v3.02.311 SSLP311 - Fissure centrale oblique dans une plaque rectangulaire finie, à deux matériaux, soumise à traction uniforme#
Résumé:
Ce test est issu de la validation indépendante de la version 3 en mécanique de la rupture.
Il s’agit d’un test bidimensionnel en statique avec bi-matériau en présence d’une fissure d’interface interne oblique.
Le comportement de la structure (bi-matériau) est élastique linéaire isotrope.
Le cas test comprend quatre modélisations en contraintes planes dans lesquelles l’influence de l’inclinaison de la fissure \(\theta\) est étudiée (4 cas).
Le calcul des facteurs d’intensité des contraintes n’est pas disponible pour une fissure située à l’interface d’un bi-matériau; la comparaison à la solution de référence se fait donc sur le taux de restitution de l’énergie uniquement, calculé avec l’opérateur CALC_G.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Méthode des éléments de frontière, avec des éléments quadratiques [bib1].
Le calcul de \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) est effectué par une intégrale de contour (intégrale M [bib2]) dans laquelle interviennent les contraintes et déplacements calculés dans la pièce, ainsi que les contraintes et déplacements déduits de solutions asymptotiques définies analytiquement, dans lesquelles \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) sont alternativement nuls.
A titre de comparaison, le calcul des \(K\) est également effectué par la méthode d’extension virtuelle.
Résultats de référence#
Les résultats de la solution de référence sont présentés dans le tableau ci-dessous, pour les différentes valeurs de l’angle et pour les deux extrémités de la fissure, avec
.
Méthode |
Côté gauche |
Côté droit |
|||||||
\(\theta =15°\) |
\(\theta =30°\) |
\(\theta =45°\) |
\(\theta =60°\) |
\(\theta =15°\) |
\(\theta =30°\) |
\(\theta =45°\) |
\(\theta =60°\) |
||
intégrale |
\({F}_{I}\) |
1,0115 |
0,7868 |
0,5211 |
0,2770 |
1,1266 |
0,9910 |
0,7646 |
0,4919 |
\(M\) |
\({F}_{\mathrm{II}}\) |
0,4434 |
0,6244 |
0,6723 |
0,5804 |
0,0862 |
0,2961 |
0,4056 |
0,4057 |
extension |
\({F}_{I}\) |
1,0110 |
0,7864 |
0,5210 |
0,2769 |
1,1260 |
0,9904 |
0,7643 |
0,4919 |
virtuelle |
\({F}_{\mathrm{II}}\) |
0,4429 |
0,6240 |
0,6720 |
0,5801 |
0,0865 |
0,2960 |
0,4055 |
0,4056 |
La relation entre le taux global de restitution de l’énergie \(G\) et les \({K}_{j}\) s’écrit comme suit [bib3] :
\(G=\beta ({K}_{I}^{2}+{K}_{\mathrm{II}}^{2})\)
avec:
\(\beta =\frac{1}{16C{h}^{2}(\alpha \pi )}(\frac{1+{\kappa}_{1}}{{\mu}_{1}}+\frac{1+{\kappa}_{2}}{{\mu}_{2}})\) et \(\begin{array}{c}{\kappa}_{i}=\frac{3-{\nu}_{i}}{1+{\nu}_{i}}\\ {\mu}_{i}=\frac{{E}_{i}}{2(1+{\nu}_{i})}\\ \alpha =\frac{1}{2\pi }\ln\left[(\frac{{\kappa}_{1}}{{\mu}_{1}}+\frac{1}{{\mu}_{2}}){(\frac{{\kappa}_{2}}{{\mu}_{2}}+\frac{1}{{\mu}_{1}})}^{-1}\right]\end{array}\)
Incertitude sur la solution#
Estimée à moins de 0,1%. On note que l’écart entre la méthode des intégrales de contour et la méthode d’extension virtuelle est généralement inférieur à 0,05 %.
Références bibliographiques#
Stress intensity factor analysis of interface crack using boundary element method. Application of contour-integral method. N. MIYAZAKI, T. IKEDA, T.SODA et T. MUNAKATA. Engng.Fract.Mechs., 45, n°5, 599-610, 1993.
An analysis of interface cracks between dissimilar isotropic materials using conservation integrals in elasticity. J. F. YAU et T. C. CHANG. Engng.Fract.Mechs., 20, 423-432, 1984.
The strength of adhesive joints using the theory of cracks. B. M. MALYSHEV et R.L.SALGANIK. Int.J.Fract.Mech., 1, 114-128, 1965.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Les différentes modélisations sont identiques à part l’inclinaison de la fissure.
Maillage complet pour un angle \(\beta =60°\)
Zoom sur la pointe de fissure
Le rayon vaut \(7.5E-5m\) .
Il y a quatre couronnes définies par la commande CALC_G :
couronne 1 : \(\mathrm{Rinf}=0.\) |
\(R\sup=1.875E-\mathrm{5m}\) |
couronne 2 : \(\mathrm{Rinf}=1.875E-\mathrm{5m}\) |
\(R\sup=3.750E-\mathrm{5m}\) |
couronne 3 : \(\mathrm{Rinf}=3.750E-\mathrm{5m}\) |
\(R\sup=5.625E-\mathrm{5m}\) |
couronne 4 : \(\mathrm{Rinf}=5.625E-\mathrm{5m}\) |
\(R\sup=7.500E-\mathrm{5m}\) |
La direction de propagation est définie par : \(\cos\theta ,\sin\theta\)
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 10676 nœuds et 4584 éléments, dont 1392 éléments QUA8 et 3168 éléments TRI6.
Fonctionnalités testées#
Le calcul de \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) n’est pas valide pour un bimatériau: l’option K ne peut être utilisée et seul le calcul du taux de restitution de l’énergie est possible.
Grandeurs testées et résultats#
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
Extrémité gauche, \(\theta =15°\) |
|||
\(G\) , couronne 1 |
9,67362E+1 |
9,2428E+1 |
4,45 |
\(G\) , couronne 2 |
9,67362E+1 |
9,6392E+1 |
0,356 |
\(G\) , couronne 3 |
9,67362E+1 |
9,6417E+1 |
0,330 |
\(G\) , couronne 4 |
9,67362E+1 |
9,6421E+1 |
0,326 |
\({K}_{I}\) |
5,6694E+6 |
||
\({K}_{\mathrm{II}}\) |
2,4852E+6 |
||
Extrémité droite, \(\theta =15°\) |
|||
\(G\) , couronne 1 |
1,0125E+2 |
9,6763E+1 |
4,33 |
\(G\) , couronne 2 |
1,0125E+2 |
1,0093E+2 |
0,315 |
\(G\) , couronne 3 |
1,0125E+2 |
1,0095E+2 |
0,295 |
\(G\) , couronne 4 |
1,0125E+2 |
1,0095E+2 |
0,291 |
\({K}_{I}\) |
6,3145E+6 |
||
\({K}_{\mathrm{II}}\) |
4,8309E+5 |
Remarques#
Pour obtenir le \(G\) sur le fond de fissure, on calcule le taux de restitution d’énergie à l’aide de la relation entre \(G\) et les \({K}_{j}\) [bib3] :
\(\begin{array}{c}{\kappa}_{1}={\kappa}_{2}=2.076923\\ {\mu}_{1}=7.6923E+11\\ {\mu}_{2}=7.6923E+10\\ \alpha =-9.37742E-2\\ \beta =2.524488E-12\\ G=\beta ({K}_{I}^{2}+{K}_{\mathit{II}}^{2})\end{array}\)
Modélisation B#
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
Extrémité gauche, \(\theta =30°\) |
|||
\(G\) , couronne 1 |
8,0017E+1 |
7,6431E+1 |
4,48 |
\(G\) , couronne 2 |
8,0017E+1 |
7,9707E+1 |
0,387 |
\(G\) , couronne 3 |
8,0017E+1 |
7,9730E+1 |
0,358 |
\(G\) , couronne 4 |
8,0017E+1 |
7,9734E+1 |
0,353 |
\({K}_{I}\) |
4,4100E+6 |
||
\({K}_{\mathrm{II}}\) |
3,499E+6 |
||
Extrémité droite, \(\theta =30°\) |
|||
\(G\) , couronne 1 |
8,48417E+1 |
8,1080E+1 |
4,433 |
\(G\) , couronne 2 |
8,48417E+1 |
8,4583E+1 |
0,305 |
\(G\) , couronne 3 |
8,48417E+1 |
8,4602E+1 |
0,282 |
\(G\) , couronne 4 |
8,48417E+1 |
8,4602E+1 |
0,282 |
\({K}_{I}\) |
5,5545E+6 |
||
\({K}_{\mathrm{II}}\) |
1,6596E+6 |
Modélisation C#
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
Extrémité gauche, \(\theta =45°\) |
|||
\(G\) , couronne 1 |
5,73826E+1 |
5,48161E+1 |
4,473 |
\(G\) , couronne 2 |
5,73826E+1 |
5,71687E+1 |
0,373 |
\(G\) , couronne 3 |
5,73826E+1 |
5,71865E+1 |
0,342 |
\(G\) , couronne 4 |
5,73826E+1 |
5,7189E+1 |
0,337 |
\({K}_{I}\) |
2,92076E+6 |
||
\({K}_{\mathrm{II}}\) |
3,7682E+6 |
||
Extrémité droite, \(\theta =45°\) |
|||
\(G\) , couronne 1 |
5,94122E+1 |
5,7039E+1 |
3,994 |
\(G\) , couronne 2 |
5,94122E+1 |
5,9505E+1 |
0,157 |
\(G\) , couronne 3 |
5,94122E+1 |
5,9516E+1 |
0,175 |
\(G\) , couronne 4 |
5,94122E+1 |
5,9518E+1 |
0,179 |
\({K}_{I}\) |
4,28557E+6 |
||
\({K}_{\mathrm{II}}\) |
2,27338E+6 |
Modélisation D#
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
Extrémité gauche, \(\theta =60°\) |
|||
\(G\) , couronne 1 |
3,28015E+1 |
3,10680E+1 |
5,285 |
\(G\) , couronne 2 |
3,28015E+1 |
3,24037E+1 |
1,213 |
\(G\) , couronne 3 |
3,28015E+1 |
3,24140E+1 |
1,181 |
\(G\) , couronne 4 |
3,28015E+1 |
3,24156E+1 |
1,177 |
\({K}_{I}\) |
1,55258E+6 |
||
\({K}_{\mathrm{II}}\) |
3,2531E+6 |
||
Extrémité droite, \(\theta =60°\) |
|||
\(G\) , couronne 1 |
3,22436E+1 |
3,11825E+1 |
3,291 |
\(G\) , couronne 2 |
3,22436E+1 |
3,25321E+1 |
0,895 |
\(G\) , couronne 3 |
3,22436E+1 |
3,25383E+1 |
0,914 |
\(G\) , couronne 4 |
3,22436E+1 |
3,25398E+1 |
0,919 |
\({K}_{I}\) |
2,75709E+6 |
||
\({K}_{\mathrm{II}}\) |
2,27394E+6 |
Synthèse des résultats#
Le calcul de \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathit{II}}\) n’est pas disponible pour une fissure située à l’interface d’un bimatériau, et la comparaison se fait donc directement sur le taux de restitution de l’énergie \(G\) .
Le calcul de \(G\) n’est pas précis sur la première couronne dans tous les cas d’inclinaison de la fissure, ce qui confirme qu’il faut éviter de prendre un rayon \(\mathrm{Rinf}\) nul. En ce qui concerne les autres couronnes, les écarts sont de l’ordre de 0,4%. Pour le cas d’inclinaison \(\theta =60°\) l’écart dépasse 1 %. Dans l’ensemble, les résultats sont satisfaisants pour \(G\) .