v2.04.100 SDLV100 - Vibration d’une poutre élancée de section rectangulaire variable (encastrée-libre)#
Résumé:
La structure étudiée est une poutre en acier encastrée libre à section variable rectangulaire modélisée par des éléments volumiques. On s’intéresse à ses fréquences propres en flexion. Le même problème est traité en modélisation poutre dans le cas test SDLL09.
Ce problème permet de tester les éléments volumiques MECA_HEXA20 et MECA_PENTA15 en analyse modale. Il permet également de tester l’option MASS_MECA_DIAG de calcul des matrices de masse diagonalisées pour les modélisations volumiques.
La solution de référence est une solution numérique obtenue à l’aide du code de calcul par éléments finis SAMCEF pour des modélisations similaires. Les résultats obtenus sont également en bon accord avec les résultats semi-analytiques donnés dans le guide VPCS.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est obtenue à l’aide du logiciel de calcul par éléments finis SAMCEF pour des modélisations identiques mais avec des matrices élémentaires de masse cohérentes.
On rappelle la solution analytique donnée dans la fiche SDLL09/89 du guide VPCS. L’équation différentielle en flexion de la poutre considérée, en théorie d’Euler-Bernoulli s’écrit (Théorie d’Euler‑Bernoulli) :
\(\frac{{\partial}^{2}(E{I}_{z}\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}})}{\partial {x}^{2}}=-\rho A\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {t}^{2}}\)
où \({I}_{z}\) et \(A\) varient avec l’abscisse.
Les fréquences propres sont alors de la forme:
\({f}_{i}=\frac{1}{2\pi }{\lambda}_{i}(\alpha ,\beta )\frac{{h}_{1}}{{L}^{2}}\sqrt{\frac{E}{12\rho }}\)
avec \(\alpha =\frac{{h}_{0}}{{h}_{1}}=4\) et \(\beta =\frac{{b}_{0}}{{b}_{1}}=4\) .
Pour cette valeur de \(\alpha\) et \(\beta\) , les premières valeurs de la suite \(({\lambda}_{i})\) sont :
\({\lambda}_{1}\) |
\({\lambda}_{2}\) |
\({\lambda}_{3}\) |
\({\lambda}_{4}\) |
\({\lambda}_{5}\) |
|
\(\beta =4\) |
23.289 |
73.9 |
165.23 |
299.7 |
478.1 |
Résultats de référence#
Les résultats de référence retenus sont les 5 premières fréquences propres des modes de flexion.
Incertitude sur la solution#
Solution analytique en théorie de poutre de Bernoulli, et solution numérique SAMCEF.
Références bibliographiques#
H.H. MABIE, C.B. ROGERS, Transverse vibrations of double-tapered cantilever beams- Journal of the Acoustical Society of America, n°51, p.1771-1774 (1972).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Eléments de volume MECA_HEXA20
Discrétisation: |
poutre AB: 30 mailles HEXA20 (1 maille dans la section) |
Conditions aux limites: |
|
|
DDL_IMPO: ( TOUT:”OUI” DZ: 0.) ( GROUP_NO : G_1 DX: 0., DY: 0) |
Caractéristiques du maillage#
Maillage: |
Nombre de nœuds: 368 Nombre de mailles et type: 30 HEXA20 |
Valeurs testées#
Identification |
Solution poutre analytique |
Référence SAMCEF |
Aster |
% différence Aster-SAMCEF |
fréquence |
en HZ |
en HZ |
||
matrice cohérente |
||||
flexion 1 |
54.18 |
56.84 |
56.85 |
0.0176% |
flexion 2 |
171.94 |
180.0 |
180.08 |
0.0444% |
flexion 3 |
384.40 |
401.0 |
401.23 |
0.0574% |
flexion 4 |
697.24 |
723.2 |
724.02 |
0.1134% |
flexion 5 |
1112.28 |
1145.41 |
1147.51 |
0.1833% |
matrice diagonale |
||||
flexion 1 |
54.18 |
56.84 |
56.78 |
–0.1033% |
flexion 2 |
171.94 |
180.00 |
179.57 |
–0.2419% |
flexion 3 |
384.40 |
401.00 |
399.24 |
–0.4408% |
flexion 4 |
697.24 |
723.20 |
718.69 |
–0.6273% |
flexion 5 |
1112.28 |
1145.41 |
1136.01 |
–0.8273% |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Eléments de volume MECA_PENTA15
Discrétisation: |
poutre \(\mathrm{AB}\) : 60 mailles PENTA15 (2 mailles dans la section) |
Conditions aux limites: |
|
|
DDL_IMPO: ( TOUT:”OUI” DZ: 0.) ( GROUP_NO : G_1 DX: 0., DY: 0) |
Caractéristiques du maillage#
Maillage: |
Nombre de nœuds: 368 Nombre de mailles et type: 60 PENTA15 |
Valeurs testées#
Identification |
Solution poutre semi-analytique |
Référence SAMCEF |
Aster |
% différence ASTER-SAMCEF |
fréquence |
en HZ |
en HZ |
||
matrice consistante |
||||
flexion 1 |
54.18 |
56.84 |
56.82 |
–0.038% |
flexion 2 |
171.94 |
180.00 |
179.96 |
–0.022% |
flexion 3 |
384.40 |
401.00 |
400.93 |
–0.018% |
flexion 4 |
697.24 |
723.20 |
723.41 |
0.029% |
flexion 5 |
1112.28 |
1145.41 |
1146.41 |
0.088% |
matrice diagonale |
||||
flexion 1 |
54.18 |
56.84 |
56.76 |
–0.149% |
flexion 2 |
171.94 |
180.00 |
179.51 |
–0.272% |
flexion 3 |
384.40 |
401.00 |
399.25 |
–0.437% |
flexion 4 |
697.24 |
723.20 |
–0.583% |
|
flexion 5 |
1112.28 |
1145.41 |
–0.740% |
Synthèse des résultats#
Les écarts entre les résultats des calculs Code_Aster et SAMCEF avec masses cohérentes sont inférieurs à 0.2%.
Les écarts entre les résultats de calculs Code_Aster avec masses diagonales et SAMCEF avec masses cohérentes restent inférieurs à 1%.
Ces résultats sont conformes à ce que l’on pouvait attendre, et valident d’une manière fiable les calculs de fréquences propres dans Code_Aster par CALC_MODES et l’opérateur CALC_MATR_ELEM en masses cohérentes comme en masses diagonales.