point 1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
Noeud |
EPSI_ELNO (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
SIEF_ELNO (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
||||
Code_Aster |
Référence |
Ecart (\(\text{\%}\) ) |
Code_Aster |
Référence |
Ecart |
|
MA1 - NO1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA2 - NO1 (nappe GEOY) |
1.8264 |
1.8263 |
0.003 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA3 - NO1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
La valeur de l’énergie potentielle totale est aussi testée à partir du calcul STAT_NON_LINE. La solution analytique est calculée à partir de toutes les déformations uniaxiales dans les grilles, à partir de l’équation:
où \(A\) désigne le tenseur d’élasticité.
Les résultats obtenus sont les suivants:
Code_Aster |
Référence analytique |
Ecart |
|
Energie potentielle totale (\(J\) ) |
2.8173E10 |
2.8173E10 |
0 |
3.2 Grandeurs testées et résultats de la modélisation B
La modélisation B est constituée de six éléments TETRA4 pour le cube et de deux éléments TRIA3 pour chaque face.
Le comportement est élastique en utilisant la commande MECA_STATIQUE puis la commande STAT_NON_LINE (vérification).
On teste les valeurs données par EPSI_ELGA; EPSI_ELNO, SIEF_ELGA, SIEF_ELNO; SIEF_ELGA; SIGM_ELNO en différents points dans les directions principales des nappes d’armature, obtenues respectivement avec les commandes MECA_STATIQUE et STAT_NON_LINE.
Pour MECA_STATIQUE :
Points d’intégration |
EPSI_ELGA (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
SIEF_ELGA (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
||||
Code_Aster |
Référence |
Ecart (\(\text{\%}\) ) |
Code_Aster |
Référence |
Ecart |
|
MA1 – Point 1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA2 – Point 1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA3 – Point 1 (nappe GEOZ) |
1.8263 |
1.8263 |
0 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA4 – Point 1 (nappe GEOZ) |
1.8263 |
1.8263 |
0 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA5 – Point 1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
MA6 – Point 1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
MA11 – Point 1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA21 – Point 1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA31 – Point 1 (nappe GEOY) |
1.8263 |
1.8263 |
0 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA41 – Point 1 (nappe GEOY) |
1.8263 |
1.8263 |
0 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA51 – Point 1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
MA61 – Point 1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
Noeud |
EPSI_ELNO (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
SIGM_ELNO (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
||||
Code_Aster |
Référence |
Ecart (\(\text{\%}\) ) |
Code_Aster |
Référence |
Ecart |
|
MA1 - NO1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA2 - NO1 (nappe GEOY) |
1.8263 |
1.8263 |
0 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA3 - NO1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
MA11 - NO1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA21 - NO1 (nappe GEOY) |
1.8263 |
1.8263 |
0 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA31 - NO1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
Pour STAT_NON_LINE
Points d’intégration |
EPSI_ELGA (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
SIEF_ELGA (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
||||
Code_Aster |
Référence |
Ecart (\(\text{\%}\) ) |
Code_Aster |
Référence |
Ecart |
|
MA1 – Point 1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA2 – Point 1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA3 – Point 1 (nappe GEOY) |
1.8263 |
1.8263 |
0 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA4 – Point 1 (nappe GEOY) |
1.8263 |
1.8263 |
0 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA5 – Point 1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
MA6 – Point 1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
MA11 – Point 1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA21 – Point 1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA31 – Point 1 (nappe GEOY) |
1.8263 |
1.8263 |
0 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA41 – Point 1 (nappe GEOY) |
1.8263 |
1.8263 |
0 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA51 – Point 1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
MA61 – Point 1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
Noeud |
EPSI_ELNO (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
SIEF_ELNO (dans la direction principale de la nappe d’armature) |
||||
Code_Aster |
Référence |
Ecart (\(\text{\%}\) ) |
Code_Aster |
Référence |
Ecart |
|
MA1 - NO1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA2 - NO1 (nappe GEOY) |
1.8263 |
1.8263 |
0 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA3 - NO1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
MA11 - NO1 (nappe GEOZ) |
1.067 |
1.067 |
0.001 |
2.13397E11 |
2.13397E11 |
0 |
MA21 - NO1 (nappe GEOY) |
1.8263 |
1.8263 |
0 |
3.6527E11 |
3.6527E11 |
0 |
MA31 - NO1 (nappe GEOX) |
2 |
2 |
0 |
4E11 |
4E11 |
0 |
Résultats de la modélisation C#
La modélisation C est identique à la modélisation A en utilisant des éléments quadratiques (commande CREA_MAILLAGE, option LINE_QUAD).
On retrouve les mêmes résultats que pour la modélisation A (erreur par rapport à la solution de référence inférieure à \(\text{0.002 \%}\) ).
Résultats de la modélisation D#
La modélisation D est identique à la modélisation B en utilisant des éléments quadratiques.
On retrouve les mêmes résultats que pour la modélisation D (erreur par rapport à la solution de référence inférieure à \(\text{0.002 \%}\) ).
Synthèse des résultats et remarques générales#
Les résultats obtenus pour ces modélisations sont identiques aux solutions de référence. Ils valident la modélisation GRILLE_MEMBRANE pour quatre types d’éléments différents dans le cas d’un calcul mécanique linéaire (MECA_STATIQUE et STAT_NON_LINE).