v3.04.109 SSLV109 - Cylindre plein en pression non uniforme mode 1#
Résumé:
Ce test valide tous les éléments de Fourier (triangles et quadrangles de degrés1 et 2) en élasticité. Les fonctionnalités sont les suivantes:
pression variable en espace,
déplacements imposés,
matrices de rigidité Fourier mode1,
contraintes aux nœuds Fourier mode1,
recombinaison de Fourier sur les déplacements et contraintes (modélisationA),
matériau isotrope transverse (modélisationF).
Le test a une solution analytique quadratique en déplacements.
L’intérêt du test réside dans:
la comparaison entre solution calculée et solution analytique sur les différents éléments finis,
la comparaison des résultats avec le Code PERMAS sur les éléments TRIA6 (modélisationA).
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
\({u}_{r}(r,z,\theta )=u(r,z)\cos\theta\) |
avec \(u(r,z)=\frac{M}{\mathrm{2EI}}{z}^{2}+\frac{v\stackrel{ˉ}{p}}{\mathrm{2ER}}{r}^{2}\) |
\({u}_{z}(r,z,\theta )=v(r,z)\cos\theta\) |
avec \(v(r,z)=-\frac{\stackrel{ˉ}{p}}{\mathrm{2EI}}rz\) |
\({u}_{\theta}(r,z,\theta )=w(r,z)(-\sin\theta )\) |
avec \(w(r,z)=\frac{M}{\mathrm{2EI}}{z}^{2}-\frac{v\stackrel{ˉ}{p}}{\mathrm{2ER}}{r}^{2}\) |
Toutes les contraintes sont nulles sauf \({\sigma}_{zz}(r,z)=-\frac{\stackrel{ˉ}{p}}{R}r\) .
Les données ont été choisies de telle façon que \(u(x)=u(0,l)=1\) .
Les déplacements s’écrivent donc ici:
\(u(r,z)=\frac{{z}^{2}}{144}+\frac{{r}^{2}}{480}\) ; \(v(r,z)=-\frac{rz}{72}\) ; \(w(r,z)=\frac{{z}^{2}}{144}-\frac{{r}^{2}}{480}\)
et:
\({\sigma}_{zz}(r,z)=-r\)
Résultats de référence#
\(u,v,w,{\sigma}_{zz}\) |
en \(\begin{array}{c}r=0.,0.5,1.\\ z=0.,6.,12.\end{array}\) |
\({u}_{r},{u}_{z},{u}_{\theta}\) |
en \(\begin{array}{c}r=0.\\ z=6.\\ \theta =45°\end{array}\) |
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
PERMAS-HS. Axisymmetric Continua with arbitrary loads. Stuttgart 1985. INTES publication n°224 pp 42 - 49.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Numéro des noeuds: |
\(A=\mathit{N1}\) |
\(B=\mathit{N3}\) |
\(C=\mathit{N13}\) |
|
\(D=\mathit{N15}\) |
\(E=\mathit{N7}\) |
\(F=\mathit{N8}\) |
\(G=\mathit{N9}\) |
Conditions limites:
DDL_IMPO : |
(NOEUD: ADX = 0. DY = 0. DZ = 0.) |
face \(\mathit{AB}\) |
(GROUP_NO: ABDY = 0.) |
Pression sur la face \(\mathit{CD}\) : PRES_REP (GROUP_MA : Bout PRES : p)
\(p\) étant défini par AFFE_CHAR_MECA_F par \(p(X)=–X\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 15
Nombre de mailles et types: 4 TRIA6, 1SEG3 sur segment \(\mathit{CD}\)
Résultats de la modélisation A#
Valeurs testées#
Nœud |
Grandeur |
Référence |
\(B\) |
\(u\) |
2.0833 10–3 |
\(v\) |
||
\(w\) |
–2.0833 10–3 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
|
\(E\) |
\(u\) |
0.25 |
\(v\) |
||
\(w\) |
0.25 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
||
\(F\) |
\(u\) |
0.250521 |
\(v\) |
–0.04166 |
|
\(w\) |
0.0249479 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–0.5 |
|
\(G\) |
\(u\) |
0.252083 |
\(v\) |
–0.083333 |
|
\(w\) |
0.247917 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
|
\(C\) |
\(u\) |
|
\(v\) |
||
\(w\) |
||
\({\sigma}_{zz}\) |
||
\(D\) |
\(u\) |
1.00208 |
\(v\) |
–0.16666 |
|
\(w\) |
0.99791 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
Remarques#
La solution analytique est trouvée avec une précision \(<0.02\text{}\) pour les déplacements et \(<0.1\text{}\) pour les contraintes.
Avec une formule d’intégration numérique à 6 points de GAUSS (au lieu de 3) pour calculer la raideur, on trouverait la relation à \({10}^{-10}\) près (comme PERMAS).
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Numéro des nœuds: |
\(A=\mathit{N1}\) |
\(B=\mathit{N3}\) |
\(C=\mathit{N13}\) |
|
\(D=\mathit{N15}\) |
\(E=\mathit{N7}\) |
\(F=\mathit{N8}\) |
\(G=\mathit{N9}\) |
Conditions limites:
DDL_IMPO : |
(NOEUD: ADX = 0. DY = 0. DZ = 0.) |
face \(\mathit{AB}\) |
( GROUP_NO : AB DY = 0.) |
Pression sur la face \(\mathit{CD}\) : PRES_REP (GROUP_MA : Bout PRES : p)
\(p\) étant défini par AFFE_CHAR_MECA_F par \(p(X)=–X\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 15
Nombre de mailles et types: 2 QUAD8, 1 SEG3 sur segment CD
Résultats de la modélisation B#
Valeurs testées#
Nœud |
Grandeur |
Référence |
\(B\) |
\(u\) |
2.0833 10–3 |
\(v\) |
||
\(w\) |
–2.0833 10–3 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
|
\(E\) |
\(u\) |
0.25 |
\(v\) |
||
\(w\) |
0.25 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
||
\(F\) |
\(u\) |
0.250521 |
\(v\) |
–0.04166 |
|
\(w\) |
0.0249479 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–0.5 |
|
\(G\) |
\(u\) |
0.252083 |
\(v\) |
–0.08333 |
|
\(w\) |
0.247917 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
|
\(C\) |
\(u\) |
|
\(v\) |
||
\(w\) |
||
\({\sigma}_{zz}\) |
||
\(D\) |
\(u\) |
1.00208 |
\(v\) |
–0.16666 |
|
\(w\) |
0.99791 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
Remarques#
La solution analytique est trouvée avec 10 ou 11 chiffres significatifs.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Numéro des nœuds: |
\(A=\mathit{N1}\) |
\(B=\mathit{N3}\) |
\(C=\mathit{N13}\) |
|
\(D=\mathit{N15}\) |
\(E=\mathit{N7}\) |
\(F=\mathit{N8}\) |
\(G=\mathit{N9}\) |
Conditions limites:
DDL_IMPO : |
(NOEUD: ADX = 0. DY = 0. DZ = 0.) |
face \(\mathit{AB}\) |
( GROUP_NO : AB DY = 0.) |
Pression sur la face \(\mathit{CD}\) : PRES_REP (GROUP_MA = Bout, PRES = p)
\(p\) étant défini par AFFE_CHAR_MECA_F par \(p(x)=–x\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds:15
Nombre de mailles et types: 2 QUAD9, 1 SEG3 sur segment CD
Résultats de la modélisation C#
Valeurs testées#
Nœud |
Grandeur |
Référence |
\(B\) |
\(u\) |
2.0833 10–3 |
\(v\) |
||
\(w\) |
–2.0833 10–3 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
|
\(E\) |
\(u\) |
0.25 |
\(v\) |
||
\(w\) |
0.25 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
||
\(F\) |
\(u\) |
0.250521 |
\(v\) |
–0.04166 |
|
\(w\) |
0.0249479 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–0.5 |
|
\(G\) |
\(u\) |
0.252083 |
\(v\) |
–0.08333 |
|
\(w\) |
0.247917 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
|
\(C\) |
\(u\) |
|
\(v\) |
||
\(w\) |
||
\({\sigma}_{zz}\) |
||
\(D\) |
\(u\) |
1.00208 |
\(v\) |
–0.16666 |
|
\(w\) |
0.99791 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
Remarques#
La solution analytique est trouvée avec 10 ou 11 chiffres significatifs.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Numéro des nœuds: |
\(A=\mathit{N1}\) |
\(B=\mathit{N1129}\) |
\(C=\mathit{N1369}\) |
|
\(D=\mathit{N2169}\) |
\(E=\mathit{N141}\) |
\(F=\mathit{N705}\) |
\(G=\mathit{N1269}\) |
Conditions limites:
DDL_IMPO : |
(NOEUD: A DX = 0. DY = 0. DZ = 0.) |
face \(\mathit{AB}\) |
( GROUP_NO : AB DY = 0.) |
Pression sur la face \(\mathit{CD}\) : PRES_REP (GROUP_MA : Bout PRES : p)
\(p\) étant défini par AFFE_CHAR_MECA_F par \(p(x)=–x\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 2169
Nombre de mailles et types: 1920 QUAD4, 8 SEG2 sur segment CD
Résultats de la modélisation D#
Valeurs testées#
Nœud |
Grandeur |
Référence |
\(B\) |
\(u\) |
2.0833 10–3 |
\(v\) |
||
\(w\) |
– 2.0833 10–3 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
|
\(E\) |
\(u\) |
0.25 |
\(v\) |
||
\(w\) |
0.25 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
||
\(F\) |
\(u\) |
0.250521 |
\(v\) |
–0.04166 |
|
\(w\) |
0.0249479 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–0.5 |
|
\(G\) |
\(u\) |
0.252083 |
\(v\) |
–0.083333 |
|
\(w\) |
0.247917 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
|
\(C\) |
\(u\) |
|
\(v\) |
||
\(w\) |
||
\({\sigma}_{zz}\) |
||
\(D\) |
\(u\) |
1.00208 |
\(v\) |
–0.16666 |
|
\(w\) |
0.99791 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
Remarques#
Pour obtenir une précision de l’ordre de 1 % sur les contraintes, il est nécessaire de modéliser la structure très finement (8 éléments radialement et 240 axialement).
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
Numéro des nœuds: |
\(A=\mathit{N1}\) |
\(B=\mathit{N2421}\) |
|
\(E=\mathit{N121}\) |
\(F=\mathit{N1331}\) |
\(G=\mathit{N2541}\) |
Conditions limites:
DDL_IMPO : |
(NOEUD: ADX = 0. DY = 0. DZ = 0.) |
face \(\mathit{AB}\) |
( GROUP_NO : AB DY = 0.) |
Pression sur la face \(\mathit{EG}\) : PRES_REP (GROUP_MA : Bout PRES : p)
\(p\) étant défini par AFFE_CHAR_MECA_F par \(p(x)=–x\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 2541
Nombre de mailles et types: 4800 TRIA3, 20 SEG2 sur segment EG
Remarques#
Pour diminuer le nombre de nœuds, on a modélisé la structure pour \(y\le 6\) .
La précision sur les résultats est néanmoins moindre que pour les éléments QUAD4.
Résultats de la modélisation E#
Valeurs testées#
Nœud |
Grandeur |
Référence |
\(B\) |
\(u\) |
2.0833 10–3 |
\(v\) |
||
\(w\) |
–2.0833 10–3 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
|
\(E\) |
\(u\) |
0.25 |
\(v\) |
||
\(w\) |
0.25 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
||
\(F\) |
\(u\) |
0.250521 |
\(v\) |
–0.04166 |
|
\(w\) |
0.249479 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–0.5 |
|
\(G\) |
\(u\) |
0.252083 |
\(v\) |
–0.083333 |
|
\(w\) |
0.247917 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
Remarques#
La précision sur les déplacements est inférieure à 3%, celle sur les contraintes inférieure à 2 %.
Sur cet exemple, les TRIA3 convergent nettement moins rapidement que les QUAD4 vers la solution exacte.
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
Numéro des nœuds: |
\(A=\mathit{N1}\) |
\(B=\mathit{N3}\) |
C = N13 |
|
\(D=\mathit{N15}\) |
\(E=\mathit{N7}\) |
G = N9 |
Conditions limites:
DDL_IMPO : |
(NOEUD: ADX = 0. DY = 0. DZ = 0.) |
face \(\mathit{AB}\) |
( GROUP_NO : AB DY = 0.) |
Pression sur la face \(\mathit{CD}\) : PRES_REP (GROUP_MA : Bout PRES : p)
\(p\) étant défini par AFFE_CHAR_MECA_F par \(p(X)=–X\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 15
Nombre de mailles et types: 2 QUAD8, 1SEG3 sur segment CD
Résultats de la modélisation F#
Valeurs testées#
Nœud |
Grandeur |
Référence |
\(\mathit{N2}\) |
\(u\) |
2.6041666 |
\(w\) |
–2.6041666 |
|
\(A\) |
\({\sigma}_{zz}\) |
|
\(B\) |
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
\(\mathit{N4}\) |
\(u\) |
0.0625 |
\(w\) |
0.0625 |
|
\(E\) |
\(u\) |
0.25 |
\(w\) |
0.25 |
|
\({\sigma}_{zz}\) |
||
\(G\) |
\(v\) |
–0.083333 |
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
|
\(\mathit{N10}\) |
\(u\) |
0.5625 |
\(w\) |
0.5625 |
|
\(\mathit{N12}\) |
\(v\) |
–0.125 |
\(C\) |
\(u\) |
|
\(w\) |
||
\({\sigma}_{zz}\) |
||
\(\mathit{N14}\) |
\(v\) |
–0.083333 |
\(D\) |
\(v\) |
–0.166666 |
\({\sigma}_{zz}\) |
–1. |
Synthèse des résultats#
Les éléments d’ordre 2 donnent la solution analytique.
Les éléments d’ordre 1 convergent lentement vers la solution et nécessitent des maillages très fins. Les temps calculs restent toutefois raisonnables.