v3.05.104 SSLX104 - Discrets : dilatation due à un champ de température#

Résumé :

L’objectif de ce test est de vérifier la prise en compte de la dilatation thermique pour les discrets de type K_TR_D_L. Les résultats sont comparés à ceux d’une POU_D_E.

Solution de référence#

Déplacements et efforts internes#

Au nœud \(A\) tous les déplacements sont bloqués. Aux nœuds \(B\) et \(C\) le chargement est un effort \(F\) suivant l’axe de l’élément. La température est affectée aux nœuds : \(Temper\).

Le déplacement dû à la dilatation thermique dans l’axe de l’élément est :

\[U_{th} = \alpha_{th}\left(T - T_{ref}\right)L\]

Le déplacement dû à l’effort dans l’axe de l’élément est :

  • Pour les poutres : \(U_p =\frac{F L}{E S}\)

  • Pour les discrets : \(U_d =\frac{F}{K_x}\)

La raideur du discret est choisie pour que les déplacements des poutres et des discrets soient identiques : \(K_x = \frac{E S}{L}\).

Lorsque le chargement est à la fois la température et l’effort :

  • Le déplacement total est : \(U_{total} = U_{th} + U_{d} = U_{th} + U_{p}\).

  • L’effort interne est : \(F_{normal} = F\).

  • Les réactions d’appui sont :

    • Pour les éléments suivant \(AB\) : \(F_x = F\)

    • Pour les éléments suivant \(AC\) : \(\left[ F_x, F_y, F_z \right] = -F \left[ \cos(\beta) cos(\alpha), \cos(\beta) sin(\alpha), \sin(\beta) \right]\)

Incertitudes sur les solutions#

Aucune

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

La modélisation est constituée de :

  • POUTA : un SEG2 entre les nœuds \(A\) et \(B\) affecté d’un modèle POU_D_E.

  • POUTB : un SEG2 entre les nœuds \(A\) et \(C\) affecté d’un modèle POU_D_E.

  • DISCA : un SEG2 entre les nœuds \(A\) et \(B\) affecté d’un modèle DIS_TR.

  • DISCB : un SEG2 entre les nœuds \(A\) et \(C\) affecté d’un modèle DIS_TR.

Le nœud \(A\) est encastré.

Pour les éléments dans la direction \(AB\), l’effort au nœud \(B\) dans le repère global : \(Fb_x = F\)

Pour les éléments dans la direction \(AC\), l’effort au nœud \(C\) dans le repère global :

\(\left\lbrace \begin{array}{l}Fc_x = F \cos(\beta)\cos(\alpha)\\Fc_y = F \cos(\beta)\sin(\alpha)\\Fc_z = F \sin(\beta)\end{array}\right.\)

Le chargement de température est un champ aux nœuds :

Instants

Température[°c]

0

\(T_0 = T_{ref} = 20.0°C\)

1

\(T_1 = 50°C\)

2

\(T_2 = 75°C\)

3

\(T_3 = 100°C\)

Caractéristiques du maillage#

Le maillage est constitué d’une seule maille SEG2 par élément.

Grandeurs testées et résultats#

Les solutions théoriques sont écrites, dans le fichier de commandes, en fonction des paramètres :

  • liés au maillage : \(L, \alpha, \beta\)

  • liés à la géométrie des poutres : \(H_y, H_z\)

  • liés aux caractéristiques des discrets : \(K_x\)

  • liés au matériau : \(E, \alpha_{th}\)

Les grandeurs testés :

  • aux nœuds \(B\) et \(C\) : les déplacements, champ DEPL.

  • au nœud \(A\) : les réactions nodales, champ REAC_NODA.

  • sur les poutres et les discrets : les efforts internes, champ EFGE_ELNO.

Synthèse des résultats#

Pour tous les éléments modélisés, tous les résultats correspondent à la solution analytique.