v3.03.127 SSLS127 – Flexion d’une dalle en béton armé (modèle GLRC_DAMAGE) appuyée sur 4 cotés : régime de plaque élastique#
Résumé :
Ce test représente le calcul d’une dalle en béton armé, en flexion, soumise à une pression. Il permet de valider la modélisation DKTG avec le modèle GLRC_DAMAGE pour le comportement élastique linéaire et la modélisation Q4GG avec le modèle ELAS. La dalle est en appuis simples sur ses quatre cotés.
Quatre modélisations sont effectuées :
Modélisation A permet de tester le modèle DKTG avec des TRIA3
Modélisation B permet de tester le modèle DKTG avec des QUAD4
Modélisation C permet de tester le modèle Q4GG avec des TRIA3
Modélisation D permet de tester le modèle Q4GG avec des QUAD4
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Les relations élastiques, reliant les efforts membranaires \(N\) et de flexion \(M\) aux déformations membranaires \(\varepsilon\) et les courbures \(\kappa\) et tenant compte de deux grilles symétriques, s’écrivent:
\(N=(\frac{{E}_{b}h}{1-{\nu}_{b}^{2}}\left[\begin{array}{ccc}1& {\nu}_{b}& 0\\ {\nu}_{b}& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-{\nu}_{b}}{2}\end{array}\right]+2{E}_{a}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{x}& 0& 0\\ 0& {a}_{y}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right])\epsilon\)
\(M=(\frac{{E}_{b}{h}^{3}}{12(1-{\nu}_{b}^{2})}\left[\begin{array}{ccc}1& {\nu}_{b}& 0\\ {\nu}_{b}& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-{\nu}_{b}}{2}\end{array}\right]+2{E}_{a}{e}_{s}^{2}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{x}& 0& 0\\ 0& {a}_{y}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right])\kappa\)
S’agissant d’une configuration dalle, on affecte au béton le coefficient de Poisson habituel \({\nu}_{b}=0,22\) . La dalle est simplement appuyée sur les quatre lisières:
|
|
Grandeur |
Expression |
Flèche au centre sous pression [2] |
\(w=\frac{0,0464{\mathit{pl}}^{4}}{12(1-{\nu}_{\mathit{éq}}^{2}){D}_{\mathit{éq}}}\) |
Courbure au centre [2] |
\({\kappa}_{xx}={\kappa}_{yy}=\frac{0,04784{\mathit{pl}}^{2}}{(1+{\nu}_{\mathit{éq}}){D}_{\mathit{éq}}}\) |
Moment global au centre [2] |
\({M}_{xx}={M}_{yy}=0,04784{\mathrm{pl}}^{2}\) |
Résultats de référence#
Pour les modélisations A et B dans lesquelles on valide la loi GLRC_DAMA avec les éléments DKTG:
Flèche au centre sous pression: \(w=6,926{.10}^{-5}\text{m}\)
Courbure au centre: \({\kappa}_{xx}={\kappa}_{yy}=2,193{.10}^{-4}{\text{m}}^{-1}\)
Moment global au centre: \({M}_{xx}={M}_{yy}=1550\text{Nm/ml}\)
Pour les modélisations C et D dans lesquelles on valide la loi ELAS avec les éléments DKTG:
Flèche au centre sous pression: \(w=7,895{.10}^{-5}\text{m}\)
Courbure au centre: \({\kappa}_{xx}={\kappa}_{yy}=2,351{.10}^{-4}{\text{m}}^{-1}\)
Moment global au centre: \({M}_{xx}={M}_{yy}=1550\text{Nm/ml}\)
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
[1] KOECHLIN P., MOULIN S., « Modèle de comportement global des plaques en béton armé sous chargement dynamique de flexion : Loi GLRC », Note EDF/R&D/AMA HT-62/01/028A.
[2] J.Dulac, « Comportement dynamique élasto-plastique des dalles en béton armé. Essais CEMETE – Décembre 1979– Dalles 8 à 12 »: Note EDF: ESE/GC/82/13/A
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
DALLE
Y
A3
A4
A2
A1
LSYMY
LSYMX
LCONTX
LCONTY
Modélisation Q4GG (TRIA3)
Conditions aux limites:
. Coté \(\mathrm{A2A4}\) : \(\mathrm{DZ}=0\)
Conditions de symétrie
. Coté \(\mathrm{A1A2}\) : \(\mathrm{DY}=\mathrm{DRX}=0\)
. Coté \(\mathrm{A1A3}\) : \(\mathit{DX}=\mathit{DRY}=0\)
X La dalle est symétrique par rapport aux plans \((X=0)\) et \((Y=0)\) , les calculs sont effectués sur un quart de la dalle.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 169
Nombre de mailles et type : 288 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
\(\mathit{DZ}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
6,926.10-5 |
5% |
\(\mathit{MXX}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550 |
8% |
\(\mathit{MYY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550 |
8% |
\(\mathit{KXX}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2,193.10-4 |
8% |
\(\mathit{KYY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2,193.10-4 |
8% |
Les grandeurs sont exprimées dans le repère défini par les angles nautiques \(\alpha =33°\) et \(\beta =12°\)
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
6,926.10-5 |
5% |
\(\mathit{MXX}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550.0 |
8% |
\(\mathit{MYY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550.0 |
8% |
\(\mathit{MXY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
||
\(\mathit{KXX}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2.193 10-4 |
8% |
\(\mathit{KYY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2.193 10-4 |
8% |
\(\mathit{KXY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
0.001 |
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance% |
||
\(\mathit{MXX}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}3\) |
“NON_REGRESSION” |
1445.794 |
1.e-6 |
\(\mathit{MYY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}3\) |
“NON_REGRESSION” |
1447.847 |
1.e-6 |
\(\mathit{MXY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}3\) |
“NON_REGRESSION” |
0.526 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}3\) |
“NON_REGRESSION” |
2.14096 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KYY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}3\) |
“NON_REGRESSION” |
2.14565 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}3\) |
“NON_REGRESSION” |
1.2018 10-7 |
1.e-6 |
Remarques#
Les coefficients des matrices d’élasticité suivantes, utilisés lors des calculs, ont été calculés avec \({\nu}_{b}=0,22\) :
Matrice d’élasticité en membrane : \(\left[\begin{array}{ccc}4832& 990,4& 0\\ 990,4& 4832& 0\\ 0& 0& 1756\end{array}\right]{10}^{6}\text{N/m}\)
Matrice d’élasticité en flexion : \(\left[\begin{array}{ccc}5,879& 1,188& 0\\ 1,188& 5,879& 0\\ 0& 0& 2,107\end{array}\right]{10}^{6}\text{N/m}\)
Pour être certain de rester dans le domaine élastique, les limites élastiques exprimées dans le repère d’orthotropie, sont fixées arbitrairement à une valeur très élevée:
Limites élastiques en flexion positive:
Direction x: \({1.10}^{10}\text{MNm/ml}\)
Direction y: \({1.10}^{10}\text{MNm/ml}\)
Limites élastiques en flexion négative:
Direction x: \(-{1.10}^{10}\text{MNm/ml}\)
Direction y: \(-{1.10}^{10}\text{MNm/ml}\)
Comme la structure reste dans le domaine élastique, le coefficient de rappel cinématique (constante de Prager) peut prendre une valeur quelconque.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
LCONTY
LCONTX
LSYMX
LSYMY
A1
A2
A3
Y
DALLE
X
A4
Modélisation Q4GG (QUAD4)
Conditions aux limites:
. Coté \(\mathrm{A2A4}\) : \(\mathrm{DZ}=0\)
. Coté \(\mathit{A3A4}\) : \(\mathrm{DZ}=0\)
Conditions de symétrie
. Coté \(\mathrm{A1A2}\) : \(\mathrm{DY}=\mathrm{DRX}=0\)
. Coté \(\mathrm{A1A3}\) : \(\mathrm{DX}=\mathrm{DRY}=0\)
La dalle est symétrique par rapport aux plans \((X=0)\) et \((Y=0)\) , les calculs sont effectués sur un quart de la dalle.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 169
Nombre de mailles et type : 144 QUAD4
Grandeurs testées et résultats#
.
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
\(\mathit{DZ}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
6,926.10-5 |
5% |
\(\mathit{MXX}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550 |
8% |
\(\mathit{MYY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550 |
8% |
\(\mathit{KXX}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2,193.10-4 |
8% |
\(\mathit{KYY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2,193.10-4 |
8% |
Les grandeurs sont exprimées dans le repère défini par les angles nautiques \(\alpha =33°\) et \(\beta =12°\) .
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
6,926.10-5 |
5% |
\(\mathit{MXX}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550.0 |
8% |
\(\mathit{MYY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550.0 |
8% |
\(\mathit{MXY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
||
\(\mathit{KXX}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2.193 10-4 |
8% |
\(\mathit{KYY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2.193 10-4 |
8% |
\(\mathit{KXY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
0.001 |
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance% |
||
\(\mathit{MXX}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
1444.999 |
1.e-6 |
\(\mathit{MYY}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
1447.976 |
1.e-6 |
\(\mathit{MXY}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
-0.6626 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
2.1394 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KYY}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
2.1462 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXY}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
-1.5151 10-7 |
1.e-6 |
Remarques#
Voir remarques de la modélisation A
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
LCONTY
LCONTX
LSYMX
LSYMY
A1
A2
A4
A3
Y
DALLE
Modélisation Q4GG (TRIA3)
Conditions aux limites:
. Coté \(\mathit{A2A4}\) : \(\mathit{DZ}=0\)
Conditions de symétrie
. Coté \(\mathit{A1A2}\) : \(\mathit{DY}=\mathit{DRX}=0\)
. Coté \(\mathit{A1A3}\) : \(\mathit{DX}=\mathit{DRY}=0\)
X La dalle est symétrique par rapport aux plans \((X=0)\) et \((Y=0)\) , les calculs sont effectués sur un quart de la dalle.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 169
Nombre de mailles et type : 288 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de Référence |
Référence |
% Tolérance |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
7,895.10-5 |
8% |
\(\mathrm{MXX}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550 |
3% |
\(\mathrm{MYY}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550 |
3% |
\(\mathrm{KXX}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2,351.10-4 |
3% |
\(\mathrm{KYY}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2,351.10-4 |
3% |
Les grandeurs sont exprimées dans le repère défini par les angles nautiques \(\alpha =33°\) et \(\beta =12°\)
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
7,895.10-5 |
8% |
\(\mathit{MXX}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550.0 |
3% |
\(\mathit{MYY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550.0 |
3% |
\(\mathit{MXY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
0.1 |
|
\(\mathit{KXX}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2,351.10-4 |
3% |
\(\mathit{KYY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2,351.10-4 |
3% |
\(\mathit{KXY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
0.001 |
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance% |
||
\(\mathit{MXX}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
1506.61 |
1.e-6 |
\(\mathit{MYY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
1506.70 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
2.228 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KYY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
2.228 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
2.31 10-8 |
1.e-6 |
Remarques#
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
LCONTY
LCONTX
LSYMX
LSYMY
A1
A2
A3
Y
DALLE
X
A4
Modélisation Q4GG (QUAD4)
Conditions aux limites:
. Coté \(\mathit{A2A4}\) : \(\mathit{DZ}=0\)
. Coté \(\mathit{A3A4}\) : \(\mathrm{DZ}=0\)
Conditions de symétrie
. Coté \(\mathit{A1A2}\) : \(\mathit{DY}=\mathit{DRX}=0\)
. Coté \(\mathit{A1A3}\) : \(\mathit{DX}=\mathit{DRY}=0\)
La dalle est symétrique par rapport aux plans \((X=0)\) et \((Y=0)\) , les calculs sont effectués sur un quart de la dalle.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 169
Nombre de mailles et type : 144 QUAD4
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de Référence |
Référence |
% Tolérance |
\(\mathit{DZ}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
7,895.10-5 |
8% |
\(\mathrm{MXX}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550 |
3% |
\(\mathrm{MYY}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550 |
3% |
\(\mathrm{KXX}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2,351.10-4 |
3% |
\(\mathrm{KYY}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2,351.10-4 |
3% |
Les grandeurs sont exprimées dans le repère défini par les angles nautiques \(\alpha =33°\) et \(\beta =12°\) .
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
7,895.10-5 |
8% |
\(\mathit{MXX}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550.0 |
3% |
\(\mathit{MYY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
1550.0 |
3% |
\(\mathit{MXY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
0.1 |
|
\(\mathit{KXX}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2,351.10-4 |
3% |
\(\mathit{KYY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2,351.10-4 |
3% |
\(\mathit{KXY}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
0.001 |
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance% |
||
\(\mathit{MXX}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
1512.79 |
1.e-6 |
\(\mathit{MYY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
1515.82 |
1.e-6 |
\(\mathit{MXY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
-0.6749 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
2.294 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KYY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
2.301 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
-1.601 10-7 |
1.e-6 |
Remarques#
Synthèse des résultats#
En comparant les résultats des quatre modélisations à la solution analytique, on observe :
DKTG : au maximum \(\text{5 \%}\) d’écart pour les déplacements, et \(\text{8\%}\) pour le moment et la courbure.
Q4GG : au maximum \(8\text{\%}\) d’écart pour les déplacements, et \(3\text{\%}\) pour le moment et la courbure.
On peut donc estimer que ces modélisations valident la modélisation DKTG et le modèle GLRC en comportement élastique, la modélisation Q4GG et le modèle ELAS.