r7.01.12 Modélisation de la thermo-hydratation, du séchage et du retrait du béton#
Résumé
On décrit ici deux types de phénomènes se produisant à des périodes distinctes de la vie d’un béton:
d’une part une réaction de thermo-hydratation engendrant un retrait dit endogène, se manifestant au jeune âge du béton (les 100 premiers jours),
d’autre part une évaporation d’une partie de l’eau non utilisée dans le processus d’hydratation, phénomène appelé séchage et entraînant un retrait de dessiccation. Ce phénomène peut durer, suivant les dimensions de la structure de béton mis en œuvre, de quelques mois à plusieurs années.
Ces phénomènes sont modélisés sous forme d’équations de diffusion dont la solution est représentée par de nouvelles variables permettant de calculer directement les déformations du retrait endogène (du à l’hydratation) et du retrait de dessiccation (du au séchage).
Formalisation de la thermo-hydratation#
Équation de la thermo-hydratation#
Comme mentionné dans l’introduction, l’hydratation du béton est une réaction fortement exothermique. Sa prise en compte dans l’équation de la chaleur en tant que terme source est donc nécessaire (voir [R5.02.02]). Le second membre qui contient les sources internes de chaleur peut alors être enrichi de la façon suivante
où:
\(\therFlux\) est le flux de chaleur,
\(\therSource\) est une source interne de chaleur (en \(J s^{-1} {m}^{-3}\) ),
\(\rho \therCp\) est la chaleur volumique à pression constante (en \(J {m}^{-3} K^{-1}\) ),
\(\therCondTher\) est la conductivité thermique (\(W {m}^{-2} K^{-1}\) ),
et spécifiquement à l’hydratation :
\(\xi\) est le degré d’hydratation, par définition \(\xi \in \left[ 0;1 \right]\) ;
\(Q\) est la chaleur d’hydratation (en \(J {m}^{-3}\)), soit la chaleur produite par l’hydratation d’une unité volumique de béton.
L’évolution de l’hydratation dépend de la composition du béton et de la température, une température élevée accélère la réaction d’hydratation.
L’équation (3163) peut être résolue si la fonction \(\xi (t,\temp)\), et donc \(\frac{d\xi }{dt}(t,\temp)\) est connue.
Mais on préfère le paramètre \(\frac{d \xi}{d t}\) par rapport à l’hydratation elle-même, et on élimine ainsi le temps \(t\). La fonction correspondante est appelée affinité
La chaleur d’hydratation \(Q\) et la fonction \(f^{\text{aff}}(\xi ,\temp)\) doivent être renseignées par l’utilisateur sous le mot-clé THER_HYDR de [DEFI_MATERIAU]. Leur détermination expérimentale se fait à l’aide d’un essai adiabatique.
Exploitation de l’essai adiabatique pour la détermination de la fonction affinité et de la chaleur d’hydratation.#
Dans un essai adiabatique, un échantillon de béton frais et thermiquement isolé est plongé dans un calorimètre et on mesure l’évolution de la température \({\temp}^{\text{ad}}(t)\) au cours du temps jusqu’à durcissement.
Cet essai peut être utilisé pour déterminer la chaleur d’hydratation ainsi que la fonction affinité. En effet, en adiabatique l’équation se simplifie car \(\divVector{\therFlux}=0\) . De plus, \(\therSource=0\) car on considère que la seule source de chaleur est l’hydratation du béton. L’intégration de (3164) du début ( \(\xi =0\) ) au degré d’hydratation \(\xi\) donne alors l’expression:
Si on fait l’hypothèse que \(\xi=1\) (fin de l’essai), on obtient la chaleur d’hydratation:
où \(\temp_0\) et \({\temp}_{\infty}^{\text{ad}}\) sont les températures mesurées au début et à la fin de l’essai adiabatique.
En utilisant cette expression de la chaleur d’hydratation, on obtient l’évolution de l’hydratation (et donc de sa dérivée \(\frac{d \xi}{dt}\) ), sous la forme :
L’essai adiabatique fournit donc les fonctions \(\xi({\temp}^{\text{ad}}(t))\) et :math:{temp}^{text{ad}}(t)` . Les paramètres de la fonction affinité \(f^{\text{aff}}(\temp,\xi )\) peuvent être identifiés à partir des points des mesures obtenus lors de l’essai adiabatique, \(f^{\text{aff}}({\temp}^{\text{ad}},{\xi}^{\text{ad}})\) .
Une expression de \(f^{\text{aff}}(\temp,\xi)\) a été suggérée par [bib1] sous forme d’exponentielle de la température:
où \(\frac{{E}_{a}}{R}\) est la constante d’Arrhenius (paramètre assez empirique variant entre \(4000°K\) et \(7000°K\) , et considéré comme étant égale à \(4000°K\) en l’absence d’information supplémentaire). Pour l’essai adiabatique on a alors:
où les fonctions inverses \({\xi}^{-1}\), \({({\temp}^{\text{ad}})}^{-1}\) ont été utilisées pour éliminer le paramètre temps \(t\) .
(3165) peut aussi être écrite de la façon suivante:
En fait, on peut définir d’une manière générale le degré d’hydratation à chaque instant \(t\) comme étant le rapport de la quantité de chaleur dégagée jusqu’à l’instant \(t\) sur la quantité de chaleur totale dégagée à la fin du processus d’hydratation.
- Remarque
Dans le cadre de la thermique non linéaire [R5.02.02], la première des équations est souvent écrite dans la forme équivalente \(\frac{d\beta (\temp)}{dt}+\divVector{\therFlux}=Q\frac{d\xi (\temp)}{dt}+\therSource\), \(\beta\) étant l’enthalpie volumique. En effet, dans le fichier de commande, il est nécessaire de renseigner l’enthalpie et non la chaleur volumique, voir [R5.02.02].
Discrétisation du problème de thermo-hydratation#
Choix de la méthode de résolution#
La méthode choisie consiste à résoudre globalement l’équation non linéaire (3163) en mettant à profit l’algorithme de thermique non linéaire et résoudre localement l’équation (3165) qui représente la loi d’évolution d’une sorte de variable interne représentant le degré d’hydratation, cette loi s’exprimant par une fonction de l’état thermique du système. En effet, il n’y a pas d’opérateur différentiel en espace pour la variable \(\xi\) dans les équations et donc pas besoin d’élément fini. La relation (3165) représente une loi locale comme en plasticité. On conserve alors le même nombre de degrés de liberté que pour la thermique classique. Un tel processus découplé entraîne néanmoins le calcul des mêmes quantités plusieurs fois. En effet, supposons que \(\xi\) soit discrétisé aux nœuds des éléments. Considérons l’exemple schématisé ainsi:
Sur le nœud 1 , l’équation d’évolution sera intégrée quatre fois. Une solution possible aurait été que les calculs locaux puissent se faire sur des champs aux nœuds (concept Aster CHAM_NO) et non sur des champs de nœuds par élément , ce qui est actuellement impossible.
La solution qui a finalement été adoptée, consiste à calculer \(\xi\) aux points de gauss de l’élément, ce qui est d’autant plus naturel que pour le calcul mécanique le module de Young dépend explicitement de \(\xi\) . Ceci engendre néanmoins beaucoup de calculs locaux sauf à sous-intégrer fortement l’élément fini. Par exemple, si l’on considère un maillage comportant \(N\) éléments hexaédriques à 20 nœuds, il existe à peu près \({4 \times N}\) nœuds et \({27 \times N}\) points de Gauss.
Algorithme de résolution#
La formulation faible de l’équation (3163) s’écrit de la façon suivante:
pour toute température virtuelle \(\tempVirt\). Le développement de la thermo-hydratation au sein de l’algorithme général de la thermique non linéaire consiste donc à discrétiser de manière explicite dans le second membre le terme \(\int_{\domain} { Q \, A(\xi) \exp{\left(-\frac{{E}_{a}}{R \, \temp} \right)} \, \tempVirt \measDomain }\) .
En notant respectivement \({\xi}^{-}\), \({\temp}^{-}\), \({\xi}^{+}\) et \({\temp}^{+}\) , les variables d’hydratation et de température au début et à la fin du pas de temps, on calcule en chaque point de Gauss la quantité:
qui est intégrée directement dans le second membre. Après chaque résolution du pas courant, les variables sont réactualisées (\({\xi}^{+}={\xi}^{-}\) et \({\temp}^{+}={\temp}^{-}\) ). Le test de convergence n’est actif que sur la température, la variable \(\xi\) n’entrant pas dans le processus itératif de Newton utilisé dans la thermique non linéaire. La prise en compte de l’hydratation n’est en fait que la prise en compte d’une source de chaleur connue au début du pas de temps. Cette discrétisation purement explicite nécessite donc d’utiliser des pas de temps suffisamment petits.
Formalisation du séchage#
Cette partie fait référence au document de spécification du développement du séchage [bib2] , ainsi qu’à la thèse de L. Granger [bib1] .
Modélisation et équations du séchage#
Les modélisations de la thermique ou de la thermo-hydratation et du séchage sont découplées lors de la résolution. Le séchage est alors présenté comme une opération chaînée à la thermique. Comme les équations permettant de résoudre le séchage et la thermique non linéaire sont semblables aux coefficients près, ce découplage permet d’intégrer la résolution du calcul du séchage en utilisant directement le module de résolution de la thermique non linéaire, sans ajouter de nouveaux phénomènes, de nouveaux types d’éléments, ni de nouvelles options de calcul.
La concentration ou teneur en eau \(C\), variable de calcul dans la modélisation du séchage, est assimilée, en terme de type de variable, à une température. Le champ de température transitoire, intervenant dans l’équation du séchage, est uniquement un paramètre auxiliaire dont dépend éventuellement le coefficient de diffusion.
Les phénomènes de thermique et de séchage, dans le cadre d’une modélisation découplée entre la thermique et le séchage, sont régis par les équations suivantes:
équation de la thermique « classique »:
(3166)#\[\begin{split}\left\lbrace \begin{array}{c} \rho\therCp\frac{d \temp }{dt} + \divVector{\therFlux} = Q \frac{d\xi (\temp)} {dt} + \therSource(\temp) \\ \therFlux = -\therCondTher(\temp) \gradScal{\temp} \end{array} \right .\end{split}\]avec \(\rho\therCp\) la chaleur volumique à pression constante, \(\therCondTher\) , la conductivité thermique, \(Q\) la chaleur d’hydratation et \(\therSource(\temp)\) la source interne.
équation caractérisant le séchage:
(3167)#\[\frac{\partial C}{\partial t} - \divVector\left( D(C,\temp) \gradScal{C} \right) = 0\]où \(C\) (\({m}^{3}v / {m}^{3}\) ou \(l/{m}^{3}\) ) est la variable de calcul (concentration ou teneur en eau volumiques), \(\temp\) est la variable d’entrée du calcul (la température), variable auxiliaire de la résolution du séchage, \(D\) (\({m}^{2}/s\) ) est un coefficient de diffusion, caractérisant la non linéarité de l’équation, et dépendant à la fois de la variable de calcul, \(C\) , et de la variable auxiliaire, \(\temp\). Cette loi de diffusion est donnée sous diverses formes, selon le modèle retenu, (loi de Bazant , loi de Granger, loi de Mensi, loi de Richards-Fick, cf. Lois de diffusion usuelles et [bib1]).
Les équations (3166) et (3167) correspondent à un calcul chaîné thermique/séchage. On peut donc calculer \(\temp\) sans connaître la concentration en eau, puis calculer cette dernière, pour laquelle \(\temp\) est alors un paramètre, (en faisant l’hypothèse que la conductivité thermique \(\therCondTher\) ne dépend pas de la concentration en eau \(C\) ). Notons aussi que le phénomène de séchage est découplé des évolutions mécaniques du béton.
Coefficient de diffusion#
Le matériau est décrit par le coefficient de diffusion \(D\), caractéristique du matériau, dépendant à la fois de la température \(\temp\) et de la concentration en eau \(C\). L’équation de la migration de l’humidité dans le béton est issue de celles de la mécanique des milieux poreux. On se reportera à [bib1] pour plus de précision. Classiquement, une loi de diffusion exprime un flux comme le produit d’une grandeur caractéristique du matériau par le gradient d’une grandeur intensive. Les différentes grandeurs considérées sont définies par une moyenne sur le volume élémentaire représentatif, pour autant qu’on puisse définir cette moyenne pour le matériau considéré, de telle sorte que les opérateurs de dérivation aient un sens. On fait donc en général l’hypothèse qui consiste à supposer que les phases liquide et gazeuse sont connexes:
pour la diffusion de la vapeur, on part de la positivité de la dissipation associée au transport de la phase gazeuse, en différentiant deux phénomènes, un phénomène de type perméation ( Darcy ), lié à des gradients de pression, et un phénomène de type diffusion ( Fick ), lié aux gradients de concentration,
pour la diffusion de l’eau liquide, la positivité de la dissipation associée au transport de l’eau liquide, et à la loi de Darcy, permet d’exprimer le flux de liquide en fonction de la pression du liquide. La loi de Kelvin décrivant la coexistence des deux phases liquide et gazeuse par l’écriture de l’égalité des enthalpies libres massiques conduit à l’expression du flux en fonction du gradient du degré d’humidité.
Des deux résultats précédents, on obtient l’expression du flux total en fonction du gradient du degré de concentration en eau. Les méthodes expérimentales classiques dans les problèmes de séchage donnent généralement accès à la concentration en eau, et très rarement à l’humidité relative. Il est donc préférable d’exprimer le flux en fonction de la teneur en eau, en utilisant classiquement l’isotherme de désorption du béton, qui relie la teneur en eau, \(C\) , et l’humidité relative, \(h\) . L’humidité relative est le rapport entre pression de vapeur et pression de vapeur saturante.
Le postulat de l’état local stipule que l’état actuel d’un système homogène en évolution quelconque peut être caractérisé par les mêmes variables qu’à l’équilibre, et qu’il est indépendant des vitesses d’évolution. En d’autres termes, la teneur en eau \(C\) et l’humidité relative \(h\) sont bien reliées par la même relation qu’à l’équilibre. Ce qui conduit à l’équation classique de la diffusion (3167).
Cette équation met en évidence le caractère non linéaire de la diffusion de l’humidité dans le béton. Dans les cas industriels, la température n’est en général pas uniforme dans la structure. Il est donc nécessaire de prendre en compte un coefficient de diffusion de l’humidité qui dépende de la température. En pratique, dans la littérature, les auteurs les plus connus ( Bazant cf [bib1]) proposent une expression du coefficient de diffusion du type:
avec \({Q}_{s}/R=4700{K}^{-1}\) et \(\temp\) en \(K\).
- Remarque
De la façon dont les choses sont présentées, il semblerait que l’on n’ait pas utilisé le fait que le séchage est un phénomène couplé avec la mécanique, (c’est-à-dire qu’il est la cause d’un retrait de dessiccation). En réalité, nous avons fait l’hypothèse d’un découplage des phénomènes, lorsque nous avons utilisé la courbe de sorption/désorption. En fait, lors de la mesure de la perte en poids à l’équilibre en fonction de \(h\), le corps d’épreuve réalise un retrait. Au niveau microscopique, tout se passe comme si le retrait, modifiant la porosité, allait interagir sur l’hygrométrie relative à l’intérieur de l’échantillon, puisque la pression de la vapeur et \(h\) augmentent. Ce retrait de dessiccation étant très faible, il est habituel de le négliger dans les calculs de la teneur en eau. Il n’y a donc qu’un chaînage entre le calcul de la teneur en eau et le calcul mécanique de retrait de dessiccation.
Lois de diffusion usuelles#
La loi de diffusion, fonction des deux paramètres, \(C\) et \(\temp\) , peut être définie librement par l’utilisateur sous forme d’une nappe. Cependant, plusieurs modèles que l’on trouve dans la littérature sont aussi disponibles. Ces modèles sont présentés ci-dessous.
Loi proposée par Granger#
\(A\) (homogène à une surface par unité de temps), \(B\), \({\temp}_{0}\), \({Q}_{s}\) et \(R\) (\(\frac{Q_s}{R}\) en \(K\) ) sont des coefficients choisis par l’utilisateur. \(D\) est fonction de la température et de la concentration en eau.
Loi de Mensi#
\(A\) et \(B\) sont des coefficients choisis par l’utilisateur. \(D\) est fonction uniquement de la concentration en eau.
Loi de Bazant#
La loi de Bazant s’exprime à partir du degré d’humidité \(h\) , qui est relié à la concentration en eau par la courbe de sorption/désorption. La forme de cette loi est la suivante:
Usuellement \({D}_{1}={3.10}^{-10}{m}^{2}/s\), \(\alpha\) est compris entre \(0.025\) et \(0.1\), \(n\) est de l’ordre de \(6\). \(h(C)\) est le degré d’humidité, qui s’exprime en fonction de la concentration en eau à l’aide de la courbe de sorption/désorption.
La courbe de sorption/désorption peut être introduite sous forme d’une fonction standard tabulée, sachant qu’en réalité, cette courbe présente une hystérésis, mais peut être considérée comme étant inversible, si l’on ne tient compte que d’un seul sens de parcours.
Loi SECH_RFT#
La loi de diffusion SECH_RFT est tirée du modèle de la littérature de RICHARDS_FICK_TEMPERATURE [bib4].
Cette loi modélise la perméation de l’eau sous forme liquide et la diffusion de la vapeur dans le mélange gazeux en se basant sur les propriétés de transport mesurables en laboratoire (porosité, perméabilité, isotherme de désorption, diffusion de la vapeur), alors que la loi de Granger modélise uniquement la perméation de l’eau sous forme liquide par une expression empirique. On peut noter que dans cette loi, à la différence des autres, l’équation de transport est écrite en fonction du degré de saturation en eau et non de la concentration en eau.
Le degré de saturation en eau \(S_r\) est lié à la concentration en eau \(C\) (variable SECH) selon l’expression suivante :
Avec \(\phi\) correspondant à la porosité du matériau.
Comme pour les autres lois, elle suppose que le séchage se fait à pression de gaz constante et égale à la pression atmosphérique. Les effets de la température sont mieux représentés dans le modèle RFT (surtout pour les températures supérieures à 50°C).
L’équation de transport hydrique décrite par ce modèle est une équation de diffusion non-linéaire exprimée en fonction du degré de saturation en eau \(S_r\) et qui s’écrit sous la forme :
Avec \(D_{lv}= D_l + D_v\). Les coefficients \(D_l\) et \(D_v\) sont, respectivement, les coefficients de diffusion de l’eau liquide et de la vapeur d’eau.
Le coefficient \(D_l\), décrivant le transport d’eau liquide, est donné par la loi de Darcy :
Le coefficient \(D_v(S_r, \temp)\) décrivant la diffusion de la vapeur d’eau dans la phase gazeuse est donné par la loi de Fick :
Avec
\(P_c(S_r,\temp)\), pression capillaire déterminée par l’isotherme de désorption de l’eau en fonction de la saturation, calibré par le modèle de Leverett. Son expression est donnée dans [DEFI_MATERIAU] (BETON_DESORP).
\(K_l(\temp)\), la perméabilité intrinsèque au liquide (homogène à une surface) qui est définie par la relation suivante :
\(K_{rl}(S_r)\) la perméabilité relative à l’eau qui peut être déterminée par une loi de type Muallem-Van Genuchten :
\(D_{v0}(S_r, \temp)\), le coefficient de diffusion de vapeur effectif qui s’écrit
\(D_0\), le coefficient de diffusion vapeur libre (homogène à une surface par unité de temps):
On précise que cette expression est associée à l’unité \(m^2/s\). Il est cependant possible d’utiliser cette loi pour un autre système d’unités grâce aux mots-clés UNITE_LONGUEUR et UNITE_TEMPS (voir[DEFI_MATERIAU]).
\(R_m(S_r, \phi)\), le facteur de résistance de Milligton:
\(D_{rv}(S_r)\), le coefficient de diffusion relatif de vapeur :
\(P_v(S_r,\temp)\), la pression de vapeur :
\(h(S_r, \temp)\), l’humidité relative déterminée par l’isotherme de désorption de l’eau en fonction de la saturation :
Toutes ces expressions dépendent de plusieurs paramètres.
Paramètres fixés
\(R\) la constante des gaz parfaits (\(R = 8.3144 J/mol/K\))
\(M\) la masse molaire de l’eau (\(M = 18 · 10^{-3} kg/mol)\)
Paramètres utilisateur du matériau SECH_RFT
\(K_0\), la perméabilité intrinsèque du liquide à la température de référence (homogène à une surface), qui correspond au paramètre PERM_IN.
\(\temp_c [K]\) la température d’activation thermique, qui correspond au paramètre QSR_K.
\(a\), premier coefficient de Millington, qui correspond au paramètre A_MIL.
\(b\), premier coefficient de Millington, qui correspond au paramètre B_MIL.
\(p\), facteur d’interaction porale, qui correspond au paramètre VG_M_P.
Paramètres utilisateur du matériau BETON_DESORP
\(\temp_0 [K]\) la température de référence. Le paramètre matériau correspondant est TEMP_0_C [°C] (qui est converti en degré Kelvin).
\(\phi\), la porosité moyenne, qui correspond au paramètre PORO.
\(\beta\), paramètre de Van Genuchten , qui correspond au paramètre VG_N.
Grandeurs non paramétrables dépendant de la température
\(\eta_l(\temp) [Pa.s]\), la viscosité dynamique de l’eau liquide d’expression : \(0.6612(\temp-229)^{-1.562}\)
\(\rho_l(\temp) [kg/m^3]\), la densité de l’eau liquide d’expression : \(314.4+685.6 \Bigl(1. -\bigl( \frac{\temp-273.15}{374.14}\bigr)^{\frac{1}{0.55}}\Bigr)^{0.55}\)
\(Pvs(\temp) [Pa]\), la pression de vapeur saturée de Rankine d’expression : \(Pvs(\temp)=101325\,\exp\left(13.7-\left(5120/\left(\temp+273.15\right)\right)\right)\)
Ces expressions, tout comme les valeurs de \(R\) et \(M\), sont données pour informations avec leurs unités. Elles sont globalement impliquées dans les formules sous-formes de rapport et ne rentrent donc pas en interférence avec les unités du calcul. Seul \(\eta_l(\temp)\) est adaptée au système d’unité du calcul selon la valeur du paramètre matériau UNITE_TEMPS.
Modélisation des conditions aux limites#
Les conditions aux limites s’expriment en général par une relation non linéaire entre le flux de concentration en eau \({w}^{\text{fl}}\) (de dimension \(l/{m}^{3} \times m \, s^{-1}\) ) et de la concentration en eau. Ces conditions sont donc analogues aux conditions dites d’échange en thermique. On pourra par exemple utiliser la formule proposée par L. Granger [bib1] page 181:
Son expression est la suivante:
où :
\({C}_{\text{eq}}\) est la concentration en eau pour une humidité de 50%HR,
\(C_0\) est la concentration en eau pour une humidité de 100%HR,
\(\beta\) (de dimension \(l/{m}^{3} \times m/s\) ) est un coefficient, qui peut être défini expérimentalement et peut évoluer suivant la fissuration de la surface d’échange ([bib1]),
\(C\) est la concentration courante (inconnue) sur les surfaces d’échange.
- Remarque
La température est toujours entrée en degré Celsius dans la mise en données. La conversion en degré Kelvin est faite en interne
Intégration du séchage dans Code_Aster#
Ces développements concernent les éléments 2D, les éléments axisymétriques et les éléments 3D isoparamétriques, de nombre de noeuds quelconque, linéaires et quadratiques.
Introduction de la notion de comportement dans l’opérateur de thermique non linéaire#
L’opérateur [THER_NON_LINE] est utilisé pour la résolution des problèmes de thermique non linéaire. Mais on utilise le même module de résolution pour résoudre les problèmes de séchage et d’hydratation, du fait de l’analogie des équations.
La notion de comportement a été ajoutée dans l’opérateur de thermique non linéaire, avec une nomenclature et une syntaxe analogues à celles de l’opérateur de mécanique non linéaire. Elle implique pour le séchage une notion d’entité topologique, sur laquelle est appliqué ce comportement. Ceci peut être utile, lorsqu’il y a plusieurs types de lois de diffusion possibles, ou lorsque l’on veut faire un calcul purement thermique sur une partie du maillage, alors que sur une autre partie on fait un calcul de thermo-hydratation (par contre, l’utilisation simultanée sur un même maillage de comportements de type séchage, et de comportements de type thermique ou hydratation n’aurait pas de sens).
Un comportement “séchage” est associé à chacune des lois de diffusion, telles qu’on peut les trouver dans la littérature, de même qu’un matériau spécifique est associé à chacune des lois de diffusion, pour en définir les coefficients caractéristiques. La résolution du séchage est identique, aux coefficients près, à celle de la thermique non linéaire, et aucune modification n’a été apportée à l’algorithme de résolution.
Pour le séchage, cinq comportements distincts sont définis sous les mot-clés SECH_GRANGER, SECH_BAZANT, SECH_MENSI, SECH_RFT ou SECH_NAPPE, pour caractériser chacune des lois de diffusion possible. Ils peuvent être attribués à des parties complémentaires du maillage, au cours d’un même calcul. La définition simultanée de plusieurs comportements “séchage” associés à des entités topologiques différentes nécessite plusieurs occurrences du mot-clé COMPORTEMENT. Alors, l’entité topologique devra être identifiée en renseignant le mot-clé GROUP_MA.
En parallèle des comportements “séchage”, dans l’opérateur [DEFI_MATERIAU], des matériaux permettent dans un premier temps de définir les valeurs des coefficients des lois de diffusion, fonctions non linéaires de la teneur en eau et de la température. L’utilisateur peut choisir la (ou les) loi(s) de son choix, et définit la valeur qu’il souhaite pour chacun de ces coefficients.
Le mot clé SECH_GRANGER permet de définir la loi de diffusion de l’eau liquide et gazeuse sous sa forme la plus classique parmi les expressions de la littérature. Quatre coefficients ainsi qu’une température de référence \({\temp}_{0}\) caractérisent cette loi.
Les mots clés SECH_MENSI et SECH_BAZANT permettent de définir les lois de Mensi et Bazant , à l’aide des coefficients qui conviennent. La loi de Bazant, s’exprimant à partir du degré d’humidité, nécessite de définir une courbe de désorption permettant de convertir la teneur en eau en degré d’humidité dans le cadre de cette modélisation.
Le mot-clé SECH_RFT permet de définir une loi de type RICHARDS_FICK_TEMPERATURE. Elle est décrite à la section Loi SECH_RFT.
Enfin, le mot clé SECH_NAPPE permet d’utiliser une loi de diffusion, à partir d’une fonction tabulée de deux variables, qui sera interpolée dans les calculs à partir des valeurs de la concentration en eau et de la température. Cette dernière possibilité présente l’inconvénient de ne pas lever l’ambiguïté entre ces deux variables associées à un type identique, “TEMP”.
Il est nécessaire, pour le séchage, d’introduire en entrée du calcul un concept de type [evol_ther], représentant l’évolution du champ de température de la structure en béton, dans le cadre d’un calcul chaîné thermique/séchage. En effet, le calcul du séchage nécessite le calcul préliminaire de la température et éventuellement de l’hydratation, car le coefficient de diffusion \(D(C,\temp)\) dépend de la température.
Mise en œuvre des conditions aux limites pour le séchage#
Expression des conditions aux limites#
Les conditions aux limites s’expriment sous forme de flux d’humidité sur les surfaces en contact avec le milieu extérieur suivant l’expression (3183).
Délimitation du calcul du séchage à l’aide des conditions aux limites#
Le calcul du séchage est défini sur la totalité du maillage où sont affectés des éléments finis. Pour ne rendre effectif le calcul du séchage que sur une portion du maillage (ceci dans le but de conserver le même modèle pour les calculs de séchage et pour les calculs mécaniques et de faciliter les « poursuites » de calcul [bib3]), on utilisera les conditions aux limites. En effet, le séchage n’a lieu que s’il y a échange avec l’extérieur. C’est donc l’attribution des conditions aux limites qui permet de « localiser » le calcul. L’absence de séchage sur une portion de la structure s’exprimera par l’absence de conditions aux limites sur les surfaces d’échange concernées.
Mise en œuvre dans Aster#
Les conditions aux limites peuvent être définies, comme en thermique, sous forme de flux normal non linéaire formulé à partir d’une fonction tabulée de la variable de calcul, et interpolée lors des calculs. Cela permet d’éviter de créer de nouvelles options de calcul, analogues aux options de thermique non linéaire qui calculent le premier et le second membre, et qui peuvent être utilisées directement pour le séchage. Il suffit alors de choisir une fonction tabulée correspondant à l’expression du flux, donnée par l’équation (3183).
A l’aide d’une fonction prédéfinie ([FORMULE]), l’expression du flux, donnée sous forme polynômiale et fonction de la variable de calcul, est transformée en courbe tabulée, par l’intermédiaire de [CALC_FONC_INTERP]. On ne crée donc pas de nouvelle option de calcul pour le traitement des conditions aux limites.
Exemple de mise en forme des conditions aux limites#
L’enchaînement de commandes, décrit dans l’exemple qui suit (issu du test HSNA100 [V7.20.100] met en œuvre la création d’une condition aux limites CHARSE05 sur un groupe de mailles L_INT. La FORMULE est l’expression numérique du flux normal de concentration en eau qui reprend l’équation (3183).
BETA=3.41557E-08
C_0=105.7
C_EQ_I05=69.1
C_EQ_E05=69.1
C_EQ_I10=51.6
C_EQ_E10=69.1
FL_INT05 = FORMULE(NOM_PARA='TEMP',
VALE='''(0.5*BETA / ((C_0 - C_EQ_I05 )**2)
* (TEMP - (2.*C_0 - C_EQ_I05 ))*(TEMP - C_EQ_I05 ))''')
LIST0=DEFI_LIST_REEL(DEBUT=0.,INTERVALLE=(_F(JUSQU_A = 200.,PAS = 10.)))
HU_INT05=CALC_FONC_INTERP( FONCTION=FL_INT05,
LIST_PARA=LIST0,NOM_PARA = 'TEMP', NOM_RESU='FL_INT05',
PROL_GAUCHE='LINEAIRE', PROL_DROITE='LINEAIRE',
INTERPOL='LIN', TITRE='FLUX D HUMIDITE' )
CHARSE05=AFFE_CHAR_THER_F(MODELE=MOTH,
FLUX_NL=_F( GROUP_MA = 'L_INT', FLUN = HU_INT05))
- Remarque
Il est important que la fonction interprétée et la fonction tabulée ne portent pas le même nom, pour que les interpolations à droite et à gauche soient convenablement définies, car les exclusions à droite et à gauche ne « surchargent » pas les prolongements d’une fonction interprétée, transformée à l’aide de l’opérateur [CALC_FONC_INTERP].
Intégration numérique du séchage#
L’équation de la chaleur (3166) conduit, dans le cas d’une condition aux limites en flux normal sur la frontière \(\Gamma\) à la formulation variationnelle:
De façon analogue, l’équation régissant le séchage (3167) conduit, dans le cas d’une condition aux limites en flux normal sur la frontière \(\Gamma\) à la formulation variationnelle:
La résolution du séchage est intégrée à l’opérateur [THER_NON_LINE], en remplaçant \(\rho \therCp\) par la fonction constante égale à l’identité, et la conductivité par la diffusion \(D(C,\temp)\) , la température intervenant comme une constante dans les calculs (variable auxiliaire). Selon la loi de diffusion choisie, il faut calculer la valeur du coefficient de diffusion ainsi que ses dérivées, selon la température et la concentration en eau à l’instant courant, au point courant.
On se reportera à la documentation de l’opérateur de thermique non linéaire [R5.02.02] pour de plus amples détails sur l’intégration numérique de la thermique non linéaire.
Dans le cadre du séchage, les conditions aux limites sont données en terme de flux normal, et conduisent, comme en thermique, à un terme dans le premier membre et à un terme dans le second membre.
Formalisation du retrait endogène et de dessiccation#
Retrait endogène#
Dans le cadre d’une formalisation du retrait en terme de déformation, l’incrément total de déformation peut se décomposer en somme d’une composante thermique, d’une composante représentant le retrait endogène, et d’une composante représentant le retrait de dessiccation, ajoutées à la composante mécanique (élasticité, fluage, …).
Le moyen le plus simple de représenter le retrait de dessiccation \(\strain_{\text{dess}}\) est de le mettre sous la forme:
\(\Delta {\epsilon}_{\text{dessiccation}}=\left[-\kappa \left({C}_{0}-{C}^{+}\right)+\kappa \left({C}_{0}-{C}^{-}\right)\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\right].\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}{I}^{d}=-\kappa \Delta C.\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}{I}^{d}\) éq 6.1-1
où \(C\) est la concentration en eau, \({C}_{0}\) la concentration en eau initiale et \(\kappa\) un coefficient caractérisant le retrait, supposé constant.
On peut modéliser le retrait endogène sous la forme:
où \(\xi\) est l’hydratation et \(\beta\) un coefficient caractéristique du matériau dont les dépendances sont mal connues.
Les retraits de dessiccation et endogène peuvent donc intervenir une loi de comportement en y remplaçant les termes habituels \(\Delta \strain -\Delta \strain_{\text{ther}}\) par \(\Delta \strain -\Delta \strain_{\text{ther}}-\Delta \strain_{\text{dess}}-\Delta \strain_{\text{endo}}\) . Ces termes sont pris en compte pour les comportements élastique et élastoplastiques de type Von Mises et ainsi que plusieurs modèles de béton [bib2] (BETON_UMLV, BETON_BURGER, BETON_DOUBLE_DP, ENDO_ISOT_BETON, MAZARS). On a alors par exemple en élasticité 1D:
Le paramètre mécanique \(\youngModulus\) (module d’Young) dépend principalement de la variable d’hydratation \(\xi\) .
Cette formulation du retrait de dessiccation et du retrait endogène a l’avantage d’utiliser directement la teneur en eau \(C\) , que l’on peut relier à la perte de poids par simple intégration sur le volume. Si l’on utilisait l’humidité relative \(h\) , il faudrait la retraduire en terme de teneur en eau par le biais de l’isotherme de désorption de chacun des différents bétons.
Ces paramètres peuvent être définis dans un cadre relativement général, comme des fonctions des différentes variables de calcul et variables auxiliaires (température, hydratation, concentration en eau, ou constantes) pour laisser le choix à l’utilisateur de définir librement les dépendances des paramètres. Il reste à la charge de l’utilisateur d’utiliser les fonctions pour reproduire l’expression du module d’Young.
Pour plus de détail sur ces formulations, et sur les moyens de calculer les coefficients \(\kappa\) et \(\beta\) , on se reportera à la thèse de L. Granger, [bib1], aux pages 99 et suivantes, et aux pages 210 et suivantes.
Pour le calcul mécanique les variables \(\xi\) (l’hydratation) et \(C\) (concentration en eau) sont des données, comme l’est la température lors d’un calcul thermomécanique.
Intégration du retrait dans les loi de comportement mécaniques#
La thermique et le séchage sont découplés de la résolution mécanique, tout comme le séchage est une opération chaînée à la thermique et à l’hydratation. Ce découplage permet d’intégrer le retrait dans l’opérateur de résolution de la mécanique non linéaire, sans ajouter de nouveaux phénomènes, comportements, types d’éléments et options de calcul. De plus, il permet d’introduire le retrait de façon simple dans toutes les lois de comportement non linéaires. La syntaxe de [STAT_NON_LINE] n’est pas modifiée.
Dans la version actuelle de l’opérateur de mécanique non linéaire, le retrait a été intégré au comportement élastique (ELAS), au comportement élastoplastique de Von Mises (VMIS_ISOT_* ) et aux modèles spécifiques aux bétons : MAZARS, ENDO_ISOT_BETON, BETON_DOUBLE_DP, GRANGER* , BETON_UMLV_FP. Il consiste à ôter les termes de retrait à la déformation totale, avant la résolution des équations d’équilibre aux points de Gauss, de la même façon qu’est prise en compte la dilatation thermique.
Les coefficients \(\kappa\) et \(\beta\) caractérisant les retraits endogène et de dessiccation sont définis sous le mot clé “ELAS_FO” dans [DEFI_MATERIAU] (opérandes K_DESSIC et B_ENDOGE respectivement), comme des constantes. Les autres caractéristiques mécaniques, coefficient de Poisson et module d’Young peuvent aussi être définies comme fonctions des nouvelles variables HYDR et SECH, qui ont été ajoutées aux catalogues des deux opérateurs [DEFI_FONCTION] et [DEFI_NAPPE].
Les résultats, de type [evol_ther], issus d’un calcul de thermique non linéaire, ou de thermo-hydratation, et d’un calcul de séchage, et correspondant respectivement aux champs thermo-hydrique de type “TEMP/HYDR”, ou au champ séchage de type “TEMP”, sont transmis au calcul mécanique par l’intermédiaire de l’opérateur [AFFE_MATERIAU](mot clé AFFE_VARC). Les calculs mécaniques associant ces champs permettent:
de calculer les retraits endogène et de dessiccation, dans le cas où les caractéristiques matériau associées auront été définies auparavant dans [DEFI_MATERIAU],
d’interpoler le module d’Young et le coefficient de Poisson lorsque ceux-ci sont des fonctions des variables hydratation ou séchage.
- Remarques
En présence d’un champ de séchage, il est nécessaire de renseigner le mot clé VALE_REF dans la commande [AFFE_MATERIAU]. Cette valeur définit la valeur de séchage pour laquelle le retrait de dessiccation est nul.
Il faut donc veiller à être cohérent avec les valeurs de schages utilisées (notamment à l’instant initial!)
Le séchage et l’hydratation ne sont pas pris en compte pour les éléments de structure. Pour ce type d’éléments, il sera nécessaire de définir des coefficients \(\kappa\) et \(\beta\) nuls, sinon le calcul s’arrêtera en erreur fatale
Les comportements FLUA_PORO_BETON, ENDO_PORO_BETON et BETON_RAG prennent en compte ces effets mais différemment
Matrice tangente#
Le calcul des matrices tangentes des différentes lois de comportement non linéaire n’est pas affecté par l’ajout du retrait endogène et du retrait de dessiccation, car on néglige les dérivées par rapport aux variables d’hydratation et de séchage, des termes des équations d’équilibres, de même que sont négligées usuellement les dérivées par rapport à la température de ces mêmes termes. Ces dérivées interviennent au deuxième ordre.
Bibliographie#
GRANGER, L.: Comportement différé du béton dans les enceintes de centrale nucléaire: analyse et modélisation. Thèse de Doctorat de l’ENPC (février 1995).
CIREE, B. : Spécifications du développement du séchage du béton dans le Code_Aster . Rapport CS SI DSFN/128EE1/RAP/98.044 Version 1.1
CIREE, B. : Spécifications du développement du retrait endogène et du retrait de dessiccation dans le Code_Aster . Rapport CS SI DSFN/128HJ1/RAP/98.088. Version 1.0
Adia, J.-L. D., Koala, H., Kinda, J., Sanahuja, J., Charpin, L., 2020. Concrete drying modelling in a variable temperature environment. In : RILEM Spring Convention and Conference. Springer, pp. 47–58. 71, 72, 119, 196