r3.06.02 Modélisation linéaire des éléments de milieu continu en thermique#
Résumé:
On décrit l’expression des termes élémentaires intervenant dans la modélisation linéaire de l’équation de la chaleur et dans les post-traitements. On donne l’expression mathématique de l’intégrale à évaluer, et pour chaque élément on fournit le nombre de points d’intégration utilisés.
Expression des termes élémentaires pour les différentes options de calcul#
Notations générales#
Nous désignons par :
\(O\) |
un ouvert de \({\mathrm{\Re }}^{3}\) ou de \({\mathrm{\Re }}^{2}\) de frontière \(\Gamma\) , |
\(t\) |
la variable représentant le temps, |
\(\Delta t\) |
le pas de temps utilisé, |
\(r\) |
la variable d’espace, |
\(T\) |
la température (inconnue du problème), |
\({T}^{n}\) |
la température à l’instant précédent (connue), |
\({T}^{\ast }\) |
la fonction test, |
\(\rho\) |
la masse volumique, |
\({C}_{p}\) |
la chaleur massique à pression constante, |
\({c}_{p}=\rho {C}_{p}\) |
la capacité calorifique à pression constante par unité de volume, |
\(\theta\) |
le paramètre de la \(\theta\) -méthode pour l’analyse thermique transitoire. |
Termes élémentaires apportant une contribution#
Rigidité thermique#
Terme faisant intervenir les gradients de températures et le coefficient de conduction \(\lambda\) dans le cas des milieux isotropes (dénomination utilisée par analogie au terme de rigidité intervenant dans l’équation de la modélisation du phénomène mécanique de l’élasticité). Le coefficient \(\lambda\) peut dépendre du temps.
expression mathématique: \({\int}_{\Omega}\theta \lambda (t)\nabla T.\nabla {T}^{\ast }d\Omega\) ,
lorsque le milieu est anisotrope, l’évaluation du flux \(\lambda (t)\nabla T\) est effectuée dans le repère principal d’anisotropie après un premier changement de repère (le tenseur de conductivité thermique y est diagonal) puis par un changement repère inverse, on revient dans le repère global,
dénomination de l’option dans les catalogues: RIGI_THER,
nombre de points d’intégration utilisés: (première famille de points d’intégration cf.[R3.01.01]).
maille support |
nombre de nœuds |
nombre de points |
triangle |
3 6 |
1 3 |
quadrangle |
4 8 ou 9 |
4 9 |
tétraèdre |
4 10 |
4 15 |
pentaèdre |
6 15 |
6 21 |
hexaèdre |
8 20 27 |
8 27 27 |
Tableau 2.2.1-1.
Masse thermique#
Terme faisant intervenir le coefficient de capacité calorifique à pression constante \({c}_{p}=\rho {C}_{p}\) (dénomination utilisée par analogie au terme de masse intervenant dans l’équation de la modélisation des équations de la dynamique). Le coefficient \({C}_{p}\) peut dépendre du temps.
expression mathématique: \({\int}_{\Omega}\frac{1}{\Delta t}\rho {C}_{p}(t)T.{T}^{\mathrm{\ast }}d\Omega\)
dénomination de l’option dans les catalogues: MASS_THER
nombre de points d’intégration utilisés: (deuxième famille de points d’intégration)
maille support |
nombre de nœuds |
nombre de points |
triangle |
3 6 |
3 6 |
quadrangle |
4 8 ou 9 |
4 9 |
tétraèdre |
4 10 |
4 15 |
pentaèdre |
6 15 |
6 21 |
hexaèdre |
8 20 27 |
8 27 27 |
Tableau 2.2.2-1.
Rigidité due aux conditions aux limites d’échange#
Terme faisant intervenir le coefficient d’échange \(h\) ayant pour origine une condition aux limites modélisant les échanges convectifs avec le bord du domaine. Le coefficient \(h\) peut dépendre du temps et de l’espace.
expression mathématique: \({\int}_{G}\theta h(r,t)T.{T}^{\mathrm{\ast }}\mathit{dG}\)
dénomination de l’option dans les catalogues: RIGI_THER_COEF_R ou RIGI_THER_COEF_F
nombre de points d’intégration utilisés:
maille support |
nombre de nœuds |
nombre de points |
segment |
2 3 |
4 4 |
triangle |
3 6 |
3 4 |
quadrangle |
4 8 ou 9 |
4 9 |
Tableau 2.2.3-1.
Rigidité due aux conditions d’échange entre parois#
Terme dû à la condition aux limites de type Neumann mettant en jeu deux sous-parties de la frontière en vis-à-vis et faisant intervenir un unique coefficient d’échange \(h\) . Ce type de condition aux limites crée de nouvelles relations entre les degrés de liberté de la frontière.
Dans ce cas, on utilise un élément fini particulier dont la maille support est obtenue en associant deux mailles de bord ou de face identiques, les fonctions de forme utilisées et les points d’intégration sont ceux de la maille de départ.
En tridimensionnel, les mailles support des éléments de face sont du type TRIA3-TRIA3, QUAD4-QUAD4, TRIA6-TRIA6, QUAD8-QUAD8 ou QUAD9-QUAD9.
En bidimensionnel, elles sont du type SEG2-SEG2 ou SEG3-SEG3.
On pourra se reporter à [U4.25.02 § 3.1.3] pour la description de l’algorithme de recherche de mailles en vis-à-vis.
expression mathématique:
\({\int}_{{\Gamma}_{1}}(h(r,t+\Delta t)\theta ({T}_{2}-{T}_{1})).{T}^{\ast }d{\Gamma}_{1}\) et \({\int}_{{\Gamma}_{2}}(h(r,t+\Delta t)\theta ({T}_{1}-{T}_{2})).{T}^{\ast }d{\Gamma}_{2}\)
où \({\Gamma}_{1}\) et \({\Gamma}_{2}\) sont deux sous-parties de la frontière en vis-à-vis.
dénomination de l’option dans les catalogues: RIGI_THER_PARO_R ou RIGI_THER_PARO_F
nombre de points d’intégration utilisés: cf [Tableau 2.2.3-1].
Termes élémentaires apportant une contribution au second membre#
Discrétisation en temps#
Terme dû:
à la discrétisation de la dérivée en temps faisant intervenir une partie du terme de masse avec le coefficient de capacité calorifique \(\rho {C}_{p}\) ,
à la \(\theta\) -méthode faisant intervenir une partie de la rigidité dans le second membre avec le coefficient de conduction \(\lambda\) ,
expression mathématique dans le cas des milieux isotropes:
\({\int}_{\Omega}\frac{1}{\Delta t}\rho {C}_{p}{T}^{n}.{T}^{\ast }d\Omega -{\int}_{\Omega}(1-\theta )\lambda \nabla {T}^{n}.\nabla {T}^{\ast }d\Omega\)
lorsque le milieu est anisotrope, l’évaluation du flux \(\lambda (t)\nabla T\) est effectuée dans le repère principal d’anisotropie après un premier changement de repère (le tenseur de conductivité thermique y est diagonal) puis par un changement repère inverse, on revient dans le repère global,
dénomination de l’option dans les catalogues: CHAR_THER_EVOL,
nombre de points d’intégration utilisés: cf [Tableau 2.2.2-1].
Terme de source volumique#
Terme dû à la source volumique de chaleur:
expression mathématique: \({\int}_{\Omega}(\theta s(r,t+\Delta t)+(1-\theta )s(r,t)).{T}^{\ast }d\Omega\) ,
dénomination de l’option dans les catalogues: CHAR_THER_SOUR_R ou CHAR_THER_SOUR_F,
nombre de points d’intégration utilisés: cf [Tableau 2.2.1-1].
Terme d’échange convectif#
Terme dû à la condition aux limites d’échange convectif faisant intervenir le coefficient d’échange \(h\) et la température du milieu « extérieur » \({T}_{\text{ex}}\) .
expression mathématique:
\({\int}_{\Gamma}(\theta h(r,t+\Delta t){T}_{\text{ex}}(r,t+\Delta t)+(1-\theta )h(r,t)({T}_{\text{ex}}(r,t)-{T}^{n})).{T}^{\ast }d\Gamma\)
dénomination de l’option dans les catalogues: CHAR_THER_R ou CHAR_THER_F,
nombre de points d’intégration utilisés: cf [Tableau 2.2.3-1].
Terme de flux normal imposé#
Terme dû à la condition aux limites de flux imposé selon la normale à la frontière, faisant intervenir une fonction pouvant dépendre des variables \(r\) et \(t\) .
expression mathématique: \({\int}_{\Gamma}(\theta f(r,t+\Delta t)+(1-\theta )f(r,t)).{T}^{\mathrm{\ast }}d\Gamma\) ,
dénomination de l’option dans les catalogues: CHAR_THER_FLUN_R ou CHAR_THER_FLUN_F,
nombre de points d’intégration utilisés: cf [Tableau 2.2.3-1].
Terme d’échange entre parois#
Terme dû à la condition aux limites de type Neumann mettant en jeu deux sous parties de la frontière en vis à vis et faisant intervenir un unique coefficient d’échange \(h\) .
expression mathématique:
\({\int}_{{\Gamma}_{1}}(h(r,t)(1-\theta )({T}_{2}^{n}-{T}_{1}^{n})).{T}^{\mathrm{\ast }}d{\Gamma}_{1}\) et \({\int}_{{\Gamma}_{2}}(h(r,t)(1-\theta )({T}_{1}^{n}-{T}_{2}^{n})).{T}^{\ast }d{\Gamma}_{2}\)
où \({\Gamma}_{1}\) et \({\Gamma}_{2}\) sont deux sous-parties de la frontière en vis-à-vis;
dénomination de l’option dans les catalogues: CHAR_THER_PARO_R ou CHAR_THER_PARO_F,
nombre de points d’intégration utilisés: cf [Tableau 2.2.3-1].
Bibliographie#
N.RICHARD : Développement de l’anisotropie thermique dans le logiciel Aster . Note EDF/DER HM-18/94/0011 du 05/07/1994.
Description des versions du document#
Version Aster |
Auteur(s) Organisme(s) |
Description des modifications |
3 |
J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES (EDF/IMA/MMN) |
Texte initial |